2.2: Рівняння ліній
- Page ID
- 58365
У цьому розділі ми обговорюємо застосування формул для отримання рівнянь ліній, графічних ліній та особливих випадків. Якщо ми зможемо визначити деякі властивості лінії, ми можемо графікувати лінію набагато швидше і простіше.
Формула перехоплення ухилу
Одним з таких методів є знаходження ухилу і\(y\) -перехоплення рівняння. Нахил може бути представлений\(m\), а\(y\) -intercept може бути представлений\((0, b)\), де\(b\) -\(y\) значення, при якому графік перетинає\(y\) вісь -. Будь-яка інша точка на лінії може бути зображена\((x, y)\).
Доведіть формулу перехоплення нахилу, використовуючи формулу нахилу для лінії, яка має нахил\(m\),\(y\) -перехоплення\((0, b)\), і проходить через точку\((x, y)\).
Рішення
\[\begin{array}{rl}m=\frac{y-b}{x-0}&\text{Simplify} \\ m=\frac{y-b}{x}&\text{Multiply both sides by }x \\ mx=y-b&\text{Add }b\text{ to both sides} \\ mx+b=y \\ y=mx+b&\text{Slope-intercept formula}\end{array}\nonumber\]
Формула ухил-перехоплення лінійного рівняння задається\(y = mx + b\) тим, де\(m\) - нахил і\((0, b)\)\(y\) -перехоплення.
Знайдіть рівняння прямої з нахилом\(\frac{3}{4}\) і\(y\) -перехопленням\((0, −3)\).
Рішення
\[\begin{array}{rl}y=mx+b &m\text{ is the slope, }b\text{ is the }y\text{-intercept} \\ y=\color{blue}{\frac{3}{4}}\color{black}{}x\color{blue}{-3}\color{black}{}&\text{Equation of the line}\end{array}\nonumber\]
Знайдіть рівняння прямої.
Рішення
\(y\)-intercept - це місце, де графік перетинає\(y\) вісь -. Ми бачимо, з графіка, що лінія перетинає\(y\) -вісь в\((0, 3)\). Отже,\(b = 3\). Щоб знайти нахил, підраховуємо підйом і бігаємо одиниці. Ми бачимо, що піднімаємося вниз\(2\) одиниці і біжимо до\(3\) потрібних одиниць. Значить, нахил є\(−\frac{2}{3}\). Тепер ми можемо скласти рівняння прямої разом у вигляді нахилу-перехоплення, де\(m = −\frac{2}{3}\) і\(b = 3\):
\[y=-\frac{2}{3}x+3\nonumber\]
Лінії у формі перехоплення нахилу
Ми також можемо визначити нахил і\(y\) -перехоплення, і графік рівняння з заданого рівняння. Однак нам потрібно бути впевненим, що рівняння знаходиться у формі перехоплення нахилу. Якщо його немає, доведеться переписати рівняння у вигляді нахилу-перехоплення, тобто вирішити рівняння для\(y\). Тоді ми можемо легко визначити нахил і\(y\) -перехоплення.
Запишіть рівняння\(2x − 4y = 6\) у вигляді ухил-перехоплення. Знайти нахил і\(y\) -перехоплення лінії.
Рішення
\[\begin{array}{rl}2x-4y=6&\text{Isolate the variable term }-4y \\ 2x-4y+\color{blue}{(-2x)}\color{black}{}=6+\color{blue}{(-2x)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ -4y=6-2x &\text{Multiply by the reciprocal of }-4 \\ \color{blue}{-\frac{1}{4}}\color{black}{}\cdot -4y=\color{blue}{-\frac{1}{4}}\color{black}{}\cdot 6-2x\cdot\color{blue}{-\frac{1}{4}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}&\text{Slope-intercept form}\end{array}\nonumber\]
Далі визначаємо ухил і\(y\) -перехоплення. Якщо вибудувати загальну форму нахилу-перехоплення з отриманим рівнянням, ми можемо легко побачити\(m\) і\(b\):\[\begin{array}{llll} y&=&mx&+b \\ y&=&\color{blue}{\frac{1}{2}}\color{black}{}x &\color{blue}{-\frac{3}{2}}\end{array}\nonumber\]
Значить\(b = −\frac{3}{2}\),\(m = \frac{1}{2}\) і, тобто нахил є\(\frac{1}{2}\) і\(y\) -перехоплення є\(−\frac{3}{2}\).
Графічні лінії
Після того, як у нас є рівняння у формі перехоплення нахилу, ми можемо графікувати його, спочатку побудувавши\(y\) -перехоплення, а потім застосувавши нахил, щоб знайти другу точку і навіть третю точку. З'єднуємо ці точки, щоб вийшла лінія. Давайте подивимося на приклад\(\PageIndex{4}\) і графуємо лінію.
Графік\(y =\frac{1}{2} x −\frac{3}{2}\) за допомогою нахилу і\(y\) -перехоплення.
Рішення
\(y\)-intercept, або\(b\), де графік перетинає\(y\) -вісь. Ми знаємо з Приклад\(\PageIndex{4}\), що\(y\) -intercept є\(−\frac{3}{2}\) і лінія буде перетинати\(y\) -вісь в\(\left(0,-\frac{3}{2}\right)\). Нахил є\(\frac{1}{2}\), і, користуючись\(\frac{rise}{run}\), нам потрібно піднятися вгору\(1\) юнітом і бігти до\(2\) потрібних одиниць, щоб дістатися до наступної точки. Продовжуємо викрійку до отримання третьої точки. Тепер ми можемо з'єднати точки і створити чітко окреслену лінію. Обов'язково намалюйте його, щоб заповнити сітку.
Коли ми графували лінію шляхом побудови точок з таблиці, ми отримали три точки. Отже, у прикладі ми отримали три точки\(\PageIndex{5}\), а потім намалювали лінію. Отримання трьох точок на лінії є звичайною практикою і допоможе при проведенні будь-якої лінії, навіть особливих випадків.
Перед нашою нинішньою системою графіків французький математик Ніколь Оресме в 1323 році запропонувала графічні лінії, які більше нагадували б гістограми з постійним нахилом.
Запишіть рівняння\(3x + 4y = 12\) у вигляді ухил-перехоплення. Знайдіть нахил і\(y\) -перехоплення лінії, а потім графік лінії.
Рішення
\[\begin{array}{rl}3x+4y=12&\text{Isolate the variable term }4y \\ 3x+4y+\color{blue}{(-3x)}\color{black}{}=12+\color{blue}{(-3x)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ 4y=12-3x&\text{Multiply by the reciprocal of }4 \\ \color{blue}{\frac{1}{4}}\color{black}{}\cdot 4y=\color{blue}{\frac{1}{4}}\color{black}{}\cdot 12-3x\cdot\color{blue}{\frac{1}{4}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ y=-\frac{3}{4}x+3&\text{Slope-intercept form}\end{array}\nonumber\]
Ні, ми можемо графік лінії. Ми бачимо\(y\) -intercept є\(3\) і лінія буде перетинати\(y\) -вісь в\((0, 3)\). Нахил є\(−\frac{3}{4}\), і, використовуючи\(\frac{rise}{run}\), нам потрібно підніматися вниз\(3\) одиниць і бігти до\(4\) потрібних одиниць, щоб досягти наступної точки. Продовжуємо викрійку до отримання третьої точки. Тепер ми можемо з'єднати точки і створити чітко окреслену лінію. Обов'язково намалюйте його, щоб заповнити сітку.
Вертикальні та горизонтальні лінії
Лінії з нульовим або невизначеним нахилом можуть змусити проблему здаватися дуже іншою. Нульовий ухил, або горизонтальна лінія, просто матиме ухил в нуль. Отже, рівняння просто стає\(y = b\) або\(y\) дорівнює\(y\) -координаті графа. Якщо у нас є невизначений нахил або вертикальна лінія, рівняння не може бути записано у формі перехоплення нахилу, оскільки нахил не визначено. Значить,\(y\) в цих рівняннях немає. Ми просто зробимо\(x\) рівним\(x\) -координату графа.
Графік лінії\(x=-4\).
Рішення
Оскільки\(x = −4\) це вертикальна лінія, то ми знаємо, що ця лінія не має нахилу і лінія знаходиться на самому крутому місці. Кожна\(x\) -координата на цьому рядку є,\(−4\) і лінія не має пробігу. Ми можемо легко графікувати цю лінію шляхом побудови трьох точок, де\(x\) -coordinate є\(−4\). Давайте побудуємо\((−4, −1),\: (−4, 0),\) і\((−4, 2)\); потім з'єднаємо точки з чітко окресленою лінією.
Графік лінії\(y=1\).
Рішення
Оскільки\(y = 1\) це горизонтальна лінія, то ми знаємо, що ця лінія має нульовий нахил, а лінія знаходиться на самому рівному рівні. Кожна\(y\) -координата на цій лінії є,\(1\) і лінія не має підйому. Ми можемо легко графікувати цю лінію шляхом побудови трьох точок, де\(y\) -coordinate є\(1\). Давайте побудуємо\((3, 1),\: (0, 1),\) і\((−2, 1)\); потім з'єднаємо точки з чітко окресленою лінією.
Формула точки-нахилу
Форма перехоплення нахилу має перевагу в тому, що вона проста у запам'ятовуванні та використанні. Однак у нього є один головний недолік: ми повинні знати\(y\) -intercept, щоб графікувати лінію. Як правило, ми не знаємо\(y\) -перехоплення, але, як правило, знаємо одну або кілька точок на лінії, які не є\(y\) -перехоплення. У цих випадках ми не можемо використовувати рівняння перехоплення нахилу, тому нам знадобиться більш загальна формула, яка допоможе нам у графічних лініях. Якщо нахил лінії є\(m\), і точка\((x_1, y_1)\) бути певною точкою на лінії, і будь-яка інша точка на лінії бути\((x, y)\), то ми можемо використовувати це, щоб знайти цю загальну формулу.
\[\begin{array}{rl}m,\: (x_1,y_1),\: (x,y)&\text{Recall slope formula} \\ \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=m&\text{Plug in values} \\ \frac{y-y_1}{x-x_1}=m&\text{Multiply both sides by }(x-x_1) \\ y-y_1=m(x-x_1)&\text{New formula}\end{array}\nonumber\]
Формула точка-нахил задається\[y-y_1=m(x-x_1),\nonumber\] заданим нахилом,\(m\) а точка\((x_1, y_1)\) знаходиться на прямій.
Використовуючи формулу точка-нахил, запишіть рівняння прямої, що проходить через точку\((3, −4)\) з нахилом\(\frac{3}{5}\).
Рішення
\[\begin{array}{rl}y-y_1=m(x-x_1)&\text{Plug values into point-slope formula} \\ y-(-4)=\frac{3}{5}(x-3)&\text{Simplify signs} \\ y+4=\frac{3}{5}(x-3)&\text{Equation in point-slope form}\end{array}\nonumber\]
Часто ми вважаємо за краще, щоб остаточні відповіді були написані в ухилі-перехоплення формі. Якщо напрямки віддають перевагу рівнянням прямої в ухилі-перехопленому вигляді, ми можемо розподілити нахил, потім вирішити для\(y\).
Давайте перепишемо приклад\(\PageIndex{9}\) у формі перехоплення нахилу:\(y + 4 =\frac{3}{5} (x −3)\)
Рішення
\[\begin{array}{rl}y+4=\frac{3}{5}(x-3)&\text{Distribute} \\ y+4=\frac{3}{5}x-\frac{9}{5}&\text{Isolate the variable term }y \\ y+4+\color{blue}{(-4)}\color{black}{}=\frac{3}{5}x-\frac{9}{5}+\color{blue}{(-4)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ y=\frac{3}{5}x-\frac{11}{5}&\text{Slope-intercept form}\end{array}\nonumber\]
Запишіть рівняння прямої, що проходить через точку\((−6, 2)\) з нахилом\(−\frac{2}{3}\) в ухилі-перехоплення вигляді.
Рішення
\[\begin{array}{rl}y-y_1=m(x-x_1)&\text{Substitute values into the point-slope formula} \\ y-2=-\frac{2}{3}(x-(-6))&\text{Simplify} \\ y-2=-\frac{2}{3}(x+6)&\text{Distribute} \\ y-2=-\frac{2}{3}x-4&\text{Isolate the variable term }y \\ y-2+\color{blue}{2}\color{black}{}=-\frac{2}{3}x-4+\color{blue}{2}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ y=-\frac{2}{3}x-2&\text{Slope-intercept form}\end{array}\nonumber\]
Отримання лінії, заданої двома точками
Для того щоб знайти рівняння прямої, нам потрібно знати нахил. Якщо нам не дано нахилу, а лише дві точки на лінії, то ми завершуємо деякі попередні роботи для отримання ухилу. Тоді ми можемо використовувати формулу точки-нахилу, як зазвичай, для отримання рівняння прямої.
Знайти рівняння прямої, що проходить через точки\((−3, 4)\) і\((−1, −2)\) в ухилово-перехопленому вигляді
Рішення
Оскільки нам дано дві точки, ми можемо використовувати формулу нахилу для отримання ухилу:\[\begin{array}{rl}m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}&\text{Substitute in the ordered-pairs} \\ m=\frac{-2-4}{-1-(-3)}&\text{Simplify} \\ m=\frac{-6}{2} \\ m=-3&\text{Slope}\end{array}\nonumber\]
Тепер, коли у нас є нахил, ми можемо plug-n-chug нахил і одну з точок у формулу pointslope. Зверніть увагу, що у нас є два пункти, і ми можемо вибрати будь-який з них; результати будуть однаковими. Давайте виберемо\((−3, 4)\) з ухилом\(m = −3\).
\[\begin{array}{rl}y-y_1=m(x-x_1)&\text{Substitute in the point and slope} \\ y-4=-3(x-(-3))&\text{Simplify} \\ y-4=-3(x+3)&\text{Distribute} \\ y-4=-3x-9&\text{Isolate the variable term }y \\ y-4+\color{blue}{4}\color{black}{}=-3x-9+\color{blue}{4}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ y=-3x-5&\text{Slope-intercept form}\end{array}\nonumber\]
Знайдіть рівняння прямої через точки\((6, −2)\) і\((−4, 1)\) в ухилі-перехопленому вигляді.
Рішення
Оскільки нам дано дві точки, ми можемо використовувати формулу нахилу для отримання ухилу:\[\begin{array}{rl}m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}&\text{Substitute in the ordered-pairs} \\ m=\frac{1-(-2)}{-4-6}&\text{Simplify} \\ m=-\frac{3}{10}&\text{Slope}\end{array}\nonumber\]
Тепер, коли у нас є нахил, ми можемо plug-n-chug нахил і одну з точок у формулу pointslope. Зверніть увагу, що у нас є два пункти, і ми можемо вибрати будь-який з них; результати будуть однаковими. Давайте виберемо\((−4, 1)\) з ухилом\(m = −\frac{3}{10}\).
\[\begin{array}{rl}y-y_1=m(x-x_1)&\text{Substitute in the point and slope} \\ y-3=-\frac{3}{10}(x-(-4))&\text{Simplify} \\ y-1=-\frac{3}{10}(x+4)&\text{Distribute} \\ y-1=-\frac{3}{10}x-\frac{6}{5}&\text{Isolate the variable term }y \\ y-1+\color{blue}{1}\color{black}{}=-\frac{3}{10}x-\frac{6}{5}+\color{blue}{1}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ y=-\frac{3}{10}x-\frac{1}{5}&\text{Slope-intercept form}\end{array}\nonumber\]
Місто Кенігсберг (нині Калінінград, Росія) мав річку, яка протікала через місто, розбиваючи його на кілька частин. Було 7 мостів, які з'єднували частини міста. У 1735 році Леонхард Ейлер розглядав питання про те, чи можна перетинати кожен міст рівно один раз і тільки один раз. Виявилося, що ця проблема неможлива, але робота заклала основу того, що згодом стане теорією графів.
Рівняння ліній Домашнє завдання
Запишіть рівняння прямої у вигляді ухил-перехоплення з урахуванням нахилу і\(y\) -перехоплення.
\(m = 2,\: y-intercept = 5\)
\(m = 1,\: y-intercept = −4\)
\(m = −\frac{3}{4},\: y-intercept = −1\)
\(m = \frac{1}{3},\: y-intercept = 1\)
\(m = −6,\: y-intercept = 4\)
\(m = −1,\: y-intercept = −2\)
\(m = −\frac{1}{4},\: y-intercept = 3\)
\(m = \frac{2}{5},\: y-intercept = 5\)
Запишіть рівняння прямої в ухилі-перехопленому вигляді за заданим графіком або рівнянням.
\(x + 10y = −37\)
\(2x + y = −1\)
\(7x − 3y = 24\)
\(x = −8\)
\(y − 4 = −(x + 5)\)
\(y − 4 = 4(x − 1)\)
\(y + 5 = −4(x − 2)\)
\(y + 1 = −\frac{1}{2} (x − 4)\)
\(x − 10y = 3\)
\(6x − 11y = −70\)
\(4x + 7y = 28\)
\(x − 7y = −42\)
\(y − 5 = \frac{5}{2} (x − 2)\)
\(y − 3 = −\frac{2}{3} (x + 3)\)
\(0 = x − 4\)
\(y + 2 = \frac{6}{5} (x + 5)\)
Намалюйте графік кожного рядка.
\(y = \frac{1}{3} x + 4\)
\(y = \frac{6}{5} x − 5\)
\(y = \frac{3}{2} x\)
\(x − y + 3 = 0\)
\(−y − 4 + 3x = 0\)
\(−3y = −5x + 9\)
\(y = − \frac{1}{5} x − 4\)
\(y = − \frac{3}{2} x − 1\)
\(y = − \frac{3}{4} x + 1\)
\(4x + 5 = 5y\)
\(−8 = 6x − 2y\)
\(−3y = 3 − \frac{3}{2}x\)
Запишіть рівняння прямої в точково-нахиленій формі з заданою точкою, що проходить через пряму і її нахил.
\((2, 3);\: m =\text{ undefined}\)
\((2, 2);\: m = \frac{1}{2}\)
\((−1, −5);\: m = 9\)
\((−4, 1);\: m = \frac{3}{4}\)
\((0, −2);\: m = −3\)
\((0, −5);\: m = −\frac{1}{4}\)
\((−5, −3);\: m = \frac{1}{5}\)
\((−1, 4);\: m = −\frac{5}{4}\)
\((1, 2);\: m = 0\)
\((2, 1);\: m = −\frac{1}{2}\)
\((2, −2);\: m = −2\)
\((4, −3);\: m = −2\)
\((−1, 1);\: m = 4\)
\((0, 2);\: m = − \frac{5}{4}\)
\((−1, −4);\: m = − \frac{2}{3}\)
Запишіть рівняння прямої в ухилі-перехопленому вигляді з заданою точкою, що проходить через пряму і її нахил.
\((−1, −5) ;\: m = 2\)
\((5, −1) ;\: m = − \frac{3}{5}\)
\((−4, 1) ;\: m = \frac{1}{2}\)
\((4, −2) ;\: m = − \frac{3}{2}\)
\((−5, −3) ;\: m = − \frac{2}{5}\)
\((2, −2) ;\: m = 1\)
\((−3, 4),\: m =\text{ undefined}\)
\((−4, 2) ;\: m = − \frac{1}{2}\)
\((2, −2) ;\: m = −2\)
\((−2, −2) ;\: m = − \frac{2}{3}\)
\((4, −3) ;\: m = − \frac{7}{4}\)
\((−2, 0) ;\: m = − \frac{5}{2}\)
\((3, 3) ;\: m = \frac{7}{3}\)
\((−4, −3);\: m = 0\)
\((−2, −5) ;\: m = 2\)
Запишіть рівняння прямої в точково-нахиленій формі заданих двох точок на прямій.
\((−4, 3)\text{ and }(−3, 1)\)
\((5, 1)\text{ and }(−3, 0)\)
\((−4, −2)\text{ and }(0, 4)\)
\((3, 5)\text{ and }(−5, 3)\)
\((3, −3)\text{ and }(−4, 5)\)
\((1, 3)\text{ and }(−3, 3)\)
\((−4, 5)\text{ and }(4, 4)\)
\((−4, 1)\text{ and }(4, 4)\)
\((−1, −4)\text{ and }(−5, 0)\)
Запишіть рівняння прямої в ухилі-перехопленому вигляді заданих двох точок на прямій.
\((−5, 1)\text{ and }(−1, −2)\)
\((−5, 5)\text{ and }(2, −3)\)
\((4, 1)\text{ and }(1, 4)\)
\((0, 2)\text{ and }(5, −3)\)
\((0, 3)\text{ and }(−1, −1)\)
\((−5, −1)\text{ and }(5, −2)\)
\((1, −1)\text{ and }(−5, −4)\)
\((0, 1)\text{ and }(−3, 0)\)
\((0, 2)\text{ and }(2, 4)\)