12.5: Розв'язування експоненціальних та логарифмічних рівнянь
- Page ID
- 58424
Незважаючи на те, що ми вже обговорювали рішення деяких експоненціальних та логарифмічних рівнянь, нам ще належить обговорити рішення експоненціальних та логарифмічних рівнянь з незвичайними основами та застосування всіх властивостей. Почнемо з базової властивості логарифмів, подібної до властивості експоненціальних рівнянь із загальними основами. Так як логарифм один до одного, отримуємо наступне.
Розв'язувати логарифмічні рівняння за допомогою властивостей логарифмів
Якщо\(a\),\(M\),\(N>0\), і\(a\neq 1\), то
\[\log_a M=\log_a N\quad\text{implies}\quad M=N\nonumber\]
Вирішити для\(x:\: 2\log_7x=\log_7 16\)
Рішення
Оскільки основа з обох сторін знака рівності є\(7\), то ми можемо переписати рівняння з кожної\(\log_7\) сторони без коефіцієнтів перед логарифмами.
\[\begin{array}{rl} \color{blue}{2}\color{black}{\log_7}x=\log_7 16 &\text{Apply the power property of logarithms} \\ \log_7 x^{\color{blue}{2}}\color{black}{=}\log_7 16&\text{Common base, no coefficients, equate values} \\ x^2=16 &\text{Solve for }x \\ x^2-16=0&\text{Factor} \\ (x+4)(x-4)=0 &\text{Apply zero product rule} \\ x+4=0\quad\text{or}\quad x-4=0 &\text{Isolate }x \\ \cancel{x=-4 }\quad\text{or}\quad x=4 &\text{STOP Recall the domain of logarithms}\end{array}\nonumber\]
Оскільки область логарифмічних функцій - це всі значення більше нуля, то ми усуваємо\(x = −4\) як рішення і маємо\(x = 4\) як єдине рішення рівняння. Таким чином,\(x = 4\) є рішення.
Вирішити для\(x:\:\log_4 (x+6)+\log_4 x=2\).
Рішення
Нам доведеться використовувати властивості логарифмів, як це видно в попередньому розділі, і визначення логарифма для вирішення цієї проблеми. Є багато кроків, але поки ми організовані, ми зможемо отримати рішення. Спочатку використовуємо властивість добутку логарифмів, щоб переписати ліву частину як добуток:
\[\log_4 (x+6)+\log_4 x=\log_4((x+6)\cdot x)=\log_4 (x^2+6x)\nonumber\]
Далі перепишемо рівняння, використовуючи вищевказане і визначення логарифма:
\[\begin{array}{rl} \log_4(x+6)+\log_4x=2 &\text{Apply the product property of logarithms} \\ \log_4(x^2+6x)=2 &\text{Rewrite in exponential form} \\ x^2+6x=4^2 & \text{Simplify }4^2 \\ x^2+6x=16 &\text{Solve for }x \\ x^2+6x-16=0 &\text{Factor} \\ (x+8)(x-2)=0 & \text{Apply the zero product rule} \\ x+8=0\quad\text{or}\quad x-2=0 &\text{Isolate }x \\ \cancel{x=-8}\quad\text{or}\quad x=2 &\text{STOP Recall the domain of logarithms}\end{array}\nonumber\]
Зверніть увагу,\(x = −8\) не може бути рішенням рівняння, оскільки значення логарифмів не може бути від'ємним. Таким чином,\(x = 2\) є розв'язком рівняння
Вирішити експоненціальні рівняння
Для розв'язання експоненціальних рівнянь з рідкісними основами переписуємо рівняння в їх логарифмічному вигляді. Загалом, ми повинні прирівняти показники, коли ми можемо, але тоді логарифмічна форма інакше.
Вирішити\(2^x = 7\). Дайте точну відповідь, а потім скористайтеся калькулятором, щоб наблизити точну відповідь до чотирьох знаків після коми.
Рішення
Коли\(x\) знаходиться в експоненті, єдиним способом\(x\) збити до базової позиції є використання визначення логарифма. Ми часто використовуємо це визначення, коли хочете перемикатися між логарифмічною та експоненціальною формою.
\[\begin{array}{rl}2^x =7 &\text{Uncommon bases, rewrite in logarithmic form} \\ \log_2 7=x &\text{Exact answer}\end{array}\nonumber\]
Точна відповідь є\(x = \log_2 7\). Щоб наблизити це значення, ми повинні використовувати формулу Change of Base (COB):
\[\log_2 7=\dfrac{\log 7}{\log 2}\nonumber\]
Поклавши це в калькулятор, отримуємо\(\dfrac{\log 7}{\log 2}\approx 2.8074\). Таким чином, точна відповідь є\(x=\log_2 7\), а приблизна відповідь -\(x=2.8074\).
Вирішити\(2e^{ x+5 }= 5\). Дайте точну відповідь, а потім скористайтеся калькулятором, щоб наблизити точну відповідь до чотирьох знаків після коми.
Рішення
Оскільки ми бачимо, що основа експоненціального рівняння є\(e\), то це лампочка для нас, щоб використовувати натуральну логарифмічну функцію при використанні визначення логарифма. Спочатку виділимо експоненціальне рівняння діленням кожної сторони на\(2\), потім переписуємо твердження, використовуючи визначення логарифма.
\[\begin{array}{rl} 2e^{x+5}=5 &\text{Divide each side by a factor }2 \\ e^{x+5}=\dfrac{5}{2}&\text{Uncommon bases, rewrite in logarithmic form} \\ \log_e\left(\dfrac{5}{2}\right)=x+5 &\text{Rewrite }\log_e\text{ as }\ln \\ \ln\left(\dfrac{5}{2}\right)=x+5 &\text{Isolate }x \\ \ln\left(\dfrac{5}{2}\right)-5=x &\text{Exact answer}\end{array}\nonumber\]
Зверніть увагу,\(x=\ln\left(\dfrac{5}{2}\right)-5\) це точне рішення. Щоб наблизити це значення, ставимо це безпосередньо в калькулятор. Отже, отримуємо\(\ln\left(\dfrac{5}{2}\right)-5\approx -4.0837\). Таким чином, точна відповідь є\(x=\ln\left(\dfrac{5}{2}\right)-5\), а приблизна відповідь -\(x = −4.0837\).
У прикладі Template:index нам не потрібно було використовувати формулу COB, оскільки вона\(\boxed{\ln}\) вбудована безпосередньо в науковий калькулятор. Якщо базою є будь-яке число\(e\), крім, нам доведеться використовувати COB перед тим, як поставити значення в калькулятор. У наш час деякі калькулятори мають\(\boxed{\log}\) кнопку, в яку\(e\) можна вводити різні бази, крім\(10\) і. Це лише питання бренду калькулятора та визначення цієї функції.
Ми також можемо взяти логарифм кожної сторони експоненціального рівняння, як ми це робили при розробці Формули зміни бази, для вирішення експоненціальних рівнянь.
Вирішити\(4^{7x} = 15\). Дайте точну відповідь, а потім скористайтеся калькулятором, щоб наблизити точну відповідь до чотирьох знаків після коми.
Рішення
Ми можемо взяти загальний логарифм кожної сторони і вирішити рівняння.
\[\begin{array}{rl} 4^{7x}=15 &\text{Take common logarithm of each side} \\ \log 4^{7x}=\log 15 &\text{Apply power rule of logarithms} \\ 7x\log 4=\log 15&\text{Isolate }x\text{ by dividing each side by }7\log 4 \\ x=\dfrac{\log 15}{7\log 4}&\text{Exact answer}\end{array}\nonumber\]
Зверніть увагу,\(x = \dfrac{\log 15}{ 7 \log 4}\) це точне рішення. Щоб наблизити це значення, ставимо це безпосередньо в калькулятор. Отже, отримуємо\(\dfrac{\log 15}{7\log 4}\approx 0.2971\). Таким чином, точна відповідь є\(x=\dfrac{\log 15}{7\log 4}\), а приблизна відповідь -\(x = 0.2791\).
Додатки з експоненціальними функціями
Період напіввиведення для плутонію-239 становить 24 360 років. Кількість\(A\) (в грамах) плутонію-239 через\(t\) роки для однограмової проби дається по\(A(t) = 1\cdot 0.5^{t/24,360}\). Скільки часу пройде, перш ніж залишиться\(0.6\) грам\(239\) плутонію?
Рішення
Зверніть увагу, що питання говорить, як довго. Значить, нам потрібно знайти час\(t\), на задану суму\(A\). Зокрема,\(A = 0.6\). Plug-n-chug\(A = 0.6\) в задану функцію отримуємо
\[\begin{array}{rl} A(t)=1\cdot 0.5^{t/24,360}&\text{Replace }A(t)=0.6 \\ 0.6=1\cdot 0.5^{t/24,360}&\text{Simplify} \\ 0.6=0.5^{t/24,360}&\text{Rewrite in logarithmic form} \\ \log_{0.5}0.6=\dfrac{t}{24,360} &\text{Isolate }t \\ t=24,360\cdot\log_{0.5}0.6 &\text{Rewrite using COB} \\ t=24,360\cdot\dfrac{\log 0.6}{\log 0.5}&\text{Exact time} \\ t\approx 17,952 &\text{Approximate time}\end{array}\nonumber\]
Таким чином, знадобиться близько 17 952 років, щоб плутоній-239\(0.6\) досяг грамів.
Вирішити експоненціальні та логарифмічні рівняння
Розв'яжіть рівняння.
\(\log_5 (x+2)-\log_5 (x-3)=3\)
\(\ln 60-\ln x=\ln (x-4)\)
\(\log_8 x=\log_8 6\)
\(\log x+\log (x+1)=\log 72\)
\(\log x+\log (x-1)=\log 72\)
\(\log (3x-8)-\log 9x=2\)
\(\log_11 (5x-6)+\log_11 x=1\)
Розв'яжіть рівняння. Дайте точне рішення і приблизне рішення до чотирьох знаків після коми.
\(3^{x+7}=7\)
\(2^{8x}=3.6\)
\(10\cdot 2^x=11\)
\(\dfrac{1}{8}\cdot 5^{9x}=4.9\)
Період напіввиведення по торію-227 становить 18,72 дня. Кількість\(A\) (в грамах) торію-239 через\(t\) роки для\(10\) -грамової проби задається
\[A(t)=10\cdot 0.5^{\dfrac{t}{18.72}}\nonumber\]
Скільки часу пройде, перш ніж в зразку залишиться 4 грами торію-227? Округляйте свою відповідь на соті місця.
За даними Бюро перепису населення США, населення Сполучених Штатів у 2008 році становило 304 мільйони чоловік. Крім того, населення Сполучених Штатів росло зі швидкістю\(1.1\%\) в рік. Якщо припустити, що цей темп зростання є безперервним, модель
\[P(t)=304\cdot (1.011)^{t-2008}\nonumber\]
представляє населення\(P\) (в мільйоні людей) в рік\(t\). Згідно з моделлю, коли населення становитиме 404 мільйони чоловік? Обов'язково округляйте свою відповідь до найближчого цілого року.
Формула\(y = 1 + 1.5 \ln(x + 1)\) моделює середню кількість штрафних кидків, які баскетболіст може зробити послідовно під час тренування як функція часу, де\(x\) кількість днів поспіль, які баскетболіст практикував протягом двох годин. Через скільки днів практики баскетболіст може зробити в середньому 8 послідовних штрафних кидків?
Закон охолодження Ньютона стверджує, що температура нагрітого об'єкта з часом зменшується в геометричній прогресії до температури навколишнього середовища. Припустимо, що кава подається при температурі\(143^{\circ}\text{F}\) і поміщається в приміщення, температура якого є\(70^{\circ}\text{F}\). Температура\(µ\) (в\(^{\circ}\text{F}\)) кави за часом\(t\) (в хвилинах) може бути змодельована\(µ(t) = 70 + 73e^{−0.07t}\). Коли буде температура\(105^{\circ}\text{F}\)?