12.4: Властивості логарифму

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58417

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У цьому розділі ми беремо логарифми на крок далі і обговоримо властивості логарифмів. Оскільки логарифми є показниками, і ми маємо багато властивостей експоненти, як ми дізналися в розділі Поліноми, має сенс, що ми маємо подібні властивості для логарифмів. Наприклад, якщо добуток двох множників з однаковою базою призводить до суми їх показників, то ми маємо властивість добутку логарифмів; якщо частка двох множників з однаковою базою призводить до різниці їх показників, то ми маємо часткову властивість логарифмів; аналогічний випадок для правило потужності логарифмів.

Розуміння властивостей логарифмів

Властивість добутку логарифмів

Логарифм добутку - це сума логарифмів:

\[\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N\nonumber\]

де\(a\) знаходиться база,\(a > 0\) і\(a\neq 1\), і\(M,\: N > 0\).

Приклад Template:index

Перепишіть як суму логарифмів:\(\log_3 (6\cdot 5)\)

Рішення

Оскільки\(3\) є основою\(6\) і\(5\) є факторами, ми бачимо в формулі\(\log_a (MN)\),\(a = 3\),\(M = 6\), і\(N = 5\). Отже,

\[\log_3 (6\cdot 5)=\log_3 6+\log_3 5\nonumber\]

Приклад Template:index

Перепишіть як суму логарифмів:\(\ln(2k)\)

Рішення

Оскільки\(e\) є базою і\(2\) і\(k\) є факторами (ви бачите це, коли ми пишемо\(2k\) як\(2\cdot k\)), ми бачимо в формулі\(\log_a (MN)\),\(a = e\),\(M = 2\), і\(N = k\). Отже,

\[\ln(2k) = \log_e (2\cdot k) = \log_e 2 + \log_e k = \ln 2 + \ln k\nonumber\]

Частна властивість логарифмів

Логарифм частки - це різниця логарифмів:

\[\log_a \left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_a M − \log_a N\nonumber\]

де\(a\) знаходиться база,\(a > 0\) і\(a\neq 1\), і\(M,\: N > 0\).

Приклад Template:index

Перепишіть як різницю логарифмів:\(\log_3\left(\dfrac{7}{5}\right)\)

Рішення

Оскільки\(3\) є основою,\(7\) є чисельником, і\(5\) є знаменником, ми бачимо в формулі\(\log_a\left(\dfrac{M}{N}\right)\),\(a = 3\),\(M = 7\), і\(N = 5\). Отже,

\[\log_3\left(\dfrac{7}{5}\right)=\log_3 7-\log_3 5\nonumber\]

Примітка

Слідкуйте за тим, щоб значення колоди після знака мінус - це значення знаменника дробу.

Приклад Template:index

Перепишіть як різницю логарифмів:\(\ln\left(\dfrac{7}{2}\right)\)

Рішення

Оскільки\(e\) є основою,\(7\) є чисельником, і\(2\) є знаменником, ми бачимо в формулі\(\log_a\left(\dfrac{M}{N}\right)\),\(a = e\),\(M = 7\), і\(N = 2\). Отже,

\[\ln\left(\dfrac{7}{2}\right)=\log_e\left(\dfrac{7}{2}\right)=\log_e 7-\log_e 2=\ln 7-\ln 2\nonumber\]

Власність потужності логарифмів

Логарифм степеня - добуток степеня і логарифма:

\[\log_a M^p =p\log_a M\nonumber\]

де\(a\) знаходиться база,\(a>0\) і\(a\neq 1\), і\(M>0\).

Приклад Template:index

Перепишіть всі повноваження як фактори:\(\log_7 2^4\).

Рішення

Так як\(4\) це харчування\(2\) увімкнено, то ми можемо\(4\) збити перед колодою:

\[\begin{aligned}\log_7 2^{\color{blue}{4}}& \color{black}{=}\color{blue}{4}\color{black}{\cdot}\log_7 2 \\ &=4\log_7 2\end{aligned}\]

Помітити\(4\) і\(\log_7 2\) стати факторами.

Приклад Template:index

Перепишіть всі повноваження як фактори:\(\ln x^{\sqrt{2}}\).

Рішення

Оскільки\(\sqrt{2}\) це харчування увімкнено\(x\), то ми можемо\(\sqrt{2}\) збити перед\(\ln\):

\[\begin{aligned}\ln x^{\color{blue}{\sqrt{2}}}&\color{black}{=}\color{blue}{\sqrt{2}}\color{black}{\cdot}\ln x \\ &=\sqrt{2}\ln x\end{aligned}\]

Помітити\(\sqrt{2}\) і\(\ln x\) стати факторами.

Інші властивості логарифмів

Ось кілька інших властивостей логарифмів, які ми вважаємо корисними при спрощенні. Нагадаємо, ми використовуємо ці властивості, щоб мати кращу техніку, коли нам доводиться вирішувати рівняння з логарифмами.

Інші властивості логарифмів

Якщо\(a\)\(M>0\), і\(a\neq 1\), то

\[\log_a 1=0\quad \log_a a=1\nonumber\]

\[a^{\log_a M}=M\quad \log_a a^r=r\nonumber\]

Приклад Template:index

Оцініть кожен логарифм.

\(\log_5 1\)
\(\log 10\)
\(\log 10^{-4}\)
\(12^{\log_{12}\sqrt{12}}\)

Рішення

Так як нам потрібно знайти\(5^? = 1\), то по першій властивості ми знаємо результат дорівнює нулю. Таким чином,\(\log_5 1 = 0\).
По-перше, колода не має видимого підстави. За замовчуванням ми використовуємо загальний логарифм і припускаємо, що основа є\(10\). Отже, так як нам потрібно знайти\(10^? = 10\), то за другим властивістю ми знаємо результат один. Таким чином,\(\log 10 = 1\).
По-перше, колода не має видимого підстави. За замовчуванням ми використовуємо загальний логарифм і припускаємо, що основа є\(10\). Отже, так як нам потрібно знайти\(10^? = 10^{−4}\), то за останнім властивістю ми знаємо результат\(−4\). Таким чином,\(\log 10^{−4} = −4\).
Якщо ми перепишемо це в логарифмічній формі, ми\[\log_{12}?=\log_{12}\sqrt{12}\nonumber\] отримуємо Ми можемо легко побачити, якщо це твердження має бути істинним, то\(? =\sqrt{12}\). Також за третім властивістю ми знаємо результат\(\sqrt{12}\). Таким чином,\(12^{\log_{12}\sqrt{12}}=\sqrt{12}\).

Розгорнути і стиснути логарифми

Обговорюються розширення та скорочення логарифмічних виразів як частина застосування властивостей. У майбутньому розділі ми застосовуємо ці властивості для вирішення логарифмічних рівнянь.

Емпіричні правила розширення логарифмів

При розширенні логарифмів з одного виразу обов'язково записуйте всі логарифми

Правило 1. Продукція як суми

Правило 2. Коефіцієнти як відмінності

Правило 3. Повноваження як фактори

Ми використовуємо порядок операцій при розширенні виразу і застосовуємо властивість power, а потім властивості продукту і частки- в такому порядку.

Приклад Template:index

Розгорніть логарифм, переписуючи як суму або різницю логарифмів зі ступенями як множниками.

\[\log\left(\dfrac{1000\sqrt{x}}{y}\right)\nonumber\]

Рішення

Ми бачимо частку для значення логарифма, тому ми передбачаємо, що ми будемо використовувати часткове властивість логарифмів. Якщо ми подивимося ближче на чисельник, то побачимо, що є добуток двох факторів. Отже, ми також будемо використовувати властивість добутку логарифмів. Крім того, нам доведеться використовувати властивість power логарифмів.

\[\begin{array}{rl} \log\left(\dfrac{1000\sqrt{x}}{y}\right) &\text{Apply quotient property of logarithms} \\ \log(1000\cdot\sqrt{x})-\log y&\text{Apply product property of logarithms} \\ \log 1000 +\log(\sqrt{x})-\log y&\text{Rewrite }\sqrt{x}\text{ as }x^{1/2} \\ \log 1000+\log x^{1/2}-\log y &\text{Apply power property of logarithms} \\ \log 1000+\dfrac{1}{2}\log x-\log y &\text{Expanded logarithmic expression}\end{array}\nonumber\]

Зверніть увагу, ми повинні були переписати,\(\sqrt{x}\) як для\(x^{1/2}\) того, щоб побачити там була влада на,\(x\) в якому ми повинні були використовувати властивість продукту логарифмів, щоб збити його як фактор. Таким чином, всі продукти записуються як суми, всі коефіцієнти записуються як відмінності, а всі повноваження записуються як коефіцієнт

Емпіричні правила для укладання логарифмів

При стисненні логарифмів з одного виразу обов'язково запишіть будь-який

Правило 1. Кратний логарифму як степені аргументу

Правило 2. Суми логарифмів як логарифм добутку

Правило 3. Відмінності логарифмів як логарифма частки

Приклад Template:index

Запишіть\(\log_2 9 + 2 \log_2 x − \log_2 (x − 4)\) як єдиний логарифм

Рішення

Відразу, ми бачимо суму і різницю з логарифмами, тому ми знаємо, що ми будемо використовувати частку і добуток властивість логарифмів. Крім того, нам доведеться використовувати властивість power логарифмів.

\[\begin{array}{rl} \log_2 9+\color{red}{2}\color{black}{\log_2}x-\log_2(x-4)&\text{Apply power property of logarithms} \\ \color{blue}{\log_2 9+\log_2 x}\color{red}{^{2}}\color{black}{-}\log_2(x-4)&\text{Apply product property of logarithms} \\ \color{blue}{\log_2 9x^2}\color{black}{-}\log_2 (x-4)&\text{Apply quotient property of logarithms} \\ \log_2\left(\dfrac{9x^2}{x-4}\right)&\text{Contracted logarithmic expression}\end{array}\nonumber\]

Зверніть увагу, ми повинні були переписати,\(2 \log_2 x\) як для\(\log_2 x^2\) того, щоб побачити там була влада на,\(x\) в якому ми повинні були використовувати властивість продукту логарифмів, щоб написати\(2\) як показник. Таким чином, всі фактори записуються як повноваження, всі суми записуються як продукти, а всі відмінності пишуться у вигляді коефіцієнтів.

Примітка

Шотландський математик Джон Нейпір опублікував своє відкриття логарифмів в 1614 році. Його метою було надання допомоги в множенні величин, які тоді називалися синусами. Цілим синусом було значення сторони прямокутного трикутника з великою гіпотенузою.

Зміна базової формули

la Іноді нам потрібно вміти переписати логарифми з точки зору інших баз. Це особливо корисно при підрахунку в різних системах числення. Наприклад, в комп'ютерній мові ми вважаємо в двійковій системі числення, базі\(2\). Ми можемо використовувати зміну базової формули для перезапису чисел у різних базах, і це особливо корисно в інформатиці. Однак у цьому підручнику ми дізнаємося про зміну базової формули для загальних і натуральних основ логарифму, тобто основи\(10\) та основи\(e\).

Візьмемо просте загальне експоненціальне рівняння\(a^y = M\). Зазвичай ми переписуємо його логарифмічну форму як\(y = \log_a M\). Ну, тепер давайте вирішимо для,\(y\) взявши загальний логарифм, журнал, в кожну сторону:

\[\begin{array}{rl} a^y=M &\text{Take common logarithm to each side} \\ \log a^y =\log M&\text{Apply the power rule of logarithms} \\ y\log a=\log M&\text{Solve for }y \\ y=\dfrac{\log M}{\log a}&\text{This is the change of base formula}\end{array}\nonumber\]

Зміна базової формули

Якщо\(a\),\(b\),\(M>0\), і\(a\),\(b\neq 1\), то

\[\log_a M=\dfrac{\log M}{\log a}\quad\text{or}\quad \log_a M=\dfrac{\ln M}{\ln a}\nonumber\]

де log - загальний логарифм, а ln - натуральний логарифм. Ми можемо або формулювати, і отримати той же результат.

Приклад Template:index

Перепишіть вираз за допомогою формули Change of Base, а потім наблизьте відповідь до трьох знаків після коми.

\[\log_2 9\nonumber\]

Рішення

Ми хотіли б наблизити це значення за допомогою калькулятора, але ми не можемо легко ввести логарифм в базу\(2\). Ми повинні переписати,\(\log_2 9\) щоб ми могли легко ввести його в калькулятор. Тут стане в нагоді формула «Зміна бази» (COB). Зверніть увагу на базу\(a = 2\) і значення\(M = 9\). Використовуючи формулу COB, переписуємо\(\log_2 9\) як

\[\log_{\color{red}{2}}\color{blue}{9}\color{black}{=}\dfrac{\log\color{blue}{9}}{\log\color{red}{2}}\nonumber\]

Нагадаємо, log - це загальний логарифм,\(\log_{10}\). Вставляючи\(\dfrac{\log 9}{\log 2}\) в калькулятор, ми наближаємо\(3.170\).

Примітка

Ми могли б легко використовувати натуральний логарифм у формулі COB і отримали б той самий результат. Немає необхідності використовувати обидві формули - вистачить однієї.