13.1: Вступ до коніків

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58350

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Нагадаємо, відрізок лінії - це лінія з двома точками на кожному кінці:

Візьмемо цей відрізок лінії і розмістимо його на декартовій координатній площині:

Ми бачимо, що як тільки ми розміщуємо відрізок лінії на декартовій координатній площині, точки\(A\) і\(B\) матимуть\(x\) і\(y\) координати. Давайте подивимося координати замість\(A\) і\(B\):

Оскільки відрізок лінії має кінцеві точки, в яких розташовані впорядковані пари, ми можемо знайти відстань цього відрізка лінії. Насправді, якби ми використовували теорему Піфагора, щоб знайти цю довжину, ми б отримали довжину\(\sqrt{65}\):

Теорема Піфагора:\(a^2+b^2=c^2\)

\[\begin{aligned}a^2+b^2&=c^2 \\ 7^2+4^2&=c^2 \\ 49+16&=c^2 \\ 65&=c^2 \\ \sqrt{65}&=c\end{aligned}\]

Наступний крок - знайти більш складний спосіб знайти відстань між будь-якими двома точками незалежно від місця розташування. Знайдіть хвилинку, щоб подумати про це. Якщо дві точки знаходяться в\((−100, 2000)\) і\((300, 5000)\), ми збираємося намалювати прямокутний трикутник, який великий, щоб застосувати теорему Піфагора? Ні в якому разі! Давайте працювати розумніше і не складніше. Давайте розміщуємо дві загальні точки, де ми мали,\((−4, −1)\)\((3, 3)\) і застосуємо теорему Піфагора, щоб знайти гіпотенузу:

Теорема Піфагора:\(a^2+b^2=c^2\)

\[\begin{aligned}a^2+b^2&=c^2 \\ (x_2-x_1)^2 +(y_2-y_1)^2 &=c^2 \\ \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}&=c\end{aligned}\]

Таким чином, ми знайшли узагальнену формулу для отримання відстані між будь-якими двома точками на декартовій координатній площині.

Формула відстані

Задано дві точки,\((x_1, y_1)\) а\((x_2, y_2)\) на відрізку лінії відстань\(d\),, від\((x_1, y_1)\) до\((x_2, y_2)\) задається

\[d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\nonumber\]

Приклад Template:index

Знайти відстань між точками\((−2, 1)\) і\((1, 2)\). Залиште свою відповідь в точній формі, тобто ваша відповідь повинна містити квадратний корінь.

Рішення

Щоб знайти відстань між точками\((−2, 1)\) і\((1, 2)\), ми можемо застосувати формулу відстані:

\[\begin{aligned}d&=\sqrt{(1-(-2))^2+(2-1)^2} \\ &=\sqrt{(3)^2+(1)^2} \\ &=\sqrt{9+1} \\ &=\sqrt{10}\end{aligned}\]

Так як напрямки наполягали ми залишаємо відповідь в точній формі, то йдемо\(d=\sqrt{10}\).

Примітка

При вивченні евклідової геометрії ми називаємо цей (найпоширеніший) тип відстані Евклідової відстані, оскільки він походить від теореми Піфагора, яка не тримається в неевклідових геометріях. Евклідова відстань між двома об'єктами також може бути узагальнена до випадку, коли об'єкти вже не є точками, а є більш високими вимірними многовидами, такими як космічні криві.

Формула середньої точки

Якщо ми можемо обчислити відстань між двома точками, то ми, звичайно, повинні бути в змозі знайти середину між двома точками. Насправді все, що ми робимо, це обчислити середнє між відповідними координатами, тобто\(x\) координата середньої точки - це середнє значення двох заданих\(x\) координат в упорядкованих парах\((x_1, y_1)\) і\((x_2, y_2)\):

\[x_m=\dfrac{x_1+x_2}{2}\nonumber\]

Аналогічно для\(y\) координати середньої точки це середнє значення двох заданих\(y\) координат у впорядкованих парах\((x_1, y_1)\) і\((x_2, y_2)\):

\[y_m=\dfrac{y_1+y_2}{2}\nonumber\]

Формула середньої точки

Задано дві точки,\((x_1, y_1)\) а\((x_2, y_2)\) на відрізку лінії середина\(m\), від\((x_1, y_1)\) до\((x_2, y_2)\) задається

\[(x_m,y_m)=\left(\dfrac{x_2+x_1}{2},\dfrac{y_2+y_1}{2}\right)\nonumber\]

Приклад Template:index

Знайти середину відрізка лінії від\((−4, 2)\) до\((2, −3)\).

Рішення

Щоб знайти середину між точками\((−4, 2)\) і\((2, −3)\), ми можемо застосувати формулу середньої точки для кожної координати:

\[\begin{aligned} (x_m,y_m)&=\left(\dfrac{x_2+x_1}{2},\dfrac{y_2+y_1}{2}\right) \\ &=\left(\dfrac{2+(-4)}{2},\dfrac{(-3)+2}{2}\right) \\ &=\left(\dfrac{-2}{2},\dfrac{-1}{2}\right) \\ &=\left(-1,-\dfrac{1}{2}\right)\end{aligned}\]

Таким чином, середина між\((−4, 2)\) до\((2, −3)\) є\(\left(-1,-\dfrac{1}{2}\right)\).

Побудова конічного

Щоб зрозуміти ідею коніків, ми починаємо з звичної всім нам форми, правильного кругового конуса. Давайте розглянемо правильний круглий конус:

Далі ми можемо взяти площину і прорізати конус так, щоб площина була паралельна підставі конуса:

Коли ми взяли площину і розрізали конус так, щоб площина була паралельна основі конуса, зверніть увагу, що ми зробили звичну форму - коло. Ого! Так круто, правда? Спробуємо ще один. Візьмемо площину і розрізаємо конус так, щоб площина була паралельна конусу:

Коли ми взяли площину і розрізали конус так, щоб площина була паралельна конусу, зверніть увагу, що ми зробили іншу звичну форму. Насправді, ми знаємо цей конічний дуже добре з попередньої глави - параболи. Дивовижний! Все, що ми зробили, це взяли правильний круглий конус, прорізали його площиною, а потім отримали два дуже відомих коніка.

Коніки

Якщо беремо правильний круглий конус і розрізаємо конус так, щоб площина була паралельна

підставу конуса, потім отримуємо коло.
протилежну сторону конуса, потім отримуємо параболу.

Примітка

Є ще дві коніки, еліпс і гіпербола, які є двома іншими видами розрізів з конуса. Однак ми обговорюємо лише коло та параболу в цьому підручнику. Еліпс і гіпербола обговорюються в майбутньому курсі математики.