4.5: Розв'язування систем лінійних нерівностей (дві змінні)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58240

Anonymous
LibreTexts

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Перевірте розв'язки систем лінійних нерівностей з двома змінними.
Розв'яжіть системи лінійних нерівностей.

Розв'язки систем лінійних нерівностей

Система лінійних нерівностей складається з безлічі двох або більше лінійних нерівностей з однаковими змінними. Нерівності визначають умови, які повинні розглядатися одночасно. Наприклад,

Ми знаємо, що кожна нерівність у множині містить нескінченно багато впорядкованих парних розв'язків, визначених областю в прямокутній координатній площині. При розгляді двох цих нерівностей разом перетин цих множин визначає множину одночасних впорядкованих парних розв'язків. Коли ми графуємо кожну з перерахованих вище нерівностей окремо, ми маємо

\(y>x-2\)\(y\leq 2x+2\)

Знімок екрана (423) .png — Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Знімок екрана (424) .png — Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Таблиця\(\PageIndex{1}\)

При нанесенні графіків на одному і тому ж наборі осей можна визначити перетин.

Знімок екрана (425) .png — Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Перетин затінюється темніше, а остаточний графік набору розв'язків представлений наступним чином:

Знімок екрана (426) .png — Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Графік говорить про те, що\((3, 2)\) це рішення, оскільки воно знаходиться на перетині. Щоб переконатися в цьому, покажіть, що він вирішує обидві початкові нерівності:

\(\color{Cerulean}{Check:}\:\:\color{black}{(3,2)}\)

\(\begin{array}{c|c}{Inequality\:1:\quad y>x-2}&{Inequality\:2:\quad y/leq 2x+2}\\{2>3-2}&{2\leq 2(3)+2}\\{2>1\quad\color{Cerulean}{\checkmark}}&{2\leq 8\quad\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

Точки на суцільній межі включаються в множину одночасних розв'язків, а точок на пунктирній межі немає. Розглянемо точку\((−1, 0)\) на твердій межі, визначену\(y=2x+2\) і переконайтеся, що вона вирішує вихідну систему:

\(\color{Cerulean}{Check:}\:\:\color{black}{(-1,0)}\)

\(\begin{array}{c|c}{Inequality\:1:\quad y>x-2}&{Inequality\:2:\quad y\leq 2x+2}\\{0>-1-2}&{0\leq 2(-1)+2}\\{0>-3\quad\color{Cerulean}{\checkmark}}&{0\leq 0\quad\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

Зверніть увагу, що ця точка задовольняє обидві нерівності і, таким чином, включається в набір рішень. Тепер розглянемо точку\((2, 0)\) на пунктирній межі, визначену\(y=x−2\) і переконайтеся, що вона не вирішує вихідну систему:

\(\color{Cerulean}{Check:}\:\:\color{black}{(2,0)}\)

\(\begin{array}{c|c}{Inequality\:1:\quad y>x-2}&{Inequality\:2:\quad y\leq 2x+2}\\{0>2-2}&{0\leq 2(2)+2}\\{0>0\quad\color{red}{x}}&{0\leq\quad\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

Цей момент не задовольняє обох нерівностей і, таким чином, не входить до набору рішень.

Розв'язування систем лінійних нерівностей

Розв'язками системи лінійних нерівностей є впорядковані пари, які вирішують всі нерівності в системі. Тому для вирішення цих систем графують розв'язки множин нерівностей на одному і тому ж наборі осей і визначають, де вони перетинаються. Це перетин, або перекриття, визначає область загальних впорядкованих парних розв'язків.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Графік набору розв'язків:

\(\left\{\begin{aligned} −2x+y&>−4 \\ 3x−6y& ≥6 \end{aligned}\right.\).

Рішення:

Щоб полегшити процес графікування, ми спочатку вирішуємо для\(y\).

2x-4\\ y&\ leq\ frac {1} {2} x-1\ end {вирівняний}\ праворуч.\)

Для першої нерівності ми використовуємо пунктирну межу, визначену\(y=2x−4\) і затінюємо всі точки над лінією. Для другої нерівності ми використовуємо суцільну межу, визначену\(y=\frac{1}{2}x−1\) і затінюємо всі точки нижче. Перехрестя затемнене.

Знімок екрана (428) .png — Малюнок\(\PageIndex{5}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Графік набору розв'язків:

\(\left\{\begin{aligned} −2x+3y&>6 \\ 4x−6y&>12 \end{aligned}\right.\).

Рішення:

Почніть з вирішення обох нерівностей для\(y\).

Використовуйте пунктирну лінію для кожної межі. Для першої нерівності затіньте всі точки над межею. Для другої нерівності затіньте всі точки нижче межі.

Малюнок\(\PageIndex{7}\)

Як бачите, перетину цих двох затінених областей немає. Тому одночасних рішень немає.

Відповідь:

Немає рішення,\(∅\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Графік набору розв'язків:

Рішення:

Знімок екрана (431) .png — Малюнок\(\PageIndex{8}\)

Ключові винос

Для розв'язання систем лінійних нерівностей графують множини розв'язків кожної нерівності на одній множині осей і визначають, де вони перетинаються.

Вправа\(\PageIndex{1}\) Solving Systems of Linear Inequalities

Визначте, чи є дана точка розв'язком заданої системи лінійних рівнянь.

\((3, 2)\);\(\left\{\begin{aligned} y&≤x+3\\y&≥−x+3\end{aligned}\right.\)
\((−3, −2)\);\(\left\{\begin{aligned} y&<-3x+4\\y&\geq 2x-1\end{aligned}\right.\)
\((5,0)\);\(\left\{\begin{aligned} y&>−x+5\\y&≤\frac{3}{4}x−2\end{aligned}\right.\)
\((0, 1)\);\(\left\{\begin{aligned} y&<\frac{2}{3}x+1\\y&≥\frac{5}{2}x−2\end{aligned}\right.\)
\((−1, \frac{8}{3})\);\(\left\{\begin{aligned}−4x+3y&≥−12\\2x+3y&<6 \end{aligned}\right.\)
\((−1, −2)\);\(\left\{\begin{aligned}−x+y&<0\\x+y&<0\\x+y&<−2 \end{aligned}\right.\)

Відповідь

1. Так

3. Ні

5. Ні

Вправа\(\PageIndex{2}\) Solving Systems of Linear Inequalities

Графік набору розв'язків.

\(\left\{\begin{aligned} y&\leq x+3 \\ y&\geq -x+3\end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} y&<-3x+4 \\ y&\geq 2x-1\end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} y&>x \\ y&<-1 \end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} y&<\frac{2}{3}x+1\\ y& ≥\frac{5}{2}x−2 \end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} y&>−x+5\\y&≤\frac{3}{4}x−2 \end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} y&>\frac{3}{5}x+3\\y&<\frac{3}{5}x−3 \end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} x+4y&<12\\−3x+12y&≥−12 \end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} −x+y&≤6\\2x+y&≥1 \end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} −2x+3y&>3\\4x−3y&<15 \end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} −4x+3y&≥−12\\2x+3y&<6 \end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} 5x+y&≤4\\−4x+3y&<−6 \end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} 3x+5y&<15\\−x+2y&≤0\end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} x&≥0\\5x+y&>5\end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} x&≥−2\\y&≥1\end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} x−3&<0\\y+2&≥0\end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} 5y&≥2x+5\\−2x&<−5y−5\end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} x−y&≥0\\−x+y&<1\end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} −x+y&≥0\\y−x&<1\end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} x&>−2\\x&≤2\end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} y&>−1\\y&<2\end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} −x+2y&>8\\3x−6y&≥18\end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} −3x+4y&≤4\\6x−8y&>−8\end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} 2x+y&<3\\−x&≤12y\end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} 2x+6y&≤6\\−13x−y&≤3\end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} y&<3\\y&>x\\x&>-4\end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} y&<1\\y&\geq x-1\\y&<-3x+3\end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} -4x+3y&>-12\\y&\geq 2\\2x+3y&>6\end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} -x+y&<0\\x+y&\leq 0\\x+y&>-2\end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} x+y&<2\\x&<3\\-x+y&\leq 2\end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} y+4&\geq 0\\ \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y&\leq 1\\-\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y&\leq 1\end{aligned}\right.\)
Побудувати систему лінійних нерівностей, яка описує всі точки першого квадранта.
Побудувати систему лінійних нерівностей, яка описує всі точки другого квадранта.
Побудувати систему лінійних нерівностей, яка описує всі точки третього квадранта.
Побудувати систему лінійних нерівностей, яка описує всі точки четвертого квадранта.