2.1: Графік і нахил
- Page ID
- 58371
Часто, щоб отримати уявлення про поведінку рівняння, ми зробимо картину, яка представляє рішення рівнянь, які називаються графом. Давайте вступ до графіки, щоб пізніше ми могли побудувати графіки.
Графік являє собою візуалізацію розв'язків рівняння.
- Координатна площина ділиться на чотири квадранти горизонтальною дійсною числовою лінією, яка називається\(x\) -віссю, і вертикальною дійсною числовою лінією, яка називається\(y\) -віссю.
- Дві осі зустрічаються біля початку, де\(x = 0\) і\(y = 0\).
- Координата x - це відстань по горизонталі від початку, а y-координата - вертикальна відстань від початку координат.
- Впорядкована пара - це місце, де точка в координатній площині розташована і позначається символом\((x, y)\).
- Квадранти позначені проти годинникової стрілки, починаючи вгорі праворуч.
Локації на земній кулі схожі на впорядковані пари. Кожне число - це відстань від центральної точки, походження, розташованого там, де зустрічаються простий меридіан і екватор. Це «походження» знаходиться недалеко від західного узбережжя Африки.
Точки та лінії
Побудуйте кожну впорядковану пару і визначте квадрант, в якому лежить впорядкована пара:\[A(−1, −5),\: B(3, −1),\: C(−2, 3),\: D(4, 2),\: E(0, 4),\: F(3, 0)\nonumber\]
Рішення
- Для точки\(A(−1, −5)\), зверніть увагу на\(x\) -coordinate є\(−1\). Оскільки\(x\) -координата - це відстань по горизонталі від початку, то переміщаємо\(1\) одиницю вліво. Дивлячись на\(y\) -координату\(−5\), ми бачимо, що це буде вертикальна відстань. Отже, ми будемо переміщати\(5\) одиниці вниз від початку. Починаючи з початку, перемістіть одну одиницю вліво, потім\(5\) одиниці вниз. Точка\(A\) знаходиться в III квадранті.
- Для точки\(B(3, −1)\), зверніть увагу на\(x\) -coordinate є\(3\). Оскільки\(x\) -coordinate - це горизонтальна відстань від початку, то ми переміщаємо\(3\) одиниці вправо. Дивлячись на\(y\) -координату\(−1\), ми бачимо, що це буде вертикальна відстань. Значить, ми будемо переміщати одну одиницю вниз від початку. Починаючи з початку, перемістіть\(3\) одиниці вправо, потім\(1\) блок вниз. Точка\(B\) знаходиться в четвертому квадранті.
- Для точки\(C(−2, 3)\), зверніть увагу на\(x\) -coordinate є\(−2\). Оскільки\(x\) -coordinate - це горизонтальна відстань від початку, то ми переміщаємо\(2\) одиниці вліво. Дивлячись на\(y\) -координату\(3\), ми бачимо, що це буде вертикальна відстань. Отже, ми будемо переміщати\(3\) одиниць вгору від початку. Починаючи з початку, перемістіть\(2\) одиниць вліво, потім\(3\) одиниці вгору. Точка\(C\) знаходиться в III квадранті.
- Для точки\(D(4, 2)\), зверніть увагу на\(x\) -coordinate є\(4\). Оскільки\(x\) -coordinate - це горизонтальна відстань від початку, то ми переміщаємо\(4\) одиниці вправо. Дивлячись на\(y\) -координату\(2\), ми бачимо, що це буде вертикальна відстань. Отже, ми будемо переміщати\(2\) одиниць вгору від початку. Починаючи з початку, перемістіть\(4\) одиниці вправо, потім\(2\) одиниці вгору. Точка\(D\) знаходиться в квадранті I.
- Для точки\(E(0, 4)\), зверніть увагу на\(x\) -coordinate є\(0\). Оскільки\(x\) -coordinate - це горизонтальна відстань від початку, то ми не рухаємо одиниць горизонтально від початку. Дивлячись на\(y\) -координату\(4\), ми бачимо, що це буде вертикальна відстань. Отже, ми будемо переміщати\(4\) одиниць вгору від початку. Починаючи з початку, перемістіть\(4\) одиниці вгору. Точка не\(E\) знаходиться в жодному квадранті, оскільки вона лежить на\(y\) -осі.
- Для точки\(F(3, 0)\), зверніть увагу на\(x\) -coordinate є\(3\). Оскільки\(x\) -coordinate - це горизонтальна відстань від початку, то ми переміщаємо\(3\) одиниці вправо. Дивлячись на\(y\) -координату\(0\), ми бачимо, що це буде вертикальна відстань. Отже, ми не будемо переміщати одиниці вертикально від початку. Починаючи з початку, перемістіть\(3\) одиниці вправо. Точка не\(F\) знаходиться в жодному квадранті, оскільки вона лежить на\(x\) -осі.
Зверніть увагу, в\(A,\: B,\: C,\) точках негативні координати не означали негативної відстані від початку. Негативний за цими координатами має на увазі напрямок, в якому ми рухаємося: горизонтальний- рухаємося вліво або вправо, вертикальний- рухаємося вгору або вниз. Якщо\(x\) -координата негативна, то рухаємося вліво. Якщо\(y\) -координата негативна, то рухаємося вниз.
З Прикладу\(\PageIndex{1}\), з точками\(E\) і\(F\), ми могли бачити, що ці точки лежать не в квадранті, а на осі. Це спеціальні точки на графіках і називаються перехопленнями.
- X-перехоплення графа - це точка (и), де графік перетинає\(x\) вісь -, тобто\(y = 0\).
- Y-перехоплення графіка - це точка (и), де графік перетинає\(y\) вісь -, тобто\(x = 0\).
Графік\(y = 1 − x\) шляхом побудови перехоплень.
Рішення
Щоб знайти\(x\) і\(y\) -перехоплення, ми можемо слідувати визначенню вище і знайти де\(y = 0\) і\(x = 0\), відповідно. Давайте зробимо стіл.
Таблиця\(\PageIndex{1}\)
| \(x\) | \(y=1-x\) | \((x,y)\) |
|---|---|---|
| \ (x\) ">\(\color{blue}{0}\color{black}{}=1-x\Longrightarrow x=\color{red}{1}\) | \ (y=1-х\) ">\(0\) | \ (x, y)\) ">\((\color{red}{1}\color{black}{},0)\) |
| \ (x\) ">\(0\) | \ (y=1-х\) ">\(y=1-\color{blue}{0}\color{black}{}=\color{red}{1}\) | \ (x, y)\) ">\((0,\color{red}{1}\color{black}{})\) |
Ми можемо бачити,\(y = 0,\: x = 1\) коли\(0 = 1 − x\) тільки коли\(x = 1\). Давайте розберемо два перехоплення зі столу. Щоб з'єднати точки, обов'язково з'єднайте їх від найменшого\(x\) -значення до найбільшого\(x\) -значення, тобто зліва направо. Намалюйте лінію для заповнення сітки і поставте стрілки на кінцях. Рекомендується придбати невелику 6-дюймову лінійку, щоб зробити приємні прямі лінії.
Основна мета графіків полягає не в побудові випадкових точок, а в тому, щоб дати картину розв'язків рівняння. Ми можемо мати таке рівняння, як\(y = 2x − 3\) і бути зацікавленими в типі розв'язків, які можливі для цього рівняння. Ми можемо візуалізувати рішення, склавши графік можливих\(x\) і\(y\) комбінацій, що робить це рівняння істинним твердженням. Ми повинні почати з пошуку можливих\(x\) і\(y\) комбінацій. Робимо це за допомогою таблиці значень.
Графік\(y = 2x − 3\) шляхом побудови точок, тобто шляхом складання Т-таблиці.
Рішення
Зазвичай ми вибираємо три\(x\) -координати, і знаходимо відповідні\(y\) -значення. Кожне\(x\) -значення є позитивним, негативним і нульовим. Це звичайна практика, але не обов'язкова.
Таблиця\(\PageIndex{2}\)
| \(x\) | \(y=2x-3\) | \((x,y)\) |
|---|---|---|
| \ (x\) ">\(-1\) | \ (y=2x-3\) ">\(y=2(\color{blue}{-1}\color{black}{})-3=-2-3=-5\) | \ (x, y)\) ">\((-1,-5)\) |
| \ (x\) ">\(0\) | \ (y=2x-3\) ">\(y=2(\color{blue}{0}\color{black}{})-3=0-3=-3\) | \ (x, y)\) ">\((0,-3)\) |
| \ (x\) ">\(1\) | \ (y=2x-3\) ">\(y=2(\color{blue}{1}\color{black}{})-3=2-3=-1\) | \ (x, y)\) ">\((1,-1)\) |
Побудуйте три впорядковані пари з таблиці. Щоб з'єднати точки, обов'язково з'єднайте їх від найменшого\(x\) -значення до найбільшого\(x\) -значення, тобто зліва направо. Намалюйте лінію для заповнення сітки і поставте стрілки на кінцях. Рекомендується придбати невелику 6-дюймову лінійку, щоб зробити приємні прямі лінії.
Графік\(2x − 3y = 6\) шляхом побудови точок, тобто шляхом складання Т-таблиці.
Рішення
Почнемо з вибору\(x\) -values для таблиці. Зверніть увагу, що це рівняння не таке просте, як попередній приклад, тому нам доведеться зробити трохи алгебри, щоб вирішити для\(y\) -value. Потім заповніть таблицю.
Таблиця\(\PageIndex{3}\)
| \(x\) | \(y\) | \((x,y)\) |
|---|---|---|
| \ (x\) ">\(-3\) | \ (y\) "> | \ (x, y)\) "> |
| \ (x\) ">\(0\) | \ (y\) "> | \ (x, y)\) "> |
| \ (x\) ">\(3\) | \ (y\) "> | \ (x, y)\) "> |
Давайте оцінимо\(2x − 3y = 6\) для кожного з обраних\(x\) -значень:
\(x=-3:\)\[\begin{aligned}2(-3)-3y&=6 \\ -6-3y+\color{blue}{6}\color{black}{}&=6+\color{blue}{6}\color{black}{} \\ \color{blue}{-\frac{1}{3}}\color{black}{}\cdot -3y&=12\cdot\color{blue}{-\frac{1}{3}}\color{black}{} \\ y&=-4\end{aligned}\]
\(x=0\):\[\begin{aligned}2(0)-3y&=6 \\ 0-3y&=6 \\ \color{blue}{-\frac{1}{3}}\color{black}{}\cdot -3y&=6\cdot\color{blue}{-\frac{1}{3}}\color{black}{} \\ y&=-2\end{aligned}\]
\(x=3:\)\[\begin{aligned}2(3)-3y&=6 \\ 6-3y+\color{blue}{(-6)}\color{black}{}&=6+\color{blue}{(-6)}\color{black}{} \\ \color{blue}{-\frac{1}{3}}\color{black}{}\cdot -3y&=0\cdot\color{blue}{-\frac{1}{3}}\color{black}{} \\ y&=0\end{aligned}\]
Тепер ми заповнюємо таблицю з\(y\) -значеннями та впорядкованими парами, а потім графом\(2x − 3y = 6\).
Таблиця\(\PageIndex{4}\)
| \(x\) | \(y\) | \((x,y)\) |
|---|---|---|
| \ (x\) ">\(-3\) | \ (y\) ">\(-4\) | \ (x, y)\) ">\((-3,-4)\) |
| \ (x\) ">\(0\) | \ (y\) ">\(-2\) | \ (x, y)\) ">\((0,-2)\) |
| \ (x\) ">\(3\) | \ (y\) ">\(0\) | \ (x, y)\) ">\((3,0)\) |
Отримання нахилу прямої з її графа
Коли ми графуємо лінії, ми хочемо визначити різні властивості ліній. Одним з найважливіших властивостей лінії є її нахил.
Нахил лінії - це міра крутизни лінії.
- Позначимо ухил с\(m\). Одна теорія від математиків, яка почала працювати з нахилом, полягала в тому, що він називався модульним нахилом.
- У міру\(|m|\) збільшення лінія стає крутіше. У міру\(|m|\) зменшення лінія стає більш рівною.
- Лінія, яка піднімається зліва направо, має позитивний нахил, а лінія, яка падає зліва направо, має негативний нахил.
- \(m\)це зміна\(y\) розділеного на зміну\(x\), тобто,\[m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\text{Change in }y}{\text{Change in }x}=\frac{rise}{run}\nonumber\]
Знайдіть нахил від графіка, заданого прямої.
Рішення
Починаємо з чітко визначеної точки, бажано точки на\(y\) -осі, тобто\(y\) -перехоплення. Потім порахуйте кількість одиниць, які ми піднімаємося (вгору/вниз) і біжимо (вліво/вправо), щоб досягти наступної чітко визначеної точки. Ми почнемо з\((0, −3)\) і дійдемо до наступної точки,\((2, 0)\). Зверніть увагу, піднімаємося вгору\(3\) юнітів і біжимо до\(2\) потрібних юнітів. Використовуючи співвідношення\(m = \frac{rise}{run}\), ми отримуємо підйом бути\(3\) і пробіг бути\(2\):\[m=\frac{rise}{run}=\frac{3}{2}\nonumber\]
Таким чином, ухил є\(\frac{3}{2}\).
Знайдіть нахил від графіка, заданого прямої.
Рішення
Починаємо з чітко визначеної точки, бажано точки на\(y\) -осі, тобто\(y\) -перехоплення. Потім порахуйте кількість одиниць, які ми піднімаємося (вгору/вниз) і біжимо (вліво/вправо), щоб досягти наступної чітко визначеної точки. Ми почнемо з\((0, 2)\) і дійдемо до наступної точки,\((4, 1)\). Зверніть увагу, піднімаємося вниз\(1\) одиниці і біжимо до\(4\) потрібних юнітів. Використовуючи співвідношення\(m = \frac{rise}{run}\), ми отримуємо підйом бути\(−1\) і пробіг бути\(4\):\[m=\frac{rise}{run}=\frac{-1}{4}\nonumber\]
Таким чином, ухил є\(-\frac{1}{4}\).
Дивлячись на приклади\(\PageIndex{5}\) і \(\PageIndex{6}\), зверніть увагу на крутизну. Так як, в прикладі\(\PageIndex{5}\), нахил був\(\frac{3}{2}\), який більше, ніж нахил в \(\PageIndex{6}\), Приклад\(\PageIndex{5}\) є більш крутою лінією, ніж Example\(\PageIndex{6}\). Крім того, негатив у прикладі\(\PageIndex{6}\) представляє лінію, що падає зліва направо; отже, негативний нахил.
Коли французькі математики Рене Декарт і П'єр де Ферма вперше розробили координатну площину і ідею графічних ліній (та інших функцій),\(y\) -вісь не була вертикальною лінією.
Давайте розглянемо два особливих випадку з лініями і їх нахилом.
Знайдіть нахил від графіка, заданого прямої.
Рішення
У цьому графіку немає підйому, але пробіг - це\(3\) одиниці. Ухил є\(\frac{0}{3}= 0\). Коли нахил лінії дорівнює нулю, то ми знаємо, що лінія є горизонтальною лінією і навпаки.
Знайдіть нахил від графіка, заданого прямої.
Рішення
У цьому графіку немає пробігу, але підйом - це\(2\) одиниці. Ухил\(\frac{2}{0} =\) невизначений. Коли нахил лінії невизначений, то ми знаємо, що лінія є вертикальною лінією і навпаки.
Як бачите, існує велика різниця між нульовим нахилом і невизначеним нахилом. Пам'ятайте, ухил - це міра крутизни. Перший схил зовсім не крутий. По суті, він плоский. Тому вона має нульовий ухил. Другий схил не може стати крутішим. Він настільки крутий, що немає достатньо великого числа, щоб висловити крутизну. Отже, будучи невизначений схил.
Отримання нахилу прямої з двох точок
Ми можемо знайти нахил прямої через дві точки, не бачачи точок на графіку. Ми можемо зробити це за допомогою формули нахилу. Якщо підйом є зміна\(y\) -values, ми можемо обчислити це, віднімаючи\(y\) -значення точки. Аналогічно, якщо run - це зміна\(x\) -values, ми можемо обчислити це, віднімаючи\(x\) -значення точки.
Нахил\(m\), - це зміна\(y\) розділеного на зміну\(x\), тобто,\[m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\text{Change in }y}{\text{Change in }x}=\frac{rise}{run}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\nonumber\]
Знайдіть нахил між двома точками\((−4, 3)\) і\((2, −9)\).
Рішення
\[\begin{array}{rl}m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}&\text{Substitute in the ordered-pairs} \\ m=\frac{-9-3}{2-(-4)}&\text{Simplify} \\ m=\frac{-12}{6}&\text{Reduce} \\ m=-2&\text{Slope}\end{array}\nonumber\]
Оскільки цей нахил є\(−2\), то графік цієї лінії буде падати зліва направо.
Знайдіть нахил між двома точками\((4, 6)\) і\((2, −1)\).
Рішення
\[\begin{array}{rl}m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}&\text{Substitute in the ordered-pairs} \\ m=\frac{-1-6}{2-4}&\text{Simplify} \\ m=\frac{-7}{-2}&\text{Reduce, dividing by }-1 \\ m=\frac{7}{2}&\text{Slope}\end{array}\nonumber\]
Оскільки цей нахил є\(\frac{7}{2}\), то графік цієї лінії буде підніматися зліва направо.
Знайдіть нахил між двома точками\((−4, −1)\) і\((−4, −5)\).
Рішення
\[\begin{array}{rl}m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}&\text{Substitute in the ordered-pairs} \\ m=\frac{-5-(-1)}{-4-(-4)}&\text{Simplify} \\ m=\frac{-4}{0}&\text{Undefined} \\ m=\text{ undefined}&\text{Slope}\end{array}\nonumber\]
Так як нахил невизначений, то графік цієї лінії є вертикальною лінією.
Знайдіть нахил між двома точками\((3, 1)\) і\((−2, 1)\).
Рішення
\[\begin{array}{rl}m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}&\text{Substitute in the ordered-pairs} \\ m=\frac{1-1}{-2-3}&\text{Simplify} \\ m=\frac{0}{-5}&\text{Reduce} \\ m=0&\text{Slope}\end{array}\nonumber\]
Так як нахил дорівнює нулю, то графік цієї лінії є горизонтальною лінією.
Знайти значення\(y\) між точками\((2, y)\) і\((5, −1)\) з нахилом\(−3\).
Рішення
\[\begin{array}{rl}m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}&\text{We will plug values into slope formula} \\ -3=\frac{-1-y}{5-2}&\text{Simplify} \\ -3=\frac{-1-y}{3}&\text{Multiply both sides by }3 \\ \color{blue}{3}\color{black}{}\cdot -3=\frac{-1-y}{3}\cdot\color{blue}{3}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ -9=-1-y&\text{Isolate the variable term} \\ -9+\color{blue}{1}\color{black}{}=-1-y+\color{blue}{1}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ -8=-y&\text{Multiply each side by }-1 \\ \color{blue}{-1}\color{black}{}\cdot -8=-y\cdot \color{blue}{-1}\color{black}{} \\ 8=y&\text{Value of }y\end{array}\nonumber\]
Знаходимо\(x\) таке значення, що нахил між точками\((−3, 2)\) і\((x, 6)\) є\(\frac{2}{5}\).
Рішення
\[\begin{array}{rl}m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}&\text{We will plug values into slope formula} \\ \frac{2}{5}=\frac{6-2}{x-(-3)}&\text{Simplify} \\ \frac{2}{5}=\frac{4}{x+3}&\text{Multiply both sides by }x+3 \\ \color{blue}{(x+3)}\color{black}{}\cdot\frac{2}{5}=\frac{4}{x+3}\cdot\color{blue}{(x+3)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ \frac{2}{5}(x+3)=4&\text{Distribute} \\ \frac{2}{5}x+\frac{6}{5}=4&\text{Multiply by the LCD }=5 \\ \color{blue}{5}\color{black}{}\cdot\frac{2}{5}x+\color{blue}{5}\color{black}{}\cdot\frac{6}{5}=4\cdot\color{blue}{5}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ 2x+6=20&\text{Isolate the variable term} \\ 2x+6+\color{blue}{(-6)}\color{black}{}=20+\color{blue}{(-6)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ 2x=14&\text{Multiply each side by the reciprocal of }2 \\ \color{blue}{\frac{1}{2}}\color{black}{}\cdot 2x=14\cdot\color{blue}{\frac{1}{2}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ x=7&\text{Value of }x\end{array}\nonumber\]
Домашнє завдання з графіків та нахилу
Знайдіть ухил лінії.
Знайдіть ухил лінії.
Знайдіть ухил лінії.
Знайдіть ухил лінії.
Знайдіть ухил лінії.
Знайдіть ухил лінії.
Знайдіть нахил лінії через кожну впорядковану пару.
\((−2, 10),\: (−2, −15)\)
\((−15, 10),\: (16, −7)\)
\((10, 18),\: (−11, −10)\)
\((−16, −14),\: (11, −14)\)
\((−4, 14),\: (−16, 8)\)
\((12, −19),\: (6, 14)\)
\((−5, −10),\: (−5, 20)\)
\((−17, 19),\: (10, −7)\)
\((7, −14),\: (−8, −9)\)
\((−5, 7),\: (−18, 14)\)
\((1, 2),\: (−6, −14)\)
\((13, −2),\: (7, 7)\)
\((−3, 6),\: (−20, 13)\)
\((13, 15),\: (2, 10)\)
\((9, −6),\: (−7, −7)\)
\((−16, 2),\: (15, −10)\)
\((8, 11),\: (−3, −13)\)
\((11, −2),\: (1, 17)\)
\((−18, −5),\: (14, −3)\)
\((19, 15),\: (5, 11)\)
Знайдіть значення\(x\) або\(y\) так, щоб лінія через точки мала заданий нахил.
\((2, 6)\)і\((x, 2)\);\(m =\frac{4}{7}\)
\((−3, −2)\)і\((x, 6)\);\(m = −\frac{8}{5}\)
\((−8, y)\)і\((−1, 1)\);\(m = \frac{6}{7}\)
\((x, −7)\)і\((−9, −9)\);\(m = \frac{2}{5}\)
\((x, 5)\)і\((8, 0)\);\(m = −\frac{5}{6}\)
\((8, y)\)і\((−2, 4)\);\(m = −\frac{1}{5}\)
\((−2, y)\)і\((2, 4)\);\(m = \frac{1}{4}\)
\((x, −1)\)і\((−4, 6)\);\(m = −\frac{7}{10}\)
\((2, −5)\)і\((3, y)\);\(m = 6\)
\((6, 2)\)і\((x, 6)\);\(m = −\frac{4}{5}\)