7.5: Розв'язування експоненціальних та логарифмічних рівнянь

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58322

Anonymous
LibreTexts

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Вирішити експоненціальні рівняння.
Використовуйте зміну базової формули для наближення логарифмів.
Вирішити логарифмічні рівняння.

Розв'язування експоненціальних рівнянь

Експоненціальне рівняння ¹⁵ - це рівняння, яке включає змінну як одну з її показників. У цьому розділі ми опишемо два методи розв'язання експоненціальних рівнянь. По-перше, нагадаємо, що експоненціальні функції\(b ≠ 1\),\(f (x) = b^{x}\)\(b > 0\) визначені where and, є один до одного; кожне значення в діапазоні відповідає рівно одному елементу в області. Тому\(f (x) = f (y)\) має на увазі\(x = y\). Зворотне вірно, тому що\(f\) є функцією. Це призводить до дуже важливої властивості один до одного експоненціальних функцій ¹⁶:

\(b^{\mathrm{x}}=b^{\mathrm{y}} \quad\)якщо і тільки якщо\(\quad x=y\)

Використовуйте цю властивість для вирішення спеціальних експоненціальних рівнянь, де кожна сторона може бути записана через одну і ту ж основу.

Приклад\(\PageIndex{1}\):

Вирішити\(3^{2 x-1}=27\).

Рішення

Почніть з написання\(27\) як сила\(3\).

\(3^{2 x-1}=27\)
\(3^{2 x-1}=3^{3}\)

Далі застосуємо властивість один до одного експоненціальних функцій. Іншими словами, встановіть показники, рівні один одному, а потім спростіть.

\(2 x-1=3\)
\(2 x=4\)
\(x=2\)

Відповідь:

\(2\)

Приклад\(\PageIndex{2}\):

Вирішити:\(16^{1-3 x}=2\).

Рішення

Почніть з написання\(16\) як сила,\(2\) а потім застосуйте правило влади для експонентів.

\(\begin{aligned} 16^{1-3 x} &=2 \\\left(2^{4}\right)^{1-3 x} &=2 \\ 2^{4(1-3 x)} &=2^{1} \end{aligned}\)

Тепер, коли основи однакові, ми можемо встановити показники, рівні один одному, і спростити.

\(\begin{aligned} 4(1-3 x) &=1 \\ 4-12 x &=1 \\-12 x &=-3 \\ x &=\frac{-3}{-12}=\frac{1}{4} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\frac{1}{4}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вирішити:\(25^{2 x+3}=125\).

Відповідь

\(-\frac{3}{4}\)

www.youtube.com/В/Ю_TJG6UNNC

У багатьох випадках ми не зможемо прирівняти підстави. З цієї причини ми розробляємо другий метод розв'язання експоненціальних рівнянь. Розглянемо наступні рівняння:

\(\begin{array}{l}{3^{2}=9} \\ {3^{\color{Cerulean}{?}}\color{black}{=}12} \\ {3^{3}=27}\end{array}\)

Ми бачимо, що рішення\(3^{x} = 12\) повинно бути десь між\(2\) і\(3\). Далі йде графічна інтерпретація.

Щоб вирішити це, ми використовуємо той факт, що логарифми є функціями один до одного. З огляду\(x, y > 0\) на властивість один-до-одному логарифмів ¹⁷ наступним чином:

\(\log _{b} x=\log _{b} y \quad\)якщо і тільки якщо\(\quad x=y\)

Це властивість, так само як і властивості логарифма, дозволяє вирішувати експоненціальні рівняння. Наприклад, для\(3^{x} = 12\) розв'язання застосуйте загальний логарифм до обох сторін, а потім використовуйте властивості логарифма для виділення змінної.

\(\begin{aligned} 3^{x} &=12 \\ \log 3^{x} &=\log 12\quad\color{Cerulean}{One-to-one \:property\:of\:logarithms} \\ x \log 3 &=\log 12\quad\color{Cerulean}{Power\:rule\:for\:logarithms} \\ x &=\frac{\log 12}{\log 3} \end{aligned}\)

Наближення до чотирьох знаків після коми на калькуляторі.

\(x=\log (12) / \log (3) \approx 2.2619\)

Відповідь між\(2\) і\(3\) є те, що ми очікували. Звичайно, ми можемо перевірити, піднявши\(3\) до цієї сили, щоб переконатися, що ми отримуємо хороше наближення\(12\).

\(3\wedge 2.2618 \approx 12\:\:\color{Cerulean}{✓}\)

Зауважте, що ми не множимо обидві сторони на «журнал»; ми застосовуємо властивість логарифмічних функцій один до одного, що часто виражається як «взяття журналу обох сторін». Загальні етапи розв'язання експоненціальних рівнянь викладені в наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{3}\):

Вирішити:\(5^{2 x-1}+2=9\).

Рішення

Крок 1: Ізолюйте експоненціальний вираз.

\(\begin{aligned} 5^{2 x-1}+2 &=9 \\ 5^{2 x-1} &=7 \end{aligned}\)

Крок 2: Візьміть логарифм обох сторін. В цьому випадку ми візьмемо загальний логарифм обох сторін, щоб ми могли наблизити наш результат на калькуляторі.

\(\log 5^{2 x-1}=\log 7\)

Крок 3: Застосуйте правило потужності для логарифмів, а потім вирішіть.

\(\begin{aligned} \log 5^{2 x-1} &=\log 7 \\(2 x-1) \log 5 &=\log 7\quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Distribute.} \\ 2 x \log 5-\log 5 &=\log 7 \\ 2 x \log 5 &=\log 5+\log 7 \\ x &=\frac{\log 5+\log 7}{2 \log 5} \end{aligned}\)

Це ірраціональне число, яке можна наблизити за допомогою калькулятора. Подбайте про те, щоб згрупувати чисельник і твір у знаменнику при введенні цього в калькулятор. Для цього скористайтеся кнопками з дужками\((\) і\()\):

\(x=(\log 5+\log (7)) /(2 * \log (5)) \approx 1.1045\)

Відповідь:

\(\frac{\log 5+\log 7}{2 \log 5} \approx 1.1045\)

Приклад\(\PageIndex{4}\):

Вирішити:\(e^{5 x+3}=1\).

Рішення

Експоненціальна функція вже ізольована, а база -\(e\). Тому ми вирішили застосувати натуральний логарифм до обох сторін.

\(\begin{aligned} e^{5 x+3} &=1 \\ \ln e^{5 x+3} &=\ln 1 \end{aligned}\)

Застосуйте правило потужності для логарифмів, а потім спростіть.

\(\begin{aligned} \ln e^{5 x+3} &=\ln 1 \\(5 x+3) \ln e &=\ln 1 \quad\color{Cerulean}{Recall\:\ln e=1\:and\: \ln 1=0.} \\(5 x+3) \cdot 1 &=0 \\ 5 x+3 &=0 \\ x &=-\frac{3}{5} \end{aligned} \)

Відповідь:

\(-\frac{3}{5}\)

На більшості калькуляторів є тільки дві кнопки логарифма, загальний логарифм\(LOG\) і натуральний логарифм\(LN\). Якщо ми хочемо наблизити,\(\log _{3} 10\) ми повинні якось змінити цю базу на\(10\) або\(e\). Ідея починається з перезапису логарифмічної функції\(y=\log _{a} x\), в експоненціальній формі.

\(\log _{a} x=y\color{Cerulean}{\Longrightarrow}\color{black}{x}=a^{y}\)

Ось\(x > 0\) і так ми можемо застосувати один-до-одному властивість логарифмів. Застосуйте основу логарифма\(b\) до обох сторін функції в експоненціальній формі.

\(\begin{aligned} x &=a^{y} \\ \log _{b} x &=\log _{b} a^{y} \end{aligned}\)

А потім вирішувати за\(y\).

\(\log _{b} x=y \log _{b} a\)
\(\frac{\log _{b} x}{\log _{b} a}=y\)

\(y\)Замініть на вихідну функцію, і ми маємо дуже важливу зміну базової формули ¹⁸:

\(\log _{a} x=\frac{\log _{b} x}{\log _{b} a}\)

Ми можемо використовувати це для\(\log _{3} 10\) наближення наступним чином.

\(\log _{3} 10=\frac{\log 10}{\log 3} \approx 2.0959\)або\(\log _{3} 10=\frac{\ln 10}{\ln 3} \approx 2.0959\)

Зверніть увагу, що результат не залежить від вибору бази. Словами ми можемо наблизити логарифм будь-якої заданої основи на калькуляторі, розділивши логарифм аргументу на логарифм цієї заданої основи.

Приклад\(\PageIndex{5}\):

\(\log _{7} 120\)Орієнтовна найближча сота.

Рішення

Застосуйте зміну базової формули і скористайтеся калькулятором.

\(\log _{7} 120=\frac{\log 120}{\log 7}\)

На калькуляторі

\(\log (120) / \log (7) \approx 2.46\)

Відповідь:

\(2.46\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вирішити:\(2^{3 x+1}-4=1\). Дайте точну і приблизну відповідь з округленням до чотирьох знаків після коми.

Відповідь

\(\frac{\log 5-\log 2}{3 \log 2} \approx 0.4406\)

www.youtube.com/В/ККФ1 - ККФ1

Розв'язування логарифмічних рівнянь

Логарифмічне рівняння ¹⁹ - це рівняння, яке включає логарифм зі змінним аргументом. Деякі логарифмічні рівняння можуть бути розв'язані за допомогою властивості логарифмів один до одного. Це вірно, коли по обидва боки знака рівності можна отримати один логарифм з однаковою основою.

Приклад\(\PageIndex{6}\):

Вирішити:\(\log _{2}(2 x-5)-\log _{2}(x-2)=0\).

Рішення

Ми можемо отримати два рівних логарифми бази\(2\) шляхом додавання\(\log _{2}(x-2)\) до обох сторін рівняння.

\(\begin{aligned} \log _{2}(2 x-5)-\log _{2}(x-2)&=0 \\ \log _{2}(2 x-5) &=\log _{2}(x-2) \end{aligned}\)

Тут основи однакові, і тому ми можемо застосувати властивість один до одного і встановити аргументи рівні один одному.

\(\begin{aligned} \log _{2}(2 x-5) &=\log _{2}(x-2) \\ 2 x-5 &=x-2 \\ x &=3 \end{aligned}\)

Перевірка\(x=3\) в вихідному рівнянні:

\(\begin{aligned} \log _{2}(2(\color{OliveGreen}{3}\color{black}{)}-5) &=\log _{2}((\color{OliveGreen}{3}\color{black}{)}-2) \\ \log _{2} 1 &=\log _{2} 1 \\ 0 &=0\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(3\)

При вирішенні логарифмічних рівнянь перевірка дуже важлива, оскільки можуть бути отримані сторонні рішення. Властивості логарифма застосовуються тільки для значень в області даного логарифма. А при роботі зі змінними аргументами\(\log (x-2)\), такими як, значення не\(x\) відомо до кінця цього процесу. Логарифмічний вираз\(\log (x-2)\) визначається лише для значень\(x > 2\).

Приклад\(\PageIndex{7}\):

Вирішити:\(\log (3 x-4)=\log (x-2)\).

Рішення

Застосуйте властивість логарифмів один до одного (встановіть аргументи, рівні один одному), а потім вирішіть для\(x\).

\(\begin{aligned} \log (3 x-4) &=\log (x-2) \\ 3 x-4 &=x-2 \\ 2 x &=2 \\ x &=1 \end{aligned}\)

При виконанні перевірки ми зустрічаємо логарифм від'ємного числа:

\(\begin{aligned} \log (x-2) &=\log (\color{Cerulean}{1}\color{black}{-}2) \\ &=\log (-1) \quad \color{Cerulean} { Undefined } \end{aligned}\)

Спробуйте це на калькуляторі, що це говорить? Тут\(x = 1\) немає в домені\(\log (x-2)\). Тому єдино можливе наше рішення - стороннє і ми робимо висновок, що рішень цього рівняння немає.

Відповідь

Немає рішення,\(\emptyset\).

Увага: Розв'язування логарифмічних рівнянь іноді призводить до сторонніх рішень — ми повинні перевірити наші відповіді.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вирішити:\( \ln \left(x^{2}-15\right)-\ln (2 x)=0\).

Відповідь

\(5\)

www.youtube.com/В/-КБКК-Q2PNS

У багатьох випадках ми не зможемо отримати два рівних логарифми. Для розв'язання таких рівнянь використовується визначення логарифма. Якщо\(b > 0\), де\(b ≠ 1\), то\(\log _{b} x=y\) має на увазі, що\(b^{y} = x\). Розглянемо наступні загальні логарифмічні рівняння (\(10\)базові),

\(\begin{array}{l}{\log x=0\Longrightarrow =1 \quad\:\;\color{Cerulean}{Because\: 10^{10}=1.}} \\ {\log x=0.5\Longrightarrow=\color{Cerulean}{?}} \\ {\log x=1\Longrightarrow=10\quad\color{Cerulean}{Because\:10^{1}=10.}}\end{array}\)

Ми бачимо, що рішення\(\log x=0.5\) буде десь між\(1\) і\(10\). Далі йде графічна інтерпретація.

Щоб знайти,\(x\) ми можемо застосувати визначення наступним чином.

\(\log _{10} x=0.5\Longrightarrow10^{0.5}=x\)

Це можна наблизити за допомогою калькулятора,

\(x=10^{0.5}=10^{\wedge} 0.5 \approx 3.1623\)

Відповідь між\(1\) і\(10\) є те, що ми очікували. Перевірте це на калькуляторі.

\(\log 3.1623 \approx 5\:\:\color{Cerulean}{✓}\)

Приклад\(\PageIndex{8}\):

Вирішити:\(\log _{3}(2 x-5)=2\).

Рішення

Застосовуємо визначення логарифма.

\(\log _{3}(2 x-5)=2\color{Cerulean}{\Longrightarrow}\color{black}{2x}-5=3^{2}\)

Вирішити отримане рівняння.

\(\begin{aligned}2 x-5&=9 \\ 2 x&=14 \\ x&=7 \end{aligned}\)

Перевірте.

\(\begin{aligned} \log _{3}(2(\color{OliveGreen}{7}\color{black}{)}-5) &\stackrel{?}{=}2 \\ \log _{3}(9) &=2\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(7\)

Для того щоб застосувати визначення, нам потрібно буде переписати логарифмічні вирази як єдиний логарифм з коефіцієнтом\(1\). Загальні етапи розв'язання логарифмічних рівнянь викладені в наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{9}\):

Вирішити:\(\log _{2}(x-2)+\log _{2}(x-3)=1\).

Рішення

Крок 1: Запишіть всі логарифмічні вирази як один логарифм з коефіцієнтом\(1\). У цьому випадку застосуйте правило добутку для логарифмів.

\(\begin{aligned} \log _{2}(x-2)+\log _{2}(x-3) &=1 \\ \log _{2}[(x-2)(x-3)] &=1 \end{aligned}\)

Крок 2: Використовуйте визначення та перепишіть логарифм у експоненціальній формі,

\(\log _{2}[(x-2)(x-3)]=1\color{Cerulean}{\Longrightarrow}\color{black}{(}x-2)(x-3)=2^{1}\)

Крок 3: Розв'яжіть отримане рівняння. Тут ми можемо вирішити факторингом.

\(\begin{array}{rl}{(x-2)(x-3)} & {=2} \\ {x^{2}-5 x+6} & {=2} \\ {x^{2}-5 x+4} & {=0} \\ {(x-4)(x-1)} & {=0} \\ {x-4} & {=0} \quad\text{or}\quad& {x-1=0} \\ {x} & {=4} & {\quad\:\:\: x=1}\end{array}\)

Крок 4: Перевірте. Цей крок обов'язковий.

Таблиця\(\PageIndex{1}\)
Перевірити\(x=4\)	Перевірити\(x=1\)
\(\begin{aligned} \log _{2}(x-2)+\log _{2}(x-3) &=1 \\ \log _{2}(\color{Cerulean}{4}\color{black}{-}2)+\log _{2}(\color{Cerulean}{4}\color{black}{-}3) &=1 \\ \log _{2}(2)+\log _{2}(1) &=1 \\ 1+0 &=1\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)	\(\begin{aligned}\log _{2}(x-2)+\log _{2}(x-3)&=1 \\ \log _{2}(\color{Cerulean}{1}\color{black}{-}2)+\log _{2}(\color{Cerulean}{1}\color{black}{-}3)&=1 \\ \log _{2}(-1)+\log _{2}(-2)&=1\\N/A&\neq1\:\:\color{red}{✗}\end{aligned}\)

У цьому прикладі не\(x=1\) знаходиться в області даного логарифмічного виразу і є стороннім. Єдине рішення - це\(x=4\).

Відповідь:

\(4\)

Приклад\(\PageIndex{10}\):

Вирішити:\(\log (x+15)-1=\log (x+6)\)

Рішення

Почніть з написання всіх логарифмічних виразів з одного боку і констант з іншого.

\(\begin{aligned} \log (x+15)-1 &=\log (x+6) \\ \log (x+15)-\log (x+6) &=1 \end{aligned}\)

Застосовуйте часткове правило для логарифмів як засіб для отримання одного логарифма з коефіцієнтом\(1\).

\(\log (x+15)-\log (x+6)=1\)
\(\log \left(\frac{x+15}{x+6}\right)=1\)

Це загальний логарифм; тому використовуйте 10 як основу при застосуванні визначення.

\(\begin{aligned} \frac{x+15}{x+6} &=10^{1} \\ x+15 &=10(x+6) \\ x+15 &=10 x+60 \\-9 x &=45 \\ x &=-5 \end{aligned}\)

Перевірте.

\(\begin{aligned} \log (x+15)-1 &=\log (x+6) \\ \log (-\color{OliveGreen}{5}\color{black}{+}15)-1 &=\log (-\color{OliveGreen}{5}\color{black}{+}6) \\ \log 10-1 &=\log 1 \\ 1-1 &=0 \\ 0 &=0\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(-5\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Вирішити:\(\log _{2}(x)+\log _{2}(x-1)=1\).

Відповідь

\(2\)

www.youtube.com/В/LZWH1JKJ-ЕЙ

Приклад\(\PageIndex{11}\):

Знайдіть зворотне:\(f(x)=\log _{2}(3 x-4)\).

Рішення

Почніть\(f(x)\) з заміни позначення функції на\(y\).

\(\begin{aligned} f(x) &=\log _{2}(3 x-4) \\ y &=\log _{2}(3 x-4) \end{aligned}\)

\(x\)Розмінюватися\(y\) і потім вирішувати за\(y\).

\(\begin{aligned}x=\log _{2}(3 y-4)\color{Cerulean}{\Longrightarrow}\color{black}{3}y-4&=2^{x}\\3y&=2^{x}+4\\y&=\frac{2^{x}+4}{3} \end{aligned}\)

Отримана функція є оберненою\(f\). Представляємо відповідь за допомогою позначення функції.

Відповідь:

\(f^{-1}(x)=\frac{2^{x}+4}{3}\)

Ключові винос

Якщо кожна сторона експоненціального рівняння може бути виражена за допомогою однієї основи, то зрівняйте показники і вирішуйте.
Щоб розв'язати загальне експоненціальне рівняння, спочатку виділіть експоненціальний вираз, а потім застосуйте відповідний логарифм до обох сторін. Це дозволяє нам використовувати властивості логарифмів для розв'язання змінної.
Зміна базової формули дозволяє використовувати калькулятор для обчислення логарифмів. Логарифм числа дорівнює загальному логарифму числа, поділеного на загальний логарифм даної основи.
Якщо один логарифм з однаковою основою можна виділити з кожного боку рівняння, то зрівняйте аргументи і вирішуйте.
Для вирішення загального логарифмічного рівняння спочатку ізолюють логарифм з коефіцієнтом,\(1\) а потім застосовують визначення. Вирішити отримане рівняння.
Етапи розв'язання логарифмічних рівнянь іноді дають сторонні розв'язки. Тому перевірка обов'язкова.

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Розв'язуйте, використовуючи властивість один до одного експоненціальних функцій.

\(3^{x}=81\)
\(2^{-x}=16\)
\(5^{x-1}=25\)
\(3^{x+4}=27\)
\(2^{5 x-2}=16\)
\(2^{3 x+7}=8\)
\(81^{2 x+1}=3\)
\(64^{3 x-2}=2\)
\(9^{2-3 x}-27=0\)
\(8^{1-5 x}-32=0\)
\(16^{x^{2}}-2=0\)
\(4^{x^{2}-1}-64=0\)
\(9^{x(x+1)}=81\)
\(4^{x(2 x+5)}=64\)
\(100^{x^{2}}-10^{7 x-3}=0\)
\(e^{3\left(3 x^{2}-1\right)}-e=0\)

Відповідь

1. \(4\)

3. \(3\)

5. \(\frac{6}{5}\)

7. \(-\frac{3}{8}\)

9. \(\frac{1}{6}\)

11. \(\pm \frac{1}{2}\)

13. \(-2,1\)

15. \(\frac{1}{2}, 3\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Вирішити. Дайте точну відповідь і приблизну відповідь округлені до найближчої тисячної.

\(3^{x}=5\)
\(7^{x}=2\)
\(4^{x}=9\)
\(2^{x}=10\)
\(5^{x-3}=13\)
\(3^{x+5}=17\)
\(7^{2 x+5}=2\)
\(3^{5 x-9}=11\)
\(5^{4 x+3}+6=4\)
\(10^{7 x-1}-2=1\)
\(e^{2 x-3}-5=0\)
\(e^{5 x+1}-10=0\)
\(6^{3 x+1}-3=7\)
\(8-10^{9 x+2}=9\)
\(15-e^{3 x}=2\)
\(7+e^{4 x+1}=10\)
\(7-9 e^{-x}=4\)
\(3-6 e^{-x}=0\)
\(5^{x^{2}}=2\)
\(3^{2 x^{2}-x}=1\)
\(100 e^{27 x}=50\)
\(6 e^{12 x}=2\)
\(\frac{3}{1+e^{-x}}=1\)
\(\frac{2}{1+3 e^{-x}}=1\)

Відповідь

1. \(\frac{\log 5}{\log 3} \approx 1.465\)

3. \(\frac{\log 3}{\log 2} \approx 1.585\)

5. \(\frac{3 \log 5+\log 13}{\log 5} \approx 4.594\)

7. \(\frac{\log 2-5 \log 7}{2 \log 7} \approx-2.322\)

9. \(\varnothing\)

11. \(\frac{3+\ln 5}{2} \approx 2.305\)

13. \(\frac{1-\log 6}{3 \log 6} \approx 0.095\)

15. \(\frac{\ln 13}{3} \approx 0.855\)

17. \(\ln 3 \approx 1.099\)

19. \(\pm \sqrt{\frac{\log 2}{\log 5}} \approx \pm 0.656\)

21. \(-\frac{\ln 2}{27} \approx-0.026\)

23. \(-\ln 2 \approx-0.693\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Знайти\(x\) - і\(y\) -перехоплення заданої функції.

\(f(x)=3^{x+1}-4\)
\(f(x)=2^{3 x-1}-1\)
\(f(x)=10^{x+1}+2\)
\(f(x)=10^{4 x}-5\)
\(f(x)=e^{x-2}+1\)
\(f(x)=e^{x+4}-4\)

Відповідь

1. \(x\)-перехоплення:\(\left(\frac{2 \log 2-\log 3}{\log 3}, 0\right)\);\(y\) -перехоплення:\((0, −1)\)

3. \(x\)-Перехоплення: Немає;\(y\) -перехоплення:\((0, 12)\)

5. \(x\)-Перехоплення: Немає;\(y\) -перехоплення:\(\left(0, \frac{1+e^{2}}{e^{2}}\right)\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Використовуйте\(u\) -підстановку, щоб вирішити наступне.

\(3^{2 x}-3^{x}-6=0\)Підказка: Нехай\(u=3^{x}\)
\(2^{2 x}+2^{x}-20=0\)
\(10^{2 x}+10^{x}-12=0\)
\(10^{2 x}-10^{x}-30=0\)
\(e^{2 x}-3 e^{x}+2=0\)
\(e^{2 x}-8 e^{x}+15=0\)

Відповідь

1. \(1\)

3. \(\log 3\)

5. \(0, \ln 2\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Скористайтеся зміною базової формули, щоб наблизити наступне до найближчої сотої.

\(\log _{2} 5\)
\(\log _{3} 7\)
\(\log _{5}\left(\frac{2}{3}\right)\)
\(\log _{7}\left(\frac{1}{5}\right)\)
\(\log _{1 / 2} 10\)
\(\log _{2 / 3} 30\)
\(\log _{2} \sqrt{5}\)
\(\log _{2} \sqrt[3]{6}\)
Якщо його не контролювати, новий штам вірусу грипу може дуже швидко поширитися від однієї людини до інших. Кількість постраждалих людей може бути змодельована за допомогою формули\(P (t) = e^{0.22t}\), де\(t\) представляє кількість днів, коли вірус дозволено поширюватися безконтрольно. Оцініть кількість днів,\(1,000\) які знадобляться людям, щоб заразитися.
Населення певного невеликого містечка зростає відповідно до функції\(P (t) = 12,500(1.02)^{t}\), де\(t\) представляє час у роках з моменту останнього перепису населення. Використовуйте функцію, щоб визначити кількість років, щоб населення зростало до\(25,000\) людей.

Відповідь

1. \(2.32\)

3. \(−0.25\)

5. \(−3.32\)

7. \(1.16\)

9. Приблизно\(31\) днів

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Вирішіть, використовуючи властивість логарифмів один до одного.

\(\log _{5}(2 x+4)=\log _{5}(3 x-6)\)
\(\log _{4}(7 x)=\log _{4}(5 x+14)\)
\(\log _{2}(x-2)-\log _{2}(6 x-5)=0\)
\(\ln (2 x-1)=\ln (3 x)\)
\(\log (x+5)-\log (2 x+7)=0\)
\(\ln \left(x^{2}+4 x\right)=2 \ln (x+1)\)
\(\log _{3} 2+2 \log _{3} x=\log _{3}(7 x-3)\)
\(2 \log x-\log 36=0\)
\(\ln (x+3)+\ln (x+1)=\ln 8\)
\(\log _{5}(x-2)+\log _{5}(x-5)=\log _{5} 10\)

Відповідь

1. \(10\)

3. \(\frac{3}{5}\)

5. \(−2\)

7. \(\frac{1}{2} , 3\)

9. \(1\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Вирішити.

\(\log _{2}(3 x-7)=5\)
\(\log _{3}(2 x+1)=2\)
\(\log (2 x+20)=1\)
\(\log _{4}(3 x+5)=\frac{1}{2}\)
\(\log _{3} x^{2}=2\)
\(\log \left(x^{2}+3 x+10\right)=1\)
\(\ln \left(x^{2}-1\right)=0\)
\(\log _{5}\left(x^{2}+20\right)-2=0\)
\(\log _{2}(x-5)+\log _{2}(x-9)=5\)
\(\log _{2}(x+5)+\log _{2}(x+1)=5\)
\(\log _{4} x+\log _{4}(x-6)=2\)
\(\log _{6} x+\log _{6}(2 x-1)=2\)
\(\log _{3}(2 x+5)-\log _{3}(x-1)=2\)
\(\log _{2}(x+1)-\log _{2}(x-2)=4\)
\(\ln x-\ln (x-1)=1\)
\(\ln (2 x+1)-\ln x=2\)
\(2 \log _{3} x=2+\log _{3}(2 x-9)\)
\(2 \log _{2} x=3+\log _{2}(x-2)\)
\(\log _{2}(x-2)=2-\log _{2} x\)
\(\log _{2}(x+3)+\log _{2}(x+1)-1=0\)
\(\log x-\log (x+1)=1\)
\(\log _{2}(x+2)+\log _{2}(1-x)=1+\log _{2}(x+1)\)

Відповідь

1. \(13\)

3. \(−5\)

5. \(±3\)

7. \(\pm \sqrt{2}\)

9. \(13\)

11. \(8\)

13. \(2\)

15. \(\frac{e}{e-1}\)

17. \(9\)

19. 1\(\pm \sqrt{5}\)

21. \(Ø\)

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Знайти\(x\) - і\(y\) -перехоплення заданої функції.

\(f(x)=\log (x+3)-1\)
\(f(x)=\log (x-2)+1\)
\(f(x)=\log _{2}(3 x)-4\)
\(f(x)=\log _{3}(x+4)-3\)
\(f(x)=\ln (2 x+5)-6\)
\(f(x)=\ln (x+1)+2\)

Відповідь

1. \(x\)-перехоплення:\((7, 0)\);\(y\) -перехоплення:\((0, \log 3-1)\)

3. \(x\)-Перехоплення:\((\frac{16}{3}, 0)\);\(y\) -Перехоплення: Немає

5. \(x\)-перехоплення:\(\left(\frac{e^{6}-5}{2}, 0\right)\);\(y\) -перехоплення:\((0, \ln 5-6)\)

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Знайдіть обернену наступні функції.

\(f(x)=\log _{2}(x+5)\)
\(f(x)=4+\log _{3} x\)
\(f(x)=\log (x+2)-3\)
\(f(x)=\ln (x-4)+1\)
\(f(x)=\ln (9 x-2)+5\)
\(f(x)=\log _{6}(2 x+7)-1\)
\(g(x)=e^{3 x}\)
\(g(x)=10^{-2 x}\)
\(g(x)=2^{x+3}\)
\(g(x)=3^{2 x}+5\)
\(g(x)=10^{x+4}-3\)
\(g(x)=e^{2 x-1}+1\)

Відповідь

1. \(f^{-1}(x)=2^{x}-5\)

3. \(f^{-1}(x)=10^{x+3}-2\)

5. \(f^{-1}(x)=\frac{e^{x-5}+2}{9}\)

7. \(g^{-1}(x)=\frac{\ln x}{3}\)

9. \(g^{-1}(x)=\log _{2} x-3\)

11. \(g^{-1}(x)=\log (x+3)-4\)

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Вирішити.

\(\log (9 x+5)=1+\log (x-5)\)
\(2+\log _{2}\left(x^{2}+1\right)=\log _{2} 13\)
\(e^{5 x-2}-e^{3 x}=0\)
\(3^{x^{2}}-11=70\)
\(2^{3 x}-5=0\)
\(\log _{7}(x+1)+\log _{7}(x-1)=1\)
\(\ln (4 x-1)-1=\ln x\)
\(\log (20 x+1)=\log x+2\)
\(\frac{3}{1+e^{2 x}}=2\)
\(2 e^{-3 x}=4\)
\(2 e^{3 x}=e^{4 x+1}\)
\(2 \log x+\log x-1=0\)
\(3 \log x=\log (x-2)+2 \log x\)
\(2 \ln 3+\ln x^{2}=\ln \left(x^{2}+1\right)\)
У хімії рН є мірою кислотності і задається за формулою\(\mathrm{pH}=-\log \left(H^{+}\right)\), де\(H^{+}\) - концентрація іонів водню (вимірюється в молі водню на літр розчину.) Визначте концентрацію іонів водню, якщо рН розчину дорівнює\(4\).
Гучність звуку\(L\) в децибелах (дБ) задається формулою,\(L=10 \log \left(I / 10^{-12}\right)\) де\(I\) представляє інтенсивність звуку у ватах на квадратний метр. Визначте інтенсивність тривоги, що випромінює\(120\) дБ звуку.

Відповідь

1. \(55\)

3. \(1\)

5. \(\frac{\log _{2} 5}{3}\)

7. \(\frac{1}{4-e}\)

9. \(\frac{\ln (1 / 2)}{2}\)

11. \(\ln 2-1\)

13. \(\emptyset\)

15. \(10^{-4}\)кротів на літр

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Досліджуйте та обговоріть історію та використання правила слайдів.
Досліджуйте та обговорюйте реальні програми, що включають логарифми.

Відповідь: 1. Відповідь може відрізнятися

Виноски

¹⁵ Рівняння, яке включає змінну як показник.

¹⁶ Дано,\(b > 0\) і\(b ≠ 1\) ми маємо\(b^{x} = b^{y}\) якщо і тільки якщо\(x = y\).

¹⁷ Дано\(b > 0\) і\(b ≠ 1\) де\(x, y > 0\) ми маємо,\(log_{b}x = log_{b}y\) якщо і тільки якщо\(x = y\).

¹⁸\(\log _{a} x=\frac{\log _{b} x}{\log _{b} a}\); ми можемо записати будь-який base-\(a\) логарифм через base-\(b\) логарифми, використовуючи цю формулу.

¹⁹ Рівняння, яке включає логарифм зі змінним аргументом.