2.4: Розв'язування рівнянь та нерівностей за допомогою графіків

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58149

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Наш акцент у розділі був зроблений на функціях та інтерпретації їх графіків. У цьому розділі ми продовжуємо в цьому ключі і перетворюємо наше дослідження до розв'язання рівнянь та нерівностей за допомогою графіків. Рівняння матимуть вигляд$f(x) = g(x)$, а нерівності матимуть форму$f(x) < g(x)$ та/або$f(x) > g(x)$.

Ви можете задатися питанням, чому ми не згадали нерівності, що мають форму$f(x) \leq g(x)$ і$f(x) \geq g(x)$. Причиною такого упущення є той факт, що рішення нерівності$f(x) \leq g(x)$ - це просто об'єднання розв'язків$f(x) = g(x)$ і$f(x) < g(x)$. Адже$\leq$ вимовляється «менше або дорівнює». Подібні коментарі є для того, щоб нерівність$f(x) \geq g(x)$.

Почнемо з порівняння значень функцій двох функцій f і g при різних значеннях x в їх областях.

Порівняння функцій

Припустимо, що ми оцінюємо дві функції f і g при певному значенні x, можливий один з трьох результатів. Або

\[f(x)=g(x), \quad \text { or } \quad f(x)>g(x), \quad \text { or } \quad f(x)<g(x)\]

Це досить просто, щоб порівняти два значення функції в певному значенні, якщо правила наведені для кожної функції.

Приклад$\PageIndex{1}$

Задано$f(x)=x^{2}$ і$g(x) = 2x+3$, порівняйте функції при x = −2, 0 та 3.

Рішення

Прості розрахунки розкривають відносини.

При х = −2,\[f(-2)=(-2)^{2}=4 \quad \text { and } \quad g(-2)=2(-2)+3=-1\] так ясно,$f(−2) > g(−2)$.
При х = 0,\[f(0)=(0)^{2}=0 \quad \text { and } \quad g(0)=2(0)+3=3\] так ясно,$f(0) < g(0)$.
Нарешті, при х = 3,\[f(3)=(3)^{2}=9 \quad \text { and } \quad g(3)=2(3)+3=9\] так ясно,$f(3) = g(3)$.

Ми також можемо порівняти значення функцій при певному значенні x, вивчаючи графіки функцій. Для прикладу розглянемо графіки двох функцій f і g на рис$\PageIndex{1}$.

$WeChat5cf47e963c739b852c15cb0f550adb7d.png$

Малюнок$\PageIndex{1}$

Далі припустимо, що ми проводимо пунктирну вертикальну лінію через точку перетину графіків f і g, потім вибираємо значення х, яке лежить зліва від пунктирної вертикальної лінії, як показано на малюнку$\PageIndex{2}$ (а). Оскільки графік f лежить над графіком g для всіх значень x, які лежать ліворуч від пунктирної вертикальної лінії, це буде так, що$f(x) > g(x)$ для всіх таких x (див. Рис.$\PageIndex{2}$ (a)).

З іншого боку, графік f лежить нижче графіка g для всіх значень x, які лежать праворуч від пунктирної вертикальної лінії. Отже, для всіх таких х буде так$f(x) < g(x)$ (див.$\PageIndex{2}$ Рис.

$WeChat3cfb39ea0bb4091ecc7bd1dd7c2a5f86.png$

Малюнок$\PageIndex{2}$. Порівняння f і g.

Нарешті, якщо ми виберемо значення x точки перетину графіків f і g, то для цього значення x, це так, що f (x) і g (x) рівні; тобто$f(x) = g(x)$ (див. Рис.$\PageIndex{3}$).

$WeChatdd16de88955cc6a801896b479dae0b3f.png$

Малюнок$\PageIndex{3}$. Значення функції f (x) і g (x) рівні там, де графи f і g перетинаються.

Давайте підсумуємо наші висновки.

Резюме

Розв'язок рівняння f (x) = g (x) - це множина всіх х, для яких перетинаються графіки f і g.
Розв'язком нерівності f (x) < g (x) є множиною всіх x, для яких графік f лежить нижче графіка g.
Розв'язком нерівності f (x) > g (x) є множиною всіх x, для яких граф f лежить над графом g.

Давайте розглянемо приклад.

Приклад$\PageIndex{2}$

Враховуючи графіки f та g на рисунку$\PageIndex{4}$ (a), використовуйте як множинні, так і інтервальні позначення для опису розв'язку нерівності f (x) < g (x). Потім знайти розв'язки нерівності f (x) > g (x) і рівняння f (x) = g (x) аналогічним чином.

Рішення

Щоб знайти рішення f (x) < g (x), ми повинні знайти там, де граф f лежить нижче графіка g Проводимо пунктирну вертикальну лінію через точку перетину графіків f і g (див. Рис.$\PageIndex{4}$ (b)), потім відзначимо, що графік f лежить нижче графіка g зліва від цієї пунктирної лінії. Отже, розв'язком нерівності f (x) < g (x) є сукупністю всіх х, що лежать ліворуч від пунктирної лінії. Цей набір затінюється червоним кольором (або у більш товстому стилі ліній при перегляді чорно-білим кольором) на осі x на малюнку$\PageIndex{4}$ (b).

$WeChataace2ba7ef841df3c514d9186e4d10a4.png$

Малюнок$\PageIndex{4}$. Порівняння f і g.

Зауважте, що затінені точки на осі x мають значення x менше 2. Отже, розв'язок f (x) < g (x) дорівнює\[(-\infty, 2)=\{x : x<2\}\]

Подібним чином, розв'язок f (x) > g (x) знаходить, зазначивши, де графік f лежить над графіком g і затінення відповідних значень x на осі x$\PageIndex{5}$ (див. Рис. Рішення f (x) > g (x) є$(2, \infty)$, або альтернативно,$\{x : x>2\}$.

Щоб знайти розв'язок f (x) = g (x), зверніть увагу, де графік f перетинає графік g, потім затінюйте значення x цієї точки перетину на осі x$\PageIndex{5}$ (див. Рис. Тому розчин f (x) = g (x) є$\{x : x = 2\}$. Це не інтервал, тому описувати це рішення інтервальними позначеннями недоцільно.

$WeChatf69da3408cded6003ab90087df726eaf.png$

Малюнок$\PageIndex{5}$. Подальші порівняння.

Давайте розглянемо інший приклад.

Приклад$\PageIndex{3}$

Враховуючи графіки f та g на малюнку$\PageIndex{6}$ (a), використовуйте як множинні, так і інтервальні позначення для опису розв'язку нерівності f (x) > g (x). Потім аналогічним чином знайти розв'язки нерівності f (x) < g (x) і рівняння f (x) = g (x).

$WeChatc1f4ee1472aa92a6c4b5cffd764921db.png$

Малюнок$\PageIndex{6}$. Порівняння f і g.

Рішення

Щоб визначити рішення f (x) > g (x), ми повинні знайти там, де граф f лежить над графіком g Провести пунктирні вертикальні лінії через точки перетину графіків f і g (див. Рис.$\PageIndex{6}$ (b)), потім зауважте, що графік f лежить над графіком g між пунктирними вертикальними лініями просто намальований. Отже, розв'язком нерівності f (x) > g (x) є сукупністю всіх х, що лежать між пунктирними вертикальними лініями. Ми затінювали цю колекцію на осі x червоним кольором (або з більш товстим стилем ліній для тих, хто переглядає чорно-білі) на малюнку$\PageIndex{6}$ (b).

Зауважте, що точки, затінені на осі x на рисунку$\PageIndex{6}$ (b), мають значення x між −2 і 3. Отже, розв'язок f (x) > g (x) дорівнює

\[(-2,3)=\{x :-2<x<3\}\]

Подібним чином, розв'язок f (x) < g (x) знаходить, зазначивши, де графік f лежить нижче графіка g і затінення відповідних значень x на осі x (див. Рис. 7 (а)). Таким чином, розв'язок f (x) < g (x) дорівнює

\[(-\infty,-2) \cup(3, \infty)=\{x : x<-2 \text { or } x>3\}\]

Щоб знайти розв'язок f (x) = g (x), зверніть увагу, де графік f перетинає графік g, і затінюйте значення x кожної точки перетину на осі x$\PageIndex{7}$ (див. Рис. Тому розчином f (x) = g (x) є$\{x : x=-2$ або$x=3\}$. Оскільки цей набір рішень не є інтервалом, було б недоречно описувати його інтервальними позначеннями.

$WeChatf94a07d78d4bdfeed347df56fc118cdb.png$

Малюнок$\PageIndex{7}$. Подальші порівняння.

Розв'язування рівнянь та нерівностей за допомогою графічного калькулятора

Тепер ми знаємо, що розв'язком f (x) = g (x) є множиною всіх х, для яких перетинаються графіки f і g. Тому графічний калькулятор стає незамінним інструментом при вирішенні рівнянь.

Приклад$\PageIndex{4}$

Використовуйте графічний калькулятор для вирішення рівняння

\[1.23 x-4.56=5.28-2.35 x \qquad (6)\]

Рішення

Зверніть увагу, що рівняння (6) має вигляд f (x) = g (x), де

\[f(x)=1.23 x-4.56 \quad \text { and } \quad g(x)=5.28-2.35 x\]

Таким чином, наш підхід буде полягати в тому, щоб намалювати графіки f і g, потім знайти значення x точки перетину.

По-перше, завантажте f (x) = 1.23x − 4,56 у Y1 та g (x) = 5.28 − 2.35x у Y2 у меню Y= вашого графічного калькулятора$\PageIndex{8}$ (див. Рис. Виберіть 6:ZStandard в меню ZOOM, щоб створити графіки на малюнку$\PageIndex{8}$ (b).

$WeChatd0b0f0d6011bf00e1fd391eb1d9981a2.png$

Малюнок$\PageIndex{8}$. Намальовування графіків f (x) = 1,23x−4,56 та g (x) = 5,28 − 2,35x.

Розв'язок рівняння (6) - значення x точки перетину графів f і g на малюнку (\ pageIndex {8}\) (b). Ми будемо використовувати утиліту intersect в меню CALC на графічному калькуляторі для визначення координат точки перетину.

Діємо наступним чином:

Виберіть 2nd CALC (натисніть 2-ю кнопку, а потім кнопку TRACE), що відкриває меню, показане на малюнку (\ pageIndex {9}\) (a).
Виберіть 5: перетин. Калькулятор відповідає розміщенням курсора на одному з графіків, після чого запитує, чи хочете ви використовувати вибрану криву. Ви відповідаєте ствердно натисканням клавіші ENTER на калькуляторі.
Калькулятор відповідає, помістивши курсор на другий графік, потім запитує, чи хочете ви використовувати вибрану криву. Відповісти ствердно натисканням клавіші ENTER.
Калькулятор відповідає, просячи вас зробити припущення. У цьому випадку на калькуляторі є лише два графіки, тому будь-яке припущення.4 Просто натисніть клавішу ENTER, щоб використовувати поточне положення курсора як ваше здогадка.

$WeChatd2b62b69aabb866ba9095491dbaa6888.png$

Малюнок$\PageIndex{9}$. За допомогою утиліти intersect.

Результат цієї послідовності кроків наведено на малюнку$\PageIndex{10}$. Координати точки перетину орієнтовно (2.7486034, −1,179218). Значення x цієї точки перетину є розв'язком рівняння (6). Тобто рішення$1.23x − 4.56 = 5.28 − 2.35x$ становить приблизно$x \approx 2.7486034$.

$WeChat5acaf58697e9d1a68cd1ec5903494a95.png$

Малюнок$\PageIndex{10}$. Координати точки перетину.

Резюме

Керівні принципи.

Вам потрібно буде обговорити очікування з вашим викладачем, але ми очікуємо, що наші студенти підсумують свої результати наступним чином.

1. Налаштуйте систему координат. 6 Позначте та масштабуйте кожну вісь за допомогою xmin, xmax, ymin та ymax.

2. Скопіюйте зображення у вікні перегляду до вашої системи координат. Позначте кожен граф своїм рівнянням.

3. Проведіть пунктирну вертикальну лінію через точку перетину.

4. Заштрихуйте і позначте рішення рівняння на осі х.

Результат дотримання цього стандарту показаний на рис$\PageIndex{11}$.

$WeChat76dd5f3e18a17cfd89214bb2a0cc9cdf.png$

Малюнок$\PageIndex{11}$. Підсумовуючи розв'язок рівняння (6).

Давайте розглянемо інший приклад.

Приклад$\PageIndex{5}$

Використовуйте set-builder та інтервальні позначення для опису розв'язку нерівності

\[0.85 x^{2}-3 \geq 1.23 x+1.25 \qquad (9)\]

Рішення

Зверніть увагу, що нерівність (9) має вигляд$f(x) \geq g(x)$, де

\[f(x)=0.85 x^{2}-3 \quad \text { and } \quad g(x)=1.23 x+1.25\]

Завантажте$f(x)=0.85 x^{2}-3$ і$g(x)=1.23 x+1.25$ в Y1 і Y2 в меню Y= відповідно, як показано на малюнку$\PageIndex{12}$ (а). Виберіть 6:ZStandard в меню ZOOM, щоб створити графіки, показані на малюнку$\PageIndex{12}$ (b).

Щоб знайти точки перетину графіків f і g, ми дотримуємося тієї ж послідовності кроків, що і в прикладі,$\PageIndex{4}$ аж до точки, де калькулятор просить вас зробити припущення (тобто 2nd CALC, 5: перетин, перша крива ENTER, друга крива ENTER). Тому що є дві точки перетину, коли калькулятор просить вас

$WeChata16654192ff2a738f7b86e804533caf1.png$

Малюнок$\PageIndex{12}$. Графіки$f(x)=0.85 x^{2}-3$ і$g(x) = 1.23x + 1.25$.

зробіть припущення, ви повинні перемістити курсор (за допомогою клавіш зі стрілками) так, щоб він знаходився ближче до точки перетину, яку ви хочете знайти, ніж до іншої точки перетину. Використовуючи цю техніку, утворюються дві точки перетину, знайдені на малюнках$\PageIndex{13}$ (a) та (b).

$WeChata934410a27b2db14ebed9e9843700011.png$

Малюнок$\PageIndex{13}$. Точки перетину графіків f і g.

Приблизними координатами першої точки перетину є (−1.626682, −0.7508192). Друга точка перетину має приблизні координати (3.0737411, 5.0307015).

Важливо пам'ятати, що кожен раз, коли ви берете в руки свій калькулятор, ви отримуєте тільки наближення. Цілком можливо, що у вас вийде дещо інший результат для точок перетину. Наприклад, ви можете отримати (−1.626685, −0.7508187) для вашої точки перетину. Виходячи з положення курсора, коли ви позначили криві і зробили свою здогадку, ви можете отримати трохи інші наближення. Зауважте, що це друге рішення майже таке ж, як і те, яке ми знайшли, відрізняється лише останніми кількома знаками після коми, і цілком прийнятне як відповідь.

Тепер ми підсумуємо наші результати шляхом створення системи координат, маркування осей і масштабування осей зі значеннями параметрів вікна xmin, xmax, ymin і ymax. Ми копіюємо зображення в нашому вікні перегляду на цю систему координат, позначаючи кожен граф своїм рівнянням. Потім ми проводимо пунктирні вертикальні лінії через кожну точку перетину, як показано на малюнку$\PageIndex{14}$.

Ми вирішуємо нерівність$0.85 x^{2}-3 \geq 1.23 x+1.25$. Рішенням стане об'єднання розчинів$0.85 x^{2}-3>1.23 x+1.25$ і$0.85 x^{2}-3=1.23 x+1.25$.

Для вирішення відзначимо$0.85 x^{2}-3>1.23 x+1.25$, де граф$y=0.85 x^{2}-3$ лежить над графіком$y=1.23 x+1.25$ і затінюємо відповідні x-значення

$WeChat14007edde4fd9b4136084d71a7803d5c.png$

Малюнок$\PageIndex{14}$. Підводячи підсумки рішення$0.85 x^{2}-3 \geq 1.23 x+1.25$.

на осі х. У цьому випадку графік$y=0.85 x^{2}-3$ лежить над графіком значень x, які лежать поза нашими пунктирними вертикальними лініями.$y=1.23 x+1.25$

Для вирішення відзначимо$0.85 x^{2}-3=1.23 x+1.25$, де граф$y=0.85 x^{2}-3$ перетинає графік$y = 1.23x + 1.25$ і затінює відповідні значення x на осі х. Ось чому точки в$x \approx-1.626682$ і «$x \approx 3.0737411$заповнюються».

Отже, всі значення x, які менші або рівні −1.626682 або більші або рівні 3.0737411, є розв'язками. Тобто рішення нерівності$0.85x^{2} − 3 > 1.23x + 1.25$ приблизно

\[(-\infty,-1.626682] \cup[3.0737411, \infty)=\{x : x \leq-1.626682 \text { or } x \geq 3.0737411\}\]

Порівняння функцій з нулем

Коли ми оцінюємо функцію f при певному значенні x, можливий лише один з трьох результатів. Або

\[f(x)=0, \quad \text { or } \quad f(x)>0, \quad \text { or } \quad f(x)<0\]

Тобто або f (x) дорівнює нулю, або f (x) позитивний, або f (x) негативний. Інших можливостей немає.

Ми могли б почати по-новому, використовуючи абсолютно новий підхід, або ми можемо спиратися на те, що ми вже знаємо. Вибираємо останній підхід. Припустимо, що нас просять порівняти f (x) з нулем? Він дорівнює нулю, він більше нуля, або він менше нуля?

Ставимо g (x) = 0. Тепер, якщо ми хочемо порівняти функцію f з нулем, нам потрібно тільки порівняти f з g, що ми вже знаємо, як це зробити. Щоб знайти де f (x) = g (x), відзначимо, де перетинаються графіки f і g, щоб знайти де f (x) > g (x), відзначимо, де граф f лежить над графом g, і нарешті, щоб знайти, де f (x) < g (x), просто відзначимо, де граф f лежить нижче графа g.

Однак графік g (x) = 0 є горизонтальною лінією, що збігається з віссю x. Дійсно, g (x) = 0 - рівняння осі х. Цей аргумент призводить до наступних ключових результатів.

резюме

Розв'язок f (x) = 0 - це множина всіх x, для яких графік f перетинає вісь x.
Розв'язок f (x) > 0 - це множина всіх x, для яких графік f лежить строго над віссю x.
Розв'язок f (x) < 0 - це множина всіх x, для яких графік f лежить строго нижче осі x.

Наприклад:

Щоб знайти рішення f (x) = 0 на малюнку$\PageIndex{15}$ (a), просто відзначимо, де графік f перетинає вісь x на малюнку$\PageIndex{15}$ (а). Таким чином, розчин f (х) = 0 дорівнює х = 1.
Щоб знайти рішення f (x) > 0 на малюнку$\PageIndex{15}$ (b), ми просто відзначимо, де графік f лежить над віссю x на малюнку$\PageIndex{15}$ (b), яка знаходиться праворуч від вертикальної пунктирної лінії через x = 1. Таким чином, рішення f (x) > 0 є$(1, \infty)=\{x : x>1\}$.
Щоб знайти розв'язок f (x) < 0 на малюнку$\PageIndex{15}$ (c), просто відзначимо, де графік f лежить нижче осі x на малюнку$\PageIndex{15}$ (c), яка знаходиться зліва від вертикальної пунктирної лінії при x = 1. Таким чином, розв'язком f (x) < 0 є$(-\infty, 1)=\{x : x<1\}$.

$WeChate064eb6123054f44be6de9f8477ffaa0.png$

Малюнок$\PageIndex{15}$. Порівняння функції f з нулем.

Далі ми визначимо деяку важливу термінологію.

Визначення

Якщо f (a) = 0, то a називається нулем функції f. графік f перехопить вісь x в точці$(a, 0)$, яка називається x-перехопленням графа f.

У вашому калькуляторі є утиліта, яка допоможе вам знайти нулі функції.

Приклад$\PageIndex{6}$

Використовуйте графічний калькулятор для вирішення нерівності

\[0.25 x^{2}-1.24 x-3.84 \leq 0\]

Рішення

Відзначимо, що ця нерівність має вигляд$f(x) \leq 0$, де$f(x)=0.25 x^{2}-1.24 x-3.84$. Наша стратегія буде полягати в тому, щоб намалювати графік f, а потім визначити, де графік f лежить нижче або на осі x.

Діємо наступним чином:

Спочатку завантажте функцію f (x) = 0.25x 2 − 1.24x − 3,84 у Y1 у меню Y= вашого калькулятора. Виберіть 6:ZStandard в меню ZOOM, щоб створити зображення на малюнку$\PageIndex{16}$ (a).
Натисніть 2nd CALC, щоб відкрити меню, показане на малюнку$\PageIndex{16}$ (b), потім виберіть 2:нуль, щоб запустити утиліту, яка знайде нуль функції (x-перехоплення графіка).
Калькулятор запитує «Ліва межа», тому за допомогою клавіш зі стрілками перемістіть курсор трохи лівіше крайнього лівого перехоплення графіка, як показано на малюнку$\PageIndex{16}$ (c). Натисніть ENTER, щоб записати цю «Ліву межу».
Потім калькулятор запитує «Right Bound», тому використовуйте клавіші зі стрілками, щоб перемістити курсор трохи праворуч від перехоплення x, як показано на малюнку$\PageIndex{16}$ (d). Натисніть клавішу ENTER, щоб записати це «Праворуч».

$WeChat3112110820493acd786886175d0aa36d.png$

Малюнок (\ Індекс сторінки {16}\). Знаходження нульового або x-перехоплення за допомогою калькулятора.

Калькулятор відповідає позначенням лівої та правої меж на екрані, як показано на малюнку (\ pageIndex {17}\) (a), після чого просить вас зробити розумне стартове припущення для нульового або x-перехоплення. Ви можете використовувати клавіші зі стрілками для переміщення курсора до будь-якої точки, доки курсор залишається між позначками ліворуч та праворуч у вікні перегляду. Зазвичай ми просто залишаємо курсор там, де він знаходиться, і натискаємо ENTER, щоб записати цю здогадку. Ми пропонуємо вам зробити це також.
Калькулятор реагує пошуком координат x-перехоплення, як показано на малюнку (\ pageIndex {17}\) (b). Зауважте, що координата x перехоплення дорівнює приблизно −2.157931.
Повторіть процедуру, щоб знайти координати крайнього правого перехоплення x. Результат показаний на малюнку (\ pageIndex {17}\) (c). Зверніть увагу, що x-координата перехоплення дорівнює приблизно 7.1179306.

Завершальним кроком є інтерпретація результатів і запис нашого рішення на нашому домашньому папері. Звертаючись до Резюме 7 Керівництва, ми придумуємо графік, показаний на малюнку (\ pageIndex {18}\).

$WeChat2c95c5a12125f071db4e12efe7e92354.png$

Малюнок (\ Індекс сторінки {17}\). Знаходження нульового або x-перехоплення за допомогою калькулятора.

$WeChat0fcf51efdb4ec64c918ea80ea2cc01c6.png$

Малюнок (\ Індекс сторінки {18}\). Рішення$0.25 x^{2}- 1.24 x-3,84 \leq 0 .$.

Кілька зауважень по порядку. Відзначивши це$f(x)=0.25 x^{2}-1.24 x-3.84$, відзначимо:

Розв'язки f (x) = 0 - це точки, де графік перетинає вісь x. Ось чому точки (−2.157931, 0) та (7.1179306, 0) затінюються та заповнюються малюнком (\ pageIndex {18}\).
Розв'язки f (x) < 0 - це ті значення x, для яких графік f падає строго нижче осі x. Це відбувається для всіх значень x між −2.157931 і 7.1179306. Ці точки також затінені на осі x на малюнку (\ pageIndex {18}\).
Нарешті, рішенням$f(x) \leq 0$ є об'єднання цих двох затінення, які ми описуємо в інтервалі та позначеннях set-builder наступним чином:

\[[-2.157931,7.1179306]=\{x :-2.157931 \leq x \leq 7.1179306\}\]