7.2: Множення та ділення раціональних виразів

Цілі навчання

• Помножити раціональні вирази.
• Розділіть раціональні вирази.
• Множення і ділення раціональних функцій.

Множення раціональних виразів

При множенні дробів ми можемо помножити чисельники і знаменники разом, а потім зменшити, як показано:

\(\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{5}{9}=\dfrac{3 \cdot 5}{5 \cdot 9}=\dfrac{\color{Cerulean}{\stackrel{1}{\cancel{\color{black}{3}}}}\color{black}{\cdot}\color{Cerulean}{\stackrel{1}{\cancel{\color{black}{5}}}}}{\color{Cerulean}{\stackrel{\cancel{\color{black}{5}}}{1}}\color{black}{\cdot}\color{Cerulean}{\stackrel{\cancel{\color{black}{9}}}{3}}}\color{black}{=\dfrac{1}{3} }\)

Множення раціональних виразів виконується аналогічним чином. Наприклад,

\(\dfrac{y}{x} \cdot \dfrac{x}{y^{2}}=\dfrac{y \cdot x}{x \cdot y^{2}}=\dfrac{\color{Cerulean}{\stackrel{1}{\cancel{\color{black}{y}}}}\color{black}{\cdot}\color{Cerulean}{\stackrel{1}{\cancel{\color{black}{x}}}}}{\color{Cerulean}{\stackrel{\cancel{\color{black}{x}}}{1}}\color{black}{\cdot}\color{Cerulean}{\stackrel{\cancel{\color{black}{y^{2}}}}{3}}}\color{black}{=\dfrac{1}{y} }\)

Загалом, задані многочлени\(P\),\(Q\),\(R\), і\(S\), де\(Q≠0\) і\(S≠0\), ми маємо

\[\dfrac{P}{Q} \cdot \dfrac{R}{S}=\dfrac{P R}{Q S}\]

У цьому розділі припустимо, що всі змінні вирази в знаменнику є ненульовими, якщо не вказано інше.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Помножити:

\(\dfrac{12 x^{2}}{5 y^{3}} \cdot \dfrac{20 y^{4}}{6 x^{3}}\)

Рішення:

Помножте чисельники та знаменники, а потім скасуйте загальні множники.

\(\begin{aligned} \dfrac{12 x^{2}}{5 y^{3}} \cdot \dfrac{20 y^{4}}{6 x^{3}}&=\dfrac{240x^{2}y^{4}}{30x^{3}y^{3}}\qquad\quad\:\:\color{Cerulean}{Multiply.} \\&=\dfrac{\color{Cerulean}{\stackrel{8}{\cancel{\color{black}{240}}}}\color{Cerulean}{\stackrel{1}{ \cancel{\color{black}{x^{2}}}}}\color{Cerulean}{\stackrel{y}{ \cancel{\color{black}{y^{4}}}}}}{\color{Cerulean}{\stackrel{\cancel{\color{black}{30}}}{1}}\color{Cerulean}{ \stackrel{\cancel{\color{black}{x^{3}}}}{x}}\color{Cerulean}{ \stackrel{\cancel{\color{black}{y^{3}}}}{1}}} \qquad\color{Cerulean}{Cancel.} \\ &=\dfrac{8 y}{x} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\dfrac{8y}{x}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Помножити:

\(\dfrac{x-3}{x+5} \cdot \dfrac{x+5}{x+7}\)

Рішення:

Залиште продукт у врахованому вигляді і скасуйте загальні фактори.

\(\begin{aligned} \dfrac{x-3}{x+5} \cdot \dfrac{x+5}{x+7} &=\dfrac{(x-3) \cdot\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x+5)}}}}{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x+5)}}} \color{black}{\cdot(x+7)}} \\ &=\dfrac{x-3}{x+7} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\dfrac{x-3}{x+7}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Помножити:

\(\dfrac{15 x^{2} y^{3}}{(2 x-1)} \cdot \dfrac{x(2 x-1)}{3 x^{2} y(x+3)}\)

Рішення:

Залиште поліноми в чисельнику та знаменнику, щоб ми могли скасувати множники. Іншими словами, не застосовуйте розподільну властивість.

\(\begin{aligned} \dfrac{15 x^{2} y^{3}}{(2 x-1)} \cdot \dfrac{x(2 x-1)}{3 x^{2} y(x+3)}&=\dfrac{15 x^{3} y^{3}(2 x-1)}{3 x^{2} y(2 x-1)(x+3)}\qquad\qquad\color{Cerulean}{Multiply.} \\ &=\dfrac{\color{Cerulean}{\stackrel{5}{\cancel{\color{black}{15}}}}\color{Cerulean}{\stackrel{x}{\cancel{\color{black}{x^{3}}}}}\color{Cerulean}{\stackrel{y^{2}}{\cancel{\color{black}{y^{3}}}}}\color{Cerulean}{\stackrel{1}{\cancel{\color{black}{(2x-1)}}}}}{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{3}}\cancel{\color{black}{x^{2}}}\cancel{\color{black}{y}}\cancel{\color{black}{(2x-1)}}}\color{black}{(x+3)}}\qquad\color{Cerulean}{Cancel.} \\ &=\dfrac{5xy^{2}}{x+3} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\dfrac{5 x y^{2}}{x+3}\)

Як правило, раціональні вирази не даватимуться в факторованій формі. При цьому спочатку множьте всі чисельники і знаменники повністю. Далі множимо і скасуємо будь-які загальні фактори, якщо такі є.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Помножити:

\(\dfrac{x+5}{x-5} \cdot \dfrac{x-5}{x^{2}-25}\)

Рішення

Фактор знаменника у\(x^{2}−25\) вигляді різниці квадратів. Потім множте і скасуйте.

\(\begin{aligned} \dfrac{x+5}{x-5} \cdot \dfrac{x-5}{x^{2}-25} &=\dfrac{x+5}{x-5} \cdot \dfrac{x-5}{(x+5)(x-5)} \qquad\qquad\color{Cerulean}{Factor.}\\ &=\dfrac{\color{Cerulean}{\stackrel{1}{\cancel{\color{black}{(x+5)}}}}\color{Cerulean}{\stackrel{1}{\cancel{\color{black}{(x-5)}}}}}{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x-5)}}}\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x+5)}}}\color{black}{(x-5)}}\qquad\color{Cerulean}{Cancel.} \\ &=\dfrac{1}{x-5} \end{aligned}\)

Майте на увазі, що 1 - це завжди множник; тому, коли весь чисельник скасовується, обов'язково запишіть множник 1.

Відповідь:

\(\dfrac{1}{x-5}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Помножити:

Рішення:

Найкраще залишати остаточну відповідь у врахованій формі.

Відповідь:

\(\dfrac{(x+2)(x-4)}{(x-2)(x+7)}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Помножити:

Рішення:

Триноміал\(−2x^{2}+x+3\) в чисельнику має негативний провідний коефіцієнт. Нагадаємо, що найкращою практикою є спочатку фактор,\(−1\) а потім фактор результуючого триноміалу.

Відповідь:

\(-\dfrac{3(2 x-3)}{x(x+4)}\)

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Помножити:

\(\dfrac{7-x}{x^{2}+3 x} \cdot \dfrac{x^{2}+10 x+21}{x^{2}-49}\)

Рішення:

Ми\(7−x\) замінюємо на,\(−1(x−7)\) щоб ми могли скасувати цей фактор.

\(\begin{aligned} \dfrac{7-x}{x^{2}+3 x} \cdot \dfrac{x^{2}+10 x+21}{x^{2}-49} &=\dfrac{-1(x-7)}{x(x+3)} \cdot \dfrac{(x+3)(x+7)}{(x+7)(x-7)} \\ &=\dfrac{-1\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x-7)}}\cancel{\color{black}{(x+3)}}\cancel{\color{black}{(x+7)}}}}{x\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x+3)}}\cancel{\color{black}{(x+7)}}\cancel{\color{black}{(x-7)}}}} \\ &=\dfrac{-1}{x} \\ &=-\dfrac{1}{x} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(-\dfrac{1}{x}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Помножити:

\(\dfrac{x^{2}-64}{8-x} \cdot \dfrac{x+x^{2}}{x^{2}+9 x+8}\)

Відповідь

\(-x\)

Розподіл раціональних виразів

Для поділу двох дробів множимо на зворотний дільник, як показано на малюнку:

\(\dfrac{5}{8} \div \color{OliveGreen}{ \dfrac{1}{2}}\color{black}{=}\dfrac{5}{8} \cdot \color{OliveGreen}{\dfrac{2}{1}}\color{black}{=}\dfrac{5 \cdot \color{Cerulean}{\stackrel{1}{\cancel{\color{black}{2}}}}}{\color{Cerulean}{\stackrel{\cancel{\color{black}{8}}}{4}} \color{black}{\cdot 1}}=\dfrac{5}{4}\)

Поділ раціональних виразів виконується аналогічним чином. Наприклад,

\(\dfrac{x}{y^{2}} \div \color{OliveGreen}{ \dfrac{1}{y}}\color{black}{=}\dfrac{x}{y^{2}} \cdot \color{OliveGreen}{\dfrac{y}{1}}\color{black}{=}\dfrac{x \cdot \color{Cerulean}{\stackrel{1}{\cancel{\color{black}{y}}}}}{\color{Cerulean}{\stackrel{\cancel{\color{black}{y^{2}}}}{y}} \color{black}{\cdot 1}}=\dfrac{x}{y}\)

Загалом, задані многочлени P, Q, R і S, де\(Q≠0\)\(R≠0\), і\(S≠0\), ми маємо

\[\dfrac{P}{Q} \div \dfrac{R}{S}=\dfrac{P}{Q} \cdot \dfrac{S}{R}=\dfrac{P S}{Q R}\]

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Розділити:

\(\dfrac{8 x^{5} y}{25 z^{6}} \div \dfrac{20 x y^{4}}{15 z^{3}}\)

Рішення:

Спочатку помножте на зворотний дільник, а потім скасуйте.

\(\begin{aligned} \dfrac{8 x^{5} y}{25 z^{6}} \div \color{Cerulean}{\dfrac{20 x y^{4}}{15 z^{3}}} &\color{black}{=}\dfrac{8 x^{5} y}{25 z^{6}} \cdot\color{Cerulean}{ \dfrac{15 z^{3}}{20 x y^{4}}}\qquad\color{Cerulean}{}Multiply\:by\:the\:reciprocal\:of\:the\:divisor. \\ &=\dfrac{120 x^{5} y z^{3}}{500 x y^{4} z^{6}}\\ &=\dfrac{\color{Cerulean}{\stackrel{6}{\cancel{\color{black}{120}}}\stackrel{x^{4}}{\cancel{\color{black}{x^{5}}}}\cancel{\color{black}{y}}\cancel{\color{black}{z^{3}}}}}{\color{Cerulean}{\stackrel{\cancel{\color{black}{500}}}{25}\cancel{\color{black}{x}}\stackrel{\cancel{\color{black}{y^{4}}}}{y^{3}}\stackrel{\cancel{\color{black}{z^{6}}}}{z^{3}}}}\qquad\color{Cerulean}{Cancel.} \\ &=\dfrac{6x^{4}}{25y^{3}z^{3}} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\dfrac{6 x^{4}}{25 y^{3} z^{3}}\)

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Розділити:

\(\dfrac{x+2}{x^{2}-4} \div \dfrac{x+3}{x-2}\)

Рішення:

Після множення на зворотний дільник, коефіцієнт і скасовують.

\(\begin{aligned} \dfrac{x+2}{x^{2}-4} \div \color{Cerulean}{\dfrac{x+3}{x-2}} &=\dfrac{x+2}{x^{2}-4} \cdot \color{Cerulean}{\dfrac{x-2}{x+3}}\qquad\quad\:\qquad\qquad\color{Cerulean}{Multiply\:by\:the\:reciprocal\:of\:the\:divisor.} \\ &=\dfrac{(x+2)}{(x+2)(x-2)} \cdot \dfrac{(x-2)}{(x+3)}\qquad\quad\color{Cerulean}{Factor.} \\ &=\dfrac{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x+2)}}\cancel{\color{black}{(x-2)}}}}{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x+2)}}\cancel{\color{black}{(x-2)}}}\color{black}{(x+3)}}\qquad\quad\color{Cerulean}{Cancel.} \\ &=\dfrac{1}{x+3} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\dfrac{1}{x+3}\)

Приклад\(\PageIndex{10}\)

Розділити:

Рішення:

Почніть з множення на зворотний дільник. Після цього, фактор і скасування.

Відповідь:

\(\dfrac{(x-8)(x-5)}{(x+7)^{2}}\)

Приклад\(\PageIndex{11}\)

Розділити:

Рішення:

Так само, як ми робимо з дробами, думати про дільник\((2x−3)\) як алгебраїчний дріб над 1.

Відповідь:

\(-\dfrac{2 x+3}{x+2}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Розділити:

Відповідь

\(-4 x^{3}-8 x^{2}\)

Множення та ділення раціональних функцій

Твір і частка двох раціональних функцій можна спростити за допомогою методів, описаних у цьому розділі. Обмеження домену продукту складаються з обмежень кожної функції.

Приклад\(\PageIndex{12}\)

Розрахуйте\((f⋅g)(x)\) і визначте обмеження для домену.

Рішення:

У цьому випадку домен\(f(x)\) складається з усіх дійсних чисел, крім 0, а домен\(g(x)\) складається з усіх дійсних чисел крім\(\dfrac{1}{4}\).

Тому домен продукту складається з усіх дійсних чисел, крім 0 і\(\dfrac{1}{4}\). Помножте функції, а потім спростіть результат.

Відповідь:

\((f \cdot g)(x)=-\dfrac{4 x+1}{5 x}\), де\(x\neq 0, \dfrac{1}{4}\)

Обмеження до області частки складатимуться з обмежень кожної функції, а також обмежень на зворотний дільник.

Приклад\(\PageIndex{13}\)

Розрахуйте\((f/g)(x)\) і визначте обмеження.

Рішення:

При цьому домен\(f(x)\) складається з усіх дійсних чисел, крім 3 і 8, а домен\(g(x)\) складається з усіх дійсних чисел, крім 3. Крім того,\(g(x)\) зворотне значення має обмеження −8. Отже, область цього частки складається з усіх дійсних чисел, крім 3, 8 та −8.

Відповідь:

\((f / g)(x) = 1\), де\(x\neq 3, 8, -8\)

Ключові винос

• Після множення раціональних виразів множиться як чисельник, так і знаменник, а потім скасувати загальні множники. Зверніть увагу на обмеження домену. Значення, які дають значення 0 в знаменнику, є обмеженнями.
• Щоб розділити раціональні вирази, помножте на зворотний дільник.
• Обмеження домену продукту складаються з обмежень до домену кожного фактора.
• Обмеження до області частки складаються з обмежень до області кожного раціонального виразу, а також обмежень на взаємний дільник.

Вправа\(\PageIndex{2}\) Multiplying Rational Expressions

Помножити. (Припустимо, що всі знаменники ненульові.)

1. \(\dfrac{2 x}{3} \cdot \dfrac{9}{4 x^{2}}\)
2. \(-\dfrac{5 x}{3 y} \cdot \dfrac{y^{2}}{25 x}\)
3. \(\dfrac{5 x^{2}}{2 y} \cdot \dfrac{4 y^{2}}{15 x^{3}}\)
4. \(\dfrac{16 a^{4}}{7 b^{2}} \cdot \dfrac{49 b^{3}}{2 a^{3}}\)
5. \(\dfrac{x-6}{12 x^{3}} \cdot \dfrac{24 x^{2}}{x-6}\)
6. \(\dfrac{x+10}{2x−1}\cdot\dfrac{x−2}{x+10}\)
7. \(\dfrac{(y-1)^{2}}{y+1} \cdot \dfrac{1}{y-1}\)
8. \(\dfrac{y^{2}-9}{y+3} \cdot \dfrac{2 y-3}{y-3}\)
9. \(\dfrac{2 a-5}{a-5} \cdot \dfrac{2 a+5}{4 a^{2}-25}\)
10. \(\dfrac{2 a^{2}-9 a+4}{a^{2}-16} \cdot\left(a^{2}+4 a\right)\)
11. \(\dfrac{2 x^{2}+3 x-2}{(2 x-1)^{2}} \cdot \dfrac{2 x}{x+2}\)
12. \(\dfrac{9x^{2}+19x+2}{4−x^{2}}\cdot\dfrac{x^{2}−4x+4}{9x^{2}−8x−1}\)
13. \(\dfrac{x^{2}+8x+16}{16−x^{2}}\cdot\dfrac{x^{2}−3x−4}{x^{2}+5x+4}\)
14. \(\dfrac{x^{2}−x−2}{x^{2}+8x+7}\cdot\dfrac{x^{2}+2x−15}{x^{2}−5x+6}\)
15. \(\dfrac{x+1}{x−3}\cdot\dfrac{3−x}{x+5}\)
16. \(\dfrac{2x−1}{x−1}\cdot\dfrac{x+6}{1−2x}\)
17. \(\dfrac{9+x}{3x+1}\cdot\dfrac{3}{x+9}\)
18. \(\dfrac{1}{2+5x}\cdot\dfrac{5x+2}{5x}\)
19. \(\dfrac{100-y^{2}}{y-10} \cdot \dfrac{25 y^{2}}{y+10}\)
20. \(\dfrac{3 y^{3}}{6 y-5} \cdot \dfrac{36 y^{2}-25}{5+6 y}\)
21. \(\dfrac{3 a^{2}+14 a-5}{a^{2}+1} \cdot \dfrac{3 a+1}{1-9 a^{2}}\)
22. \(\dfrac{4a^{2}−16a}{4a−1}\cdot\dfrac{1−16a^{2}}{4a^{2}−15a−4}\)
23. \(\dfrac{x+9}{-x^{2}+14 x-45} \cdot\left(x^{2}-81\right) \)
24. \(\dfrac{1}{2+5 x} \cdot\left(25 x^{2}+20 x+4\right)\)
25. \(\dfrac{x^{2}+x−6}{3x^{2}+15x+18}\cdot\dfrac{2x^{2}−8}{x^{2}−4x+4}\)
26. \(\dfrac{5x^{2}−4x−1}{5x^{2}−6x+1}\cdot\dfrac{25x^{2}−10x+1}{3−75x^{2}}\)

Відповідь

1. \(\dfrac{3}{2x}\)

3. \(\dfrac{2y}{3x}\)

5. \(\dfrac{2}{x}\)

7. \(\dfrac{y−1}{y+1}\)

9. \(\dfrac{1}{a−5}\)

11. \(\dfrac{2x}{2x−1}\)

13. \(−1\)

15. \(−\dfrac{x+1}{x+5}\)

17. \(\dfrac{3}{3x+1}\)

19. \(−25y^{2}\)

21. \(-\dfrac{a+5}{a^{2}+1}\)

23. \(-\dfrac{(x+9)^{2}}{x-5}\)

25. \(\dfrac{2}{3}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\) Dividing Rational Expressions

Розділити. (Припустимо, що всі знаменники ненульові.)

1. \(\dfrac{5 x}{8} \div \dfrac{15 x^{2}}{4}\)
2. \(\dfrac{3}{8 y} \div \dfrac{15}{2 y^{2}}\)
3. \(\dfrac{\dfrac{5 x^{9}}{3 y^{3}}}{\dfrac{25 x^{10}}{9 y^{5}}}\)
4. \(\dfrac{\dfrac{12 x^{4} y^{2}}{21 z^{5}}}{\dfrac{6 x^{3} y^{2}}{7 z^{3}}}\)
5. \(\dfrac{(x-4)^{2}}{30 x^{4}} \div \dfrac{x-4}{15 x}\)
6. \(\dfrac{5 y^{4}}{10(3 y-5)^{2}} \div \dfrac{10 y^{5}}{2(3 y-5)^{3}}\)
7. \(\dfrac{x^{2}-9}{5 x} \div(x-3)\)
8. \(\dfrac{y^{2}-64}{8 y} \div(8+y)\)
9. \(\dfrac{(a-8)^{2}}{2 a^{2}+10 a} \div \dfrac{a-8}{a}\)
10. \(\dfrac{2}{4 a^{2} b^{3}(a-2 b)} \div 12 a b(a-2 b)^{5}\)
11. \(\dfrac{x^{2}+7 x+10}{x^{2}+4 x+4} \div \dfrac{1}{x^{2}-4}\)
12. \(\dfrac{2 x^{2}-x-1}{2 x^{2}-3 x+1} \div \dfrac{1}{4 x^{2}-1}\)
13. \(\dfrac{y+1}{y^{2}-3 y} \div \dfrac{y^{2}-1}{y^{2}-6 y+9}\)
14. \(\dfrac{9-a^{2}}{a^{2}-8 a+15} \div \dfrac{2 a^{2}-10 a}{a^{2}-10 a+25}\)
15. \(\dfrac{a^{2}-3 a-18}{2 a^{2}-11 a-6} \div \dfrac{a^{2}+a-6}{2 a^{2}-a-1}\)
16. \(\dfrac{y^{2}-7 y+10}{y^{2}+5 y-14} \div \dfrac{2 y^{2}-9 y-5}{y^{2}+14 y+49}\)
17. \(\dfrac{6 y^{2}+y-1}{4 y^{2}+4 y+1} \div \dfrac{3 y^{2}+2 y-1}{2 y^{2}-7 y-4}\)
18. \(\dfrac{x^{2}−7x−18}{x^{2}+8x+12}\div\dfrac{x^{2}−81}{x^{2}+12x+36}\)
19. \(\dfrac{4a^{2}−b^{2}}{b+2a}\div (b−2a)^{2}\)
20. \(\dfrac{x^{2}−y^{2}}{y+x}\div (y−x)^{2}\)
21. \(\dfrac{5 y^{2}(y-3)}{4 x^{3}} \div \dfrac{25 y(3-y)}{2 x^{2}}\)
22. \(\dfrac{15 x^{3}}{3(y+7)} \div \dfrac{25 x^{6}}{9(7+y)^{2}} \)
23. \(\dfrac{3 x+4}{x-8} \div \dfrac{7 x}{8-x}\)
24. \(\dfrac{3x−2}{2x+1}\div \dfrac{2−3x}{3x}\)
25. \(\dfrac{(7 x-1)^{2}}{4 x+1} \div \dfrac{28 x^{2}-11 x+1}{1-4 x}\)
26. \(\dfrac{4 x}{(x+2)^{2}} \div \dfrac{2-x}{x^{2}-4}\)
27. \(\dfrac{a^{2}-b^{2}}{a} \div(b-a)^{2}\)
28. \(\dfrac{(a−2b)^{2}}{2b}\div (2b^{2}+ab−a^{2})\)
29. \(\dfrac{x^{2}−6x+9}{x^{2}+7x+12}\div \dfrac{9−x^{2}}{x^{2}+8x+16}\)
30. \(\dfrac{2x^{2}−9x−5}{25−x^{2}}\div \dfrac{1−4x+4x^{2}}{−2x^{2}−9x+5}\)
31. \(\dfrac{3x^{2}−16x+5}{100−4x^{2}}\div\dfrac{ 9x^{2}−6x+1}{3x^{2}+14x−5}\)
32. \(\dfrac{10x^{2}−25x−15}{x^{2}−6x+9}\div\dfrac{9−x^{2}}{x^{2}+6x+9}\)

Відповідь

1. \(\dfrac{1}{6x}\)

3. \(\dfrac{3y^{2}}{5x}\)

5. \(\dfrac{x−4}{2x3}\)

7. \(\dfrac{x+3}{5x}\)

9. \(\dfrac{a−8}{2(a+5)}\)

11. \((x+5)(x−2)\)

13. \(\dfrac{y−3}{y(y−1)}\)

15. \(\dfrac{a−1}{a−2}\)

17. \(\dfrac{y−4}{y+1}\)

19. \(\dfrac{1}{2a−b}\)

21. \(−\dfrac{y}{10x}\)

23. \(−\dfrac{3x+4}{7x}\)

25. \(−\dfrac{7x−1}{4x+1}\)

27. \(\dfrac{a+b}{a(a-b)}\)

29. \(−\dfrac{(x−3)(x+4)}{(x+3)^{2}}\)

31. \(−\dfrac{1}{4}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\) Dividing Rational Expressions

Нагадаємо, що множення і ділення повинні виконуватися в тому порядку, в якому вони з'являються зліва направо. Спростіть наступне.

1. \(\dfrac{1}{x^{2}} \cdot \dfrac{x-1}{x+3} \div \dfrac{x-1}{x^{3}}\)
2. \(\dfrac{x−7}{x+9}\cdot\dfrac{1}{x^{3}}\div\dfrac{x−7}{x}\)
3. \(\dfrac{x+1}{x−2}\div\dfrac{x}{x−5}\cdot\dfrac{x^{2}}{x+1}\)
4. \(\dfrac{x+4}{2x+5}\div \dfrac{x−3}{2x+5}\cdot\dfrac{x+4}{x−3}\)
5. \(\dfrac{2x−1}{x+1}\div\dfrac{x−4}{x^{2}+1}\cdot\dfrac{x−4}{2x−1}\)
6. \(\dfrac{4x^{2}−1}{3x+2}\div\dfrac{2x−1}{x+5}\cdot\dfrac{3x+2}{2x+1}\)

Відповідь

1. \(\dfrac{x}{x+3}\)

3. \(\dfrac{x(x−5)}{x−2}\)

5. \(\dfrac{x^{2}+1}{x+1}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\) Multiplying and Dividing Rational Functions

Розрахуйте\((f⋅g)(x)\) і визначте обмеження для домену.

1. \(f(x)=\dfrac{1}{x}\)і\(g(x)=\dfrac{1}{x−1}\)
2. \(f(x)=\dfrac{x+1}{x−1}\)і\(g(x)=x^{2}−1\)
3. \(f(x)=\dfrac{3x+2}{x+2}\)і\(g(x)=\dfrac{x^{2}−4}{(3x+2)^{2}}\)
4. \(f(x)=\dfrac{(1−3x)}{2x−6}\)і\(g(x)=\dfrac{(x−6)^{2}}{9x^{2}−1}\)
5. \(f(x)=\dfrac{25x^{2}−1}{x^{2}+6x+9}\)і\(g(x)=\dfrac{x^{2}−9}{5x+1}\)
6. \(f(x)=\dfrac{x^{2}−49}{2x^{2}+13x−7}\)і\(g(x)=\dfrac{4x^{2}−4x+1}{7−x}\)

Відповідь

1. \((f⋅g)(x)=\dfrac{1}{x(x−1)} ; x≠0, 1 \)

3. \((f⋅g)(x)=\dfrac{x−2}{3x+2}; x≠−2, −\dfrac{2}{3}\)

5. \((f⋅g)(x)=\dfrac{(x−3)}{(5x−1)x+3}; x≠−3, −\dfrac{1}{5}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\) Multiplying and Dividing Rational Functions

Розрахуйте\((f/g)(x)\) і викладіть обмеження.

1. \(f(x)=\dfrac{1}{x}\)і\(g(x)=\dfrac{x−2}{x−1}\)
2. \(f(x)=\dfrac{(5x+3)^{2}}{x^{2}}\)і\(g(x)=\dfrac{5x+3}{6−x}\)
3. \(f(x)=\dfrac{5−x}{(x−8)^{2}}\)і\(g(x)=\dfrac{x^{2}−2}{5x−8}\)
4. \(f(x)=\dfrac{x^{2}−2x−1}{5x^{2}−3x−10}\)і\(g(x)=\dfrac{2x^{2}−5x−3}{x^{2}−7x+12}\)
5. \(f(x)=\dfrac{3x^{2}+11x−4}{9x^{2}−6x+1}\)і\(g(x)=\dfrac{x^{2}−2x+1}{3x^{2}−4x+1}\)
6. \(f(x)=\dfrac{36−x^{2}}{x^{2}+12x+36}\)і\(g(x)=\dfrac{x^{2}−12x+3}{6x^{2}+4x−12}\)

Відповідь

1. \((f/g)(x)=\dfrac{x−1}{x(x−2)}; x≠0, 1, 2\)

3. \((f/g)(x)=−\dfrac{1}{(x−8)(x+5)}; x≠±5, 8\)

5. \((f/g)(x)=\dfrac{(x+4)}{(x−1)}; x≠\dfrac{1}{3}, 1\)

Вправа\(\PageIndex{7}\) Discussion Board Topics

1. В історії дробів хто зараховується за перше використання дробового бару?
2. Як стародавні єгиптяни використовували фракції?
3. Поясніть\(x=7\), чому це обмеження до\(\dfrac{1}{x}\div\dfrac{x−7}{x−2}\).

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

3. Відповідь може відрізнятися