12.1: Зворотні функції

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58418

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Функції «один-на-один»

Почнемо з обговорення відносин один до одного. Функції «один-на-один» - це спеціальні функції, де всі входи та виходи функції є різними, тобто жодна з\(y\) координат\(x\) або не повторюється.

Визначення: один-на-один

Функція є один до одного, якщо будь-які два різних входи в області відповідають двом різним виходам в діапазоні, тобто\(f(x_1)\neq f(x_2)\) для будь-якого\(x_1\) і\(x_2\).

Інший спосіб визначення один до одного - переконатися, що всі значення x і всі y відрізняються.

Приклад Template:index

Визначте, чи є наступне співвідношення один до одного.

\[\{(3,-5), (2,-1), (1,0), (0,7), (-1,8)\}\nonumber\]

Рішення

Спочатку розглянемо всі входи і виходи. За визначенням, нам потрібно переконатися, що ні\(x\) або\(y\) значення повторюються, тобто всі\(x\) і\(y\) координати унікальні. У нас є

\[x\text{ − values }=3,2,1,0,-1\nonumber\]

\[y\text{ − values }=-5,-1,0,7,8\nonumber\]

Отже, жодна з координат не повторюється, а це означає, що це відношення один до одного.

Приклад Template:index

Визначте, чи є наступне співвідношення один до одного.

Рішення

Спочатку розглянемо всі входи і виходи. Припустимо, що назва урагану - вхід, а рік урагану відбувся - вихід. За визначенням, нам потрібно переконатися, що ні\(x\) або\(y\) значення повторюються, тобто всі\(x\) і\(y\) координати унікальні. У нас є

\[x \text{− values }=\text{ Ivan, Frances, Jeanne, Isabel, Allison, Charley}\nonumber\]

\[y\text{ − values }= 2004, 2004, 2004, 2003, 2001, 2004\nonumber\]

Отже, жодна з\(x\) координат не повторюється, але 2004 рік повторюється 4 рази в\(y\) -координатах, що означає це відношення не один до одного.

Примітка

Позначення, що використовуються для функцій, були вперше введені великим швейцарським математиком Леонхардом Ейлером в 18 столітті.

Існує графічний спосіб визначити, чи є заданий графік функції один до одного, і це за допомогою тесту горизонтальної лінії. Оскільки ми використовували тест вертикальної лінії для визначення того, чи є графік функцією, ми використовуємо тест горизонтальної лінії, щоб визначити, чи є графік функції один до одного.

Тест горизонтальної лінії

Якщо кожна горизонтальна лінія перетинає графік функції не більше\(f\) ніж в одній точці, то\(f\) є один до одного.

Приклад Template:index

Визначте, які графіки функцій нижче один до одного.

Рішення

Почнемо з малювання горизонтальних ліній по всьому графіку і визначимо, чи перетинає лінія графік більше одного разу. Тепер, нагадаємо, дано, що ці графіки - це всі функції. Тобто, ми припускаємо, що всі чотири з цих функцій пройшли тест вертикальної лінії. Нам просто потрібно побачити, чи є ці функції один до одного, застосувавши тест горизонтальної лінії.

Дивлячись на А. і Б., бачимо, що горизонтальні лінії перетинають графіки тільки один раз, проходячи тест горизонтальної лінії. Якщо ми подивимось на C, верхня лінія перетинає графік один раз, тому що він перетинається лише на вершині параболи, але, дивлячись на нижню лінію, ми бачимо, що горизонтальна лінія перетинає параболу два рази. Отже, C. не проходить тест горизонтальної лінії. Нарешті, D має обидві горизонтальні лінії, що перетинають графік більше одного разу і призводять до невдачі тесту горизонтальної лінії. Таким чином, графіки А. і Б. обидва проходять тест горизонтальної лінії і є функціями один до одного.

Примітка

Обов'язково намалюйте повні горизонтальні лінії, зліва направо, заповнюючи сітку, і більше однієї. Легко намалювати лінію і зупинитися на середині, щоб зробити висновок, що графік проходить тест горизонтальної лінії, як у С. Однак для валідності тесту горизонтальної лінії ми повинні намалювати повні горизонтальні лінії, зліва направо, заповнюючи сітку, і більше однієї.

Функція та її зворотна

Визначення: оборотна функція

Якщо\(f(x)\) один до одного, ми викликаємо\(f(x)\) оборотну функцію з впорядкованими парами\((a, b)\). Зворотна функція,\(f^{−1} (x)\), - це набір впорядкованих пар\((b, a)\), тобто перемикач\(y\) -координат і\(x\) -координат.

Приклад Template:index

Знайти обернену функцію один до одного

\[\{(3, −1),(2, 7),(1, −4),(0, 8),(−1, 5)\}\nonumber\]

Створіть область та діапазон оберненої функції.

Рішення

Щоб знайти обернену задану функцію один до одного, нам потрібно визначити всі\(x\) і\(y\) координати і повернути їх назад, тобто за визначенням,\(y\) -coordinates і\(x\) -coordinates switch. Нехай\(f(x) = \{(3, −1),(2, 7),(1, −4),(0, 8),(−1, 5)\}\). Тоді

\[f^{−1} (x) = \{(−1, 3),(7, 2),(−4, 1),(8, 0),(5, −1)\}\nonumber\]

Домен\(f^{−1} (x)\) is\(\{−4, −1, 5, 7, 8\}\) і діапазон є\(\{−1, 0, 1, 2, 3\}\).

Приклад Template:index

Намалюйте обернену функцію заданої функції один до одного.

Рішення

Використовуючи те саме обґрунтування, що і для Прикладу Template:index, ми можемо взяти чітко визначені впорядковані пари на графіку\(f(x)\) і перемкнути\(y\) координати\(x\) і -. Давайте розмістимо замовлені пари на стіл:

\[\begin{array}{c|c} x & f(x)\\ \hline 0&-3 \\ 1&-1 \\ 4&1\end{array}\quad\text{this implies that }f^{-1}(x)\text{ is}\quad\begin{array}{c|c} x&f^{-1}(x) \\ \hline -3&0 \\ -1&1 \\ 1&4\end{array}\nonumber\]

Зверніть увагу, все, що ми зробили, це переключити\(x\) і\(y\) -координати з першої таблиці, щоб отримати три чітко визначені впорядковані пари на\(f^{−1} (x)\). Давайте намалюємо ці точки і з'єднаємо їх красивою плавною кривою:

Ми бачимо з Прикладу Template:index, що ідея оборотних функцій полягає в тому, що\(x\) і\(y\) координати перемикач. Насправді, якщо ми подивимося ще ближче на прикладі Template:index графа\(f(x)\) і\(f^{−1} (x)\), ми можемо побачити, що\(f^{−1} (x)\) це дзеркальне\(f(x)\) відображення про лінію\(y = x\). Намалюємо лінію\(y = x\) на графіку в прикладі Template:index:

Значить, лінія\(y = x\) діє як дзеркало,\(f(x)\) і\(f^{−1} (x)\) є відображенням один одного про лінію\(y = x\). Це не випадково!

Нагадаємо. Визначення складу двох функцій.

Визначення: Складено

\(f\)\(g\)Дозволяти і бути функціями\(x\). Якщо\(f\) складається з\(g\), то

\[(f\circ g)(x)=f(g(x))\nonumber\]

Ми говоримо,\(f\) що складається з\(g\), тобто, ми підставляємо кожен\(x\) в\(f\) з функцією\(g(x)\).

\((f\circ g)(x)\)означає, що\(x\) знаходиться в області\(g(x)\) і\(g(x)\) знаходиться в домені\(f(x)\).

Ми можемо легко перевірити, чи дві функції є оберненнями один одного, використовуючи властивість складу\(f(x)\) і\(f^{−1} (x)\).

Склад\(f(x)\) and \(f^{-1}(x)\)

Дано функцію\(f(x)\), яка має бути один до одного, і\(f^{−1} (x)\) обернена\(f(x)\) функція is, то

\[f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=x\nonumber\]

Приклад Template:index

Чи є\(f(x)=\sqrt[3]{3x+4}\) і\(g(x)=\dfrac{x^3-4}{3}\) обертається?

Рішення

З наведеного вище властивості, ми можемо використовувати склад\(f\) і\(g\) перевірити, чи є\(f(g(x))=x\). Нагадаємо, якщо\(f(g(x))=x\), то\(f\) і\(g\) є зворотними.

\[\begin{aligned}f(\color{blue}{g(x)}\color{black}{)}&=f\left(\color{blue}{\dfrac{x^3-4}{3}}\right) \\ &=\sqrt[3]{\color{black}{\cancel{\color{red}{3}}}\left(\dfrac{x^3-4}{\color{black}{\cancel{\color{red}{3}}}}\right)+4} \\ &=\sqrt[3]{x^3-4+4} \\ &=\sqrt[3]{x^3} \\ &=x\end{aligned}\]

Зверніть увагу, коли ми спростили\(f(g(x))\), ми отримали спрощений вираз\(x\), т. Е.

\[f(g(x))=x\nonumber\]

Таким чином,\(f(x)\) і\(g(x)\) є оберненнями один одного. Ми залишаємо\(g(f(x)) = x\) перевірку учневі.

Приклад Template:index

Чи є\(h(x)=2x+5\) і\(g(x)=\dfrac{x}{2}-5\) обертається?

Рішення

Ми можемо використовувати склад\(h\) і\(g\) перевірити, чи\(g(x)\) є\(h(x)\) і є зворотними. Нагадаємо, якщо\(h(g(x))=x\), то\(h\) і\(g\) є зворотними.

\[\begin{aligned}h(\color{blue}{g(x)})&=h\left(\color{blue}{\dfrac{x}{2}-5}\right) \\ &=2\left(\color{blue}{\dfrac{x}{2}-5}\right)+5 \\ &=\color{blue}{x-10}\color{black}{+5} \\ &=x-5\end{aligned}\]

Значить\(h(g(x))\neq x\),\(h\) і не\(g\) є оберненнями один одного.

Знайти обернену функцію один до одного алгебраїчно

Після обговорення наведених прикладів ми можемо знайти зворотну множину елементів, впорядкованих пар та графіка, але як ми можемо знайти обернену функцію один до одного алгебраїчно? На щастя, ми можемо зібрати всю інформацію разом і отримати метод пошуку зворотної функції один до одного.

Етапи пошуку оберненої функції один до одного

Крок 1. Замініть позначення функції змінною\(y\), тобто\(f(x)\) замінити на\(y\).

Крок 2. Переключити незалежну змінну і\(y\), тобто перемикач\(x\) і\(y\) змінні.

Крок 3. Вирішити для\(y\).

Крок 4. \(y\)Замініть на зворотне позначення функції, тобто\(y\) замінити на\(f^{−1} (x)\).

Крок 5. Перевірте склад вихідної функції і отриману обернену функцію, тобто,\(f(f^{-1}(x))=x\) або\(f^{-1}(f(x))=x\).

Приклад Template:index

Знайдіть обернену функцію один до одного\(f(x) = (x + 4)^{3} −2\).

Рішення

Давайте виконаємо кроки, щоб отримати зворотне.

Крок 1. \(f(x)\)Замінити на\(y\).

\[\begin{aligned}\color{red}{f(x)}&\color{black}{=}(x+4)^3-2 \\ \color{red}{y}&\color{black}{=}(x+4)^3-2\end{aligned}\]

Крок 2. Перемикайте\(y\) координати\(x\) та.

\[\begin{aligned}\color{red}{y}&\color{black}{=}(\color{red}{x}\color{black}{+}4)^3-2 \\ \color{red}{x}&\color{black}{=}(\color{red}{y}\color{black}{+}4)^3-2\end{aligned}\]

Крок 3. Вирішити для\(y\).

\[\begin{aligned}x&=(\color{red}{y}\color{black}{+}4)^3-2 \\ x+2&=(\color{red}{y}\color{black}{+}4)^3 \\ \sqrt[3]{x+2}&=\color{red}{y}\color{black}{+}4 \\ \sqrt[3]{x+2}-4&=\color{red}{y} \\ y&=\sqrt[3]{x+2}-4\end{aligned}\]

Крок 4. \(y\)Замінити на\(f^{-1}(x)\).

\[\begin{aligned}\color{red}{y}&\color{black}{=}\sqrt[3]{x+2}-4 \\ \color{red}{f^{-1}(x)}&\color{black}{=}\sqrt[3]{x+2}-4\end{aligned}\]

Крок 5. Перевірте склад\(f^{-1}(x)\) і\(f(x)\):\(f(f^{-1}(x))=x\) або\(f^{-1}(f(x))=x\).

\[\begin{aligned}f(\color{blue}{f^{-1}(x)}\color{black}{)}&=f(\color{blue}{\sqrt[3]{x+2}-4}\color{black}{)} \\ &=(\color{blue}{\sqrt[3]{x+2}-\cancel{4}}\color{black}{+}\cancel{4})^3-2 \\ &=(\sqrt[3]{x+2})^3-2 \\ &=x+\cancel{2}-\cancel{2} \\ &=x\end{aligned}\]

Оскільки\(f(f^{-1}(x))=x\), ми перевіряємо, що\(f(x)\) і\(f^{−1} (x)\) є, по суті, зворотним.

Таким чином, обернена функція\(f(x)\) є\(f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+2}-4\).

Приклад Template:index

Знайдіть обернену функцію один до одного\(g(x)=\dfrac{2x-3}{4x+2}\).

Рішення

Давайте виконаємо кроки, щоб отримати зворотне.

Крок 1. \(g(x)\)Замінити на\(y\).

\[\begin{aligned}\color{red}{g(x)}&\color{black}{=}\dfrac{2x-3}{4x+2} \\ \color{red}{y}&\color{black}{=}\dfrac{2x-3}{4x+2}\end{aligned}\]

Крок 2. Перемикайте\(y\) координати\(x\) та.

\[\begin{aligned}\color{red}{y}&\color{black}{=}\dfrac{2\color{red}{x}\color{black}{-}3}{4\color{red}{x}\color{black}{+}2} \\ \color{red}{x}&\color{black}{=}\dfrac{2\color{red}{y}\color{black}{-}3}{4\color{red}{y}\color{black}{+}2}\end{aligned}\]

Крок 3. Вирішити для\(y\).

\[\begin{aligned}x&=\dfrac{2\color{red}{y}\color{black}{-}3}{4\color{red}{y}\color{black}{+}2} \\ (\color{blue}{4y+2}\color{black}{)}\cdot x&=\dfrac{2\color{red}{y}-3}{\cancel{4\color{red}{y}\color{black}{+}2}}\cdot\color{black}{\cancel{(\color{blue}{4y+2})}} \\ 4x\color{red}{y}\color{black}{+}2x&=2\color{red}{y}\color{black}{-}3\end{aligned}\]

У цей момент ми бачимо, що є два терміни зі змінною\(\color{red}{y}\). Отже, ми повинні ізолювати терміни з одного\(\color{red}{y}\) боку, і\(\color{red}{y}\) враховувати, щоб вирішити для\(\color{red}{y}\).

\[\begin{aligned}4x\color{red}{y}\color{black}{+}2x&=2\color{red}{y}\color{black}{-}3 \\ 4x\color{red}{y}\color{black}{-}2\color{red}{y}&\color{black}{=}-2x-3 \\ \color{red}{y}\color{black}{(}4x-2)&=-2x-3 \\ \color{red}{y}&\color{black}{=}\dfrac{-2x-3}{4x-2}\end{aligned}\]

Крок 4. \(y\)Замінити на\(g^{-1}(x)\).

\[\begin{aligned}\color{red}{y}&\color{black}{=}\dfrac{-2x-3}{4x-2} \\ \color{red}{g^{-1}(x)}&\color{black}{=}\dfrac{-2x-3}{4x-2}\end{aligned}\]

Крок 5. Перевірте склад\(g^{−1} (x)\) і\(g(x)\):\(g(g^{-1}(x))=x\) або\(g^{-1}(g(x))=x\). Ми залишаємо цей крок для учня.

Таким чином, обернена функція\(g(x)\) є\(g^{−1} (x) = \dfrac{−2x − 3}{4x − 2}\).

Обмеження домену функції

У наступному прикладі ми злегка обговоримо ідею обмеження області функції. Дивіться, не всі функції є один-на-один, тобто не всі графіки функцій проходять тест горизонтальної лінії. Чи можемо ми зробити функції один-на-один? Чи можемо ми змусити графік функції пройти тест горизонтальної лінії? Так! Це де ми обмежуємо область функції так, що частина функції один до одного. Візьмемо просту функцію з бібліотеки,\(f(x) = x^{2}\). Ця функція не є один-на-один:

З наведеного вище малюнка графік\(f(x) = x^{2}\) не проходить тест горизонтальної лінії. Однак давайте обмежимо домен\(f(x)\) from\((−∞, ∞)\) до\([0, ∞)\):

Після графіків\(f(x) = x^{2}\) на обмеженому домені ми бачимо\([0, ∞)\), що\(f(x)\) проходить тест горизонтальної лінії, і, крім того, є один-на-один. Обережно! Функція\(f(x) = x^{2}\) є лише один до одного на обмеженому домені\([0, ∞)\).

Приклад Template:index

Знайдіть і графуйте зворотне значення\(f(x) = x^2\) на обмеженому домені\([0, ∞)\).

Рішення

Давайте спочатку знайдемо зворотну функцію\(f(x)\) на обмеженому домені\([0, ∞)\).

\[\begin{aligned}f(x)&=x^2 \\ y&=x^2 \\ x&=y^2 \\ \pm\sqrt{x}&=y \\ f^{-1}(x)&=\sqrt{x}\end{aligned}\]

Зверніть увагу, ми опускаємо негативне значення\(\sqrt{x}\) тому, що ми знаходимося на обмежений домен\([0, ∞)\), який не включає негативні значення. Таким чином, позитивний квадратний корінь є єдиним рішенням на\([0, ∞)\). Далі ми можемо зробити графік\(f^{-1}(x)=\sqrt{x}\):

Графіки\(f(x)\) і\(f^{−1} (x)\) є відображеннями один одного про лінію\(y = x\):

Таким чином, обернена функція of\(f(x) = x^2\) на обмеженому домені\([0, ∞)\) є\(f^{−1} (x) =\sqrt{x}\).

Примітка

Обмеження домену - корисне поняття, яке використовується протягом всієї математики. Від обернених тригонометричних функцій до обчислення інтегралів функцій з вертикальними асимптотами. Деякі з цих понять, які ми обговорюємо на початку алгебри, є критичними у вищій математиці.