9.2: Арифметичні послідовності та ряди

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58171

Anonymous
LibreTexts

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Визначте загальну різницю арифметичної послідовності.
Знайдіть формулу для загального члена арифметичної послідовності.
Обчисліть$n$ часткову суму арифметичної послідовності.

Арифметичні послідовності

Арифметична послідовність ¹², або арифметична прогресія ¹³, являє собою послідовність чисел, де кожне наступне число - сума попереднього числа і деякої константи$d$.

$a_{n}=a_{n-1}+d \quad\color{Cerulean}{Arithmetic\:sequence}$

А тому$a_{n}-a_{n-1}=d$, постійна$d$ називається загальною різницею ¹⁴. Наприклад, послідовність натуральних непарних чисел - це арифметична послідовність,

$1,3,5,7,9, \ldots$

Ось$a_{1} = 1$ і різниця між будь-якими двома послідовними термінами є$2$. Ми можемо побудувати загальний термін,$a_{n}=a_{n-1}+2$ де,

$a_{1}=1$
$a_{2}=a_{1}+2=1+2=3$
$a_{3}=a_{2}+2=3+2=5$
$a_{4}=a_{3}+2=5+2=7$
$a_{5}=a_{4}+2=7+2=9$
$\vdots$

Загалом,$a_{1}$ з огляду на перший член арифметичної послідовності та її спільну різницю$d$, можна записати наступне:

$\begin{array}{l}{a_{2}=a_{1}+d} \\ {a_{3}=a_{2}+d=\left(a_{1}+d\right)+d=a_{1}+2 d} \\ {a_{4}=a_{3}+d=\left(a_{1}+2 d\right)+d=a_{1}+3 d} \\ {a_{5}=a_{4}+d=\left(a_{1}+3 d\right)+d=a_{1}+4 d} \\ {\quad\:\:\vdots}\end{array}$

З цього ми бачимо, що будь-яка арифметична послідовність може бути записана через її перший елемент, загальну різницю та індекс наступним чином:

$a_{n}=a_{1}+(n-1) d \quad\color{Cerulean}{Arithmetic\:Sequence}$

Насправді, будь-який загальний термін, який є лінійним в$n$ визначає арифметичну послідовність.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Знайдіть рівняння для загального члена заданої арифметичної послідовності і використовуйте його для обчислення його$100^{th}$ члена:$7, 10, 13, 16, 19, …$

Рішення

Почніть з пошуку спільної відмінності,

$d=10-7=3$

Зверніть увагу, що різниця між будь-якими двома послідовними термінами є$3$. Послідовність дійсно арифметична прогресія де$a_{1} = 7$ і$d = 3$.

$\begin{aligned} a_{n} &=a_{1}+(n-1) d \\ &=7+(n-1) \cdot 3 \\ &=7+3 n-3 \\ &=3 n+4 \end{aligned}$

Тому ми можемо написати загальний термін$a_{n} = 3n + 4$. Знайдіть хвилину, щоб переконатися, що це рівняння описує задану послідовність. Використовуйте це рівняння, щоб знайти$100^{th}$ термін:

$a_{100}=3(100)+4=304$

Відповідь:

$a_{n}=3 n+4 ; a_{100}=304$

Загальна різниця арифметичної послідовності може бути негативною.

Приклад$\PageIndex{2}$:

Знайдіть рівняння для загального члена заданої арифметичної послідовності і використовуйте його для обчислення його$75^{th}$ члена:$6, 4, 2, 0, −2, …$

Рішення

Почніть з пошуку спільної відмінності,

$d=4-6=-2$

Далі знайдіть формулу для загального терміну, тут$a_{1} = 6$ і$d = −2$.

$\begin{aligned} a_{n} &=a_{1}+(n-1) d \\ &=6+(n-1) \cdot(-2) \\ &=6-2 n+2 \\ &=8-2 n \end{aligned}$

Тому$a_{n} = 8 − 2n$ і$75^{th}$ термін можна розрахувати наступним чином:

$\begin{aligned} a_{75} &=8-2(75) \\ &=8-150 \\ &=-142 \end{aligned}$

Відповідь:

$a_{n}=8-2 n ; a_{100}=-142$

Умови між заданими долями арифметичної послідовності називаються середніми арифметичними ¹⁵.

Приклад$\PageIndex{3}$:

Знайти всі$a_{1}=-8$ члени між і$a_{7} = 10$ арифметичної послідовності. Іншими словами, знайти всі арифметичні засоби між$1^{st}$ і$7^{th}$ термінами.

Рішення

Почніть з пошуку загальної відмінності$d$. В даному випадку нам дається перший і сьомий термін:

$\begin{array}{l}{a_{n}=a_{1}+(n-1) d\quad \color{Cerulean} { Use \: n=7.}} \\ {a_{7}=a_{1}+(7-1) d} \\ {a_{7}=a_{1}+6 d}\end{array}$

Підставити$a_{1} = −8$ і$a_{7} = 10$ в вищезазначене рівняння, а потім вирішити для загальної різниці$d$.

$\begin{aligned} 10 &=-8+6 d \\ 18 &=6 d \\ 3 &=d \end{aligned}$

Далі використовуйте перший член$a_{1} = −8$ і загальну різницю,$d = 3$ щоб знайти рівняння для$n$ го члена послідовності.

$\begin{aligned} a_{n} &=-8+(n-1) \cdot 3 \\ &=-8+3 n-3 \\ &=-11+3 n \end{aligned}$

З$a_{n} = 3n − 11$, де$n$ - натуральне число, знайдіть відсутні терміни.

$ \left. \begin{aligned} a_{1}&=3(1)-11=3-11=-8\\ a_{2} &=3(2)-11=6-11=-5 \\ a_{3} &=3(3)-11=9-11=-2 \\ a_{4} &=3(4)-11=12-11=1 \\ a_{5} &=3(5)-11=15-11=4 \\ a_{6} &=3(6)-11=18-11=7 \\ a_{7}&=3(7)-11=21-111=10 \end{aligned} \right\} \color{Cerulean}{arithmetic\:means}$

Відповідь:

$-5,-2,1,4,7$

У деяких випадках перший член арифметичної послідовності може не бути заданий.

Приклад$\PageIndex{4}$:

Знайти загальний термін арифметичної послідовності, де$a_{3} = −1$ і$a_{10} = 48$.

Рішення

Для визначення формули загального терміна нам знадобиться$a_{1}$ і$d$. Лінійна система з цими змінними може бути сформована за допомогою заданої інформації і$a_{n}=a_{1}+(n-1) d$:

$\left\{\begin{array}{c}{a_{3}=a_{1}+(3-1) d} \\ {a_{10}=a_{1}+(10-1) d}\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{-1=a_{1}+2 d \quad\color{Cerulean}{Use \:a_{3}=-1.}} \\ {48=a_{1}+9 d\quad\:\color{Cerulean}{Use\: a_{10}=48.}}\end{array}\right.$

Усуньте$a_{1}$, множивши перше рівняння на$−1$ і додайте результат до другого рівняння.

$\left\{\begin{array}{l}{-1=a_{1}+2 d} \\ {48=a_{1}+9 d}\end{array}\right. \quad\stackrel{\color{Cerulean}{x(-1)}}{\Longrightarrow} \color{black}{+} \left\{\begin{array}{l} {1=-a_{1}-2d} \\ {48=a_{1}+9d} \end{array}\right. \\ $

$\begin{aligned} 49 &=7 d \\ 7 &=d \end{aligned}$

$d = 7$Підставляємо$−1 = a_{1} + 2d$ в знайти$a_{1}$.

$-1=a_{1}+2(7)$
$-1=a_{1}+14$
$-15=a_{1}$

Далі використовуйте перший член$a_{1} = −15$ і загальну різницю,$d = 7$ щоб знайти формулу загального члена.

$\begin{aligned} a_{n} &=a_{1}+(n-1) d \\ &=-15+(n-1) \cdot 7 \\ &=-15+7 n-7 \\ &=-22+7 n \end{aligned}$

Відповідь:

$a_{n}=7 n-22$

Вправа$\PageIndex{1}$

Знайдіть рівняння для загального члена заданої арифметичної послідовності і використовуйте його для обчислення його$100^{th}$ члена:$\frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}, 3, \frac{7}{2}, \dots$

Відповідь

$a_{n}=\frac{1}{2} n+1; a_{100}=51$

www.youtube.com/В/ОВВВКТК

Арифметичні ряди

Арифметичний ряд ¹⁶ - це сума членів арифметичної послідовності. Наприклад, сума перших членів$5$ послідовності визначається$a_{n} = 2n − 1$ наступним чином:

$\begin{aligned} S_{5} &=\sum_{n=1}^{5}(2 n-1) \\ &=[2(\color{Cerulean}{1}\color{black}{)}-1]+[2(\color{Cerulean}{2}\color{black}{)}-1]+[2(\color{Cerulean}{3}\color{black}{)}-1]+[2(\color{Cerulean}{4}\color{black}{)}-1]+[2(\color{Cerulean}{5}\color{black}{)}-1] \\ &=1+3+5+7+9 \\ &=25 \end{aligned}$

Додавання$5$ позитивних непарних цілих чисел, як ми зробили вище, є керованим. Однак подумайте про додавання перших$100$ натуральних непарних чисел. Це було б дуже нудно. Тому далі розробляємо формулу, за допомогою якої можна обчислити суму перших$n$ членів, що позначаються$S_{n}$, будь-якої арифметичної послідовності. Загалом,

$S_{n}=a_{1}+\left(a_{1}+d\right)+\left(a_{1}+2 d\right)+\ldots+a_{n}$

Написати цю серію в зворотному порядку ми маємо,

$S_{n}=a_{n}+\left(a_{n}-d\right)+\left(a_{n}-2 d\right)+\ldots+a_{1}$

І склавши ці два рівняння разом, члени, що включають$d$ додати до нуля, і ми отримуємо$n$ множники$a_{1} + a_{n}$:

$2 S_{n}=\left(a_{1}+a_{n}\right)+\left(a_{1}+a_{n}\right)+\ldots+\left(a_{n}+a_{1}\right)$
$2 S_{n}=n\left(a_{1}+a_{n}\right)$

Ділення обох сторін на$2$ призводить до нас формулу для$n$ ї часткової суми арифметичної послідовності ¹⁷:

$S_{n}=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}$

Скористайтеся цією формулою, щоб обчислити суму перших$100$ членів послідовності, визначеної$a_{n} = 2n − 1$. Ось$a_{1} = 1$ і$a_{100} = 199$.

$\begin{aligned} S_{100} &=\frac{100\left(a_{1}+a_{100}\right)}{2} \\ &=\frac{100(1+199)}{2} \\ &=10,000 \end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{5}$:

Знайдіть суму перших$50$ членів заданої послідовності:$4,9,14,19,24, \dots$

Рішення

Визначте, чи є спільна різниця між даними термінами чи ні.

$d=9-4=5$

Зверніть увагу, що різниця між будь-якими двома послідовними термінами є$5$. Послідовність дійсно арифметична прогресія, і ми можемо написати

$\begin{aligned} a_{n} &=a_{1}+(n-1) d \\ &=4+(n-1) \cdot 5 \\ &=4+5 n-5 \\ &=5 n-1 \end{aligned}$

Тому загальним терміном є$a_{n} = 5n − 1$. Для обчислення$50^{th}$ часткової суми цієї послідовності нам знадобляться$1^{st}$ і$50^{th}$ терміни:

$\begin{aligned} a_{1} &=4 \\ a_{50} &=5(50)-1=249 \end{aligned}$

Далі використовуйте формулу для визначення$50^{th}$ часткової суми заданої арифметичної послідовності.

$\begin{aligned} S_{n} &=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2} \\ S_{50} &=\frac{50 \cdot\left(a_{1}+a_{50}\right)}{2} \\ &=\frac{50(4+249)}{2} \\ &=25(253) \\ &=6,325 \end{aligned}$

Відповідь:

$S_{50}=6,325$

Приклад$\PageIndex{6}$:

Оцініть:$\sum_{n=1}^{35}(10-4 n)$.

Рішення

У цьому випадку нас просять знайти суму перших$35$ членів арифметичної послідовності із загальним терміном$a_{n} = 10 − 4n$. Використовуйте це, щоб визначити$1^{st}$ і$35^{th}$ термін.

$a_{1}=10-4(1)=6$
$a_{35}=10-4(35)=-130$

Далі використовуйте формулу для визначення$35^{th}$ часткової суми.

$\begin{aligned} S_{n} &=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2} \\ S_{35} &=\frac{35 \cdot\left(a_{1}+a_{35}\right)}{2} \\ &=\frac{35[6+(-130)]}{2} \\ &=\frac{35(-124)}{2} \\ &=-2,170 \end{aligned}$

Відповідь:

$-2,170$

Приклад$\PageIndex{7}$:

Перший ряд сидінь у відкритому амфітеатрі містить$26$ сидіння, другий ряд містить$28$ сидіння, третій ряд містить$30$ сидіння і так далі. Якщо є$18$ ряди, яка загальна місткість сидіння театру?

Ілюстрація$\PageIndex{1}$: Римський театр

Рішення

Почніть з пошуку формули, яка дає кількість місць у будь-якому ряду. Тут кількість місць в кожному ряду утворює послідовність:

$26,28,30, \dots$

Зверніть увагу, що різниця між будь-якими двома послідовними термінами є$2$. Послідовність являє собою арифметичну прогресію, де$a_{1} = 26$ і$d = 2$.

$\begin{aligned} a_{n} &=a_{1}+(n-1) d \\ &=26+(n-1) \cdot 2 \\ &=26+2 n-2 \\ &=2 n+24 \end{aligned}$

Тому кількість місць в кожному ряду задається по$a_{n} = 2n + 24$. Для розрахунку загальної посадкової місткості$18$ рядів нам потрібно розрахувати$18^{th}$ часткову суму. Для цього нам знадобляться$1^{st}$ і$18^{th}$ терміни:

$\begin{aligned} a_{1} &=26 \\ a_{18} &=2(18)+24=60 \end{aligned}$

Скористайтеся цим, щоб розрахувати$18^{th}$ часткову суму наступним чином:

$\begin{aligned} S_{n} &=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2} \\ S_{18} &=\frac{18 \cdot\left(a_{1}+a_{18}\right)}{2} \\ &=\frac{18(26+60)}{2} \\ &=9(86) \\ &=774 \end{aligned}$

Відповідь:

Є$774$ місця всього.

Вправа$\PageIndex{2}$

Знайдіть суму перших$60$ членів заданої послідовності:$5, 0, −5, −10, −15, …$

Відповідь

$S_{60}=-8,550$

www.youtube.com/В/Байка2_КБКО

Ключові винос

Арифметична послідовність - це послідовність, де різниця$d$ між послідовними долями постійна.
Загальний термін арифметичної послідовності можна записати через її перший член$a_{1}$, загальну різницю$d$ та індекс$n$ наступним чином:$a_{n} = a_{1} + (n − 1) d$.
Арифметичний ряд - це сума членів арифметичної послідовності.
Часткову суму арифметичної послідовності можна обчислити за допомогою першого і останнього членів наступним чином:$S_{n}=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}$.$n$

Вправа$\PageIndex{3}$

Запишіть перші$5$ члени арифметичної послідовності, задавши її перший член і загальну різницю. Знайдіть формулу для його загального члена.

$a_{1}=5 ; d=3$
$a_{1}=12 ; d=2$
$a_{1}=15 ; d=-5$
$a_{1}=7 ; d=-4$
$a_{1}=\frac{1}{2} ; d=1$
$a_{1}=\frac{2}{3} ; d=\frac{1}{3}$
$a_{1}=1 ; d=-\frac{1}{2}$
$a_{1}=-\frac{5}{4} ; d=\frac{1}{4}$
$a_{1}=1.8 ; d=0.6$
$a_{1}=-4.3 ; d=2.1$

Відповідь

1. $5,8,11,14,17 ; a_{n}=3 n+2$

3. $15,10,5,0,-5 ; a_{n}=20-5 n$

5. $\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \frac{7}{2}, \frac{9}{2} ; a_{n}=n-\frac{1}{2}$

7. $1, \frac{1}{2}, 0,-\frac{1}{2},-1 ; a_{n}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2} n$

9. $1.8,2.4,3,3.6,4.2 ; a_{n}=0.6 n+1.2$

Вправа$\PageIndex{4}$

З огляду на арифметичну послідовність, знайдіть формулу загального члена і використовуйте її для визначення$100^{th}$ терміна.

$3, 9, 15, 21, 27,…$
$3, 8, 13, 18, 23,…$
$−3, −7, −11, −15, −19,…$
$−6, −14, −22, −30, −38,…$
$−5, −10, −15, −20, −25,…$
$2, 4, 6, 8, 10,…$
$\frac{1}{2}, \frac{5}{2}, \frac{9}{2}, \frac{13}{2}, \frac{17}{2}, \ldots$
$-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{5}{3}, \frac{8}{3}, \frac{11}{3}, \ldots$
$\frac{1}{3}, 0,-\frac{1}{3},-\frac{2}{3},-1, \ldots$
$\frac{1}{4},-\frac{1}{2},-\frac{5}{4},-2,-\frac{11}{4}, \ldots$
$0.8, 2, 3.2, 4.4, 5.6,…$
$4.4, 7.5, 10.6, 13.7, 16.8,…$
Знайти$50^{th}$ додатне непарне число.
Знайдіть$50^{th}$ додатне парне ціле число.
Знайдіть$40^{th}$ термін у послідовності, яка складається з кожного іншого додатного непарного цілого числа:$1, 5, 9, 13,…$
Знайдіть$40^{th}$ термін у послідовності, яка складається з кожного іншого додатного парного цілого числа:$2, 6, 10, 14,…$
Яке число є терміном$355$ в арифметичній послідовності$−15, −5, 5, 15, 25,…$?
Яке число є терміном$−172$ в арифметичній послідовності$4, −4, −12, −20, −28,…$?
З огляду на арифметичну послідовність, визначену$a_{n}=a_{n-1}+5 $ рекуррентним співвідношенням де$a_{1} = 2$ і$n > 1$, знайдіть рівняння, яке дає загальний термін у терміні$a_{1}$ та загальну різницю$d$.
З огляду на арифметичну послідовність, визначену$a_{n}=a_{n-1}-9$ рекуррентним співвідношенням де$a_{1} = 4$ і$n > 1$, знайдіть рівняння, яке дає загальний термін у терміні$a_{1}$ та загальну різницю$d$.

Відповідь

1. $a_{n}=6 n-3 ; a_{100}=597$

3. $a_{n}=1-4 n ; a_{100}=-399$

5. $a_{n}=-5 n ; a_{100}=-500$

7. $a_{n}=2 n-\frac{3}{2} ; a_{100}=\frac{397}{2}$

9. $a_{n}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3} n; a_{100}=-\frac{98}{3}$

11. $a_{n}=1.2 n-0.4 ; a_{100}=119.6$

13. $99$

15. $157$

17. $38$

19. $a_{n}=5 n-3$

Вправа$\PageIndex{5}$

За даними членів арифметичної послідовності знайдіть формулу для загального члена.

$a_{1}=6$і$a_{7}=42$
$a_{1}=-\frac{1}{2}$і$a_{12}=-6$
$a_{1}=-19$і$a_{26}=56$
$a_{1}=-9$і$a_{31}=141$
$a_{1}=\frac{1}{6}$і$a_{10}=\frac{37}{6}$
$a_{1}=\frac{5}{4}$і$a_{11}=\frac{65}{4}$
$a_{3}=6$і$a_{26}=-40$
$a_{3}=16$і$a_{15}=76$
$a_{4}=-8$і$a_{23}=30$
$a_{5}=-7$і$a_{37}=-135$
$a_{4}=-\frac{23}{10}$і$a_{21}=-\frac{25}{2}$
$a_{3}=\frac{1}{8}$і$a_{12}=-\frac{11}{2}$
$a_{5}=13.2$і$a_{26}=61.5$
$a_{4}=-1.2$і$a_{13}=12.3$

Відповідь

1. $a_{n}=6 n$

3. $a_{n}=3 n-22$

5. $a_{n}=\frac{2}{3} n-\frac{1}{2}$

7. $a_{n}=12-2 n$

9. $a_{n}=2 n-16$

11. $a_{n}=\frac{1}{10}-\frac{3}{5} n$

13. $a_{n}=2.3 n+1.7$

Вправа$\PageIndex{6}$

Знайти всі арифметичні засоби між заданими термінами.

$a_{1}=-3$і$a_{6}=17$
$a_{1}=5$і$a_{5}=-7$
$a_{2}=4$і$a_{8}=7$
$a_{5}=\frac{1}{2}$і$a_{9}=-\frac{7}{2}$
$a_{5}=15$і$a_{7}=21$
$a_{6}=4$і$a_{11}=-1$

Відповідь

1. $1, 5, 9, 13$

3. $\frac{9}{2}, 5, \frac{11}{2}, 6, \frac{13}{2}$

5. $18$

Вправа$\PageIndex{7}$

Обчисліть зазначену суму за формулою загального члена.

$a_{n}=3 n+5 ; S_{100}$
$a_{n}=5 n-11 ; S_{100}$
$a_{n}=\frac{1}{2}-n, S_{70}$
$a_{n}=1-\frac{3}{2} n; S_{120}$
$a_{n}=\frac{1}{2} n-\frac{3}{4}; S_{20}$
$a_{n}=n-\frac{3}{5}; S_{150}$
$a_{n}=45-5 n ; S_{65}$
$a_{n}=2 n-48 ; S_{95}$
$a_{n}=4.4-1.6 n ; S_{75}$
$a_{n}=6.5 n-3.3 ; S_{67}$

Відповідь

1. $15,650$

3. $−2,450$

5. $90$

7. $−7,800$

9. $−4,230$

Вправа$\PageIndex{8}$

Оцініть.

$\sum_{n=1}^{160}(3 n)$
$\sum_{n=1}^{121}(-2 n)$
$\sum_{n=1}^{250}(4 n-3)$
$\sum_{n=1}^{120}(2 n+12)$
$\sum_{n=1}^{70}(19-8 n)$
$\sum_{n=1}^{220}(5-n)$
$\sum_{n=1}^{60}\left(\frac{5}{2}-\frac{1}{2} n\right)$
$\sum_{n=1}^{51}\left(\frac{3}{8} n+\frac{1}{4}\right)$
$\sum_{n=1}^{120}(1.5 n-2.6)$
$\sum_{n=1}^{175}(-0.2 n-1.6)$
Знайти суму перших$200$ натуральних чисел.
Знайти суму перших$400$ натуральних чисел.

Відповідь

1. $38,640$

3. $124,750$

5. $−18,550$

7. $−765$

9. $10,578$

11. $20,100$

Вправа$\PageIndex{9}$

Загальний член для послідовності натуральних непарних цілих чисел задається,$a_{n} = 2n − 1$ а загальний член для послідовності натуральних парних чисел задається значенням$a_{n} = 2n$. Знайдіть наступне.

Сума перших$50$ натуральних непарних чисел.
Сума перших$200$ натуральних непарних чисел.
Сума перших$50$ натуральних чисел.
Сума перших$200$ натуральних чисел.
Сума перших$k$ натуральних непарних чисел.
Сума перших$k$ натуральних чисел.
Перший ряд сидінь в маленькому театрі складається з$8$ сидінь. Кожен ряд після цього складається з$3$ більшої кількості посадочних місць, ніж попередній ряд. Якщо є$12$ ряди, скільки всього місць в театрі?
Перший ряд сидінь у відкритому амфітеатрі містить$42$ сидіння, другий ряд містить$44$ сидіння, третій ряд містить$46$ сидіння і так далі. Якщо є$22$ ряди, яка загальна місткість сидіння театру?
Якщо трикутна стопка$37$ цегли має цеглу на нижньому ряду,$34$ цеглини на другому ряду і так далі з однією цеглою зверху. Скільки цегли в штабелі?
Кожен наступний ряд трикутної стопки цегли має на один менше цегли, поки зверху не залишиться тільки один цегла. Скільки рядів має стек, якщо є$210$ загальна кількість цегли?
Договір заробітної плати$10$ -рік пропонує $$65,000$ на перший рік із$3,200$ збільшенням $ кожного додаткового року. Визначте загальне зобов'язання щодо заробітної плати за$10$ рік.
Годинникова вежа б'є своїм дзвоном кількість разів, позначене годиною. О першій годині він б'є один раз, о другій годині двічі б'є і так далі. Скільки разів годинникова вежа б'є своїм дзвоном в день?

Відповідь

1. $2,500$

3. $2,550$

5. $k^{2}$

7. $294$сидіння

9. $247$цегли

11. $$794,000$

Вправа$\PageIndex{10}$

Чи є послідовність Фібоначчі арифметичною послідовністю? Поясніть.
Використовуйте формулу для часткової суми арифметичної послідовності$S_{n}=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}$ та формулу загального члена,$a_{n}=a_{1}+(n-1) d$ щоб вивести нову формулу для n-ї часткової суми$S_{n}=\frac{n}{2}\left[2 a_{1}+(n-1) d\right]$.$n$ За яких обставин ця формула була б корисною? Поясніть на прикладі власного виготовлення.
Обговорити методи розрахунку сум, з яких індекс не починається$1$. Наприклад,$\sum_{n=1}^{35}(3 n+4)=1,659$.
Знаменита історія передбачає неправильне поводження Карла Фрідріха Гауса в школі. В якості покарання вчитель поклав йому завдання скласти перші$100$ цілі числа. Легенда полягає в тому, що молодий Гаусс відповів правильно протягом декількох секунд. Що таке відповідь і як, на вашу думку, він зміг так швидко знайти суму?

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

3. Відповідь може відрізнятися

Виноски

¹² Послідовність чисел, де кожне наступне число є сумою попереднього числа і деякої константи$d$.

¹³ Використовується при зверненні до арифметичної послідовності.

¹⁴ Константа$d$, яка отримується від віднімання будь-яких двох послідовних членів арифметичної послідовності;$a_{n}-a_{n-1}=d$.

¹⁵ Умови між заданими долями арифметичної послідовності.

¹⁶ Сума членів арифметичної послідовності.

¹⁷ Сума перших$n$ членів арифметичної послідовності, заданої формулою:$S_{n}=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}$.