9.3: Геометричні послідовності та серії

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58159

Anonymous
LibreTexts

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Визначте загальне співвідношення геометричної послідовності.
Знайдіть формулу для загального члена геометричної послідовності.
$n$Обчисліть часткову суму геометричної послідовності.
Обчисліть суму нескінченного геометричного ряду, коли вона існує.

Геометричні послідовності

Геометрична послідовність ¹⁸, або геометрична прогресія ¹⁹, являє собою послідовність чисел, де кожне наступне число є добутком попереднього числа і деякої константи$r$.

$a_{n}=r a_{n-1} \quad\color{Cerulean}{Geometric\:Sequence}$

А тому$\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=r$, постійний коефіцієнт$r$ називається загальним співвідношенням ²⁰. Наприклад, нижче наведена геометрична послідовність,

$9,27,81,243,729 \ldots$

Тут$a_{1} = 9$ і співвідношення між будь-якими двома послідовними термінами є$3$. Ми можемо побудувати загальний термін,$a_{n}=3 a_{n-1}$ де,

$\begin{aligned} a_{1} &=9 \\ a_{2} &=3 a_{1}=3(9)=27 \\ a_{3} &=3 a_{2}=3(27)=81 \\ a_{4} &=3 a_{3}=3(81)=243 \\ a_{5} &=3 a_{4}=3(243)=729 \\ & \vdots \end{aligned}$

Загалом, з огляду на перший член$a_{1}$ і загальне співвідношення$r$ геометричної послідовності, можна записати наступне:

$\begin{aligned} a_{2} &=r a_{1} \\ a_{3} &=r a_{2}=r\left(a_{1} r\right)=a_{1} r^{2} \\ a_{4} &=r a_{3}=r\left(a_{1} r^{2}\right)=a_{1} r^{3} \\ a_{5} &=r a_{3}=r\left(a_{1} r^{3}\right)=a_{1} r^{4} \\ & \vdots \end{aligned}$

З цього ми бачимо, що будь-яку геометричну послідовність можна записати через її перший елемент, його загальне співвідношення та індекс наступним чином:

$a_{n}=a_{1} r^{n-1} \quad\color{Cerulean}{Geometric\:Sequence}$

Насправді будь-який загальний термін, який є експоненціальним в$n$ є геометричною послідовністю.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Знайдіть рівняння для загального члена заданої геометричної послідовності і використовуйте його для обчислення її$10^{th}$ члена:$3, 6, 12, 24, 48…$

Рішення

Почніть з пошуку загального співвідношення,

$r=\frac{6}{3}=2$

Зверніть увагу, що співвідношення між будь-якими двома послідовними термінами є$2$. Послідовність дійсно є геометричною прогресією, де$a_{1} = 3$ і$r = 2$.

$\begin{aligned} a_{n} &=a_{1} r^{n-1} \\ &=3(2)^{n-1} \end{aligned}$

Тому ми можемо написати загальний термін$a_{n}=3(2)^{n-1}$ і$10^{th}$ термін можна обчислити наступним чином:

$\begin{aligned} a_{10} &=3(2)^{10-1} \\ &=3(2)^{9} \\ &=1,536 \end{aligned}$

Відповідь:

$a_{n}=3(2)^{n-1} ; a_{10}=1,536$

Умови між заданими долями геометричної послідовності називаються геометричними середніми ²¹.

Приклад$\PageIndex{2}$:

Знайти всі терміни між$a_{1} = −5$ і$a_{4} = −135$ геометричної послідовності. Іншими словами, знайти всі геометричні засоби між$1^{st}$ і$4^{th}$ термінами.

Рішення

Почніть з пошуку загального співвідношення$r$. В даному випадку нам дають перший і четвертий терміни:

$\begin{aligned} a_{n} &=a_{1} r^{n-1} \quad\color{Cerulean} { Use \: n=4} \\ a_{4} &=a_{1} r^{4-1} \\ a_{4} &=a_{1} r^{3} \end{aligned}$

Підставити$a_{1} = −5$ і$a_{4} = −135$ в вищевказане рівняння, а потім вирішити для$r$.

$\begin{aligned}-135 &=-5 r^{3} \\ 27 &=r^{3} \\ 3 &=r \end{aligned}$

Далі використовуйте перший член$a_{1} = −5$ і загальне співвідношення,$r = 3$ щоб знайти рівняння для$n$ го члена послідовності.

$\begin{aligned} a_{n} &=a_{1} r^{n-1} \\ a_{n} &=-5(3)^{n-1} \end{aligned}$

Тепер ми можемо використовувати$a_{n}=-5(3)^{n-1}$ де$n$ додатне число, щоб визначити відсутні терміни.

$\left.\begin{array}{l}{a_{1}=-5(3)^{1-1}=-5 \cdot 3^{0}=-5} \\ {a_{2}=-5(3)^{2-1}=-5 \cdot 3^{1}=-15} \\ {a_{3}=-5(3)^{3-1}=-5 \cdot 3^{2}=-45} \\ a_{4}=-5(3)^{4-1}=-5\cdot3^{3}=-135\end{array}\right\} \color{Cerulean}{geometric\:means}$

Відповідь:

$-15,-45$

Перший член геометричної послідовності не може бути заданий.

Приклад$\PageIndex{3}$:

Знайти загальний термін геометричної послідовності де$a_{2} = −2$ і$a_{5}=\frac{2}{125}$.

Рішення

Для визначення формули загального терміна нам знадобиться$a_{1}$ і$r$. Нелінійна система з цими змінними може бути сформована за допомогою заданої інформації і$a_{n}=a_{1} r^{n-1} :$:

$\left\{\begin{array}{l}{a_{2}=a_{1} r^{2-1}} \\ {a_{5}=a_{1} r^{5-1}}\end{array}\right. \Longrightarrow \left\{\begin{array}{l}{-2=a_{1} r \quad\:\:\:\color{Cerulean}{Use\:a_{2}=-2.}} \\ {\frac{2}{125}=a_{1} r^{4} \quad\color{Cerulean}{Use\:a_{5}=\frac{2}{125}.}}\end{array}\right.$

Вирішити для$a_{1}$ в першому рівнянні,

$-2=a_{1} r \quad \Rightarrow \quad \frac{-2}{r}=a_{1}$
$\frac{2}{125}=a_{1} r^{4}$

$a_{1} = \frac{-2}{r}$Підставляємо в друге рівняння і вирішуємо для$r$.

$\frac{2}{125}=a_{1} r^{4}$
$\frac{2}{125}=\left(\frac{-2}{r}\right) r^{4}$
$\frac{2}{125}=-2 r^{3}$
$-\frac{1}{125}=r^{3}$
$-\frac{1}{5}=r$

Назад замінник, щоб знайти$a_{1}$:

$\begin{aligned} a_{1} &=\frac{-2}{r} \\ &=\frac{-2}{\left(-\frac{1}{5}\right)} \\ &=10 \end{aligned}$

Тому$a_{1} = 10$ і$r = −\frac{1}{5}$.

Відповідь:

$a_{n}=10\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}$

Вправа$\PageIndex{1}$

Знайдіть рівняння для загального члена заданої геометричної послідовності і використовуйте його для обчислення її$6^{th}$ члена:$2, \frac{4}{3},\frac{8}{9}, …$

Відповідь

$a_{n}=2\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} ; a_{6}=\frac{64}{243}$

www.youtube.com/В/ІГПЕЛ 9В

Геометрична серія

Геометричний ряд ²² - це сума членів геометричної послідовності. Наприклад, сума перших$5$ членів геометричної послідовності визначається$a_{n}=3^{n+1}$ наступним чином:

$\begin{aligned} S_{5} &=\sum_{n=1}^{5} 3^{n+1} \\ &=3^{1+1}+3^{2+1}+3^{3+1}+3^{4+1}+3^{5+1} \\ &=3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6} \\ &=9+27+81+3^{5}+3^{6} \\ &=1,089 \end{aligned}$

Додавання$5$ натуральних чисел є керованим. Однак завдання додавання великої кількості термінів не стоїть. Тому далі розробляємо формулу, за допомогою якої можна обчислити суму перших$n$ членів будь-якої геометричної послідовності. Загалом,

$S_{n}=a_{1}+a_{1} r+a_{1} r^{2}+\ldots+a_{1} r^{n-1}$

Множимо обидві сторони на$r$ ми можемо написати,

$r S_{n}=a_{1} r+a_{1} r^{2}+a_{1} r^{3}+\ldots+a_{1} r^{n}$

Віднімаючи ці два рівняння, ми отримуємо,

$S_{n}-r S_{n}=a_{1}-a_{1} r^{n}$
$S_{n}(1-r)=a_{1}\left(1-r^{n}\right)$

Припущення$r ≠ 1$ ділення обох сторін на$(1 − r)$ призводить нас до формули для $n$ї часткової суми геометричної послідовності ²³:

$S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r}(r \neq 1)$

Іншими словами, часткову суму будь-якої геометричної послідовності можна обчислити за допомогою першого члена і загального співвідношення.$n$ Наприклад, щоб обчислити суму перших$15$ членів геометричної послідовності$a_{n}=3^{n+1}$, визначеної, використовують формулу з$a_{1} = 9$ і$r = 3$.

$\begin{aligned} S_{15} &=\frac{a_{1}\left(1-r^{15}\right)}{1-r} \\ &=\frac{9 \cdot\left(1-3^{15}\right)}{1-3} \\ &=\frac{9(-14,348,906)}{-2} \\ &=64,570,077 \end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{4}$:

Знайдіть суму перших 10 членів заданої послідовності:$4, −8, 16, −32, 64,… $

Рішення

Визначте, чи існує спільне співвідношення між даними термінами.

$r=\frac{-8}{4}=-2$

Зверніть увагу, що співвідношення між будь-якими двома послідовними долями є$−2$; отже, дана послідовність є геометричною послідовністю. Використовувати$r = −2$ і те, що$a_{1} = 4$ для обчислення суми перших$10$ членів,

$\begin{aligned} S_{n} &=\frac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r} \\ S_{10} &=\frac{\color{Cerulean}{4}\color{black}{\left[1-(\color{Cerulean}{-2}\color{black}{)}^{10}\right]}}{1-(\color{Cerulean}{-2}\color{black}{)}} ] \\ &=\frac{4(1-1,024)}{1+2} \\ &=\frac{4(-1,023)}{3} \\ &=-1,364 \end{aligned}$

Відповідь:

$S_{10}=-1,364$

Приклад$\PageIndex{5}$:

Оцініть:$\sum_{n=1}^{6} 2(-5)^{n}$.

Рішення

У цьому випадку нас просять знайти суму перших$6$ членів геометричної послідовності із загальним терміном$a_{n} = 2(−5)^{n}$. Використовуйте це, щоб визначити$1^{st}$ термін і загальне співвідношення$r$:

$a_{1}=2(-5)^{1}=-10$

Щоб показати, що існує загальне співвідношення, ми можемо використовувати послідовні терміни загалом наступним чином:

$\begin{aligned} r &=\frac{a_{n}}{a_{n-1}} \\ &=\frac{2(-5)^{n}}{2(-5)^{n-1}} \\ &=(-5)^{n-(n-1)} \\ &=(-5)^{1}\\&=-5 \end{aligned}$

$r = −5$Використовувати$a_{1} = −10$ і для розрахунку$6^{th}$ часткової суми.

$\begin{aligned} S_{n} &=\frac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r} \\ S_{6} &=\frac{\color{Cerulean}{-10}\color{black}{\left[1-(\color{Cerulean}{-5}\color{black}{)}^{6}\right]}}{1-(\color{Cerulean}{-5}\color{black}{)}} \\ &=\frac{-10(1-15,625)}{1+5} \\ &=\frac{-10(-15,624)}{6} \\ &=26,040 \end{aligned}$

Відповідь:

$26,040$

Вправа$\PageIndex{2}$

Знайдіть суму перших 9 членів заданої послідовності:$-2,1,-1 / 2, \dots$

Відповідь

$S_{9}=-\frac{171}{128}$

www.youtube.com/В/В-Т3П95РВЕ8

Якщо загальним співвідношенням r нескінченної геометричної послідовності є дріб де$|r| < 1$ (тобто$−1 < r < 1$), то коефіцієнт,$(1 − r^{n})$ знайдений у формулі для$n$ ї часткової суми$1$, прагне до$n$ збільшення. Наприклад, якщо$r = \frac{1}{10}$ і у$n = 2, 4, 6$ нас є,

$1-\left(\frac{1}{10}\right)^{2}=1-0.01=0.99$
$1-\left(\frac{1}{10}\right)^{4}=1-0.0001=0.9999$
$1-\left(\frac{1}{10}\right)^{6}=1-0.00001=0.999999$

Тут ми бачимо, що цей фактор стає все ближче і ближче до 1 для все більших значень$n$. Це ілюструє ідею межі, важливого поняття, яке широко використовується в математиці вищого рівня, яке виражається за допомогою наступних позначень:

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-r^{n}\right)=1$де$|r|<1$

Це читається: «$(1 − r^{n})$межа як$n$ наближається до нескінченності дорівнює»$1$. Хоча це дає попередній перегляд того, що має відбутися у вашому тривалому вивченні математики, на даний момент ми займаємося розробкою формули для спеціальних нескінченних геометричних рядів. Розглянемо$n$ часткову суму будь-якої геометричної послідовності,

$S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r}=\frac{a_{1}}{1-r}\left(1-r^{n}\right)$

Якщо$|r| < 1$ тоді межа часткових сум, як n наближається до нескінченності, існує і ми можемо записати,

$S_{n}=\frac{a_{1}}{1-r}\left(1-r^{n}\right)\quad\color{Cerulean}{\stackrel{\Longrightarrow}{n\rightarrow \infty }} \quad \color{black}{S_{\infty}}=\frac{a_{1}}{1-4}\cdot1$

Тому збіжний геометричний ряд ²⁴ - це нескінченний геометричний ряд де$|r| < 1$; його суму можна обчислити за формулою:

$S_{\infty}=\frac{a_{1}}{1-r}$

Приклад$\PageIndex{6}$:

Знайдіть суму нескінченного геометричного ряду:$\frac{3}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{18}+\frac{1}{54}+\dots$

Рішення

Визначте загальне співвідношення, так як загальним співвідношенням$r = \frac{1}{3}$ є дріб між$−1$ і$1$, це збігається геометричний ряд. Використовуйте перший член$a_{1} = \frac{3}{2}$ і загальне співвідношення для обчислення його суми

$\begin{aligned} S_{\infty} &=\frac{a_{1}}{1-r} \\ &=\frac{\frac{3}{2}}{1-\left(\frac{1}{3}\right)} \\ &=\frac{\frac{3}{3}}{\frac{2}{3}} \\ &=\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} \\ &=\frac{9}{4} \end{aligned}$

Відповідь:

$S_{\infty}=\frac{9}{4}$

Примітка

У випадку нескінченного геометричного ряду де$|r| ≥ 1$, ряд розходиться, і ми говоримо, що суми немає. Наприклад, якщо$a_{n} = (5)^{n−1}$ тоді$r = 5$ і у нас є

$S_{\infty}=\sum_{n=1}^{\infty}(5)^{n-1}=1+5+25+\cdots$

Ми бачимо, що ця сума зростає без прив'язки і не має суми.

Вправа$\PageIndex{3}$

Знайдіть суму нескінченного геометричного ряду:$\sum_{n=1}^{\infty}-2\left(\frac{5}{9}\right)^{n-1}$

Відповідь

$-\frac{9}{2}$

www.youtube.com/В/КХСпВуйле_А

Повторюваний десятковий може бути записаний як нескінченний геометричний ряд, загальним співвідношенням якого є ступінь$1/10$. Тому формула збіжного геометричного ряду може бути використана для перетворення повторюваного десяткового дробу в дріб.

Приклад$\PageIndex{7}$:

Напишіть як дріб:$1.181818… $

Рішення

Почніть з ідентифікації повторюваних цифр праворуч від десяткової і перепишіть її як геометричну прогресію.

$\begin{aligned} 0.181818 \ldots &=0.18+0.0018+0.000018+\ldots \\ &=\frac{18}{100}+\frac{18}{10,000}+\frac{18}{1,000,000}+\ldots \end{aligned}$

У такому вигляді ми можемо визначити загальне співвідношення,

$\begin{aligned} r &=\frac{\frac{18}{10,000}}{\frac{18}{100}} \\ &=\frac{18}{10,000} \times \frac{100}{18} \\ &=\frac{1}{100} \end{aligned}$

Зверніть увагу, що співвідношення між будь-якими двома послідовними термінами є$\frac{1}{100}$. Скористайтеся цим і тим, що$a_{1} = \frac{18}{100}$ для обчислення нескінченної суми:

$\begin{aligned} S_{\infty} &=\frac{a_{1}}{1-r} \\ &=\frac{\frac{18}{100}}{1-\left(\frac{1}{100}\right)} \\ &=\frac{\frac{18}{100}}{\frac{90}{100}} \\ &=\frac{18}{100} \cdot \frac{100}{99} \\ &=\frac{2}{11} \end{aligned}$

Тому$0.181818… = \frac{2}{11}$ і маємо,

$1.181818 \ldots=1+\frac{2}{11}=1 \frac{2}{11}$

Відповідь:

$1 \frac{2}{11}$

Приклад$\PageIndex{8}$:

Певний м'яч відскакує назад на дві третини висоти, з якої він впав. Якщо ця м'яч спочатку скидається з$27$ ніг, приблизна загальна відстань, яку проїжджає м'яч.

Рішення

Ми можемо обчислити висоту кожного наступного відскоку:

$\begin{array}{l}{27 \cdot \frac{2}{3}=18 \text { feet } \quad \color{Cerulean} { Height\: of\: the\: first\: bounce }} \\ {18 \cdot \frac{2}{3}=12 \text { feet}\quad\:\color{Cerulean}{ Height \:of\: the\: second\: bounce }} \\ {12 \cdot \frac{2}{3}=8 \text { feet } \quad\:\: \color{Cerulean} { Height\: of\: the\: third\: bounce }}\end{array}$

Загальна відстань, яку проїжджає м'яч, - це сума відстаней, на які падає м'яч, і відстані, на які піднімається м'яч. Відстані, на які падає куля, утворює геометричний ряд,

$27+18+12+\dots \quad\color{Cerulean}{Distance\:the\:ball\:is\:falling}$

де$a_{1} = 27$ і$r = \frac{2}{3}$. Оскільки$r$ це дріб між$−1$ і$1$, цю суму можна обчислити наступним чином:

$\begin{aligned} S_{\infty} &=\frac{a_{1}}{1-r} \\ &=\frac{27}{1-\frac{2}{3}} \\ &=\frac{27}{\frac{1}{3}} \\ &=81 \end{aligned}$

Тому м'яч падає на загальну відстань$81$ ніг. Відстані, на які піднімається куля, утворює геометричний ряд,

$18+12+8+\cdots \quad\color{Cerulean}{Distance\:the\:ball\:is\:rising}$

де$a_{1} = 18$ і$r = \frac{2}{3}$. Обчисліть цю суму аналогічним чином:

$\begin{aligned} S_{\infty} &=\frac{a_{1}}{1-r} \\ &=\frac{18}{1-\frac{2}{3}} \\ &=\frac{18}{\frac{1}{3}} \\ &=54 \end{aligned}$

Тому м'яч піднімається на загальну відстань$54$ ніг. Приблизно загальна пройдена відстань, додавши загальну відстань, що піднімається і спадає:

$81+54=135$ноги

Відповідь:

$135$ноги

Ключові винос

Геометрична послідовність - це послідовність, де відношення$r$ між послідовними долями є постійним.
Загальний термін геометричної послідовності можна записати через її перший член$a_{1}$, загальне співвідношення$r$ та індекс$n$ наступним чином:$a_{n} = a_{1} r^{n−1}$.
Геометричний ряд - це сума членів геометричної послідовності.
Часткову суму геометричної послідовності можна обчислити за допомогою першого члена$a_{1}$ і загального співвідношення$r$ наступним чином:$S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$.$n$
Нескінченну суму геометричної послідовності можна обчислити, якщо загальним співвідношенням є дріб між$−1$ і$1$ (тобто$|r| < 1$) наступним чином:$S_{\infty}=\frac{a_{1}}{1-r}$. Якщо$|r| ≥ 1$, то сума не існує.

Вправа$\PageIndex{4}$

Напишіть перші$5$ долі геометричної послідовності, задавши її перший член і загальне співвідношення. Знайдіть формулу для його загального члена.

$a_{1}=1 ; r=5$
$a_{1}=1 ; r=3$
$a_{1}=2 ; r=3$
$a_{1}=5 ; r=4$
$a_{1}=2 ; r=-3$
$a_{1}=6 ; r=-2$
$a_{1}=3 ; r=\frac{2}{3}$
$a_{1}=6 ; r=\frac{1}{2}$
$a_{1}=1.2 ; r=0.6$
$a_{1}=-0.6 ; r=-3$

Відповідь

1. $1,5,25,125,625 ; a_{n}=5^{n-1}$

3. $2,6,18,54,162 ; a_{n}=2(3)^{n-1}$

5. $2,-6,18,-54,162 ; a_{n}=2(-3)^{n-1}$

7. $3,2, \frac{4}{3}, \frac{8}{9}, \frac{16}{27} ; a_{n}=3\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$

9. $1.2,0.72,0.432,0.2592,0.15552 ; a_{n}=1.2(0.6)^{n-1}$

Вправа$\PageIndex{5}$

З огляду на геометричну послідовність, знайдіть формулу загального терміна і використовуйте її для визначення$5^{th}$ терміну в послідовності.

$7,28,112, \dots$
$-2,-10,-50, \dots$
$2, \frac{1}{2}, \frac{1}{8}, \ldots$
$1, \frac{2}{5}, \frac{4}{25}, \ldots$
$8,4,2, \dots$
$6,2, \frac{2}{3}, \ldots$
$-1, \frac{2}{3},-\frac{4}{9}, \ldots$
$2,-\frac{3}{2}, \frac{9}{8}, \ldots$
$\frac{1}{3},-2,12, \dots$
$\frac{2}{5},-2,10, \dots$
$-3.6,-4.32,-5.184, \dots$
$0.8,-2.08,5.408, \dots$
Знайдіть загальний термін і використовуйте його для визначення$20^{th}$ терміну в послідовності:$1, \frac{x}{2}, \frac{x^{2}}{4}, \ldots$
Знайдіть загальний термін і використовуйте його для визначення$20^{th}$ терміну в послідовності:$2,-6 x, 18 x^{2} \ldots$
Кількість клітин в культурі певної бактерії подвоюється$4$ щогодини. Якщо$200$ клітини спочатку присутні, напишіть послідовність, яка показує популяцію клітин після кожного$n$$4$ годинного періоду протягом одного дня. Напишіть формулу, яка дає кількість осередків після будь-якого$4$ часового періоду.
Певний м'яч відскакує назад на половині висоти, з якої він впав. Якщо цей м'яч спочатку скидається з$12$ ніг, знайдіть формулу, яка дає висоту м'яча на$n$ го відскоку і використовуйте її, щоб знайти висоту м'яча на$6^{th}$ відскоку.
Враховуючи геометричну послідовність, визначену$a_{n} = 4a_{n−1}$ рекуррентним співвідношенням де$a_{1} = 2$ і$n > 1$, знайдіть рівняння, яке дає загальний термін у терміні$a_{1}$ та загальне співвідношення$r$.
Враховуючи геометричну послідовність, визначену$a_{n} = 6a_{n−1}$ рекуррентним співвідношенням де$a_{1} = \frac{1}{2}$ і$n > 1$, знайдіть рівняння, яке дає загальний термін у терміні$a_{1}$ та загальне співвідношення$r$.

Відповідь

1. $a_{n}=7(4)^{n-1}, a_{5}=1,792$

3. $a_{n}=2\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}, a_{5}=\frac{1}{128}$

5. $a_{n}=8\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}, a_{5}=\frac{1}{2}$

7. $a_{n}=-\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}, a_{5}=-\frac{16}{81}$

9. $a_{n}=\frac{1}{3}(-6)^{n-1}, a_{5}=432$

11. $a_{n}=-3.6(1.2)^{n-1}, a_{5}=-7.46496$

13. $a_{n}=\left(\frac{x}{2}\right)^{n-1} ; a_{20}=\frac{x^{19}}{2^{19}}$

15. $400$клітини;$800$ клітини;$1,600$ клітини;$3,200$ клітини;$6,400$ клітини;$12,800$ клітини;$p_{n} = 400(2)^{n−1}$ клітини

17. $a_{n}=2(4)^{n-1}$

Вправа$\PageIndex{6}$

За даними членів геометричної послідовності знайдіть формулу для загального члена.

$a_{1}=-3$і$a_{6}=-96$
$a_{1}=5$і$a_{4}=-40$
$a_{1}=-2$і$a_{8}=-\frac{1}{64}$
$a_{1}=\frac{3}{4}$і$a_{4}=-\frac{1}{36}$
$a_{2}=18$і$a_{5}=486$
$a_{2}=10$і$a_{7}=320$
$a_{4}=-2$і$a_{9}=64$
$a_{3}=-\frac{4}{3}$і$a_{6}=\frac{32}{81}$
$a_{5}=153.6$і$a_{8}=9,830.4$
$a_{4}=-2.4 \times 10^{-3}$і$a_{9}=-7.68 \times 10^{-7}$

Відповідь

1. $a_{n}=-3(2)^{n-1}$

3. $a_{n}=-2\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

5. $a_{n}=6(3)^{n-1}$

7. $a_{n}=\frac{1}{4}(-2)^{n-1}$

9. $a_{n}=0.6(4)^{n-1}$

Вправа$\PageIndex{7}$

Знайти всі геометричні середні між заданими термінами.

$a_{1}=2$і$a_{4}=250$
$a_{1}=\frac{1}{3}$і$a_{6}=-\frac{1}{96}$
$a_{2}=-20$і$a_{5}=-20,000$
$a_{3}=49$і$a_{6}=-16,807$

Відповідь

1. $10, 50$

3. $-200; -2,000$

Вправа$\PageIndex{8}$

Розрахуйте зазначену суму.

$a_{n}=2^{n+1} ; S_{12}$
$a_{n}=(-2)^{n+1} ; S_{12}$
$a_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n} ; S_{7}$
$a_{n}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} ; S_{6}$
$a_{n}=5(-3)^{n-1} ; S_{5}$
$a_{n}=-7(-4)^{n} ; S_{5}$
$a_{n}=2\left(-\frac{1}{4}\right)^{n} ; S_{5}$
$a_{n}=\frac{1}{3}(2)^{n+1} ; S_{10}$
$\sum_{n=1}^{5} 5^{n}$
$\sum_{n=1}^{6}(-4)^{n}$
$\sum_{k=1}^{10} 2^{k+1}$
$\sum_{k=1}^{14} 2^{k-1}$
$\sum_{k=1}^{10}-2(3)^{k}$
$\sum_{k=1}^{8} 5(-2)^{k}$
$\sum_{n=1}^{5} 2\left(\frac{1}{2}\right)^{n+2}$
$\sum_{n=1}^{4}-3\left(\frac{2}{3}\right)^{n}$
$a_{n}=\left(\frac{1}{5}\right)^{n} ; S_{\infty}$
$a_{n}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} ; S_{\infty}$
$a_{n}=2\left(-\frac{3}{4}\right)^{n-1} ; S_{\infty}$
$a_{n}=3\left(-\frac{1}{6}\right)^{n} ; S_{\infty}$
$a_{n}=-2\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} ; S_{\infty}$
$a_{n}=-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n} ; S_{\infty}$
$\sum_{n=1}^{\infty} 2\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$
$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{n}$
$\sum_{n=1}^{\infty} 3(2)^{n-2}$
$\sum_{n=1}^{\infty}-\frac{1}{4}(3)^{n-2}$
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)^{n}$
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3}\left(-\frac{2}{5}\right)^{n}$

Відповідь

1. $16,380$

3. $\frac{127}{128}$

5. $305$

7. $−\frac{205}{512}$

9. $3,905$

11. $4,092$

13. $−177,144$

15. $\frac{31}{64}$

17. $\frac{1}{4}$

19. $\frac{8}{7}$

21. $−1$

23. $3$

25. Без суми

27. $−\frac{1}{14}$

Вправа$\PageIndex{9}$

Пишіть як мішане число.

$1.222…$
$5.777 …$
$2.252525…$
$3.272727…$
$1.999…$
$1.090909…$
Припустимо, ви погодилися працювати за копійки в день цілими$30$ днями. Ви будете заробляти$1$ копійки в перший день,$2$ копійки в другий день,$4$ копійки в третій день і так далі. Скільки сумарних копійок ви заробили в кінці$30$ денного періоду? Яка сума в доларах?
Початкова ставка на рулетку $$100$ ставиться (на червоному) і програється. Щоб компенсувати різницю, гравець подвоює ставку і робить$200$ ставку на $ і програє. Знову ж таки, щоб компенсувати різницю, гравець подвоює ставку до $$400$ і програє. Якщо гравець продовжує подвоювати свою ставку таким чином і програє$7$ раз поспіль, скільки він втратить в цілому?
Певний м'яч відскакує назад на половину висоти, з якої він впав. Якщо ця м'яч спочатку скидається з$12$ ніг, приблизна загальна відстань, яку проїжджає м'яч.
М'яч для гольфу відскакує від цементного тротуару три чверті висоти, з якої він впав. Якщо м'яч спочатку скидається з$8$ метрів, орієнтовно загальна відстань, яку проходить м'яч.
Структурований врегулювання дає суму в доларах щороку, представлена$n$, відповідно до формули$p_{n} = 6,000(0.80)^{n−1}$. Яка загальна сума, отримана від врегулювання через$10$ роки?
Починаючи з квадрата, де кожна сторона вимірює$1$ одиницю, впишіть ще один квадрат, з'єднавши серединні точки кожної сторони. Продовжуйте вписувати квадрати таким чином нескінченно довго, як на малюнку:

Знайти суму площі всіх квадратів на малюнку. (Підказка: Почніть з пошуку послідовності, сформованої за допомогою областей кожного квадрата.)

Відповідь

1. $1\frac{2}{9}$

3. $2\frac{25}{99}$

5. $2$

7. $1,073,741,823$копійки;$\$ 10,737,418.23$

9. $36$ноги

11. $\$ 26,778.77$

Вправа$\PageIndex{10}$

Класифікуйте послідовність як арифметичну, геометричну чи ні. Дайте загальну різницю або співвідношення, якщо воно існує.

$-12,24,-48, \dots$
$-7,-5,-3, \dots$
$-3,-11,-19, \dots$
$4,9,16, \dots$
$2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \dots$
$\frac{4}{3}, \frac{8}{9}, \frac{16}{27}, \dots$
$\frac{1}{6},-\frac{1}{6},-\frac{1}{2}, \ldots$
$\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3}{16}, \dots$
$\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6} \dots$
$-\frac{1}{10},-\frac{1}{5},-\frac{3}{10}, \dots$
$1.26,0.252,0.0504, \dots$
$0.02,0.08,0.18, \dots$
$1,-1,1,-1, \ldots$
$0,0,0, \dots$

Відповідь

1. геометричні;$r = −2$

3. арифметика;$d = −8$

5. Ні

7. арифметика;$d = −\frac{1}{3}$

9. Ні

11. геометричні;$r = 0.2$

13. геометричні;$r = −1$

Вправа$\PageIndex{11}$

Класифікуйте послідовність як арифметичну або геометричну, а потім обчислите зазначену суму.

$a_{n}=3(5)^{n-1} ; S_{8}$
$a_{n}=5-6 n ; S_{22}$
$a_{n}=2 n ; S_{14}$
$a_{n}=2^{n} ; S_{10}$
$a_{n}=-2\left(\frac{1}{7}\right)^{n-1} ; S_{\infty}$
$a_{n}=-2+\frac{1}{7} n ; S_{8}$

Відповідь

1. геометричні;$292,968$

3. арифметика;$210$

5. геометричні;$−\frac{7}{3}$

Вправа$\PageIndex{12}$

Розрахуйте зазначену суму.

$\sum_{n=1}^{50}(3 n-5)$
$\sum_{n=1}^{25}(4-8 n)$
$\sum_{n=1}^{12}(-2)^{n-1}$
$\sum_{n=1}^{\infty} 5\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$
$\sum_{n=1}^{40} 5$
$\sum_{n=1}^{\infty} 0.6^{n}$

Відповідь

1. $3,575$

3. $−1,365$

5. $200$

Вправа$\PageIndex{13}$

Використовуйте методи, знайдені в цьому розділі, щоб пояснити, чому$0.999… = 1$.
Побудувати геометричну послідовність де$r = 1$. Дослідіть$n$ часткову суму такої послідовності. Які висновки ми можемо зробити?

Відповідь: 1. Відповідь може відрізнятися

Виноски

¹⁸ Послідовність чисел, де кожне наступне число є добутком попереднього числа і деякої константи$r$.

¹⁹ Використовується при зверненні до геометричної послідовності.

²⁰ Константа$r$, яка виходить від ділення будь-яких двох послідовних членів геометричної послідовності;$\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=r$.

²¹ Умови між заданими долями геометричної послідовності.

²² Сума членів геометричної послідовності.

²³ Сума перших n членів геометричної послідовності, заданої формулою:$S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r} , r\neq 1$.

²⁴ Нескінченний геометричний ряд$|r| < 1$, де сума якого задається за формулою:$S_{\infty}=\frac{a_{1}}{1-r}$.