12.2: Експоненціальні функції
- Page ID
- 58421
Експоненціальні функції приймають власний набір методів розв'язання та спрощення, оскільки рівняння трохи відрізняються від раніше. Наприклад, перш ніж у нас було щось на\(x^2 = 9\) кшталт, де ми могли взяти квадратний корінь кожної сторони, щоб вирішити. Однак, якщо у нас було щось подібне\(3^x = 9\), зверніть увагу, що ми не можемо взяти\(x^{\text{th}}\) корінь,\(9\) тому що індекс невідомий. Однак ми можемо помітити це\(3^2 = 9\) і зробити висновок, що якщо\(3^x = 3^2\), то\(x = 2\). Це простий приклад, але що робити, якщо у нас було щось трохи складніше, як\(10.98564^x = 34.9016\)? Тоді значення\(x\) не настільки очевидне. Це випадки, про які ми розглядаємо в цьому розділі та розділі.
Одним із поширених застосувань експоненціальних функцій є зростання чисельності населення. Згідно з 2009 ЦРУ World Factbook, країна з найвищими темпами приросту населення пов'язана між Об'єднаними Арабськими Еміратами (північ Саудівської Аравії) і Бурунді (Центральна Африка) в\(3.69\%\). Є\(32\) країни з негативними темпами зростання, найнижчими є Північні Маріанські острови (на північ від Австралії) на\(−7.08\%\).
Експоненціальна функція - це функція виду
\[f(x) = a^x,\nonumber\]
де\(f\) є функція\(x\),\(a > 0\) і\(a\neq 1\).
Графік експоненціальних функцій
Давайте почнемо поглянути на експоненціальні функції, подивившись на їх графіки.
Ділянка\(f(x) = 3^x\) шляхом побудови точок. З графіка визначте область функції.
Рішення
Давайте виберемо п'ять\(x\) -координат, і знайдемо відповідні\(y\) -значення. Кожен\(x\) -value є позитивним або негативним, і нуль. Це звичайна практика, але не обов'язкова.
| \(x\) | \(f(x)=3^x\) | \((x,f(x))\) |
|---|---|---|
| \ (x\) ">\(-2\) | \ (f (x) =3^х\) ">\(f(\color{blue}{-2}\color{black}{)}=3^{\color{blue}{-2}}\color{black}{=}\dfrac{1}{9}\) | \ (x, f (x))\) ">\(\left(-2,\dfrac{1}{9}\right)\) |
| \ (x\) ">\(-1\) | \ (f (x) =3^х\) ">\(f(\color{blue}{-1}\color{black}{)}=3^{\color{blue}{-1}}\color{black}{=}\dfrac{1}{3}\) | \ (x, f (x))\) ">\(\left(-1,\dfrac{1}{3}\right)\) |
| \ (x\) ">\(0\) | \ (f (x) =3^х\) ">\(f(\color{blue}{0}\color{black}{)}=3^{\color{blue}{0}}\color{black}{=}1\) | \ (x, f (x))\) ">\((0,1)\) |
| \ (x\) ">\(1\) | \ (f (x) =3^х\) ">\(f(\color{blue}{1}\color{black}{)}=3^{\color{blue}{1}}\color{black}{=}3\) | \ (x, f (x))\) ">\((1,3)\) |
| \ (x\) ">\(2\) | \ (f (x) =3^х\) ">\(f(\color{blue}{2}\color{black}{)}=3^{\color{blue}{2}}\color{black}{=}9\) | \ (x, f (x))\) ">\((2,9)\) |
Побудуйте п'ять впорядкованих пар з таблиці. Щоб з'єднати точки, обов'язково з'єднайте їх від найменшого\(x\) -значення до найбільшого\(x\) -значення, тобто зліва направо. Зверніть увагу, що цей графік піднімається зліва направо, але, коли графік стріляє\(−∞\) (ліворуч), він ніколи не торкається\(x\) осі -або перетинає її, в результаті чого горизонтальна асимптота в\(y = 0\). Оскільки ми бачимо, що немає обмежень на графік, домен - це всі дійсні числа або\((−∞, ∞)\).
Власність 1. Область експоненціальної функції - це всі дійсні числа, тобто\((−∞, ∞)\).
Нерухомість 2. Немає\(x\) -перехоплень;\(y\) -перехоплення знаходиться на\((0, 1)\).
Нерухомість 3. Якщо\(a > 1\), то функція є зростаючою функцією. Якщо\(0 < a < 1\), то функція є спадною функцією.
Нерухомість 4. Існує горизонтальна асимптота при\(y = 0\), якщо немає вертикального зсуву.
Експоненціальна функція ніколи не перетинає\(x\) вісь -. Фактично, загальна експоненціальна функція не визначена в\(f(x) = 0\). Погляньте. Якщо\(f(x) = 0\), то\(f(x) = 0 = a^x\). Запитайте: «Для якого значення (-ів)\(x\) такого, що a підвищується до ступеня,\(x\) а результат дорівнює нулю?» Такого немає\(x\). Ми не можемо підняти позитивне дійсне число до ступеня, а результат дорівнює нулю. Якщо експоненціальна функція перетинає\(x\) -вісь, то це означає, що відбулося перетворення до загальної експоненціальної функції.
Ділянка\(f(x)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^x\) шляхом побудови точок. З графіка визначте область функції.
Рішення
Давайте виберемо п'ять\(x\) -координат, і знайдемо відповідні\(y\) -значення. Кожен\(x\) -value є позитивним або негативним, і нуль. Це звичайна практика, але не обов'язкова.
| \(x\) | \(f(x)=\dfrac{1}{3}^x\) | \((x,f(x))\) |
|---|---|---|
| \ (x\) ">\(-2\) | \ (f (x) =\ dfrac {1} {3} ^x\) ">\(f(\color{blue}{-2}\color{black}{)}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\color{blue}{-2}}\color{black}{=}9\) | \ (x, f (x))\) ">\((-2,9)\) |
| \ (x\) ">\(-1\) | \ (f (x) =\ dfrac {1} {3} ^x\) ">\(f(\color{blue}{-1}\color{black}{)}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\color{blue}{-1}}\color{black}{=}3\) | \ (x, f (x))\) ">\((-1,3)\) |
| \ (x\) ">\(0\) | \ (f (x) =\ dfrac {1} {3} ^x\) ">\(f(\color{blue}{0}\color{black}{)}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\color{blue}{0}}\color{black}{=}1\) | \ (x, f (x))\) ">\((0,1)\) |
| \ (x\) ">\(1\) | \ (f (x) =\ dfrac {1} {3} ^x\) ">\(f(\color{blue}{1}\color{black}{)}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\color{blue}{1}}\color{black}{=}\dfrac{1}{3}\) | \ (x, f (x))\) ">\(\left(1,\dfrac{1}{3}\right)\) |
| \ (x\) ">\(2\) | \ (f (x) =\ dfrac {1} {3} ^x\) ">\(f(\color{blue}{2}\color{black}{)}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\color{blue}{2}}\color{black}{=}\dfrac{1}{9}\) | \ (x, f (x))\) ">\(\left(2,\dfrac{1}{9}\right)\) |
Побудуйте п'ять впорядкованих пар з таблиці. Щоб з'єднати точки, обов'язково з'єднайте їх від найменшого\(x\) -значення до найбільшого\(x\) -значення, тобто зліва направо. Зверніть увагу, що цей графік падає зліва направо, але, коли графік стріляє\(∞\) (праворуч), він ніколи не торкається\(x\) осі -або перетинає її. Оскільки ми бачимо, що немає обмежень для графіка, домен - це всі дійсні числа або\((−∞, ∞)\), і є горизонтальна асимптота в\(y = 0\).
Експоненціальні рівняння із загальною базою
Так як експоненціальна функція один до одного, отримуємо наступне.
Для вирішення експоненціального рівняння із загальною основою на кожній стороні рівняння використовуємо той факт, що якщо
\[a^m=a^n,\text{ then }m=n.\nonumber\]
Розв'яжіть рівняння:\(5^{2x+1}=125\)
Рішення
Ми використовуємо факт вище для вирішення рівняння.
\[\begin{array}{rl} 5^{2x+1}=125 & \text{Rewrite }125\text{ as }5^3 \\ 5^{\color{blue}{2x+1}}\color{black}{=}5^{\color{blue}{3}} & \text{Common base, equate exponents} \\ \color{blue}{2x+1}\color{black}{=}\color{blue}{3} & \text{Solve for }x \\ 2x=2 & \text{Divide both sides by }2 \\ x=1 & \text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Ми завжди можемо перевірити відповідь, перевіривши рішення.
\[\begin{aligned} 5^{2x+1}&\stackrel{?}{=}125\quad\text{Plug-n-chug }x=1 \\ 5^{2(\color{blue}{1}\color{black}{)}+1}&\stackrel{?}{=}125\quad\text{Simplify the left side} \\ 5^3&\stackrel{?}{=}125\quad\text{Evaluate }5^3 \\ 125&=125 \quad\checkmark \text{ True} \end{aligned}\]
Оскільки ми отримуємо істинне твердження шляхом перевірки рішення, то\(x = 1\) це рішення.
Розв'яжіть рівняння:\(8^{3x}=32\)
Рішення
У цьому випадку спочатку це може здатися не таким очевидним, але якщо ми перепишемо кожну базу як загальну базу, то ми можемо застосувати факт. Давайте перепишемо кожну базу як загальну базу\(2\).
\[\begin{array} {rl} 8^{3x}=32 & \text{Rewrite }8\text{ as }2^3\text{ and }32\text{ as }2^5 \\ (2^3)^{3x}=2^5 & \text{Multiply exponents }3\text{ and }3x \\ 2^{\color{blue}{9x}} \color{black}{=}2^{\color{blue}{5}} & \text{Common base, equate exponents} \\ \color{blue}{9x}\color{black}{=}\color{blue}{5} & \text{Solve for }x \\ x=\dfrac{5}{9} & \text{Solution}\end{array}\nonumber \]
Ми завжди можемо перевірити рішення, але ми залишаємо це студенту.
Розв'яжіть рівняння:\(\left(\dfrac{1}{9}\right)^{2x}=3^{7x-1}\)
Рішення
У цьому випадку спочатку це може здатися не таким очевидним, але якщо ми перепишемо кожну базу як загальну базу, то ми можемо застосувати факт. Давайте перепишемо кожну базу як загальну базу\(3\).
\[\begin{array} {rl} \left(\dfrac{1}{9}\right)^{2x}=3^{7x-1} & \text{Rewrite }\dfrac{1}{9}\text{ as }\dfrac{1}{3^2} \\ \left(\dfrac{1}{3^2}\right)^{2x}=3^{7x-1} & \text{Rewrite }\dfrac{1}{3^2}\text{ as }3^{-2} \\ (3^{-2})^{2x}=3^{7x-1} & \text{Multiply exponents }-2\text{ and }2x \\ 3^{\color{blue}{-4x}}\color{black}{=}3^{\color{blue}{7x-1}} & \text{Common base, equate exponents} \\ \color{blue}{-4x}\color{black}{=}\color{blue}{7x-1} & \text{Solve} \\ -11x=-1 & \text{Isolate }x \\ x=\dfrac{1}{11}& \text{Solution}\end{array}\nonumber \]
Ми завжди можемо перевірити рішення, але ми залишаємо це студенту.
Розв'яжіть рівняння:\(5^{4x}\cdot 5^{2x−1} = 5^{3x+11}\)
Рішення
У цьому випадку спочатку це може здатися не таким очевидним, але нам потрібно застосувати правило добутку показників і отримати лише одну загальну базу з кожної сторони рівняння, щоб застосувати факт.
\[\begin{array}{rl} 5^{4x}\cdot 5^{2x-1}=5^{3x+11} & \text{Apply product rule of exponents on the left side} \\ 5^{4x+2x-1}=5^{3x+11}& \text{Simplify the exponent on the left side} \\ 5^{\color{blue}{6x-1}}\color{black}{=}5^{\color{blue}{3x+11}} & \text{Common base, equate exponents} \\ \color{blue}{6x-1}\color{black}{=}\color{blue}{3x+11} & \text{Combine like terms} \\ 3x=12 & \text{Isolate }x \\ x=4& \text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Ми завжди можемо перевірити рішення, але ми залишаємо це студенту.
Зверніть увагу, приклади представляють лише методику розв'язання експоненціальних рівнянь із загальною базою. Однак не всі експоненціальні рівняння записуються із загальною базою. Наприклад, щось на кшталт\(2 = 10^x\) не можна написати із загальною базою. Для вирішення завдань, де ми не можемо переписати бази із загальною базою, нам потрібна логарифмічна функція, про яку ми розповімо в наступному розділі.
Експоненціальні функції Домашнє завдання
Графік кожної експоненціальної функції.
\(f(x)=4^x\)
\(x(y)=\left(\dfrac{1}{4}\right)^y\)
\(f(x)=-3^x\)
\(q(r)=-\left(\dfrac{1}{5}\right)^r\)
\(h(n)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\)
\(g(x)=2^x\)
\(j(x)=-2^x\)
\(k(t)=-\left(\dfrac{1}{2}\right)^t\)
Вирішити рівняння.
\(3^{1-2n}=3^{1-3n}\)
\(4^{2a}=1\)
\(\left(\dfrac{1}{25}\right)^{-k}=125^{-2k-2}\)
\(6^{2m+1}=\dfrac{1}{36}\)
\(6^{-3x}=36\)
\(64^b=2^5\)
\(\left(\dfrac{1}{4}\right)^x=16\)
\(4^{3a}=4^3\)
\(36^{3x}=216^{2x+1}\)
\(9^{2n+1}=243\)
\(3^{3x-2}=3^{3x+1}\)
\(3^{-2x}=3^3\)
\(5^{m+2}=5^{-m}\)
\(\left(\dfrac{1}{36}\right)^{b-1}=216\)
\(6^{2-2x}=6^2\)
\(4\cdot 2^{-3n-1}=\dfrac{1}{4}\)
\(4^{3k-3}\cdot 4^{2-2k}=16^{-k}\)
\(9^{-2x}\cdot\left(\dfrac{1}{243}\right)^{3x}=243^{-x}\)
\(64^{n-2}\cdot 16^{n+2}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^{3n-1}\)
\(5^{-3n-3}\cdot 5^{2n}=1\)
\(4^{2x}=\dfrac{1}{16}\)
\(16^{-3p}=64^{-3p}\)
\(625^{-n-2}=\dfrac{1}{125}\)
\(6^{2r-3}=6^{r-3}\)
\(5^{2n}=5^{-n}\)
\(216^{-3v}=36^{3v}\)
\(27^{-2n-1}=9\)
\(4^{-3v}=64\)
\(64^{x+2}=16\)
\(16^{2k}=\dfrac{1}{64}\)
\(243^{p}=27^{-3p}\)
\(4^{2n}=4^{2-3n}\)
\(625^{2x}=25\)
\(216^{2n}=36\)
\(\left(\dfrac{1}{4}\right)^{3v-2}=64^{1-v}\)
\(\dfrac{216}{6^{-2a}}=6^{3a}\)
\(32^{2p-2}\cdot 8^p=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2p}\)
\(3^{2m}\cdot 3^{3m}=1\)
\(3^{2-x}\cdot 3^{3x}=1\)
\(4^{3r}\cdot 4^{-3r}=\dfrac{1}{64}\)