8.6: Властивості логарифмів; Розв'язування експоненціальних рівнянь

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58026

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Логарифми були фактично виявлені і використані в стародавні часи як індійськими, так і ісламськими математиками. Вони не використовувалися широко, хоча, до 1600-х років, коли логарифми спростили велику кількість ручних обчислень, необхідних у наукових дослідженнях часів. Зокрема, після винаходу телескопа дуже важливими стали обчислення за участю астрономічних даних, а логарифми стали важливим математичним інструментом. Дійсно, до винаходу комп'ютера та електронного калькулятора останнім часом, ручні обчислення за допомогою логарифмів були основним елементом навчальної програми кожного студента науки.

Корисність логарифмів при розрахунках заснована на наступних трьох важливих властивостях, відомих загалом як властивості логарифмів.

ВЛАСТИВІСТЬ ЛОГАРИФМІВ

(а)$log_{b}(MN) = log_{b}(M)+log_{b}(N)$

(б)$log_{b}(\frac{M}{N}) = log_{b}(M)−log_{b}(N)$

(c)$log_{b}(M^r)=rlog_{b}(M)$

за умови, що M, N, b > 0.

Перша властивість говорить про те, що «журнал товару - це сума колод». Другий говорить про те, що «журнал частки - це різниця колод». А третє властивість іноді називають «правилом влади». Вільно кажучи, беручи журнал влади, ви можете просто перемістити показник перед журналом.

Ми не будемо вдаватися в подробиці обчислювальних процедур за допомогою властивостей (a) і (b), оскільки ці процедури більше не потрібні після винаходу калькулятора. Але ідея полягає в тому, що трудомісткий добуток двох чисел, наприклад двох 10-значних чисел, може бути перетворений властивістю (а) в набагато простішу задачу додавання. Аналогічно, великий і складний коефіцієнт може бути перетворений властивістю (b) в набагато простішу задачу віднімання. Властивості (a) і (b) також є основою для правила слайдів, механічного обчислювального пристрою, який передував електронному калькулятору (дуже швидкий і корисний, але тільки з точністю приблизно до трьох цифр).

Властивість (c), з іншого боку, все ще корисна для складних обчислень. Якщо ви спробуєте обчислити велику потужність, скажімо 2100, на калькуляторі або комп'ютері, ви отримаєте повідомлення про помилку. Це тому, що всі калькулятори та комп'ютери можуть обробляти лише цифри та показники в певному діапазоні. Таким чином, щоб обчислити велику потужність, необхідно використовувати властивість (c), щоб перетворити його в задачу множення. Подробиці цієї процедури наведені в розділі 8.8.

Незважаючи на те, що властивості (a) і (b) більше не потрібні для обчислювальних цілей, це не означає, що вони не важливі. Логарифмічні функції служать багатьом цілям в математиці та науках, і всі властивості логарифма корисні різними способами.

Звідки беруться властивості логарифма? Насправді, всі вони походять від законів експонентів, використовуючи той факт, що експоненціальна функція є оберненою функцією логарифма. Оскільки ми будемо використовувати лише властивість (c) у цій книзі, ми покажемо, як це властивість походить. Властивості (a) і (b) виводяться аналогічним чином.

Доказ (c): Почніть з правого боку рівняння та$log_{b}(M)$ позначте x:

$x = log_{b}(M)$

Використовуйте Визначення 1 у розділі 8.5, щоб переписати рівняння в експоненціальній формі:

$b^x = M$

Підніміть обидві сторони до rth потужності:

$(b^x)^r =M^r$

Застосуйте один із законів експонентів до лівого боку:

$b^{rx} = M^r$

Застосуйте логарифмічну функцію base b до обох сторін:

$log_{b}(b^rx) = log_{b}(M^r)$

Застосуйте формулу (10) у розділі 8.5 ліворуч:

$rx = log_{b}(M^r)$

Замініть назад на x з першого рядка вище:

$rlog_{b}(M) = log_{b}(M^r)$

Це формула у властивості (c).

Зміна базової формули

Тепер ми можемо довести формулу перетворення, яка дозволить нам обчислити логарифм до будь-якої бази.

ЗМІНА БАЗОВОЇ ФОРМУЛИ

$log_{a}(x) = \frac{log_{b}(x)}{log_{b}(a)}$

Доказ: Почніть з лівого боку рівняння та$log_{a}(x)$ позначте r:

$r = log_{a}(x)$

Використовуйте Визначення 1 у розділі 8.5, щоб переписати рівняння в експоненціальній формі:

$a^r = x$

Застосуйте логарифмічну функцію base b до обох сторін:

$log_{b}(a^r) = log_{b}(x)$

Застосувати властивість (c) до лівої сторони:

$rlog_{b}(a) = log_{b}(x)$

Розділити на$log_{b}(a)$:

$r = \frac{log_{b}(x)}{log_{b}(a)}$

Замініть назад r з першого рядка вище:

$log_{a}(x) = \frac{log_{b}(x)}{log_{b}(a)}$

Це зміна базової формули.

Приклад$\PageIndex{1}$

Обчислити$log_{2}(5)$.

Перш ніж застосовувати Зміна базової формули, давайте подивимося, чи можемо ми оцінити значення$log_{2}(5)$. Перший відгук з власності 9 в розділі 8.5, що$2^{log_{2}(5)} = 5$. Тепер наскільки великим буде показник на базі 2 повинен бути для того, щоб сила дорівнювала 5? Оскільки$2^2 = 4$ (занадто малий) і$2^3 = 8$ (занадто великий), ми повинні$log_{2}(5)$ очікувати лежати десь між 2 і 3. Дійсно, застосування формули зміни бази із загальним логарифмом дає

$log_{2}(5) = \frac{log_{10}(5)}{log_{10}(5)} = \frac{log(5)}{log(2)} \approx \frac{.6989700043}{.3010299957} \approx 2.321928095$.

Відповідно до формули, ми могли б замість цього використовувати натуральний логарифм для отримання тієї ж відповіді, як у

$log_{2}(5) = \frac{log_{e}(5)}{log_{e}(2)} = \frac{ln(5)}{ln(2)} \approx \frac{1.609437912}{.6931471806} \approx 2.321928095$.

Натискання клавіш калькулятора показані на малюнку 1.

Малюнок 1. Обчислення з$log_{2}(5)$ використанням формули зміни бази.

Знімок екрана 2019-08-14 о 4.09.49 PM.png — Малюнок 1. Обчислення з$log_{2}(5)$ використанням формули зміни бази.

Інший спосіб перегляду Змінити базову формулу полягає в тому, що він говорить, що всі логарифми кратні один одному, оскільки

$log_{a}(x) = (\frac{1}{log_{b}(a)})log_{b}(x)$.

Таким чином,$log_{a}(x)$ є постійним кратним$log_{b}(x)$, де константа є$\frac{1}{log_{b}(a)}$.

Розв'язування експоненціальних рівнянь

Property (c) ($log_{b}(M^r) = r log_{b}(M)$) також широко використовується для вирішення експоненціальних рівнянь, і, таким чином, буде важливим інструментом, коли ми працюємо з додатками в наступному розділі. У загальних рисах основна стратегія розв'язання експоненціальних рівнянь полягає в тому, щоб (1) спочатку ізолювати експоненціальну, потім (2) застосувати логарифмічну функцію до обох сторін, а потім (3) використовувати властивість (c). Ми проілюструємо стратегію кількома прикладами.

Приклад$\PageIndex{2}$

Вирішити$8 = 5(3^x)$.

Перш ніж спробувати процедуру, викладену вище, давайте спочатку наблизимо рішення за допомогою графічного підходу. Графік обидві сторони рівняння у вашому калькуляторі, а потім знайдіть перетин двох кривих для отримання$x \approx 0.42781574$ (див. Рисунок 2).

Знімок екрана 2019-08-14 в 4.14.18 PM.png — Малюнок 2. Наближення розв'язку$8 = 5(3^x)$ графічно.

Тепер ми вирішимо рівняння алгебраїчно. Спочатку виділяють експоненціальну функцію з одного боку рівняння, розділивши обидві сторони на 5:

$1.6 = 3^x$

Потім візьміть логарифм обох сторін. Використовуйте або звичайний, або натуральний колоду:

$log(1.6) = log(3^x)$

Тепер скористайтеся властивістю (c), щоб перемістити показник перед журналом праворуч:

журнал (1.6) = журнал (3)

Нарешті, вирішіть для x, розділивши обидві сторони на журнал (3):

$\frac{log(1.6)}{log(3)} = x$

Таким чином, точне значення х дорівнює$\frac{log(1.6)}{log(3)}$, а приблизне значення - 0,42781574. Зверніть увагу, що це те саме, що графічне наближення, знайдене раніше.

Приклад$\PageIndex{3}$

Вирішити$300 = 100(1.05^{5x})$.

$300 = 100(1.05^{5x})$

$\rightarrow 3 = 1.05^{5x}$ізолювати експоненціальну

$\rightarrow log(3) = log(1.05^{5x})$застосувати загальну функцію журналу

$\rightarrow log(3) = 5x log(1.05)$використовувати властивість (c)

$\rightarrow \frac{log(3)}{5log(1.05)} = x$ділити

$\rightarrow x \approx 4.503417061$

Якщо основа експоненти дорівнює або 10, або e, правильний вибір логарифма призводить до більш швидкого рішення:

Приклад$\PageIndex{4}$

Вирішити$3 = 4e^x$.

$3 = 4e^x$.

$\rightarrow 0.75 = e^x$ізолювати експоненціальну

$\rightarrow ln(0.75) = ln(e^x)$застосувати функцію природного журналу

$\rightarrow ln(0.75) = x$так як$ln(e^x) = x$

$\rightarrow x \approx −.2876820725$

У цьому випадку, оскільки основою експоненціальної функції є e, використання функції природного журналу спрощує рішення.

Тепер ми можемо звернути свою увагу на вирішення більш цікавих проблем додатків, таких як питання, підняті в кінці Розділу 8.3.

Приклад$\PageIndex{5}$

Якщо ви вносите 1000 доларів на рахунок, який сплачує 6% відсотків, що постійно посилюються, скільки часу вам знадобиться, щоб у вас було 1500 доларів на вашому рахунку?

По-перше, нагадаємо формулу безперервного складного відсотка з розділу 8.3:

$P(t) = P_{0}e^{rt}$(6)

В даному випадку$P_{0} = 1000$ і r = .06. Вставивши ці значення в формулу, отримуємо

$P(t) = 1000e^{0.06t}$.

Тепер ми хочемо, щоб майбутнє значення P (t) рахунку в якийсь час t дорівнювало $1500. Тому ми повинні вирішити рівняння

$1500 = 1000e^{0.06t}$.

Дотримуючись кроків у попередньому прикладі,

$1500 = 1000e^{0.06t}$

$\rightarrow 1.5 = e^{0.06t}$ізолювати експоненціальну

$\rightarrow ln(1.5) = ln(e^{0.06t})$застосувати функцію природного журналу

$\rightarrow ln(1.5) = 0.06t$так як$ln(e^x) = x$

$\rightarrow \frac{ln(1.5)}{0.06} = t$ділити

$\rightarrow t \approx 6.757751802$

Таким чином, це займе близько 6 років і 9 місяців.

Приклад$\PageIndex{7}$

Якщо ви вносите $1000 на рахунок, який сплачує 5% відсотків, що складаються щомісяця, скільки часу знадобиться, щоб ваші гроші подвоїлися?

По-перше, нагадаємо дискретну формулу складних відсотків з розділу 8.3:

$P(t) = P_{0}(1+\frac{r}{n})^{nt}$(8)

В даному випадку$P_{0} = 1000$, r = 0,05, а n = 12. Вставивши ці значення в формулу, отримуємо

$P(t) = 1000(1+\frac{.05}{12})^{12t}$.

Тепер ми хочемо, щоб майбутнє значення P (t) рахунку в якийсь час t дорівнювало вдвічі початковій сумі. Іншими словами, ми хочемо, щоб P (t) дорівнював 2000. Тому ми повинні вирішити рівняння

$2000 = 1000(1+\frac{.05}{12})^{12t}$.

Дотримуючись кроків у прикладах 2 та 3,

$2000 = 1000(1+\frac{.05}{12})^{12t}$

$\rightarrow 2 = (1+\frac{.05}{12})^{12t}$ізолювати експоненціальну

$\rightarrow log(2) = log((1+\frac{.05}{12})^{12t})$застосувати загальну функцію журналу

$\rightarrow log(2) = 12tlog(1+\frac{.05}{12})$використовувати властивість (c)

$\rightarrow \frac{log(2)}{12log(1+\frac{.05}{12})} = t$ділити

$\rightarrow t \approx 13.89180573$

Таким чином, це займе близько 13,9 років, щоб ваші гроші подвоїлися.

Вправа

У вправах 1 - 10 використовуйте калькулятор для оцінки функції при заданому значенні p. Округлите свою відповідь до найближчої сотої.

Вправа$\PageIndex{1}$

$f(x) = log_{4}(x)$; р = 57,60.

Відповідь: 2. 92

Вправа$\PageIndex{2}$

$f(x) = log_{4}(x)$; р = 11,22.

Вправа$\PageIndex{3}$

$f(x) = log_{7}(x)$; р = 2,98.

Відповідь: 0. 56

Вправа$\PageIndex{4}$

$f(x) = log_{3}(x)$; р = 2,27.

Вправа$\PageIndex{5}$

$f(x) = log_{6}(x)$; р = 2,56.

Відповідь: 0. 52

Вправа$\PageIndex{6}$

$f(x) = log_{8}(x)$; р = 289,27.

Вправа$\PageIndex{7}$

$f(x) = log_{8}(x)$; р = 302,67.

Відповідь: 2. 75

Вправа$\PageIndex{8}$

$f(x) = log_{5}(x)$; р = 15,70.

Вправа$\PageIndex{9}$

$f(x) = log_{8}(x)$; р = 46,13.

Відповідь: 1. 84

Вправа$\PageIndex{10}$

$f(x) = log_{4}(x)$; р = 15,59.

У вправах 11 - 18 виконайте кожне з наступних завдань.

Приблизний розв'язок заданого рівняння за допомогою графічного калькулятора. Завантажте кожну сторону рівняння в меню Y = вашого калькулятора. Налаштуйте параметри WINDOW так, щоб точка перетину графіків була видна у вікні перегляду. Використовуйте утиліту intersect в меню CALC вашого калькулятора, щоб визначити координату x точки перетину. Потім зробіть точну копію зображення у вікні перегляду на домашньому папері.
Вирішіть дане рівняння алгебраїчно і округляйте свою відповідь до найближчої сотої.

Вправа$\PageIndex{11}$

$20 = 3(1.2)^x$

Відповідь

$Знімок екрана 2019-08-15 в 2.26.22 PM.png$
10. 41

Вправа$\PageIndex{12}$

$15 = 2(1.8)^x$

Вправа$\PageIndex{13}$

$14 = (1.4)^{5x}$

Відповідь

$Знімок екрана 2019-08-15 в 2.27.17 PM.png$
1. 57

Вправа$\PageIndex{14}$

$16 = (1.8)^{4x}$

Вправа$\PageIndex{15}$

$−4 = 0.2^x−9$

Відповідь

$Знімок екрана 2019-08-15 в 2.30.00 PM.png$
− 1. 00

Вправа$\PageIndex{16}$

$12 = 2.9^x+2$

Вправа$\PageIndex{17}$

$13 = 0.1^{x+1}$

Відповідь

$Знімок екрана 2019-08-15 о 2.30.59 PM.png$
− 2. 11

Вправа$\PageIndex{18}$

$19 = 1.2^{x−6}$

У вправах 19 - 34 розв'яжіть дане рівняння алгебраїчно і округляйте свою відповідь до найближчої сотої.

Вправа$\PageIndex{19}$

$20 = e^{x−3}$

Відповідь: 6. 00

Вправа$\PageIndex{20}$

$−4 = e^x−9$

Вправа$\PageIndex{21}$

$23 = 0.9^x+9$

Відповідь: − 25. 05

Вправа$\PageIndex{22}$

$10 = e^x+7$

Вправа$\PageIndex{23}$

$19 = e^x+5$

Відповідь: 2. 64

Вправа$\PageIndex{24}$

$4 = 7(2.3)^x$

Вправа$\PageIndex{25}$

$18 = e^{x+4}$

Відповідь: − 1. 11

Вправа$\PageIndex{26}$

$15 = e^{x+6}$

Вправа$\PageIndex{27}$

$8 = 2.7^{3x}$

Відповідь: 0. 70

Вправа$\PageIndex{28}$

$7 = e^x+1$

Вправа$\PageIndex{29}$

$7 = 1.1^{8x}$

Відповідь: 2. 55

Вправа$\PageIndex{30}$

$6 = 0.2^{x−8}$

Вправа$\PageIndex{31}$

$−7 = 1.3^{x−9}$

Відповідь: 2. 64

Вправа$\PageIndex{32}$

$11 = 3(0.7)^x$

Вправа$\PageIndex{33}$

$23 = e^x+9$

Відповідь: 2. 64

Вправа$\PageIndex{34}$

$20 = 3.2^{x+1}$

Вправа$\PageIndex{35}$

Припустимо, що ви інвестуєте $17,000 під 6% відсотків, що складаються щодня. Скільки років знадобиться, щоб ваші інвестиції подвоїлися? Округлите свою відповідь до найближчої сотої.

Відповідь: 11. 55 років

Вправа$\PageIndex{36}$

Припустимо, що ви інвестуєте 6000 доларів під 9% відсотків, що постійно посилюються. Скільки років знадобиться, щоб ваші інвестиції подвоїлися? Округлите свою відповідь до найближчої сотої.

Вправа$\PageIndex{37}$

Припустимо, що ви інвестуєте 16 000 доларів під 6% відсотків, що складаються щодня. Скільки років знадобиться, щоб ваші інвестиції досягли 26 000 доларів? Округлите свою відповідь до найближчої сотої.

Відповідь: 8. 09 років

Вправа$\PageIndex{38}$

Припустимо, що ви інвестуєте 15 000 доларів під 5% відсотків, що складаються щомісяця. Скільки років знадобиться, щоб ваші інвестиції подвоїлися? Округлите свою відповідь до найближчої сотої.

Вправа$\PageIndex{39}$

Припустимо, що ви інвестуєте 18 000 доларів США під 3% відсотків, що складаються щомісяця. Скільки років знадобиться, щоб ваші інвестиції подвоїлися? Округлите свою відповідь до найближчої сотої.

Відповідь: 23. 13 років

Вправа$\PageIndex{40}$

Припустимо, що ви інвестуєте 7,000 доларів під 5% відсотків, що складаються щодня. Скільки років знадобиться, щоб ваші інвестиції досягли 13 000 доларів? Округлите свою відповідь до найближчої сотої.

Вправа$\PageIndex{41}$

Припустимо, що ви інвестуєте 16 000 доларів під 9% відсотків, що постійно посилюються. Скільки років знадобиться, щоб ваші інвестиції подвоїлися? Округлите свою відповідь до найближчої сотої.

Відповідь: 7. 70 років

Вправа$\PageIndex{42}$

Припустимо, що ви інвестуєте 16 000 доларів під 2% відсотків, що постійно посилюються. Скільки років знадобиться, щоб ваші інвестиції досягли 25 000 доларів? Округлите свою відповідь до найближчої сотої.

Вправа$\PageIndex{43}$

Припустимо, що ви інвестуєте 2000 доларів під 5% відсотків, що постійно посилюються. Скільки років знадобиться, щоб ваші інвестиції досягли 10 000 доларів? Округлите свою відповідь до найближчої сотої.

Відповідь: 32. 19 років

Вправа$\PageIndex{44}$

Припустимо, що ви інвестуєте 4,000 доларів під 6% відсотків, що постійно посилюються. Скільки років знадобиться, щоб ваші інвестиції досягли 10 000 доларів? Округлите свою відповідь до найближчої сотої.

Вправа$\PageIndex{45}$

Припустимо, що ви інвестуєте $4,000 під 3% відсотків, що складаються щодня. Скільки років знадобиться, щоб ваші інвестиції досягли 14 000 доларів? Округлите відповідь до найближчої сотої.

Відповідь: 41. 76 років

Вправа$\PageIndex{46}$

Припустимо, що ви інвестуєте 13 000 доларів під 2% відсотків, що складаються щомісяця. Скільки років знадобиться, щоб ваші інвестиції досягли 20 000 доларів? Округлите відповідь до найближчої сотої.

Вправа$\PageIndex{47}$

Припустимо, що ви інвестуєте 20 000 доларів під 7% відсотків, що постійно посилюються. Скільки років знадобиться, щоб ваші інвестиції досягли 30 000 доларів? Округлите відповідь до найближчої сотої.

Відповідь: 5. 79 років

Вправа$\PageIndex{48}$

Припустимо, що ви інвестуєте 16 000 доларів під 4% відсотків, що постійно посилюються. Скільки років знадобиться, щоб ваші інвестиції подвоїлися? Округлите відповідь до найближчої сотої.

Вправа$\PageIndex{49}$

Припустимо, що ви інвестуєте 8,000 доларів під 8% відсотків, що постійно посилюються. Скільки років знадобиться, щоб ваші інвестиції подвоїлися? Округлите відповідь до найближчої сотої.

Відповідь: 8. 66 років

Вправа$\PageIndex{50}$

Припустимо, що ви інвестуєте 3,000 доларів під 3% відсотків, що складаються щодня. Скільки років знадобиться, щоб ваші інвестиції подвоїлися? Округлите відповідь до найближчої сотої.