10.7: Розв'язування з раціональними показниками

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58400

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У цьому розділі ми беремо рішення з радикалами на крок далі і застосовуємо радикали та раціональні показники для розв'язання рівнянь з показниками. Оскільки радикали мають деякі обмеження щодо радиканду, ми також матимемо деякі обмеження тут при застосуванні раціональних показників у процесі вирішення.

Непарна властивість кореня

Почнемо з випадку, що ми беремо непарний корінь рівняння.

Непарна властивість кореня

Якщо\(x^n=p\), де\(n\) непарно, то\(\sqrt{x}=\sqrt[n]{p}\). Зверніть увагу, радиканд може бути будь-яким дійсним числом, тобто\(p\) є будь-яким числом в\((-\infty, \infty)\).

Приклад Template:index

Вирішити:\(x^5=32\)

Рішення

Ми можемо легко застосувати властивість odd root для вирішення\(x\).

\[\begin{array}{rl}x^5=32&\text{Apply odd root property} \\ \sqrt[5]{x^5}=\sqrt[5]{32}&\text{Simplify} \\ x=2&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]

Приклад Template:index

Вирішити:\(4r^3-2=106\)

Рішення

Ми можемо легко застосувати властивість odd root для вирішення\(r\).

\[\begin{array}{rl}4r^3-2=106&\text{Isolate the variable term} \\ 4r^3=108&\text{Isolate }r^3 \\ r^3=27&\text{Apply odd root property} \\ \sqrt[3]{r^3}=\sqrt[3]{27}&\text{Simplify} \\ r=3&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]

Власність парного кореня

При рівних коренях ми маємо обмеження на радикаі там, де радиканд тут повинен бути ненегативним. Ми обговорювали це в попередньому розділі, наприклад, не\(\sqrt{-4}\) є дійсним числом. Ми продовжуємо це обмеження, приймаючи навіть коріння рівняння.

Власність парного кореня

Якщо\(x^n = p\), де\(n\) навіть, то\(x =\sqrt[n]{p}\)\( x = −\sqrt[n]{p}\) або ми можемо написати\(x = \pm\sqrt[n]{p}\). Зверніть увагу, радиканд може бути будь-яким дійсним невід'ємним числом, т\(p\geq 0\).

Приклад Template:index

Вирішити:\(x^4=16\)

Рішення

Ми можемо легко застосувати властивість even root для вирішення\(x\).

\[\begin{array}{rl}x^4=16&\text{Apply even root property} \\ \sqrt[4]{x^4}=\sqrt[4]{16}&\text{Simplify} \\ |x|=\pm 2 \\ x=\pm 2&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]

Зверніть увагу, це не було дано\(x ≥ 0\). Отже, ми не можемо припустити, що це так, тому ми ставимо абсолютне значення навколо\(x\). Після того, як ми перевіримо рішення (и), ми можемо видалити абсолютне значення навколо\(x\).

Примітка

У 1545 році французький математик Джероламо Кардано опублікував свою книгу «Велике мистецтво», або «Правила алгебри», яка включала рішення рівняння з четвертою силою, але багато хто вважав абсурдним приймати величину до четвертої влади, оскільки існує всього три виміри!

Приклад Template:index

Вирішити:\((2x + 4)^2 = 36\) Знайдіть і перевірте всі розв'язки, які задовольняють рівнянню.

Рішення

Ми можемо легко застосувати властивість even root для вирішення\(x\).

\[\begin{array}{rl}(2x+4)^2=36&\text{Apply even root property} \\ \sqrt{(2x+4)^2}=\pm\sqrt{36} &\text{Simplify }\sqrt{36} \\ 2x+4=\pm 6&\text{Rewrite into two equations} \\ 2x+4=6\quad\text{or}\quad 2x+4=-6&\text{Isolate the variable term in each equation} \\ 2x=2\quad\text{or}\quad 2x=-10&\text{Solve each equation} \\ x=1\quad\text{or}\quad x=-5&\text{Solutions}\end{array}\nonumber\]

Ми завжди можемо перевірити рішення\(1\),\(−5\) підставивши назад у вихідне рівняння:

\[\begin{array}{rl} (2x+4)^2=36&\text{Plug-n-chug }x=1 \\ (2(\color{blue}{1}\color{black}{)}+4)^2\stackrel{?}{=}36&\text{Simplify each side} \\ (2+4)^2\stackrel{?}{=}36 \\ 6^2\stackrel{?}{=}36 \\ 36=36&\checkmark\text{True}\end{array}\nonumber\]

Спробуємо наступне рішення\(x=-5\):

\[\begin{array}{rl}(2x+4)^2=36&\text{Plug-n-chug }x=-5 \\ (2(\color{blue}{-5}\color{black}{)}+4)^2\stackrel{?}{=}36&\text{Simplify each side} \\ (-10+4)^2\stackrel{?}{=}36 \\ (-6)^2\stackrel{?}{=}36 \\ 36=36&\checkmark\text{True}\end{array}\nonumber\]

Таким чином\(1\), (-5) є, по суті, розв'язками вихідного рівняння.

Приклад Template:index

Вирішити:\((6x − 9)^2 = 45\) Знайдіть і перевірте всі розв'язки, які задовольняють рівнянню.

Рішення

\[\begin{array}{rl}(6x-9)^2=45&\text{Apply even root property} \\ \sqrt{(6x-9)^2}=\pm \sqrt{45}&\text{Simplify }\sqrt{45} \\ 6x-9=\pm 3\sqrt{5}&\text{Isolate the variable term} \\ 6x=9\pm 3\sqrt{5}&\text{Divide both sides by }6 \\ x=\dfrac{9\pm 3\sqrt{5}}{6}&\text{Factor a GCF from numerator} \\ x=\dfrac{\color{blue}{\cancel{3}}\color{black}{9}3\pm\sqrt{5})}{\color{blue}{\cancelto{2}{6}}} &\color{black}{\text{Simplify}} \\ x=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]

Зверніть увагу, ми не розділили рівняння на два різних рівняння і вирішити. Оскільки\(\sqrt{45}\) це ірраціональне число, ми можемо залишити\(±\) і вирішити як зазвичай. Ми залишаємо перевірку рішень студенту.

Приклад Template:index

Вирішити:\(256w^8+40=41\)

Рішення

Ми повинні спочатку ізолювати змінну термін, тоді ми можемо застосувати властивість even root.

\[\begin{array}{rl}256w^8+40=41&\text{Isolate the variable term.} \\ 256w^8=1&\text{Divide each side by }256\\ w^8=\dfrac{1}{256}&\text{Apply even root property} \\ \sqrt[8]{w^8}=\pm\sqrt[8]{\dfrac{1}{256}}&\text{Simplify the radicals} \\ |w|=\pm\dfrac{1}{2} \\ w=\pm\dfrac{1}{2}&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]

Зверніть увагу, це не було дано\(w\geq 0\). Отже, ми не можемо припустити, що це так, і ми ставимо абсолютне значення навколо\(w\). Після того, як ми перевіримо рішення (и), ми можемо видалити абсолютне значення навколо\(w\).

Розв'язування рівнянь з раціональними показниками

Коли експоненти є дробами, ми перетворюємо раціональну експоненту в радикальний вираз для розв'язання. Нагадаємо,\(a^{\dfrac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m\). Потім ми очищаємо показник, застосовуючи або парне, або непарне властивість кореня і вирішуємо як зазвичай.

Етапи розв'язання рівнянь з раціональними показниками

Враховуючи рівняння з раціональними показниками, ми можемо виконати наступні кроки для вирішення.

Крок 1. Перепишіть будь-які раціональні показники як радикали.

Крок 2. Застосуйте властивість непарного або парного кореня. Нагадаємо, навіть коріння вимагають від радикаі бути позитивним, якщо не зазначено інше.

Крок 3. Підніміть кожну сторону до сили кореня.

Крок 4. Вирішити. Перевірте рішення, особливо коли є рівний корінь.

Приклад Template:index

Вирішити:\((4x+1)^{\dfrac{2}{5}}=9\). Припустимо, що всі змінні є позитивними.

Рішення

Виконуємо кроки для того, щоб вирішити рівняння з раціональним показником.

Крок 1. Перепишіть будь-які раціональні показники як радикали. \[\begin{aligned} (4x+1)^{\dfrac{2}{5}}&=9 \\ (\sqrt[5]{4x+1})^2&=9\end{aligned}\]

Крок 2. Застосуйте властивість непарного або парного кореня. Нагадаємо, навіть коріння вимагають від радикаі бути позитивним, якщо не зазначено інше.
Так як ми беремо квадратний корінь, який рівний, то застосовуємо властивість even root:\[\begin{aligned}(\sqrt[5]{4x+1})^2&=9 \\ \sqrt[5]{4x+1}&=\pm\sqrt{9} \\ \sqrt[5]{4x+1}=\pm 3\end{aligned}\]

Крок 3. Підніміть кожну сторону до сили кореня.
Так як корінь є\(5\), то ми можемо підняти кожну сторону до п'ятої потужності:\[\begin{aligned}\sqrt[5]{4x+1}&=\pm 3 \\ (\sqrt[5]{4x+1})^5&=(\pm 3)^5 \\ 4x+1&=\pm 243\end{aligned}\]

Крок 4. Вирішити. Перевірте рішення, особливо коли є рівний корінь. \[\begin{array}{rll}4x+1=243&\text{or}&4x+1=-243 \\ 4x=242&\text{or}&4x=-244 \\ x=\dfrac{242}{4}&\text{or}&x=-61 \\ x=\dfrac{121}{2}&\text{or}&x=-61\end{array}\nonumber\]Ми можемо перевірити всі рішення. Давайте почнемо з перевірки, що\(x=-61\) це рішення. \[\begin{aligned}(\sqrt[5]{4x+1})^2&=9 \\ (\sqrt[5]{4(\color{blue}{-61}\color{black}{)}+61})^2&\stackrel{?}{=}9 \\ (\sqrt[5]{-244+1})^2&\stackrel{?}{=}9 \\ (\sqrt[5]{-243})^2&\stackrel{?}{=}9 \\ (-3)^2&\stackrel{?}{=}9 \\ 9&=9\:\checkmark\text{ True}\end{aligned}\]Перевірку другого рішення залишаємо учневі.

Таким чином, розв'язки рівняння є\(\dfrac{121}{2},-61\).

Приклад Template:index

Вирішити:\((3x-2)^{\dfrac{3}{4}}=64\)

Рішення

Виконуємо кроки для того, щоб вирішити рівняння з раціональним показником.

Крок 1. Перепишіть будь-які раціональні показники як радикали. \[\begin{aligned}(3x-2)^{\dfrac{3}{4}}&=64 \\ (\sqrt[4]{3x-2})^3&=64 \end{aligned}\]

Крок 2. Застосуйте властивість непарного або парного кореня. Нагадаємо, навіть коріння вимагають від радикаі бути позитивним, якщо не зазначено інше.
Так як ми беремо кубічний корінь, який непарний, то застосовуємо властивість odd root:\[\begin{aligned}(\sqrt[4]{3x-2})^3&=64 \\ \sqrt[4]{3x-2}&=\sqrt[3]{64} \\ \sqrt[4]{3x-2}&=4\end{aligned}\]

Крок 3. Підніміть кожну сторону до сили кореня.
Так як корінь є\(4\), то ми можемо підняти кожну сторону до четвертої потужності:\[\begin{aligned}\sqrt[4]{3x-2}&=4 \\ (\sqrt[4]{3x-2})^4&=4^4 \\ 3x-2&=256\end{aligned}\]

Крок 4. Вирішити. Перевірте рішення, особливо коли є рівний корінь. \[\begin{aligned}3x-2&=256 \\ 3x&=258 \\ x&=86\end{aligned}\]Оскільки в вихідному рівнянні є рівний корінь, ми повинні перевірити рішення. \[\begin{aligned}(\sqrt[4]{3x-2})^3&=64 \\ (\sqrt[4]{3(\color{blue}{86}\color{black}{)}-2})^3&\stackrel{?}{=}64 \\ (\sqrt[4]{258-2})^3&\stackrel{?}{=}64 \\ (\sqrt[4]{256})^3&\stackrel{?}{=}64 \\ (4)^3&\stackrel{?}{=}64 \\ 64&=64\:\checkmark\text{ True}\end{aligned}\]

Таким чином, рішення є\(86\).

При вирішенні рівнянь з раціональними показниками дуже корисно перетворити рівняння в їх радикальну форму, щоб ми могли побачити, яку властивість нам потрібно використовувати, і визначити, чи потрібно нам перевіряти розв'язки через рівний корінь у вихідному рівнянні.