12.3: Логарифмічні функції
- Page ID
- 58422
Обернені функції експоненціальних функцій є логарифмічними функціями, тобто якщо ми склали логарифмічну функцію з експоненціальною функцією (або навпаки) і результат є\(x((f\circ g)(x)=x\), то логарифмічна та експоненціальна функції є оберненнями один одного. Вивчення логарифмів особливо цікаво в багатьох аспектах алгебри, і навіть в просунутій алгебрі, оскільки вони є однією з найбільш корисних функцій. У цьому розділі ми вводимо логарифми.
Логарифмічна функція позначається
\[y = \log_{a} x\text{ which is equivalent to }x = a^y,\nonumber\]
де\(a > 0\) і\(a\neq 1\). Базою\(a,\: y\) є показник, і\(x\) є значенням.
Рівняння\(y = \log_a x\) називається логарифмічною формою і\(x = a^y\) називається експоненціальною формою.
Коли ми переписуємо рівняння в логарифмічній та експоненціальній формі, ми можемо подивитися на рівняння більш загальним чином, щоб було очевидно, де ми розміщуємо параметри:
\[\color{blue}{\text{exponent}}\color{black}{=}\log_{\color{red}{\text{base}}}\color{GreenYellow}{\text{value}}\color{black}{\quad}which\: is\: equivalent\: to\quad\color{GreenYellow}{\text{value}}\color{black}{=}\color{red}{\text{base}}^{\color{blue}{\text{exponent}}}\nonumber\]
Запишіть в логарифмічній та експоненціальній формі
Запишіть кожне експоненціальне рівняння в його еквівалентній логарифмічній формі.
- \(m^3=5\)
- \(7^2=b\)
- \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^4=\dfrac{16}{81}\)
Рішення
Спочатку починаємо визначати базу, показник і значення. Потім переписуємо рівняння в логарифмічному вигляді.
- У\(m^3 = 5\) рівнянні ми\(m\) ідентифікуємо\(3\) це база, є показником, і\(5\) є значенням.
\[\color{blue}{3}\color{black}{=}\log_{\color{red}{m}}\color{GreenYellow}{5}\color{black}{\quad} which\: is\: equivalent\: to\quad\color{GreenYellow}{5}\color{black}{=}\color{red}{m}^{\color{blue}{3}}\nonumber\] - У\(7^2 = b\) рівнянні ми\(7\) ідентифікуємо\(2\) це база, є показником, і\(b\) є значенням.
\[\color{blue}{2}\color{black}{=}\log_{\color{red}{7}}\color{GreenYellow}{b}\color{black}{\quad} which\: is\: equivalent\: to\quad\color{GreenYellow}{b}\color{black}{=}\color{red}{7}^{\color{blue}{2}}\nonumber\] - У\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^4=\dfrac{16}{81}\) рівнянні ми\(\dfrac{2}{3}\) ідентифікуємо\(4\) це база, є показником, і\(\dfrac{16}{81}\) є значенням.
\[\color{blue}{4}\color{black}{=}\log_{\color{red}{\dfrac{2}{3}}}\color{GreenYellow}{\dfrac{16}{81}}\color{black}{\quad} which\: is\: equivalent\: to\quad\color{GreenYellow}{\dfrac{16}{81}}\color{black}{=}\color{red}{\left(\dfrac{2}{3}\right)}^{\color{blue}{4}}\nonumber\]
Запишіть кожне логарифмічне рівняння в еквівалентній експоненціальній формі
- \(\log_x 16=2\)
- \(\log_3 x=7\)
- \(\log_9 3=x\)
Рішення
Спочатку починаємо визначати базу, показник і значення. Потім перепишемо рівняння в експоненціальному вигляді.
- У\(\log_x 16 = 2\) рівнянні ми\(x\) ідентифікуємо\(2\) це база, є показником, і\(16\) є значенням.
\[\color{GreenYellow}{16}\color{black}{=}\color{red}{x}^{\color{blue}{2}}\color{black}{\quad}which\: is\: equivalent\: to\quad\color{blue}{2}\color{black}{=}\log_{\color{red}{x}}\color{GreenYellow}{16}\nonumber\] - У\(\log_3 x = 7\) рівнянні ми\(3\) ідентифікуємо\(7\) це база, є показником, і\(x\) є значенням.
\[\color{GreenYellow}{x}\color{black}{=}\color{red}{3}^{\color{blue}{7}}\color{black}{\quad}which\: is\: equivalent\: to\quad\color{blue}{7}\color{black}{=}\log_{\color{red}{3}}\color{GreenYellow}{x}\nonumber\] - У\(\log_9 3 = x\) рівнянні ми\(9\) ідентифікуємо\(x\) це база, є показником, і\(3\) є значенням.
\[\color{GreenYellow}{3}\color{black}{=}\color{red}{9}^{\color{blue}{x}}\color{black}{\quad}which\: is\: equivalent\: to\quad\color{blue}{x}\color{black}{=}\log_{\color{red}{9}}\color{GreenYellow}{3}\nonumber\]
Оцініть логарифмічні функції
Оскільки логарифми є лише показниками, то ми можемо використовувати логарифми, щоб знайти показник, або один з інших параметрів, базу або значення.
Знайдіть точне значення:\(\log_5 125\)
Рішення
Щоб знайти точне значення, ми утримуємося від використання будь-якої технології для отримання відповіді і використовуємо лише визначення логарифмічної функції. Отже, коли ми бачимо вираз\(\log_5 125\), ми запитуємо: «\(5\)до якої сили\(125\)?» тому що, нагадаємо, логарифми - це просто показники. Деякі, можливо, вже бачать відповідь\(3\), але давайте використаємо визначення, щоб представити метод оцінки логарифмів. Нехай\(\log_5 125 = x\).
\[\begin{array}{rl} \log_5 125=x & \text{Rewrite in exponential form} \\ 5^x=125 & \text{Rewrite using common base }5 \\ 5^x=5^3 & \text{Common base, equate exponents} \\ x=3 & \text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Ми повинні бути обережними, тому що ми\(x\) представили\(x\), але ніколи не були частиною початкової проблеми. Таким чином, давайте правильно напишемо відповідь.
\[\log_5 125=3\nonumber\]
Знайдіть точне значення:\(\log_3 \dfrac{1}{27}\)
Рішення
Щоб знайти точне значення, ми утримуємося від використання будь-якої технології для отримання відповіді і використовуємо лише визначення логарифмічної функції. Отже, коли ми бачимо вираз\(\log_3 \dfrac{1}{27}\), ми запитуємо: «\(3\)до якої сили\(\dfrac{1}{27}\)?» тому що, нагадаємо, логарифми - це просто показники. Нехай\(\log_3 \dfrac{1}{27}=x\).
\[\begin{array}{rl} \log_3\dfrac{1}{27}=x & \text{Rewrite in exponential form} \\ 3^x=\dfrac{1}{27} & \text{Rewrite using common base }3 \\ 3^x=\dfrac{1}{3^3} & \text{Rewrite using negative exponent }-3 \\ 3^x=3^{-3} & \text{Common base, equate exponents} \\ x=-3 & \text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Ми повинні бути обережними, тому що ми\(x\) представили\(x\), але ніколи не були частиною початкової проблеми. Таким чином, давайте правильно напишемо відповідь.
\[\log_3\dfrac{1}{27}=-3\nonumber\]
Домен логарифмічних функцій
Нагадаємо. Область функції - інтервал незалежних значень, визначених для цієї функції.
Значить, має сенс обговорити область логарифмічних функцій. З експоненціальними функціями домен - це всі дійсні числа, але давайте подивимося, чим він відрізняється від області логарифмічної функції.
Область логарифмічної функції -\(\{x|x > 0\}\) або\((0, ∞)\), тобто значення (або аргумент) логарифма завжди позитивне.
Враховуючи логарифмічну функцію\(f(x) = \log_a x\), ми можемо виконати наведені нижче дії, щоб отримати домен.
Крок 1. Визначте значення логарифма,\(x\). Значення буде відрізнятися від того\(x\), як змінюються проблеми.
Крок 2. Встановіть значення більше нуля, тобто\(x > 0\).
Крок 3. Вирішити нерівність як зазвичай.
Крок 4. Перепишіть нерівність в інтервальне позначення, якщо це необхідно.
Знайдіть домен домену\(f(x)=\log_5 (2x+3)\).
Рішення
Ми можемо слідувати крокам, щоб отримати домен\(f(x)\).
Крок 1. Значення даного логарифма дорівнює\((2x + 3)\).
Крок 2. Встановивши значення більше нуля, отримуємо\(2x + 3 > 0\).
Крок 3. Розв'язуючи нерівність, як завжди,
\[\begin{aligned}2x+3&>0 \\ 2x&>-3 \\ x&>-\dfrac{3}{2}\end{aligned}\]
Це означає, що всі значення для\(x\) повинні бути строго більше, ніж для\(-\dfrac{3}{2}\) того,\(f(x)\) щоб бути визначені.
Крок 4. \(-\dfrac{3}{2}\)Переписуючи в інтервальні позначення, отримуємо\(\left(-\dfrac{3}{2},\infty\right)\).
Таким чином, домен\(f(x)\) є\(\left\{x\mid x>-\dfrac{3}{2}\right\}\) або, що еквівалентно,\(\left(-\dfrac{3}{2},\infty\right)\).
Логарифмічні функції графа
Давайте почнемо поглянути на логарифмічні функції, подивившись на їх графіки. Нагадаємо, логарифмічна і експоненціальна функції є оберненнями один одного. Отже, ми побачимо, що їх властивості також інвертують, тобто\(x\) і\(y\) координати перемикаються.
Ділянка\(f(x) = \log_3 x\) шляхом побудови точок. З графіка визначте область функції.
Рішення
Давайте перепишемо функцію як\(y = \log_3 x\), а потім в її еквівалентному експоненціальному вигляді:\(3^y = x\). Дивлячись на експоненціальну форму\(f(x)\), ми вибираємо\(y\) -координати, і знаходимо відповідні\(x\) -значення. Вибираючи\(y\) координати, ми можемо легко оцінити експоненціальну форму.
| \(y\) | \(3^y=x\) | \((x,f(x))\) |
|---|---|---|
| \ (y\) ">\(-2\) | \ (3^y=x\) ">\(3^{\color{blue}{-2}}\color{black}{=}\dfrac{1}{9}\) | \ (x, f (x))\) ">\(\left(\dfrac{1}{9},-2\right)\) |
| \ (y\) ">\(-1\) | \ (3^y=x\) ">\(3^{\color{blue}{-1}}\color{black}{=}\dfrac{1}{3}\) | \ (x, f (x))\) ">\(\left(\dfrac{1}{3},-1\right)\) |
| \ (y\) ">\(0\) | \ (3^y=x\) ">\(3^{\color{blue}{0}}\color{black}{=}1\) | \ (x, f (x))\) ">\((1,0)\) |
| \ (y\) ">\(1\) | \ (3^y=x\) ">\(3^{\color{blue}{1}}\color{black}{=}3\) | \ (x, f (x))\) ">\((3,1)\) |
Побудуйте п'ять впорядкованих пар з таблиці. Щоб з'єднати точки, обов'язково з'єднайте їх від найменшого\(x\) -значення до найбільшого\(x\) -значення, тобто зліва направо. Зверніть увагу, що цей графік піднімається зліва направо, але, оскільки графік стріляє назустріч\(0\), він ніколи не торкається\(y\) осі -або перетинає її, що призводить до вертикальної асимптоти,\(x = 0\). Оскільки ми бачимо, що існує одне обмеження на графік, домен - це всі дійсні числа, більші за нуль або\((0, ∞)\).
Власність 1. Область логарифмічної функції - це всі дійсні числа, більші за нуль, тобто\((0, ∞)\).
Нерухомість 2. Немає\(y\) -перехоплень;\(x\) -перехоплення знаходиться на\((1, 0)\).
Нерухомість 3. Якщо\(a > 1\), то функція є зростаючою функцією. Якщо\(0 < a < 1\), то функція є спадною функцією.
Нерухомість 4. Існує вертикальна асимптота при\(x = 0\), якщо немає горизонтального зсуву.
Логарифмічна функція ніколи не перетинає\(y\) вісь -. Насправді, загальна логарифмічна функція не визначена в\(x = 0\). Погляньте. Якщо\(x = 0\), то\(f(0) = \log_a 0\). Запитайте: «\(a\)до якої потужності дорівнює нулю?» Такої влади немає. Ми не можемо підняти позитивне дійсне число до ступеня, а результат дорівнює нулю. Якщо логарифмічна функція перетинає\(y\) -вісь, то це означає, що відбулося перетворення до загальної логарифмічної функції.
Ділянка\(f(x) = \log_{1/3} x\) шляхом побудови точок. З графіка визначте область функції.
Рішення
Давайте перепишемо функцію як\(y = \log_{1/3} x\), а потім в її еквівалентному експоненціальному вигляді:\(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{y}=x\). Дивлячись на експоненціальну форму\(f(x)\), ми вибираємо\(y\) -координати, і знаходимо відповідні\(x\) -значення. Вибираючи\(y\) координати, ми можемо легко оцінити експоненціальну форму.
| \(x\) | \(\dfrac{1}{3}^y=x\) | \((x,f(x))\) |
|---|---|---|
| \ (x\) ">\(-1\) | \ (\ dfrac {1} {3} ^y=x\) ">\(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\color{blue}{-1}}\color{black}{=}3\) | \ (x, f (x))\) ">\((3,-1)\) |
| \ (x\) ">\(0\) | \ (\ dfrac {1} {3} ^y=x\) ">\(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\color{blue}{0}}\color{black}{=}1\) | \ (x, f (x))\) ">\((1,0)\) |
| \ (x\) ">\(1\) | \ (\ dfrac {1} {3} ^y=x\) ">\(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\color{blue}{1}}\color{black}{=}\dfrac{1}{3}\) | \ (x, f (x))\) ">\(\left(\dfrac{1}{3},1\right)\) |
| \ (x\) ">\(2\) | \ (\ dfrac {1} {3} ^y=x\) ">\(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\color{blue}{2}}\color{black}{=}\dfrac{1}{9}\) | \ (x, f (x))\) ">\(\left(\dfrac{1}{9},2\right)\) |
Побудуйте п'ять впорядкованих пар з таблиці. Щоб з'єднати точки, обов'язково з'єднайте їх від найменшого\(x\) -значення до найбільшого\(x\) -значення, тобто зліва направо. Зверніть увагу, що цей графік падає зліва направо, але, оскільки графік стріляє назустріч\(0\), він ніколи не торкається\(y\) осі -або перетинає її, в результаті чого горизонтальна асимптота на\(x = 0\). Оскільки ми бачимо, що існує одне обмеження на графік, домен - це всі дійсні числа, більші за нуль або\((0, ∞)\).
Це хороший час, щоб згадати два дуже важливих логарифми: натуральний і загальний логарифм.
- Натуральний логарифм\(e\) задається
\[y = \log_e x = \ln x\text{ if and only if }x = e^y\nonumber\]
тим, де ірраціональне число константа Ейлера,\(e\approx 2.71828182\cdots\) Зверніть увагу, що\(\log_e\) замінюється\(\ln\), і це єдина різниця. - Загальний логарифм задається
\[y = \log_{10} x = \log x\text{ if and only if }x = 10^y\nonumber\]
Примітка\(\log_{10}\) замінюється на\(\log\), і це єдина різниця. Коли на логарифмі немає письмової основи, то передбачається, що це загальний логарифм (якщо він не є\(\ln\)).
Голландський математик Адріан Влак опублікував підручник у 1628 році, в якому перераховані логарифми, обчислені від\(1\) до\(100,000\).
Розв'язувати логарифмічні рівняння
Розв'язування рівнянь з логарифмами має методи, схожі при вирішенні експоненціальних рівнянь. Ми можемо переписати логарифмічне рівняння в його еквівалентній експоненціальній формі і вирішити.
Вирішити для\(x:\:\log_5 x=2\)
Рішення
Вирішуємо рівняння, переписуючи рівняння в його еквівалентну експоненціальну форму і вирішимо.
\[\begin{aligned}\log_5 x&=2\quad\text{Rewrite in exponential form} \\ 5^2&=x\quad\text{Simplify} \\ 25&=x\quad\text{Solution}\end{aligned}\]
Вирішити для\(n:\:\log_2(3n+5)=4\)
Рішення
Вирішуємо рівняння, переписуючи рівняння в його еквівалентну експоненціальну форму і вирішимо.
\[\begin{array}{rl}\log_2(3n+5)=4 & \text{Rewrite in exponential form} \\ 2^4=3n+5 & \text{Simplify }2^4 \\ 16=3n+5 & \text{Isolate the variable term} \\ 11=3n & \text{Isolate }n \\ \dfrac{11}{3}=n & \text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Ми бачимо, що техніка полягає в тому, як тільки логарифм ізольований на одній стороні рівняння, ми можемо переписати рівняння в його еквівалентній експоненціальній формі та вирішити.
Вирішити для\(t:\: \log(2t-3)=-1\)
Рішення
Вирішуємо рівняння, переписуючи рівняння в його еквівалентну експоненціальну форму і вирішимо. Спочатку ми бачимо, що на логарифмі немає письмової основи. Отже, ми припускаємо, що це загальний логарифм, а основа - десять.
\[\begin{array}{rl} \log(2t-3)=-1 & \text{Write the common logarithm with a base }10 \\ \log_{10}(2t-3)=-1 & \text{Rewrite in exponential form} \\ 10^{-1}=2t-3 & \text{Simplify }10^{-1} \\ \dfrac{1}{10}=2t-3 & \text{Isolate the variable term} \\ \dfrac{31}{10}=2t & \text{Isolate }t \\ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{31}{10}=t & \text{Simplify the left side} \\ \dfrac{31}{20}=t & \text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Вирішити для\(a:\:\ln a=4\)
Рішення
Вирішуємо рівняння, переписуючи рівняння в його еквівалентну експоненціальну форму і вирішимо. По-перше, ми бачимо ln і припускаємо, що це натуральний логарифм і основа є\(e\).
\[\begin{array}{rl} \ln a=4 &\text{Write the natural logarithm with a base }e \\ \log_e a=4 &\text{Rewrite in exponential form} \\ e^4=a &\text{Solution} \\ 54.598\approx a &\text{Approximate solution for }a\end{array}\nonumber\]
Логарифмічні функції Домашнє завдання
Перепишіть кожне рівняння в експоненціальній формі.
\(\log_9 81=2\)
\(\log_7\dfrac{1}{49}=-2\)
\(\log_{13}169=2\)
\(\log_b a=-16\)
\(\log_{16}256 =2\)
\(\log_{11}1=0\)
Перепишіть кожне рівняння в логарифмічній формі.
\(8^0=1\)
\(15^2=225\)
\(64^{1/6}=2\)
\(17^{-2}=\dfrac{1}{289}\)
\(144^{1/2}=12\)
\(19^2=361\)
Знайдіть точне значення для кожного виразу.
\(\log_{125}5\)
\(\log_{343}\dfrac{1}{7}\)
\(\log_{4}16\)
\(\log_{6}36\)
\(\log_{2}64\)
\(\log_{5}125\)
\(\log_{7}1\)
\(\log_{4}\dfrac{1}{64}\)
\(\log_{36}6\)
\(\log_{3}243\)
Знайдіть область кожної логарифмічної функції.
\(g(x)=\log_{4}(7x+10)\)
\(h(x)=\log_{3}(3x+7)\)
\(h(x)=\log_{4}(7-8x)\)
\(g(x)=\log_{5}(4-8x)\)
Графік кожної логарифмічної функції.
\(f(x)=\log_{4}x\)
\(g(x)=\log_{1/4}x\)
\(q(n)=-\log_{2}n\)
\(h(t)=\log_{1/2}t\)
\(x(t)=-\log t\)
\(w(x)=\ln x\)
Вирішіть кожне рівняння.
\(\log_{5}x=1\)
\(\log_{2}x=-2\)
\(\log_{11}k=2\)
\(\log_{9}(n+9)=4\)
\(\log_{5}(-3m)=3\)
\(\log_{11}(x+5)=-1\)
\(\log_{4}(6b+4)=0\)
\(\log_{5}(-10x+4)=4\)
\(\log_{2}(10-5a)=3\)
\(\log_{8}k=3\)
\(\log n=3\)
\(\log_{4}p=4\)
\(\log_{11}(x-4)=-1\)
\(\log_{2}(-8r)=1\)
\(\ln (-3n)=4\)
\(\log_{11}(10v+1)=-1\)
\(\log_{9}(7-6x)=-2\)
\(\log_{8}(3k-1)=1\)