2.2: Використовуйте загальну стратегію для вирішення лінійних рівнянь

Резюме

До кінця цього розділу ви зможете:

• Використовуйте комутативні та асоціативні властивості
• Використовуйте властивості ідентичності, оберненої та нульової
• Спрощення виразів за допомогою властивості розподілу

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

1. Спростити:\(\frac{3}{2}(12x+20)\).
2. Спростити:\(5−2(n+1)\).
3. Знайдіть РК-дисплей\(\frac{5}{6}\) і\(\frac{1}{4}\).

Розв'язування лінійних рівнянь за допомогою загальної стратегії

Вирішення рівняння - це все одно, що виявити відповідь на головоломку. Мета у вирішенні рівняння - знайти значення або значення змінної, що робить її істинним твердженням. Будь-яке значення змінної, яке робить рівняння істинним, називається розв'язком рівняння. Це відповідь на головоломку!

Розв'язок РІВНЯННЯ

Розв'язок рівняння - це значення змінної, яка робить істинний твердження при підстановці в рівняння.

Щоб визначити, чи є число розв'язком рівняння, підставляємо значення змінної в рівняння. Якщо отримане рівняння є істинним твердженням, то число є рішенням рівняння.

ВИЗНАЧТЕ, ЧИ Є ЧИСЛО РОЗВ'ЯЗАННЯМ РІВНЯННЯ

1. Підставляємо число для змінної в рівняння.
2. Спростіть вирази з обох сторін рівняння.
3. Визначте, чи істинно отримане рівняння.
   • Якщо це правда, число - це рішення.
   • Якщо це не відповідає дійсності, число не є рішенням.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Визначте, чи є значення розв'язками рівняння:\(5y+3=10y−4\).

1. \(y=\frac{3}{5}\)
2. \(y=\frac{7}{5}\)

Рішення

Оскільки розв'язком рівняння є значенням змінної, яка робить рівняння істинним, почніть з підстановки значення рішення для змінної.

а.

	\(5 y+3=10 y-4\)
\(\color{rec}\frac{3}{5}\)Замінник\(y\)	\(5\left( \color{red} \frac{3}{5} \color{black}\right)+3 \stackrel{?}{=} 10\left( \color{red}\frac{3}{5} \color{black}\right)-4\)
Помножити.	\(3+3\stackrel{?}{=} 6-4\)
Спростити.	\(6 \neq 2\)

Оскільки\(y=\frac{3}{5}\) не призводить до істинного рівняння, не\(y=\frac{3}{5}\) є рішенням рівняння\(5y+3=10y−4.\)

б.

	\(5 y+3=10 y-4\)
\(\color{red} \frac{7}{5}\)Замінник\(y\)	\(5\left(\color{red} \frac{7}{5} \color{black}\right)+3 \stackrel{?}{=} 10\left(\color{red}\frac{7}{5}\color{back}\right)-4\)
Помножити.	\(7+3 \stackrel{?}{=} 14-4\)
Спростити.	\(10=10 \checkmark\)

Оскільки\(y=\frac{7}{5}\) призводить до істинного рівняння,\(y=\frac{7}{5}\) є розв'язком рівняння\(5y+3=10y−4.\)

Вправа\(\PageIndex{1A}\)

Визначте, чи є значення розв'язками рівняння:\(9y+2=6y+3.\)

1. \(y=\frac{4}{3}\)
2. \(y=\frac{1}{3}\)

Відповідь на

ні

Відповідь б

так

Вправа\(\PageIndex{1B}\)

Визначте, чи є значення розв'язками рівняння:\(4x−2=2x+1\).

1. \(x=\frac{3}{2}\)
2. \(x=−\frac{1}{2}\)

Відповідь на

так

Відповідь б

ні

Існує багато типів рівнянь, які ми навчимося вирішувати. У цьому розділі ми зупинимося на лінійному рівнянні.

ЛІНІЙНЕ РІВняння

Лінійне рівняння - це рівняння в одній змінній, яке можна записати, де\(a\) і\(b\) є дійсними числами і\(a≠0\), як:

\[ax+b=0\]

Для вирішення лінійного рівняння непогано мати загальну стратегію, яку можна використовувати для вирішення будь-якого лінійного рівняння. У наступному прикладі ми наведемо етапи загальної стратегії вирішення будь-якого лінійного рівняння. Спрощення кожної сторони рівняння, наскільки це можливо, спочатку полегшує решту кроків.

ПРИКЛАД\(\PageIndex{2}\)

Вирішити:\(7(n−3)−8=−15\)

Відповідь

Вирішити:\(2(m−4)+3=−1.\)

Відповідь

\(m=2\)

Вправа\(\PageIndex{2B}\)

Вирішити:\(5(a−3)+5=−10.\)

Відповідь

\(a=0\)

Ці кроки узагальнені в Загальній стратегії вирішення лінійних рівнянь нижче.

ВИРІШУЙТЕ ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ ЗА ДОПОМОГОЮ ЗАГАЛЬНОЇ

1. Спростіть кожну сторону рівняння максимально.
   Використовуйте властивість Distributive, щоб видалити будь-які дужки.
   Поєднуйте подібні терміни.
2. Зберіть всі змінні члени на одній стороні рівняння.

   Використовуйте властивість додавання або віднімання рівності.

3. Зберіть всі постійні члени на іншій стороні рівняння.

   Використовуйте властивість додавання або віднімання рівності.

4. Зробіть коефіцієнт змінного члена рівним 1.

   Використовуйте властивість множення або ділення рівності.

   Викладіть рішення рівняння.

5. Перевірте розчин.

   Підставте рішення у вихідне рівняння, щоб переконатися, що результат є істинним твердженням.

ПРИКЛАД\(\PageIndex{3}\)

Вирішити:\(\frac{2}{3}(3m−6)=5−m\).

Відповідь

		\(\frac{2}{3}(3 m-6)=5-m\)
Розподілити.		\(2 m-4=5-m\)
Додайте\(m\) в обидві сторони, щоб отримати змінні тільки зліва.
Спростити.		\(3 m-4=5\)
Додайте\(4\) в обидві сторони, щоб отримати константи тільки праворуч.
Спростити.		\(3 m=9\)
Розділіть обидві сторони на три.
Спростити.		\(m=3\)

Перевірка:
Нехай\(m=3\).

Вправа\(\PageIndex{3A}\)

Вирішити:\(\frac{1}{3}(6u+3)=7−u\).

Відповідь

\(u=2\)

Вправа\(\PageIndex{3B}\)

Вирішити:\(\frac{2}{3}(9x−12)=8+2x\).

Відповідь

\(x=4\)

Ми можемо вирішити рівняння, отримуючи всі змінні терміни в обидві сторони знака рівності. Збираючи змінні терміни на тій стороні, де коефіцієнт змінної більше, ми уникаємо роботи з деякими негативами. Це буде гарною стратегією, коли ми вирішимо нерівності пізніше в цьому розділі. Це також допомагає нам запобігти помилкам з негативами.

ПРИКЛАД\(\PageIndex{4}\)

Вирішити:\(4(x−1)−2=5(2x+3)+6\).

Відповідь

		\(4(x-1)-2=5(2 x+3)+6\)
Розподілити.		\(4 x-4-2=10 x+15+6\)
Поєднуйте подібні терміни.		\(4 x-6=10 x+21\)
Відніміть\(4x\) з кожного боку, щоб отримати змінні тільки праворуч, так як\(10>4\).		\(4 x \color{red} -4 \color{black} x-6=10 x \color{red}-4 x \color{black}+21\)
Спростити.		\(-6=6 x+21\)
Відніміть\(21\) з кожного боку, щоб отримати константи зліва.		\(-6 \color{red} -21 \color{black} =6 x+21 \color{red}-21\)
Спростити.		\(-27=6 x\)
Розділіть обидві сторони на\(6\).		\(\frac{-27}{\color{red}6} \color{black}=\frac{6 x}{\color{red}6}\)
Спростити.		\(-\frac{9}{2}=x\)
Перевірка:	\(4(x-1)-2=5(2 x+3)+6\)\)
Нехай\(x=−92\).

Вправа\(\PageIndex{4A}\)

Вирішити:\(6(p−3)−7=5(4p+3)−12.\)

Відповідь

\(p=−2\)

Вправа\(\PageIndex{4B}\)

Вирішити:\(8(q+1)−5=3(2q−4)−1.\)

Відповідь

\(q=−8\)

ПРИКЛАД\(\PageIndex{5}\)

Вирішити:\(10[3−8(2s−5)]=15(40−5s)\).

Відповідь

		\(10[3-8(2 s-5)]=15(40-5 s)\)
Спрощуйте спочатку з найпотаємніших дужок.		\(10[3-16 s+40]=15(40-5 s)\)
Поєднуйте подібні терміни в дужках.		\(10[43-16 s]=15(40-5 s)\)
Розподілити.		\(430-160 s=600-75 s\)
Додайте\(160s\) до обох сторін,\(160s\) щоб отримати обидві сторони, щоб отримати змінні праворуч.
Спростити.		\(430=600+85 s\)
Відніміть\(600\) з обох сторін, щоб отримати константи зліва.
Спростити.		\(-170=85 s\)
Розділіть обидві сторони на\(85\).
Спростити.		\(-2=s,\)так\(s = -2\)
Перевірка:	\(10[3-8(2 s-5)]=15(40-5 s)\)
Нехай\(s=−2\).

Вправа\(\PageIndex{5A}\)

Вирішити:\(6[4−2(7y−1)]=8(13−8y)\).

Відповідь

\(y=−\frac{17}{5}\)

Вправа\(\PageIndex{5B}\)

Вирішити:\(12[1−5(4z−1)]=3(24+11z).\)

Відповідь

\(z=0\)

Класифікувати рівняння

Чи є рівняння істинним, залежить від значення змінної. Рівняння\(7x+8=−13\) є істинним, коли ми замінюємо змінну x на значення\(−3\), але не вірно, коли ми замінюємо x будь-яким іншим значенням. Подібне рівняння називається умовним рівнянням. Всі рівняння, які ми розв'язали до цих пір, є умовними рівняннями.

УМОВНІ РІВНЯННЯ

Рівняння, яке вірно для одного або декількох значень змінної і false для всіх інших значень змінної є умовним рівнянням.

Тепер розглянемо рівняння\(7y+14=7(y+2)\). Чи визнаєте ви, що ліва і права сторони рівнозначні? Давайте подивимося, що відбувається, коли ми вирішуємо для y.

Вирішити:

	\(7 y+14=7(y+2)\)
Розподілити.	\(7 y+14=7 y+14\)
Відніміть\(7y\) з кожної сторони, щоб отримати\(y’\) s в одну сторону.	\(7 y \color{red}-7 y \color{black} +14=7 y \color{red} -7 y \color{black}+14\)
\(y\)Спрощувати—і усуваються.	\(14=14\)
	Але\(14=14\) це правда.

Це означає, що\(7y+14=7(y+2)\) рівняння вірно для будь-якого значення\(y\). Ми говоримо, що рішення рівняння - це всі дійсні числа. Рівняння, яке є істинним для будь-якого значення змінної, називається тотожністю.

ІДЕНТИЧНІСТЬ

Рівняння, яке є істинним для будь-якого значення змінної, називається тотожністю.

Рішення ідентичності дійсне для всіх дійсних чисел.

Що відбувається, коли ми вирішуємо рівняння\(−8z=−8z+9?\)

Вирішити:

	\(-8 z=-8 z+9\)
Додайте\(8z\) в обидві сторони, щоб залишити константу в спокої праворуч.	\(-8 z \color{red} +8 z \color{black}=-8 z \color{red}+8 z \color{black} +9\)
\(z\)Спрощувати—і усуваються.	\(0 \neq 9\)
	Але\(0≠9\).

Рішення рівняння\(−8z=−8z+9\) призвело до помилкового твердження\(0=9\). Рівняння не\(−8z=−8z+9\) буде істинним для будь-якого значення\(z\). Він не має рішення. Рівняння, яке не має рішення, або є хибним для всіх значень змінної, називається протиріччям.

ПРОТИРІЧЧЯ

Рівняння, яке є хибним для всіх значень змінної, називається протиріччям.

Протиріччя не має рішення.

Наступні кілька прикладів попросять нас класифікувати рівняння як умовне, ідентичність або як протиріччя.

ПРИКЛАД\(\PageIndex{6}\)

Класифікуйте рівняння як умовне рівняння, ідентичність або протиріччя, а потім сформулюйте рішення:\(6(2n−1)+3=2n−8+5(2n+1)\).

Відповідь

	\(6(2 n-1)+3=2 n-8+5(2 n+1)\)
Розподілити.	\(12 n-6+3=2 n-8+10 n+5\)
Поєднуйте подібні терміни.	\(12 n-3=12 n-3\)
Відніміть\(12n\) з кожного боку,\(n\) щоб отримати в одну сторону.
Спростити.	\(-3=-3\)
Це правдиве твердження.	Рівняння - це тотожність.
	Рішенням є всі дійсні числа.

Вправа\(\PageIndex{6A}\)

Класифікуйте рівняння як умовне рівняння, ідентичність або протиріччя, а потім викладіть рішення:\(4+9(3x−7)=−42x−13+23(3x−2).\)

Відповідь

ідентичність; всі дійсні числа

Вправа\(\PageIndex{6B}\)

Класифікуйте рівняння як умовне рівняння, ідентичність або протиріччя, а потім викладіть рішення:\(8(1−3x)+15(2x+7)=2(x+50)+4(x+3)+1.\)

Відповідь

ідентичність; всі дійсні числа

ПРИКЛАД\(\PageIndex{7}\)

Класифікуйте рівняння як умовне рівняння, ідентичність або протиріччя, а потім сформулюйте рішення:\(8+3(a−4)=0\).

Відповідь

	\(8+3(a-4)=0\)
Розподілити.	\(8+3 a-12=0\)
Поєднуйте подібні терміни.	\(3 a-4=0\)
Додайте\(4\) в обидві сторони.	\(3 a-4 \color{red}+4 \color{black}=0 \color{red}+4\)
Спростити.	\(3 a=4\)
Розділити.	\(\frac{3 a}{\color{red}3} \color{black}=\frac{4}{\color{red}3}\)
Спростити.	\(a=\frac{4}{3}\)
Рівняння вірно, коли\(a=\frac{4}{3}\).	Це умовне рівняння.
	Рішення є\(a=\frac{4}{3}\).

Вправа\(\PageIndex{7A}\)

Класифікуйте рівняння як умовне рівняння, ідентичність або протиріччя, а потім сформулюйте рішення:\(11(q+3)−5=19\).

Відповідь

умовне рівняння;\(q=−\frac{9}{11}\)

Вправа\(\PageIndex{7B}\)

Класифікуйте рівняння як умовне рівняння, ідентичність або протиріччя, а потім сформулюйте рішення:\(6+14(k−8)=95\).

Відповідь

умовне рівняння;\(k=\frac{201}{14}\)

ПРИКЛАД\(\PageIndex{8}\)

Класифікуйте рівняння як умовне рівняння, ідентичність або протиріччя, а потім сформулюйте рішення:\(5m+3(9+3m)=2(7m−11)\).

Відповідь

	\(5 m+3(9+3 m)=2(7 m-11)\)
Розподілити.	\(5 m+27+9 m=14 m-22\)
Поєднуйте подібні терміни.	\(14 m+27=14 m-22\)
Відніміть\(14m\) з обох сторін.	\(14 m+27 \color{red}-14 m \color{black}=14 m-22 \color{red}-14 m\)
Спростити.	\(27 \neq-22\)
Але\(27≠−22\).	Рівняння - протиріччя.
	Він не має рішення.

Класифікуйте рівняння як умовне рівняння, ідентичність або протиріччя, а потім сформулюйте рішення:\(12c+5(5+3c)=3(9c−4)\).

Відповідь

протиріччя; немає рішення

Вправа\(\PageIndex{8B}\)

Класифікуйте рівняння як умовне рівняння, ідентичність або протиріччя, а потім сформулюйте рішення:\(4(7d+18)=13(3d−2)−11d\).

Відповідь

протиріччя; немає рішення

Підсумовуємо методи класифікації рівнянь в таблиці.

Тип рівняння	Що відбувається, коли ви вирішуєте це?	Рішення
Умовне рівняння	True для одного або декількох значень змінних і false для всіх інших значень	Одне або кілька значень
Ідентичність	Правда для будь-якого значення змінної	Усі дійсні числа
протиріччя	False для всіх значень змінної	Немає рішення

Вирішити рівняння з дробними або десятковими коефіцієнтами

Ми могли б використати Генеральну стратегію для вирішення наступного прикладу. Цей метод працював би добре, але багато студентів не відчувають себе дуже впевнено, коли бачать усі ці фракції. Отже, ми збираємося показати альтернативний метод розв'язання рівнянь з дробами. Цей альтернативний метод усуває фракції.

Ми застосуємо властивість множення рівності і помножимо обидві сторони рівняння на найменш спільний знаменник (РК) всіх дробів рівняння. Результатом цієї операції буде нове рівняння, еквівалентне першому, але без дробів. Цей процес називається очищенням рівняння дробів.

Щоб очистити рівняння десяткових знаків, ми думаємо про всі десяткові числа у формі дробу, а потім знаходимо РК-дисплей цих знаменників.

Вправа\(\PageIndex{9A}\)

Вирішити:\(\frac{1}{12}x+\frac{5}{6}=\frac{3}{4}\).

Відповідь

Вправа\(\PageIndex{9B}\)

Вирішити:\(\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}=\frac{5}{8}\).

Відповідь

\(x=\frac{1}{2}\)

Вправа\(\PageIndex{9C}\)

Вирішити:\(\frac{1}{8}x+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\).

Відповідь

\(x=−2\)

Зверніть увагу, що в попередньому прикладі, як тільки ми очистили рівняння дробів, рівняння було схоже на ті, які ми вирішили раніше в цьому розділі. Ми змінили проблему на ту, яку вже знали, як вирішити. Потім ми використовували загальну стратегію розв'язання лінійних рівнянь.

ВИРІШУЙТЕ РІВНЯННЯ З КОЕФІЦІЄНТАМИ ДРОБУ

1. Знайти найменший спільний знаменник (РК) всіх дробів і десяткових знаків (у вигляді дробу) у рівнянні.
2. Помножте обидві сторони рівняння на цей РК-дисплей. Це очищає дробові і десяткові дроби.
3. Розв'язуйте за допомогою загальної стратегії розв'язання лінійних рівнянь.

ПРИКЛАД\(\PageIndex{10}\)

Вирішити:\(5=\frac{1}{2}y+\frac{2}{3}y−\frac{3}{4}y\).

Відповідь

Ми хочемо очистити дроби, помноживши обидві сторони рівняння на РК-дисплей всіх дробів у рівнянні.

Знайдіть РК-дисплей всіх дробів у рівнянні.		\(5=\frac{1}{2} y+\frac{2}{3} y-\frac{3}{4} y\)
РК-дисплей є\(12\).
Помножте обидві сторони рівняння на\(12\).		\(\color{red}12 \color{black}(5)=\color{red}12 \color{black} \cdot\left(\frac{1}{2} y+\frac{2}{3} y-\frac{3}{4} y\right)\)
Розподілити.		\(12(5)=12 \cdot \frac{1}{2} y+12 \cdot \frac{2}{3} y-12 \cdot \frac{3}{4} y\)
Спростити - зверніть увагу, більше немає дробів.		\(60=6 y+8 y-9 y\)
Поєднуйте подібні терміни.		\(60=5 y\)
Ділимо на п'ять.		\(\frac{60}{\color{red}5} \color{black}=\frac{5 y}{\color{red}5}\)
Спростити.		\(12=y\)
Перевірка:	\(5=\frac{1}{2} y+\frac{2}{3} y-\frac{3}{4} y\)
Нехай\(y=12\).

Вправа\(\PageIndex{10A}\)

Вирішити:\(7=\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}x−\frac{2}{3}x\).

Відповідь

\(x=12\)

Вправа\(\PageIndex{10B}\)

Вирішити:\(−1=\frac{1}{2}u+\frac{1}{4}u−\frac{2}{3}u\).

Відповідь

\(u=−12\)

У наступному прикладі ми розподілимо перед очищенням дробів.

ПРИКЛАД\(\PageIndex{11}\)

Вирішити:\(\frac{1}{2}(y−5)=\frac{1}{4}(y−1)\).

Відповідь

Розподілити.
Спростити.
Помножте на РК-дисплей, чотири.
Розподілити.
Спростити.
Зберіть змінні зліва.
Спростити.
Зберіть константи праворуч.
Спростити.
Альтернативним способом вирішення цього рівняння є очищення дробів, не розподіляючи спочатку. Якщо помножити коефіцієнти правильно, цей спосіб буде простіше.
Помножте на РК-дисплей,\(4\).
Множимо чотири рази дробу.
Розподілити.
Зберіть змінні зліва.
Спростити.
Зберіть константи праворуч.
Спростити.
Перевірка:
Нехай\(y=9\).
Завершіть перевірку самостійно.

Вправа\(\PageIndex{11A}\)

Вирішити:\(\frac{1}{5}(n+3)=\frac{1}{4}(n+2)\).

Відповідь

\(n=2\)

Вправа\(\PageIndex{11B}\)

Вирішити:\(\frac{1}{2}(m−3)=\frac{1}{4}(m−7)\).

Відповідь

\(m=−1\)

Коли ви множите обидві сторони рівняння на РК-дисплей дробів, переконайтеся, що ви множите кожен член на РК-дисплей, навіть якщо він не містить дробу.

ПРИКЛАД\(\PageIndex{12}\)

Вирішити:\(\frac{4q+3}{2}+6=\frac{3q+5}{4}\)

Відповідь

		\(\frac{4 q+3}{2}+6=\frac{3 q+5}{4}\)
Помножте обидві сторони на РК-дисплей,\(4\).
Розподілити.
Спростити.		\(2(4 q+3)+24=3 q+5\)
		\(8 q+6+24=3 q+5\)
		\(8 q+30=3 q+5\)
Зберіть змінні зліва.
Спростити.		\(5 q+30=5\)
Зберіть константи праворуч.
Спростити.		\(5 q=-25\)
Розділіть обидві сторони на п'ять.
Спростити.		\(q=-5\)
Перевірка:	\(\frac{4 q+3}{2}+6=\frac{3 q+5}{4}\)
Нехай\(q=−5.\)
Завершіть перевірку самостійно.

Вирішити:\(\frac{3r+5}{6}+1=\frac{4r+3}{3}\).

Відповідь

\(r=3\)

Вправа\(\PageIndex{12B}\)

Вирішити:\(\frac{2s+3}{2}+1=\frac{3s+2}{4}\).

Відповідь

\(s=−8\)

Деякі рівняння мають десяткові числа в них. Таке рівняння може виникнути, коли ми вирішуємо проблеми, пов'язані з грошима або відсотками. Але десяткові числа також можуть бути виражені у вигляді дробів. Наприклад,\(0.7=\frac{7}{10}\) і\(0.29=\frac{29}{100}\). Отже, з рівнянням з десятковими числами ми можемо використовувати той самий метод, який ми використовували для очищення дробів - помножте обидві сторони рівняння на найменш спільний знаменник.

У наступному прикладі використовується рівняння, характерне для тих, які ми побачимо в грошових додатках у наступному розділі. Зверніть увагу, що ми очистимо всі десяткові числа, помноживши на РК-дисплей їх форми дробу.

Вирішити:\(0.25x+0.05(x+3)=2.85\).

Відповідь

Подивіться на десяткові числа і подумайте про еквівалентні дроби:

\[0.25=\frac{25}{100}, \; \; \; \;\;\;\;\; 0.05=\frac{5}{100}, \;\;\;\;\;\;\;\; 2.85=2\frac{85}{100}.\]

Зверніть увагу, РК-дисплей є\(100\). Помноживши на РК-дисплей, ми очистимо десяткові числа від рівняння.

Розподіліть спочатку.
Поєднуйте подібні терміни.
Щоб очистити десяткові знаки, помножте на\(100\).
Розподілити.
Відніміть\(15\) з обох сторін.
Спростити.
Розділити на\(30\).
Спростити.
Перевірте це самостійно, підставивши\(x=9\) в вихідне рівняння.

Вправа\(\PageIndex{13A}\)

Вирішити:\(0.25n+0.05(n+5)=2.95.\)

Відповідь

\(n=9\)

Вправа\(\PageIndex{13B}\)

Вирішити:\(0.10d+0.05(d−5)=2.15.\)

Відповідь

\(d=16\)

Ключові поняття

• Як визначити, чи є число розв'язком рівняння
  1. Підставити число в для змінної в рівнянні.
  2. Спростіть вирази з обох сторін рівняння.
  3. Визначте, чи істинно отримане рівняння.

     Якщо це правда, число - це рішення.

     Якщо це не відповідає дійсності, число не є рішенням.

• Як розв'язати лінійні рівняння за допомогою загальної стратегії
  1. Спростіть кожну сторону рівняння максимально.

     Використовуйте властивість Distributive, щоб видалити будь-які дужки.

     Поєднуйте подібні терміни.

  2. Зберіть всі змінні члени на одній стороні рівняння.

     Використовуйте властивість додавання або віднімання рівності.

  3. Зберіть всі постійні члени на іншій стороні рівняння.

     Використовуйте властивість додавання або віднімання рівності.

  4. Зробіть коефіцієнт змінного члена рівним 1.

     Використовуйте властивість множення або ділення рівності.

     Викладіть рішення рівняння.

  5. Перевірте розчин.

     Підставте рішення у вихідне рівняння, щоб переконатися, що результат є істинним твердженням.

• Як вирішити рівняння з дробними або десятковими коефіцієнтами
  1. Знайти найменший спільний знаменник (РК) всіх дробів і десяткових знаків (у вигляді дробу) у рівнянні.
  2. Помножте обидві сторони рівняння на цей РК-дисплей. Це очищає дробові і десяткові дроби.
  3. Розв'язуйте за допомогою загальної стратегії розв'язання лінійних рівнянь.

Глосарій

умовне рівняння

Рівняння, яке вірно для одного або декількох значень змінної і false для всіх інших значень змінної є умовним рівнянням.

протиріччя

Рівняння, яке є хибним для всіх значень змінної, називається протиріччям. Протиріччя не має рішення.

ідентичність

Рівняння, яке є істинним для будь-якого значення змінної, називається Identity. Рішення ідентичності - це всі дійсні числа.

лінійне рівняння

Лінійне рівняння - це рівняння в одній змінній, яке можна записати, де a і b - дійсні числа і\(a≠0\), як\(ax+b=0\).

розв'язання рівняння

Розв'язок рівняння - це значення змінної, яка робить істинний твердження при підстановці в рівняння.