6.6: Розв'язування рівнянь шляхом факторингу

Цілі навчання

• Перевірте розв'язки квадратних рівнянь.
• Розв'яжіть квадратні рівняння методом факторингу.
• Визначте квадратне рівняння з заданими розв'язками.
• Розв'яжіть поліноміальні рівняння методом факторингу.

Розв'язування квадратних рівнянь методом факторингу

Навчання розв'язуванню рівнянь - одна з наших головних цілей в алгебрі. До цього моменту ми розв'язали лінійні рівняння, які мають ступінь 1. У цьому розділі ми вивчимо техніку, яку можна використовувати для вирішення певних рівнянь 2 ступеня. Квадратне рівняння - це будь-яке рівняння, яке можна записати в стандартному вигляді.

\[ax^{2}+bx+c=0\],

де\(a, b\), і\(c\) є дійсними числами і\(a≠0\). Нижче наведено кілька прикладів квадратичних рівнянь, всі з яких будуть розв'язані в цьому розділі:

\(x^{2}+x-6=0\)

\(4x^{2}-9=0\)

\(2x^{2}+10x+20=-3x+5\)

Розв'язок квадратного рівняння в стандартній формі називається коренем. Квадратні рівняння можуть мати два дійсні розв'язки, одне дійсне рішення або відсутність реального розв'язку. Квадратне рівняння\(x^{2}+x−6=0\) має два розв'язки, а саме,\(x=−3\) і\(x=2\).

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Переконайтеся, що\(x=−3\) і\(x=2\) є рішення для\(x^{2}+x−6=0\).

Рішення:

Щоб перевірити рішення, підставляйте значення для,\(x\) а потім спростіть, щоб побачити, чи результат правдивого твердження.

\(\begin{array} {r|r} {\color{Cerulean}{Check:}\color{black}{\:x=-3}}&{\color{Cerulean}{Check:}\color{black}{\:x=2}} \\ {x^{2}+x-6=0}&{x^{2}+x-6=0}\\{(\color{OliveGreen}{-3}\color{black}{)^{2}+(}\color{OliveGreen}{-3}\color{black}{)-6=0}}&{(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)^{2}+(}\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)-6=0}}\\{9-3-6=0}&{4+2-6=0}\\{0=0\quad\color{Cerulean}{\checkmark}}&{0=0\quad\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

Відповідь:

Обидва значення дають правдиві твердження. Тому вони обидва є розв'язками рівняння.

Нашою метою є розробка алгебраїчних методів пошуку розв'язків квадратних рівнянь. Перша методика вимагає властивості нульового продукту:

Якщо\(a\cdot b=0\), то\(a=0\) або\(b=0\)

Іншими словами, якщо будь-який твір дорівнює нулю, то один або обидва змінних коефіцієнта повинні дорівнювати нулю.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Вирішити:

\((x−8)(x+7)=0\).

Рішення:

Це рівняння складається з добутку двох величин, рівних нулю; отже, застосовується властивість нульового добутку. Одна або обидві величини повинні дорівнювати нулю.

\(\begin{array} {ccc} {(x-8)=0}&{\text{or}}&{(x+7)=0}\\{x-8\color{Cerulean}{+8}\color{black}{=0}\color{Cerulean}{+8}}&{}&{x+7\color{Cerulean}{-7}\color{black}{=0}\color{Cerulean}{-7}}\\{x=8}&{}&{x=-7} \end{array}\)

Щоб переконатися, що це рішення, підмініть їх на змінну\(x\).

\(\begin{array}{r|r} {\color{Cerulean}{Check:}\color{black}{\:x=8}}&{\color{Cerulean}{Check:}\color{black}{\:x=-7}}\\{(x-8)(x+7)=0}&{(x-8)(x+7)=0}\\{(8-8)(8+7)=0}&{(-7+8)(-7+7)=0}\\{(0)(15)=0}&{(1)(0)=0}\\{0=0\quad\color{Cerulean}{\checkmark}}&{0=0\quad\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

Зверніть увагу, що кожне рішення створює коефіцієнт, який дорівнює нулю.

Відповідь:

Рішення є\(8\) і\(−7\).

Квадратне рівняння може бути не дано в його факторованому вигляді.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Вирішити:

\(x^{2}+3x−10=0\).

Рішення:

Мета - виготовити продукт, який дорівнює нулю. Ми можемо зробити це шляхом факторингу триноміала на лівій стороні рівняння.

\(\begin{array}{cc}{x^{2}+3x-10=0}&{}\\{(x\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)(x\quad}\color{Cerulean}{?}\color{black}{)=0}}&{\color{Cerulean}{-10=5(-2)}}\\{}&{\color{Cerulean}{and\: 3=5+(-2)}}\\{(x+5)(x-2)=0}&{} \end{array}\)

Далі застосовуємо властивість нульового добутку і встановлюємо кожен коефіцієнт рівним нулю.

\(x+5=0 \quad\text{or}\quad x-2=0\)

Це залишає нам два лінійних рівняння, кожне з яких можна вирішити для\(x\).

\(\begin{array}{cc} {x+5\color{Cerulean}{-5}\color{black}{=0}\color{Cerulean}{-5}}&{x-2\color{Cerulean}{+2}\color{black}{=0}\color{Cerulean}{+2}}\\{x=-5}&{x=2} \end{array}\)

Перевірте рішення, підставивши в вихідне рівняння, щоб переконатися, що ми отримуємо істинні твердження.

\(\begin{array}{r|r}{\color{Cerulean}{Check:}\color{black}{\:x=-5}}&{\color{Cerulean}{Check:}\color{black}{\:x=2}}\\{x^{2}+3x-10=0}&{x^{2}+3x-10=0}\\{(\color{OliveGreen}{-5}\color{black}{)^{2}+3(}\color{OliveGreen}{-5}\color{black}{)-10=0}}&{(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)^{2}+3(}\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)-10=0}}\\{25-15-10=0}&{4+6-10=0}\\{0=0\quad\color{Cerulean}{\checkmark}}&{0=0\quad\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

Відповідь:

Рішення є\(-5\) і\(2\).

Використання властивості нульового добутку після факторингу квадратного рівняння в стандартній формі є ключем до цієї методики. Однак квадратне рівняння може бути не дано в стандартному вигляді, тому перед факторингом можуть бути деякі попередні кроки. Кроки, необхідні для вирішення факторингом, викладені в наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Вирішити:

\(2x^{2}+10x+20=−3x+5\).

Рішення:

Крок 1: Висловіть квадратне рівняння в стандартній формі. Для застосування властивості нульового добутку квадратичний вираз має дорівнювати нулю. Використовуйте властивості додавання та віднімання рівності, щоб об'єднати протилежні сторони, подібні до членів, і отримати нуль на одній стороні рівняння. У цьому прикладі додайте і\(3x\) відніміть\(5\) з обох сторін.

\(\begin{aligned} 2x^{2}+10x+20\color{Cerulean}{+3x}&\color{black}{=-3x+5}\color{Cerulean}{+3x} \\ 2x^{2}+13x+20&=5 \\ 2x^{2}+13x+20\color{Cerulean}{-5}&\color{black}{=5}\color{Cerulean}{-5} \\ 2x^{2}+13x+15&=0 \end{aligned}\)

Крок 2: Фактор квадратичного виразу.

\((2x+3)(x+5)=0\)

Крок 3: Застосуйте властивість нульового добутку та встановіть кожен коефіцієнт змінної рівний нулю.

\(2x+3=0\quad\text{or}\quad x+5=0\)

Крок 4: Вирішіть отримані лінійні рівняння.

\(\begin{array} {ccc} {2x+3=0}&{\text{or}}&{x+5=0}\\{2x=-3}&{}&{x=-5}\\{\frac{2x}{\color{Cerulean}{2}}\color{black}{=\frac{-3}{\color{Cerulean}{2}}}}&{}&{}\\{x=-\frac{3}{2}}&{}&{} \end{array}\)

Відповідь:

Рішення є\(-5\) і\(-\frac{3}{2}\). Перевірка необов'язкова.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Вирішити:

\(9x^{2}+1=6x\).

Рішення:

Напишіть це в стандартному вигляді, віднімаючи\ (6x\ з обох сторін.

\(\begin{aligned} 9x^{2}+1\color{Cerulean}{-6x}&\color{black}{=6x}\color{Cerulean}{-6x} \\ 9x^{2}-6x+1&=0 \end{aligned}\)

Після того, як рівняння буде в стандартному вигляді, рівному нулю, коефіцієнт.

\((3x-1)(3x-1)=0\)

Це ідеальний квадратний триноміал. Отже, встановлення кожного коефіцієнта, рівного нулю, призводить до повторного рішення.

\(\begin{array}{ccc}{3x-1=0}&{\text{or}}&{3x-1=0}\\{3x=1}&{}&{3x=1}\\{x=\frac{1}{3}}&{}&{x=\frac{1}{3}}\\ \end{array}\)

Повторне рішення називається подвійним коренем і не обов'язково записуватися двічі.

Відповідь:

Рішення є\(\frac{1}{3}\).

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вирішити:

\(x^{2}−3x=28\).

Відповідь

\(x=−4\)або\(x=7\)

Не всі квадратні рівняння в стандартній формі є тріноміями. Ми часто стикаємося з біноміалами.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Вирішити:

\(x^{2}−9=0\).

Рішення:

Це квадратне рівняння дано в стандартному вигляді, де біном з лівого боку є різницею квадратів. Фактор виглядає наступним чином:

\(\begin{aligned} x^{2}-9&=0 \\ (x+3)(x-3)&=0 \end{aligned}\)

Далі ставимо кожен коефіцієнт рівним нулю і вирішуємо.

\(\begin{array}{ccc}{x+3=0}&{\text{or}}&{x-3=0}\\{x=-3}&{}&{x=3}\end{array}\)

Відповідь:

Рішення є\(3\) і\(−3\), які також можуть бути записані як\(±3\).

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Вирішити:

\(5x^{2}=15x\)

Рішення:

За допомогою огляду ми бачимо, що\(x=0\) це рішення цього квадратного рівняння. Оскільки ділення на нуль не визначено, ми хочемо уникнути ділення обох сторін цього рівняння на\(x\). Загалом, ми хочемо уникнути ділення обох сторін будь-якого рівняння на змінну або вираз, що містить змінну. Про це ми докладніше поговоримо далі. Насамперед необхідно переписати це рівняння в стандартному вигляді з нулем на одній стороні.

\(\begin{aligned} 5x^{2}&=15x \\ 5x^{2}\color{Cerulean}{-15x}&\color{black}{=15x}\color{Cerulean}{-15x\quad Subtract\:15x\:from\:both\:sides.} \\ 5x^{2}-15x&=0 \end{aligned}\)

Далі множимо вираз. Зверніть увагу, що біном зліва має GCF\(5x\).

\(\begin{aligned} 5x^{2}-15x&=0\\5x(x-3)&=0 \end{aligned}\)

Встановіть кожен коефіцієнт рівним нулю.

\(\begin{array}{ccc}{5x=0}&{\text{or}}&{x-3=0}\\{\frac{5x}{\color{Cerulean}{5}}\color{black}{=\frac{0}{\color{Cerulean}{5}}}}&{}&{x=3}\\{x=0}&{}&{} \end{array}\)

Відповідь:

Рішення є\(0\) і\(3\).

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Вирішити:

\((2x+1)(x+5)=11\).

Рішення:

Це квадратне рівняння, здається, враховується; отже, може бути спокусливим встановити кожен коефіцієнт рівним\(11\). Однак це призвело б до неправильних результатів. Ми повинні переписати рівняння в стандартному вигляді, рівному нулю, щоб ми могли застосувати властивість нульового добутку.

\(\begin{aligned}(2x+1)(x+5)&=11 \\ 2x^{2}+10x+x+5&=11 \\ 2x^{2}+11x+5\color{Cerulean}{-11}&\color{black}{=11}\color{Cerulean}{-11}\\2x^{2}+11x-6&=0 \end{aligned}\)

Після того, як він знаходиться в стандартній формі, ми можемо коефіцієнт, а потім встановити кожен коефіцієнт рівним нулю.

\((2x-1)(x+6)=0\)

\(\begin{array}{ccc}{2x-1=0}&{\text{or}}&{x+6=0}\\{2x=1}&{}&{x=-6}\\{x=\frac{1}{2}}&{}&{} \end{array}\)

Відповідь:

Рішення є\(\frac{1}{2}\) і\(-6\).

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Вирішити:

\(15x^{2}−25x+10=0\).

Рішення:

Ми починаємо з факторингу GCF\(5\). Потім коефіцієнт отриманого триноміала.

\(\begin{aligned} 15x^{2}-25x+10&=0 \\ 5(3x^{2}-5x+2)&=0\\5(3x-2)(x-1)&=0 \end{aligned}\)

Далі ставимо кожну змінну коефіцієнт рівним нулю і вирішуємо для\(x\).

\(\begin{array}{ccc} {3x-2=0}&{\text{or}}&{x-1=0}\\{3x=2}&{}&{x=1}\\{x=\frac{2}{3}}&{}&{} \end{array}\)

Зверніть увагу, що коефіцієнт не\(5\) є змінним фактором і, таким чином, не сприяв набору рішення.

Відповідь:

Рішення є\(\frac{2}{3}\) і\(1\).

Приклад\(\PageIndex{10}\)

Фактор:

\(52x^{2}+76x−13=0\).

Рішення:

Очистіть дроби, множивши обидві сторони рівняння на РК-дисплей, який дорівнює\(6\).

\(\begin{aligned} \frac{5}{2}x^{2}+\frac{7}{6}x-\frac{1}{3}&=0 \\ \color{Cerulean}{6}\color{black}{\cdot} \left( \frac{5}{2}x^{2}+\frac{7}{6}x-\frac{1}{3} \right) &=\color{Cerulean}{6}\color{black}{\cdot (0)} \\ 15x^{2}+7x-2&=0 \end{aligned}\)

На даний момент ми маємо еквівалентне рівняння з цілими коефіцієнтами і може множник, як зазвичай. Починають з факторів\(15\) і\(2\).

\(\begin{array}{cc}{15=1\cdot 15}&{2=1\cdot 2} \\ {=3\cdot 5}&{} \end{array}\)

Коефіцієнт середнього терміну дорівнює\(7=3(−1)+5(2)\). Фактор виглядає наступним чином:

\(\begin{aligned} 15x^{2}+7x-2&=0 \\ (3x+2)(5x-1)&=0 \end{aligned}\)

Встановіть кожен коефіцієнт рівним нулю і вирішуйте.

\(\begin{array}{ccc}{3x+2=0}&{\text{or}}&{5x-1=0}\\{3x=-2}&{}&{5x=1}\\{x=-\frac{2}{3}}&{}&{x=\frac{1}{5}} \end{array}\)

Відповідь:

Рішення є\(-\frac{2}{3}\) і\(\frac{1}{5}\).

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вирішити:

\(4x^{2}-9=0\).

Відповідь

\(-\frac{3}{2}\)і\(\frac{3}{2}\)

Пошук рівнянь із заданими розв'язками

Властивість нульового продукту говорить,

Якщо\(a\cdot b=0\), то\(a=0\) або\(b=0\)

І, насправді, зворотне вірне також:

Якщо\(a=0\) або\(b=0\), то\(ab=0\)

Коли це так, ми можемо написати наступне:

\(a\cdot b =0\), якщо і тільки якщо\(a=0\) або\(b=0\)

Ми використовуємо цю властивість для пошуку рівнянь, заданих розв'язками. Для цього етапи вирішення шляхом факторингу виконуються в зворотному порядку.

Приклад\(\PageIndex{11}\)

Знайти квадратне рівняння з розв'язками\(−7\) і\(2\).

Рішення:

З огляду на розв'язки, можна визначити два лінійних чинника.

\(\begin{array} {ccc}{x=-7}&{\text{or}}&{x=2}\\{x+7=0}&{}&{x-2=0} \end{array}\)

Добуток цих лінійних факторів дорівнює нулю при\(x=-7\) або\(x=2\):

\((x+7)(x-2)=0\)

Помножте біноміали і укажіть рівняння в стандартному вигляді.

\(\begin{aligned} x^{2}-2x+7x-14&=0 \\ x^{2}+5x-14&=0 \end{aligned}\)

Відповідь:

\(x^{2}+5x-14=0\).

Ми можемо перевірити наше рівняння, підставляючи дані відповіді, щоб побачити, чи отримаємо ми справжнє твердження. Крім того, рівняння, знайдене вище, не є унікальним, і тому перевірка стає важливою, коли наше рівняння виглядає відмінним від чужого.

Приклад\(\PageIndex{12}\)

Знайти квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, заданими розв'язками\(\frac{1}{2}\) і\(−\frac{3}{4}\).

Рішення:

Щоб уникнути дробових коефіцієнтів, спочатку очищаємо дроби, множивши обидві сторони на знаменник.

\(\begin{array} {ccc}{x=\frac{1}{2}}&{\text{or}}&{x=-\frac{3}{4}}\\{\color{Cerulean}{2}\color{black}{\cdot x =}\color{Cerulean}{2}\color{black}{\cdot \frac{1}{2}}}&{}&{\color{Cerulean}{4}\color{black}{\cdot x = -\frac{3}{4}\cdot}\color{Cerulean}{4}}\\{2x=1}&{}&{4x=-3}\\{2x-1=0}&{}&{4x+3=0} \end{array}\)

Застосовуємо властивість нульового добутку і множимо.

\(\begin{aligned} (2x-1)(4x+3)&=0 \\ 8x^{2}+6x-4x-3&=0 \\ 8x^{2}+2x-3&=0 \end{aligned}\)

Відповідь:

\(8x^{2}+2x-3=0\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Знайти квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, заданими розв'язками\(−1\) і\(\frac{2}{3}\).

Відповідь

\(3x^{2}+x-2=0\)

Розв'язування поліноміальних рівнянь методом факторингу

Властивість нульового добутку вірно для будь-якої кількості факторів, що складають рівняння. Якщо вираз дорівнює нулю і може бути врахований на лінійні множники, то ми зможемо встановити кожен коефіцієнт рівним нулю і вирішити для кожного рівняння.

Приклад\(\PageIndex{13}\)

Вирішити:

\(3x(x−5)(3x−2)=0\).

Рішення:

Встановіть кожну змінну коефіцієнт рівний нулю і вирішуйте.

\(\begin{array}{ccccc} {3x=0}&{\text{or}}&{x-5=0}&{\text{or}}&{3x-2=0}\\{\frac{3x}{\color{Cerulean}{3}}\color{black}{=\frac{0}{\color{Cerulean}{3}}}}&{}&{x=5}&{}&{\frac{3x}{\color{Cerulean}{3}}\color{black}{=\frac{2}{\color{Cerulean}{3}}}}\\{x=0}&{}&{}&{}&{x=\frac{2}{3}}\end{array}\)

Відповідь:

Рішення є\(0, 5\), і\(\frac{2}{3}\).

Звичайно, ми не можемо очікувати, що рівняння буде дано у факторованій формі.

Приклад\(\PageIndex{14}\)

Вирішити:

\(x^{3}+2x^{2}−9x−18=0\).

Рішення

Почніть з факторингу лівої сторони повністю.

\(\begin{array}{rl} {x^{3}+2x^{2}-9x-18=0}&{\color{Cerulean}{Factor\:by\:grouping.}}\\{x^{2}(x+2)-9(x+2)=0}&{}\\{(x+2)(x^{2}-9)=0}&{\color{Cerulean}{Factor\:as\:a\:difference\:of\:squares.}}\\{(x+2)(x+3)(x-3)=0}&{} \end{array}\)

Встановіть кожен коефіцієнт рівним нулю і вирішуйте.

\(\begin{array} {ccccc}{x+2=0}&{\text{or}}&{x+3=0}&{\text{or}}&{x-3=0}\\{x=-2}&{}&{x=-3}&{}&{x=3} \end{array}\)

Відповідь:

Рішення є\(-2, -3\), і\(3\).

Зверніть увагу, що ступінь многочлена є\(3\) і ми отримали три рішення. Загалом, для будь-якого поліноміального рівняння з однією змінною ступеня\(n\) фундаментальна теорема алгебри гарантує\(n\) реальні розв'язки або менше. Ми бачили, що багато поліномів не впливають на фактор. Це не означає, що рівняння за участю цих нефакторних поліномів не мають реальних розв'язків. Насправді багато поліноміальних рівнянь, які не мають фактора, мають реальні розв'язки. Ми навчимося вирішувати ці типи рівнянь, як продовжимо в нашому вивченні алгебри.

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Вирішити:

\(−10x^{3}−18x^{2}+4x=0\).

Відповідь

\(−2, 0, \frac{1}{5}\)

Ключові виноси

• Многочлен може мати максимум кількість розв'язків, рівних його ступеня. Тому квадратні рівняння можуть мати до двох реальних розв'язків.
• Щоб вирішити квадратне рівняння, спочатку запишіть його в стандартному вигляді. Після того, як квадратичний вираз буде дорівнює нулю, множник його, а потім встановіть кожну змінну коефіцієнт рівний нулю. Розв'язки результуючих лінійних рівнянь є розв'язками квадратного рівняння.
• Не всі квадратні рівняння можуть бути вирішені факторингом. Ми навчимося вирішувати квадратичні рівняння, які не враховуються пізніше в курсі.
• Щоб знайти квадратне рівняння з заданими розв'язками, виконують процес розв'язання факторингом у зворотному напрямку.
• Якщо будь-який многочлен врахований на лінійні множники і встановлений на нуль, то ми можемо визначити розв'язки, встановивши кожен коефіцієнт змінної рівний нулю і вирішивши кожен окремо.

Вправа\(\PageIndex{5}\) Solutions to Quadratic Equations

Визначте, чи є задана множина значень розв'язками квадратного рівняння.

1. \({−3, 5}; x^{2}−2x−15=0\)
2. \({7, −1}; x^{2}−6x−7=0\)
3. \({−\frac{1}{2}, \frac{1}{2} }; x^{2}−14=0\)
4. \({−\frac{3}{4}, \frac{3}{4} }; x^{2}−916=0\)
5. \({−3, 2}; x^{2}−x−6=0\)
6. \({−5, 1}; x^{2}−4x−5=0\)

Відповідь

1. Так

3. Так

5. Ні

Вправа\(\PageIndex{6}\) Solutions to Quadratic Equations

Вирішити.

1. \((x−3)(x+2)=0\)
2. \((x+5)(x+1)=0\)
3. \((2x−1)(x−4)=0\)
4. \((3x+1)(3x−1)=0\)
5. \((x−2)^{2}=0\)
6. \((5x+3)^{2}=0\)
7. \(7x(x−5)=0\)
8. \(-2x(2x−3)=0\)
9. \((x−12)(x+34)=0\)
10. \((x+58)(x−38)=0\)
11. \((14x+12)(16x−23)=0\)
12. \((15x−3)^{2}=0\)
13. \(−5(x+1)(x−2)=0\)
14. \(12(x−7)(x−6)=0\)
15. \((x+5)(x−1)=0\)
16. \((x+5)(x+1)=0\)
17. \(−2(3x−2)(2x+5)=0\)
18. \(5(7x−8)^{2}=0\)

Відповідь

1. \(−2, 3\)

3. \(\frac{1}{2}, 4\)

5. \(2\)

7. \(0, 5\)

9. \(−\frac{3}{4}, \frac{1}{2}\)

11. \(−2, 4\)

13. \(−1, 2\)

15. \(−5, 1\)

17. \(−\frac{5}{2}, \frac{2}{3}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\) Solve by Factoring

Вирішити.

1. \(x^{2}−x−6=0\)
2. \(x^{2}+3x−10=0\)
3. \(y^{2}−10y+24=0\)
4. \(y^{2}+6y−27=0\)
5. \(x^{2}−14x+40=0\)
6. \(x^{2}+14x+49=0\)
7. \(x^{2}−10x+25=0\)
8. \(3x^{2}+2x−1=0\)
9. \(5x^{2}−9x−2=0\)
10. \(7y^{2}+20y−3=0\)
11. \(9x^{2}−42x+49=0\)
12. \(25x^{2}+30x+9=0\)
13. \(2y^{2}+y−3=0\)
14. \(7x^{2}−11x−6=0\)
15. \(2x^{2}=−15x+8\)
16. \(8x−5=3x^{2}\)
17. \(x^{2}−36=0\)
18. \(x^{2}−100=0\)
19. \(4x^{2}−81=0\)
20. \(49x^{2}−4=0\)
21. \(x^{2}=4\)
22. \(9y^{2}=1\)
23. \(16y^{2}=25\)
24. \(36x^{2}=25\)
25. \(4x^{2}−36=0\)
26. \(2x^{2}−18=0\)
27. \(10x^{2}+20x=0\)
28. \(−3x^{2}+6x=0\)
29. \(25x^{2}=50x\)
30. \(x^{2}=0\)
31. \((x+1)^{2}−25=0\)
32. \((x−2)^{2}−36=0\)
33. \(5x(x−4)=−4+x\)
34. \((x−1)(x−10)=22\)
35. \((x−3)(x−5)=24\)
36. \(−2x(x−9)=x+21\)
37. \((x+1)(6x+1)=2x\)
38. \((x−2)(x+12)=15x\)
39. \((x+1)(x+2)=2(x+16)\)
40. \((x−9)(2x+3)=2(x−9)\)

Відповідь

1. \(−2, 3\)

3. \(4, 6\)

5. \(4, 10\)

7. \(5\)

9. \(−\frac{1}{5}, 2\)

11. \(\frac{7}{3}\)

13. \(−\frac{3}{2}, 1\)

15. \(−8, \frac{1}{2}\)

17. \(−6, 6\)

19. \(−\frac{9}{2}, \frac{9}{2}\)

21. \(−2, 2\)

23. \(−\frac{5}{4}, \frac{5}{4}\)

25. \(−3, 3\)

27. \(−2, 0\)

29. \(0, 2\)

31. \(−6, 4\)

33. \(\frac{1}{5}, 4\)

35. \(−1, 9\)

37. \(−\frac{1}{2}, −\frac{1}{3}\)

39. \(−6, 5\)

Вправа\(\PageIndex{8}\) Solve by Factoring

Очистіть фракції, спочатку помноживши обидві сторони на РК-дисплей, а потім вирішіть.

1. \(115x^{2}+13x+25=0\)
2. \(114x^{2}−12x+37=0\)
3. \(32x^{2}−23=0\)
4. \(52x^{2}−110=0\)
5. \(314x^{2}−212=0\)
6. \(13x^{2}−15x=0\)
7. \(132x^{2}−12x+2=0\)
8. \(13x^{2}+56x−12=0\)
9. Сторони квадрата вимірюють\(x + 3\) одиниці виміру. Якщо площа\(25\) квадратних одиниць, то знайдіть\(x\).
10. Висота трикутника на\(2\) одиниці більше, ніж його основа. Якщо площа\(40\) квадратних одиниць, то знайдіть довжину підстави.
11. Сторони прямокутного трикутника мають міри, які є послідовними цілими числами. Знайти довжину гіпотенузи. (Підказка: Гіпотенуза - найдовша сторона. Застосувати теорему Піфагора.)
12. Прибуток у доларах, що генерується виробництвом та продажем\(x\) нестандартних ламп, дається функцією\(P(x)=−10x^{2}+800x−12000\). Скільки ламп потрібно продати і виробляти, щоб зламатися? (Підказка: Ми розбиваємо навіть, коли прибуток дорівнює нулю.)

Відповідь

1. \(−3, −2\)

3. \(−\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\)

5. \(±7\)

7. \(8\)

9. \(2\)одиниць

11. \(5\)одиниць

Вправа\(\PageIndex{9}\) Solve by Factoring

Припускаючи сухі дорожні умови та середній час реакції, безпечний гальмівний шлях\(d\) у футах середнього автомобіля задається за формулою\(d=120v^{2}+v\), де\(v\) представляє швидкість автомобіля в милі на годину. Для кожної задачі нижче, враховуючи гальмівний шлях, визначте безпечну швидкість.

1. \(15\)ноги
2. \(40\)ноги
3. \(75\)ноги
4. \(120\)ноги

Відповідь

1. \(10\)миль на годину

3. \(30\)миль на годину

Вправа\(\PageIndex{10}\) Finding Equations with Given Solutions

Знайдіть квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, задані наступні розв'язки.

1. \(−3, 1\)
2. \(−5, 3\)
3. \(−10, −3\)
4. \(−7, −4\)
5. \(−1, 0\)
6. \(0, \frac{3}{5}\)
7. \(−2, 2\)
8. \(−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\)
9. \(−4, \frac{1}{3}\)
10. \(\frac{2}{3}, \frac{2}{5}\)
11. \(−\frac{1}{5}, −\frac{2}{3}\)
12. \(−\frac{3}{2}, \frac{3}{4}\)
13. \(3\), подвійний корінь
14. \(−5\), подвійний корінь

Відповідь

1. \(x^{2}+2x−3=0\)

3. \(x^{2}+13x+30=0\)

5. \(x^{2}+x=0\)

7. \(x^{2}−4=0\)

9. \(3x^{2}+11x−4=0\)

11. \(15x^{2}+13x+2=0\)

13. \(x^{2}−6x+9=0\)

Вправа\(\PageIndex{11}\) Solving Polynomial Equations

Вирішити.

1. \(7x(x+5)(x−9)=0\)
2. \((x−1)(x−2)(x−3)=0\)
3. \(−2x(x−10)(x−1)=0\)
4. \(8x(x−4)^{2}=0\)
5. \(4(x+3)(x−2)(x+1)=0\)
6. \(−2(3x+1)(3x−1)(x−1)(x+1)=0\)
7. \(x^{3}−x^{2}−2x=0\)
8. \(2x^{3}+5x^{2}−3x=0\)
9. \(5x^{3}−15x^{2}+10x=0\)
10. \(−2x^{3}+2x^{2}+12x=0\)
11. \(3x^{3}−27x=0\)
12. \(−2x^{3}+8x=0\)
13. \(x^{3}+x^{2}−x−1=0\)
14. \(x^{3}+2x^{2}−16x−32=0\)
15. \(8x^{3}−4x^{2}−18x+9=0\)
16. \(12x^{3}=27x\)

Відповідь

1. \(−5, 0, 9 \)

3. \(0, 1, 10 \)

5. \(−3, −1, 2\)

7. \(−1, 0, 2\)

9. \(0, 1, 2\)

11. \(−3, 0, 3\)

13. \(−1, 1\)

15. \(−\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\)

Вправа\(\PageIndex{12}\) Discussion Board Topics

1. Поясніть\(2(x+5)(x−5)=0\), чому має два рішення і\(2x(x+5)(x−5)=0\) має три рішення.
2. Складіть своє власне квадратне рівняння та розмістіть його та рішення на дошці обговорень.
3. Поясніть, своїми словами, як вирішити квадратне рівняння в стандартній формі.

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися

3. Відповіді можуть відрізнятися