2.3: паралельні і перпендикулярні лінії
- Page ID
- 58364
У цьому розділі ми обговоримо паралельні і перпендикулярні лінії. Взаємозв'язок між паралельними лініями і між перпендикулярними лініями унікальна, де ухил буде найбільш цікавий нам в цьому розділі.
Нахил паралельних і перпендикулярних ліній
Знайдіть нахил кожної лінії і порівняйте. Чим цікаві схили?
Рішення
Дивлячись на\(ℓ_1\), ми можемо почати\((−3, 1)\) і досягти наступної точки в\((0, −1)\). Бачимо, що зрушимо вниз дві одиниці і біжимо до\(3\) потрібних юнітів. Отже,\(ℓ_1\) нахил є\(−\frac{2}{3}\). Тепер давайте розглянемо\(ℓ_2\) і отримаємо його ухил. Ми почнемо з\((0, 2)\) і досягнемо наступної точки в\((3, 0)\). Бачимо, що зрушимо вниз дві одиниці і біжимо до\(3\) потрібних юнітів. Отже,\(ℓ_2\) нахил є\(−\frac{2}{3}\). Схили\(ℓ_1\) і\(ℓ_2\) є\(−\frac{2}{3}\); вони мають однаковий точний нахил, але різні\(y\) -перехоплення.
Нехай\(m_1\) і\(m_2\) будуть укоси для ліній\(ℓ_1\) і\(ℓ_2\), відповідно. Лінії\(ℓ_1\) і\(ℓ_2\) паралельні один одному, якщо вони мають однаковий нахил, але різні\(y\) -перехоплює, т. Е\(m_1 = m_2\).
Знайдіть нахил кожної лінії і порівняйте. Чим цікаві схили?
Рішення
Дивлячись на\(ℓ_1\), ми можемо почати\((−3, 1)\) і досягти наступної точки в\((0, −1)\). Бачимо, що зрушимо вниз дві одиниці і біжимо до\(3\) потрібних юнітів. Отже,\(ℓ_1\) нахил є\(−\frac{2}{3}\). Тепер давайте розглянемо\(ℓ_2\) і отримаємо його ухил. Ми почнемо з\((−2, −1)\) і досягнемо наступної точки в\((0, 2)\). Бачимо, що будемо рухатися вгору на три одиниці і біжимо до\(2\) потрібних юнітів. Отже,\(ℓ_2\) нахил є\(\frac{3}{2}\). Нахили\(ℓ_1\) і\(ℓ_2\) негативні зворотні, тобто якщо один має нахил, то лінія\(m\), перпендикулярна йому, матиме нахил\(−\frac{1}{m}\). Також врахуйте, що якщо дві лінії перпендикулярні, вони створюють прямий кут на перетині.
Нехай\(m_1\) і\(m_2\) будуть укоси для ліній\(ℓ_1\) і\(ℓ_2\), відповідно. Лінії\(ℓ_1\) і\(ℓ_2\) розташовуються перпендикулярно один одному, якщо мають негативні взаємні ухили, тобто мають\(ℓ_1\) нахил\(m_1\) і мають\(ℓ_2\) ухил\(m_2 = −\frac{1}{m_1}\).
Знайти нахил прямої паралельної\(5y − 2x = 7\).
Рішення
Нам потрібно переписати рівняння у вигляді нахилу-перехоплення. Потім ми можемо визначити ухил і нахил для паралельної йому лінії.
\[\begin{array}{rl}5y-2x=7&\text{Isolate the variable term }5y \\ 5y-2x+\color{blue}{2x}\color{black}{}=7+\color{blue}{2x}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ 5y=2x+7&\text{Multiply by the reciprocal of }5 \\ \color{blue}{\frac{1}{5}}\color{black}{}\cdot 5y=\color{blue}{\frac{1}{5}}\color{black}{}\cdot 2x+7\cdot\color{blue}{\frac{1}{5}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ y=\frac{2}{5}x+\frac{7}{5}\end{array}\nonumber\]
Бачимо нахил даної лінії є\(\frac{2}{5}\). За визначенням, паралельна лінія буде мати однаковий нахил\(\frac{2}{5}\).
Знайдіть нахил прямої перпендикулярної\(3x − 4y = 2\).
Рішення
Нам потрібно переписати рівняння у вигляді нахилу-перехоплення. Потім ми можемо визначити нахил і нахил для перпендикулярної йому лінії.
\[\begin{array}{rl}3x-4y=2&\text{Isolate the variable term }-4y \\ 3x-4y+\color{blue}{(-3x)}\color{black}{}=2+\color{blue}{(-3x)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ -4y=-3x+2&\text{Multiply by the reciprocal of }-4 \\ \color{blue}{-\frac{1}{4}}\color{black}{}\cdot -4y=\color{blue}{-\frac{1}{4}}\color{black}{}\cdot -3x+2\cdot\color{blue}{-\frac{1}{4}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ y=\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}\end{array}\nonumber\]
Бачимо нахил даної лінії є\(\frac{3}{4}\). За визначенням, лінія перпендикулярна матиме негативний зворотний нахил\(-\frac{4}{3}\).
Отримати рівняння для паралельних і перпендикулярних
Після того, як ми отримали нахил для прямої, перпендикулярної або паралельної, можна знайти повне рівняння другої лінії, якщо нам задано точку на другій лінії.
Знайти рівняння прямої, що проходить\((4, −5)\) і паралельно\(2x − 3y = 6\).
Рішення
По-перше, ми можемо переписати задану лінію у вигляді ухилу перехоплення, щоб отримати нахил для паралельної їй лінії:\[\begin{array}{rl}2x-3y=6&\text{Isolate the variable term }-3y \\ 2x-3y+\color{blue}{(-2x)}\color{black}{}=6+\color{blue}{(-2x)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ -3y=-2x+6&\text{Multiply by the reciprocal of }-3 \\ \color{blue}{-\frac{1}{3}}\color{black}{}\cdot -3y=\color{blue}{-\frac{1}{3}}\color{black}{}\cdot -2x+6\cdot\color{blue}{-\frac{1}{3}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ y=\frac{2}{3}x-2\end{array}\nonumber\]
Бачимо нахил даної лінії є\(\frac{2}{3}\). За визначенням, паралельна лінія буде мати однаковий нахил\(\frac{2}{3}\). Далі ми можемо використовувати формулу точка-нахил, щоб отримати рівняння лінії, що проходить\((4, −5)\) з нахилом\(\frac{2}{3}\):\[\begin{array}{rl}y-y_1=m(x-x_1)&\text{Substitute in the point and slope} \\ y-(-5)=\frac{2}{3}(x-4)&\text{Simplify signs} \\ y+5=\frac{2}{3}(x-4)&\text{A line parallel to }2x-3y=6\text{ in point-slope form}\end{array}\nonumber\]
Знайти рівняння прямої, в ухилі-перехоплення формі, що проходить наскрізь\((6, −9)\) і перпендикулярно до\(y = −\frac{3}{5}x + 4\).
Рішення
Оскільки дана лінія знаходиться у вигляді ухил-перехоплення, ми можемо легко спостерігати нахил і нахил для прямої перпендикулярної. Бачимо нахил даної лінії є\(−\frac{3}{5}\). За визначенням, лінія перпендикулярна матиме негативний зворотний нахил\(\frac{5}{3}\). Далі ми можемо використовувати формулу точка-нахил, щоб отримати рівняння у формі нахилу перехоплення лінії, що проходить\((6, −9)\) з нахилом\(\frac{5}{3}\):\[\begin{array}{rl} y-y_1=m(x-x_1)&\text{Substitute in the point and slope} \\ y-(-9)=\frac{5}{3}(x-6)&\text{Simplify signs} \\ y+9=\frac{5}{3}(x-6)&\text{Distribute} \\ y+9=\frac{5}{3}x-10&\text{Isolate the variable term }y \\ y+9+\color{blue}{(-9)}\color{black}{}=\frac{5}{3}x-10+\color{blue}{(-9)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ y=\frac{5}{3}x-19&\text{A line perpendicular to }y=-\frac{3}{5}x+4\text{ in slope-intercept form}\end{array}\nonumber\]
Лінії з нульовими нахилами та невизначені схили можуть здатися протилежними, оскільки горизонтальна лінія має нульовий нахил, а вертикальна лінія має нахил, який не визначено. Оскільки горизонтальна лінія перпендикулярна вертикальній лінії, можна сказати, за визначенням, нахили негативні зворотні\(m_2 = −\frac{1}{0}\),\(m_1 = 0\) т. Е.
Знайти рівняння прямої, що проходить через\((3, 4)\) і перпендикулярно до\(x = −2\).
Рішення
Оскільки\(x = −2\) є вертикальною лінією, то ця лінія має нахил, який не визначено. Значить, перпендикулярна їй лінія матиме ухил нуль, т\(m = 0\). Далі ми можемо використовувати формулу точка-нахил, щоб отримати рівняння у формі нахилу перехоплення лінії, що проходить\((3, 4)\) з нахилом\(m = 0\):\[\begin{array}{rl}y-y_1=m(x-x_1)&\text{Substitute in the point and slope} \\ y-4=0(x-3)&\text{Distribute} \\ y-4=0&\text{Isolate the variable term }y \\ y-4+\color{blue}{4}\color{black}{}=0+\color{blue}{4}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ y=4&\text{A line perpendicular to }x=-2\end{array}\nonumber\]
Тепер, оскільки ми усвідомлюємо, що лінія, перпендикулярна вертикальній лінії, є горизонтальною лінією, і нам дали точку\((3, 4)\), ми могли б легко перейти до рівняння\(y = 4\).
Домашнє завдання з паралельних і перпендикуляр
За даною лінією знайдіть нахил паралельної прямої.
\(y = 2x + 4\)
\(y = 4x − 5\)
\(x − y = 4\)
\(7x + y = −2\)
\(y = − \frac{2}{3} x + 5\)
\(y = − \frac{10}{3} x − 5\)
\(6x − 5y = 20\)
\(3x + 4y = −8\)
За даною лінією знайдіть нахил прямої перпендикулярної.
\(x=3\)
\(y = −\frac{1}{3} x\)
\(x − 3y = −6\)
\(x + 2y = 8\)
\(y = − \frac{1}{2} x − 1\)
\(y = \frac{4}{5} x\)
\(3x − y = −3\)
\(8x − 3y = −9\)
Знайдіть рівняння прямої, в точково-нахиленій формі, що проходить через точку і задана лінія паралельна або перпендикулярна.
\((2, 5)\); паралельно\(x = 0\)
\((5, 2)\); паралельно\(y = \frac{7}{5} x + 4\)
\((3, 4)\); паралельно\(y = \frac{9}{2} x − 5\)
\((1, −1)\); паралельно\(y = − \frac{3}{4} x + 3\)
\((2, 3)\); паралельно\(y = \frac{7}{5}x + 4\)
\((−1, 3)\); паралельно\(y = −3x − 1\)
\((4, 2)\); паралельно\(x = 0\)
\((1, 4)\); паралельно\(y = \frac{7}{5} x + 2\)
\((1, −5)\); перпендикулярно\(−x + y = 1\)
\((1, −2)\); перпендикулярно\(−x + 2y = 2\)
\((5, 2)\); перпендикулярно\(5x + y = −3\)
\((1, 3)\); перпендикулярно\(−x + y = 1\)
\((4, 2)\); перпендикулярно\(−4x + y = 0\)
\((−3, −5)\); перпендикулярно\(3x + 7y = 0\)
\((2, −2)\); перпендикулярно\(3y − x = 0\)
\((−2, 5)\); перпендикулярно\(y − 2x = 0\)
Знайдіть рівняння прямої, в ухилово-перехопленому вигляді, що проходить через точку і задана лінія паралельна або перпендикулярна.
\((4, −3)\); паралельно\(y = −2x\)
\((−5, 2)\); паралельно\(y = \frac{3}{5} x\)
\((−3, 1)\); паралельно\(y = − \frac{4}{3} x − 1\)
\((−4, 0)\); паралельно\(y = − \frac{5}{4} x + 4\)
\((−4, −1)\); паралельно\(y = − \frac{1}{2}x + 1\)
\((2, 3)\); паралельно\(y = \frac{5}{2} x − 1\)
\((−2, −1)\); паралельно\(y = − \frac{1}{2} x − 2\)
\((−5, −4)\); паралельно\(y = \frac{3}{5} x − 2\)
\((4, 3)\); перпендикулярно\(x + y = −1\)
\((−3, −5)\); перпендикулярно\(x + 2y = −4\)
\((5, 2)\); перпендикулярно\(x = 0\)
\((5, −1)\); перпендикулярно\(−5x + 2y = 10\)
\((−2, 5)\); перпендикулярно\(−x + y = −2\)
\((2, −3)\); перпендикулярно\(−2x + 5y = −10\)
\((4, −3)\); перпендикулярно\(−x + 2y = −6\)
\((−4, 1)\); перпендикулярно\(4x + 3y = −9\)