7.2: Експоненціальні функції та їх графіки

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58323

Anonymous
LibreTexts

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Визначте та оцінюйте експоненціальні функції.
Намалюйте графік експоненціальних функцій і визначте область і діапазон.
Визначте та графуйте природну експоненціальну функцію.
Застосовуйте формули для складних відсотків.

Експоненціальні функції

На цьому етапі вивчення алгебри ми починаємо дивитися на трансцендентні функції або функції, які, здається, «виходять за рамки» алгебри. Ми вивчили функції зі змінними базами та постійними показниками, такими як$x^{2}$ або$y^{−3}$. У цьому розділі ми досліджуємо функції з постійною базою та змінними показниками. Задано дійсне число$b > 0$, де$b ≠ 1$ експоненціальна функція ⁵ має вигляд,

$f(x)=b^{x} \quad \color{Cerulean}{Exponential\:Function}$

Наприклад, якщо база$b$ дорівнює$2$, то ми маємо експоненціальну функцію, визначену$f (x) = 2^{x}$. Тут ми бачимо, що показник є змінною. До цього моменту раціональні показники були визначені, але ірраціональні експоненти не мали. Розглянемо$2^{\sqrt{7}}$, де показник є ірраціональним числом в діапазоні,

$2.64<\sqrt{7}<2.65$

Ми можемо використовувати ці межі для оцінки$2^{\sqrt{7}}$,

$2^{2.64}<2^{\sqrt{7}}<2^{2.65}$
$6.23<2^{\sqrt{7}}<6.28$

Використовуючи раціональні показники таким чином,$2^{\sqrt{7}}$ можна отримати наближення до будь-якого рівня точності. На калькуляторі

$2^{\wedge} \sqrt{7} \approx 6.26$

Тому область будь-якої експоненціальної функції складається з усіх дійсних чисел$(−∞, ∞)$. Виберіть деякі значення для,$x$ а потім визначте відповідні$y$ -значення.

Таблиця$\PageIndex{1}$
$x$	$y$	$f(x)=2^{x}$	$\color{Cerulean}{Solutions}$
\ (x\) ">$-2$	\ (y\) ">$\color{Cerulean}{\frac{1}{4}}$	\ (f (x) =2^ {x}\) ">$y=2^{-2}=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}$	\ (\ color {Кольорове} {Рішення}\) ">$\left(-2, \frac{1}{4}\right)$
\ (x\) ">$-1$	\ (y\) ">$\color{Cerulean}{\frac{1}{2}}$	\ (f (x) =2^ {x}\) ">$y=2^{-1}=\frac{1}{2^{1}}=\frac{1}{2}$	\ (\ color {Кольорове} {Рішення}\) ">$\left(-1, \frac{1}{2}\right)$
\ (x\) ">$0$	\ (y\) ">$\color{Cerulean}{1} $	\ (f (x) =2^ {x}\) ">$y=2^{0}=1$	\ (\ color {Кольорове} {Рішення}\) ">$(0,1)$
\ (x\) ">$1$	\ (y\) ">$\color{Cerulean}{2}$	\ (f (x) =2^ {x}\) ">$y=2^{1}=2$	\ (\ color {Кольорове} {Рішення}\) ">$(1,2)$
\ (x\) ">$2$	\ (y\) ">$\color{Cerulean}{4}$	\ (f (x) =2^ {x}\) ">$y=2^{2}=4$	\ (\ color {Кольорове} {Рішення}\) ">$(2,4)$
\ (x\) ">$\sqrt{7}$	\ (y\) ">$\color{Cerulean}{6.26}$	\ (f (x) =2^ {x}\) ">$y=2^{\sqrt{7}} \approx 6.26$	\ (\ color {Кольорове} {Рішення}\) ">$(2.65,6.26)$

Оскільки експоненти визначені для будь-якого дійсного числа, ми можемо намалювати графік, використовуючи безперервну криву через ці задані точки:

Важливо зазначити, що коли$x$ наближається негативна нескінченність, результати стають дуже малими, але ніколи насправді не досягають нуля. Наприклад,

$f(-5)=2^{-5}=\frac{1}{2^{5}} \approx 0.03125$
$f(-10)=2^{-10}=\frac{1}{2^{10}} \approx 0.0009766$
$f(-15)=2^{-15}=\frac{1}{2^{-15}} \approx .00003052$

Це описує горизонтальну асимптоту at$y = 0$,$x$ -вісь, і визначає нижню межу діапазону функції:$(0, ∞)$.

База$b$ експоненціальної функції впливає на швидкість, з якою вона росте. Нижче ми намалювали$y = 2^{x} , y = 3^{x}$ графіки і$y = 10^{x}$ на тому ж наборі осей.

Зверніть увагу, що всі ці експоненціальні функції мають однаковий$y$ -перехоплення, а саме$(0, 1)$. Це пов'язано з тим, що$f (0) = b^{0} = 1$ для будь-якої функції, визначеної за допомогою форми$f (x) = b^{x}$. Оскільки функції читаються зліва направо, вони інтерпретуються як зростаючі або зростаючі в геометричній прогресії. Крім того, будь-яка експоненціальна функція цієї форми матиме область, яка складається з усіх дійсних чисел$(−∞, ∞)$ і діапазону, який складається з позитивних значень,$(0, ∞)$ обмежених горизонтальною асимптотою at$y = 0$.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Намалюйте графік і визначте область і діапазон:$f(x)=10^{x}+5$.

Рішення

База$10$ використовується часто, особливо з науковими позначеннями. Звідси$10$ і називається загальною базою. Насправді експоненціальна функція настільки$y = 10^{x}$ важлива, що на більшості сучасних наукових калькуляторів ви знайдете кнопку,$10^{x}$ присвячену їй. У цьому прикладі ми намалюємо базовий графік,$y = 10^{x}$ а потім змістимо його вгору$5$ одиницями.

Зауважте, що горизонтальна асимптота базового графіка$y = 10^{x}$ була зрушена вгору до$5$ одиниць$y = 5$ (показано пунктирною). Витратьте хвилинку, щоб оцінити кілька значень$x$ з вашим калькулятором і переконати себе, що результат ніколи не буде менше$5$.

Відповідь

Домен:$(-\infty, \infty)$; Діапазон:$(5, \infty)$

Далі розглянемо експоненціальні функції з дробовими основами$0 < b < 1$. Наприклад,$f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ це експоненціальна функція з базою$b = \frac{1}{2}$.

Таблиця$\PageIndex{2}$
$x$	$y$	$f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$	$\color{Cerulean}{Solutions} $
\ (x\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$-2$	\ (y\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\color{Cerulean}{4} $	\ (f (x) =\ ліворуч (\ frac {1} {2}\ праворуч) ^ {x}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=\frac{1^{-2}}{2^{-2}}=\frac{2^{2}}{1^{2}}=4$	\ (\ color {Cerulean} {Рішення}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$(-2,4)$
\ (x\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$-1$	\ (y\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\color{Cerulean}{2}$	\ (f (x) =\ ліворуч (\ frac {1} {2}\ праворуч) ^ {x}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=\frac{1^{-1}}{2^{-1}}=\frac{2^{1}}{1^{1}}=2$	\ (\ color {Cerulean} {Рішення}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$(-1,2)$
\ (x\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$0$	\ (y\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\color{Cerulean}{1}$	\ (f (x) =\ ліворуч (\ frac {1} {2}\ праворуч) ^ {x}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{0}=1$	\ (\ color {Cerulean} {Рішення}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$(0,1)$
\ (x\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$1$	\ (y\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\color{Cerulean}{\frac{1}{2}}$	\ (f (x) =\ ліворуч (\ frac {1} {2}\ праворуч) ^ {x}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{1}=\frac{1}{2}$	\ (\ color {Cerulean} {Рішення}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\left(1, \frac{1}{2}\right)$
\ (x\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$2$	\ (y\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\color{Cerulean}{\frac{1}{4}}$	\ (f (x) =\ ліворуч (\ frac {1} {2}\ праворуч) ^ {x}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$	\ (\ color {Cerulean} {Рішення}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\left(2, \frac{1}{4}\right)$

Побудова точок у нас є,

Читаючи графік зліва направо, він інтерпретується як зменшення експоненціально. База впливає на швидкість, з якою зменшується або спадає експоненціальна функція. Нижче ми намалювали$y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}, y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}$ графіки і$y=\left(\frac{1}{10}\right)^{x}$ на тому ж наборі осей.

Нагадаємо, що$x^{-1}=\frac{1}{x}$ і так ми можемо виражати експоненціальні функції з дробовими базами, використовуючи негативні показники. Наприклад,

$g(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=\frac{1^{x}}{2^{x}}=\frac{1}{2^{x}}=2^{-x}$

Крім того, враховуючи, що$f (x) = 2^{x}$ ми можемо бачити$g(x)=f(-x)=2^{-x}$ і вважати$g$ відображенням$f$ про$y$ -осі.

Підсумовуючи, наведено$b > 0$

І для обох випадків,

$\begin{aligned}\color{Cerulean} { Domain :}&(-\infty, \infty) \\ \color{Cerulean} { Range : }&(0, \infty) \\ \color{Cerulean} { y-intercept : }&(0,1) \\ \color{Cerulean} { Asymptote: }& y=0\end{aligned}$

Крім того, зауважте, що графіки проходять тест горизонтальної лінії і, таким чином, експоненціальні функції є один до одного. Ми використовуємо ці основні графіки разом з перетвореннями для накреслення графіків експоненціальних функцій.

Приклад$\PageIndex{2}$

Намалюйте графік і визначте область і діапазон:$f(x)=5^{-x}-10$.

Рішення

Почніть з базового графіка$y = 5^{−x}$ і зрушуйте його вниз$10$ одиницями.

$y$-Перехоплення є$(0, −9)$ і горизонтальна асимптота є$y = −10$.

Відповідь

Домен:$(-\infty, \infty)$; Діапазон:$(-10, \infty)$

Пошук$x$ -intercept графа в попередньому прикладі залишається для більш пізнього розділу в цьому розділі. Наразі ми більше стурбовані загальною формою експоненціальних функцій.

Приклад$\PageIndex{3}$

Намалюйте графік і визначте область і діапазон$g(x)=-2^{x-3}$.

Рішення

Почніть з базового графіка$y=2^{x}$ і визначте перетворення.

$\begin{array}{l}{y=2^{x}} \quad\quad\quad\color{Cerulean}{Basic\:graph} \\ {y=-2^{x}} \quad\:\:\:\:\color{Cerulean}{Reflection\:about\:the\:x-axis} \\ {y=-2^{x-3}}\quad\color{Cerulean}{Shift\:right\:3\:units}\end{array}$

Зауважте, що горизонтальна асимптота залишається однаковою для всіх перетворень. Щоб закінчити, ми зазвичай хочемо включити$y$ -intercept. Пам'ятайте, що для пошуку$y$ -перехоплення ми ставимо$x = 0$.

$\begin{aligned} g(\color{Cerulean}{0}\color{black}{)} &=-2^{\color{Cerulean}{0}\color{black}{-}3} \\ &=-2^{-3} \\ &=-\frac{1}{2^{3}} \\ &=-\frac{1}{8} \end{aligned}$

Тому$y$ -перехоплення є$\left(0,-\frac{1}{8}\right)$.

Відповідь

Домен:$(-\infty, \infty)$; Діапазон:$(-\infty, 0)$

Вправа$\PageIndex{1}$

Намалюйте графік і визначте область і діапазон:$f(x)=2^{x-1}+3$

Відповідь

Домен:$(-\infty, \infty)$; Діапазон:$(3, \infty)$

www.youtube.com/В/WDCOBQDTE7M

Природна основа е

Деякі цифри часто зустрічаються в загальних додатках. Одне з таких знайомих чисел - pi ($π$), яке ми знаємо, відбувається при роботі з колами. Це ірраціональне число має спеціальну кнопку на більшості калькуляторів$π$ і наближено до п'яти знаків після коми$π ≈ 3.14159$. Ще одне важливе число$e$ виникає при роботі з експоненціальними моделями зростання і розпаду. Це ірраціональне число і наближене до п'яти знаків після коми,$e ≈ 2.71828$. Ця константа зустрічається природним шляхом у багатьох реальних програмах і, таким чином, називається природною базою. Іноді$e$ називають константою Ейлера на честь Леонхарда Ейлера (вимовляється «Масляник»).

Ілюстрація$\PageIndex{14}$: Леонхард Ейлер (1707-1783)

Насправді природна експоненціальна функція:

$f(x)=e^{x}$

настільки важливо, що ви знайдете кнопку,$e^{x}$ присвячену їй на будь-якому сучасному науковому калькуляторі. У цьому розділі ми зацікавлені в оцінці природної експоненціальної функції для заданих дійсних чисел та замальовці її графа. Щоб оцінити природну експоненціальну функцію, визначену$f (x) = e^{x}$ де$x = −2$ за допомогою калькулятора, може знадобитися застосувати кнопку shift. На багатьох наукових калькуляторах каретка буде відображатися наступним чином,

$f(-2)=e^{\wedge}(-2) \approx 0.13534$

Дізнавшись, як використовувати ваш конкретний калькулятор, тепер ви можете намалювати графік, намалювавши точки. (Округлити до найближчих сотих.)

Таблиця$\PageIndex{3}$
$x$	$y$	$f(x)=e^{x}$	$\color{Cerulean}{Solutions} $
\ (x\) ">$-2$	\ (y\) ">$\color{Cerulean}{0.14}$	\ (f (x) =e^ {x}\) ">$f(-2)=e^{-2}=0.14$	\ (\ color {Кольорове} {Рішення}\) ">$(-2,0.14)$
\ (x\) ">$-1$	\ (y\) ">$\color{Cerulean}{0.37}$	\ (f (x) =e^ {x}\) ">$f(-1)=e^{-1}=0.37$	\ (\ color {Кольорове} {Рішення}\) ">$(-1,0.37)$
\ (x\) ">$0$	\ (y\) ">$\color{Cerulean}{1}$	\ (f (x) =e^ {x}\) ">$f(0)=e^{0}=1$	\ (\ color {Кольорове} {Рішення}\) ">$(0,1)$
\ (x\) ">$1$	\ (y\) ">$\color{Cerulean}{2.72}$	\ (f (x) =e^ {x}\) ">$f(1)=e^{1}=2.72$	\ (\ color {Кольорове} {Рішення}\) ">$(1,2.72)$
\ (x\) ">$2$	\ (y\) ">$\color{Cerulean}{7.39}$	\ (f (x) =e^ {x}\) ">$f(2)=e^{2}=7.39$	\ (\ color {Кольорове} {Рішення}\) ">$(2,7.39)$

Намалюйте точки і накидайте графік.

Зверніть увагу, що функція аналогічна графіку$y = 3^{x}$. Домен складається з усіх дійсних чисел, а діапазон складається з усіх позитивних дійсних чисел. Виникає асимптота при$y = 0$ і а$y$ -перехоплення при$(0, 1)$. Ми можемо використовувати перетворення для ескізу графіка більш складних експоненціальних функцій.

Приклад$\PageIndex{4}$:

Намалюйте графік і визначте область і діапазон:$g(x)=e^{x+2}-3$.

Рішення

Визначте основні перетворення.

$\begin{array}{l}{y=e^{x}} \quad\quad\quad\:\:\:\color{Cerulean}{Basic\:graph} \\ {y=e^{x+2}} \quad\quad\:\:\:\color{Cerulean}{Shift\:left\:2\:units}\\ {y=e^{x+2}-3}\:\:\:\:\color{Cerulean}{Shift\:down\:3\:units}\end{array}$

Для визначення$y$ -перехоплення безліч$x = 0$.

$\begin{aligned} g(\color{Cerulean}{0}\color{black}{)} &=e^{\color{Cerulean}{0}\color{black}{+}2}-3 \\ &=e^{2}-3 \\ & \approx 4.39 \end{aligned}$

Тому$y$ -перехоплення є$(0, e^{2} − 3)$.

Відповідь

Домен:$(-\infty, \infty)$; Діапазон:$(-3, \infty)$

Вправа$\PageIndex{2}$

Намалюйте графік і визначте область і діапазон:$f(x)=e^{-x}+2$.

Відповідь

Домен:$(-\infty, \infty)$; Діапазон:$(2, \infty)$

www.youtube.com/В/ФКВБПГ2ХПБ8

Складні процентні формули

Експоненціальні функції з'являються у формулах, що використовуються для обчислення відсотків, зароблених на більшості звичайних ощадних рахунків. Складні відсотки виникають, коли відсотки, накопичені за один період, додаються до основної інвестиції до розрахунку відсотків на наступний період. Сума, нарахована таким чином з плином часу, моделюється за формулою складного відсотка ⁶:

$A(t)=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}$

Тут сума$A$ залежить від часу в$t$ роках$P$ основної суми накопичення складних відсотків за річною процентною ставкою$r$. Значення$n$ являє собою кількість разів, коли відсотки збільшуються за рік.

Приклад$\PageIndex{5}$:

Інвестиція $$500$ здійснюється в$6$ -рік компакт-диск, який заробляє$4 \frac{1}{2}$% річних відсотків, що посилюється щомісяця. Скільки буде коштувати компакт-диск наприкінці терміну$6$ -year?

Рішення

Тут основна$P =$ сума $$500$, процентна ставка$r = 4 \frac{1}{2}$%$= 0.045$, і тому відсотки складаються щомісяця,$n = 12$. Інвестиція моделюється наступним чином,

$A(t)=500\left(1+\frac{0.045}{12}\right)^{12 t}$

Для визначення суми на рахунку через$6$ роки оцінюють$A (6)$ і округляють до найближчого цента.

$\begin{aligned} A(\color{Cerulean}{6}\color{black}{)} &=500\left(1+\frac{0.045}{12}\right)^{12(\color{Cerulean}{6}\color{black}{)}} \\ &=500(1.00375)^{72} \\ &=654.65 \end{aligned}$

Відповідь

Компакт-диск буде коштувати $$654.65$ наприкінці терміну$6$ -year.

Далі досліджуємо ефекти збільшення$n$ в формулі. Заради наочності дозволимо$P$ і$r$ рівняємо$1$ і розраховуємо відповідно.

Таблиця$\PageIndex{4}$
Річне компаундування	$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$
Щорічно$(n=1)$	\ (\ ліворуч (1+\ frac {1} {n}\ праворуч) ^ {n}\) ">$\color{black}{\left(1+\frac{1}{\color{Cerulean}{1}}\right)}^{\color{Cerulean}{1}}\color{black}{=}2$
Півроку$(n=2)$	\ (\ ліворуч (1+\ frac {1} {n}\ праворуч) ^ {n}\) ">$\color{black}{\left(1+\frac{1}{\color{Cerulean}{2}}\right)}^{\color{Cerulean}{2}}\color{black}{=}2.25$
Квартально$(n=4)$	\ (\ ліворуч (1+\ frac {1} {n}\ праворуч) ^ {n}\) ">$\color{black}{\left(1+\frac{1}{\color{Cerulean}{4}}\right)}^{\color{Cerulean}{4}}\color{black}{≈}2.44140$
Щомісячно$(n=12)$	\ (\ ліворуч (1+\ frac {1} {n}\ праворуч) ^ {n}\) ">$\color{black}{\left(1+\frac{1}{\color{Cerulean}{12}}\right)}^{\color{Cerulean}{12}}\color{black}{≈}2.61304$
Щотижневий$(n=52)$	\ (\ ліворуч (1+\ frac {1} {n}\ праворуч) ^ {n}\) ">$\color{black}{\left(1+\frac{1}{\color{Cerulean}{52}}\right)}^{\color{Cerulean}{52}}\color{black}{≈}2.69260$
Щодня$(n=365)$	\ (\ ліворуч (1+\ frac {1} {n}\ праворуч) ^ {n}\) ">$\color{black}{\left(1+\frac{1}{\color{Cerulean}{365}}\right)}^{\color{Cerulean}{365}}\color{black}{≈}2.71457$
Погодинно$(n=8760)$	\ (\ ліворуч (1+\ frac {1} {n}\ праворуч) ^ {n}\) ">$\color{black}{\left(1+\frac{1}{\color{Cerulean}{8760}}\right)}^{\color{Cerulean}{8760}}\color{black}{≈}2.71813$

Продовжуючи цю закономірність, як$n$ збільшується, щоб сказати, складаючи кожну хвилину або навіть кожну секунду, ми можемо побачити, що результат прагне до природної основи$e ≈ 2.71828$. Збільшення інтересу кожну мить призводить до постійно зростаючої формули відсотка ⁷,

$A(t)=P e^{rt}$

Тут$P$ представлена початкова основна сума інвестування,$r$ являє собою річну процентну ставку і$t$ представляє час у роках інвестиції дозволяється нараховувати постійно збільшені відсотки.

Приклад$\PageIndex{6}$:

Інвестиція $$500$ здійснюється в$6$ -рік компакт-диск, який заробляє$4 \frac{1}{2}$% річних відсотків, які постійно посилюються. Скільки буде коштувати компакт-диск наприкінці терміну$6$ -year?

Рішення

Тут основна$P =$ сума $$500$, і процентна ставка$r = 4 \frac{1}{2}$%$= 0.045$. Оскільки інтерес посилюється безперервно, ми будемо використовувати формулу$A (t) = Pe^{rt}$. Інвестиція моделюється наступним чином,

$A(t)=500 e^{0.045 t}$

Щоб визначити суму на рахунку через$6$ роки, оцініть$A (6)$ і округляйте до найближчого цента.

$\begin{aligned} A(\color{Cerulean}{6}\color{black}{)} &=500 e^{0.045(\color{Cerulean}{6}\color{black}{)}} \\ &=500 e^{0.27} \\ &=654.98 \end{aligned}$

Відповідь

Компакт-диск буде коштувати $$654.98$ наприкінці терміну$6$ -year.

Порівняйте два попередні приклади і зауважте, що безперервне з'єднання може бути не таким корисним, як це звучить. Хоча краще частіше складати відсотки, різниця не така вже й глибока. Безумовно, процентна ставка є набагато більшим фактором кінцевого результату.

Вправа$\PageIndex{3}$

Скільки буде $$1,200$ CD, заробляючи$5.2$% річних відсотків, що складаються безперервно, буде коштувати в кінці$10$ -рік терміну?

Відповідь

$$2,018.43$

www.youtube.com/В/1 АП

Ключові виноси

Експоненціальні функції мають визначення виду$f (x) = b^{x}$ де$b > 0$ і$b ≠ 1$. Домен складається з усіх дійсних чисел,$(−∞, ∞)$ а діапазон складається з позитивних чисел$(0, ∞)$. Також всі експоненціальні функції цієї форми мають$y$ -перехоплення$(0, 1)$ і асимптотичні до$x$ -осі.
Якщо основа експоненціальної функції більше$1 (b > 1)$, то її графік збільшується або зростає в міру зчитування зліва направо.
Якщо основою експоненціальної функції є правильний дріб$(0 < b < 1)$, то її графік зменшується або розпадається при читанні зліва направо.
Число$10$ називається загальною базою, а число$e$ називається натуральною основою.
Природна експоненціальна функція, визначена,$f (x) = e^{x}$ має графік, дуже схожий на графік$g (x) = 3^{x}$.
Експоненціальні функції - один до одного.

Вправа$\PageIndex{4}$

Оцініть.

$f(x)=3^{x}$де$f(-2), f(0),$ і$f(2)$.
$f(x)=10^{x}$де$f(-1), f(0),$ і$f(1)$.
$g(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}$де$g(-1), g(0),$ і$g(3)$.
$g(x)=\left(\frac{3}{4}\right)^{x}$де$g(-2), g(-1),$ і$g(0)$.
$h(x)=9^{-x}$де$h(-1), h(0),$ і$h\left(\frac{1}{2}\right)$.
$h(x)=4^{-x}$де$h(-1), h\left(-\frac{1}{2}\right),$ і$h(0)$.
$f(x)=-2^{x}+1$де$f(-1), f(0),$ і$f(3)$.
$f(x)=2-3^{x}$де$f(-1), f(0),$ і$f(2)$.
$g(x)=10^{-x}+20$де$g(-2), g(-1),$ і$g(0)$.
$g(x)=1-2^{-x}$де$g(-1), g(0),$ і$g(1)$.

Відповідь

1. $f(-2)=\frac{1}{9}, f(0)=1, f(2)=9$

3. $g(-1)=3, g(0)=1, g(3)=\frac{1}{27}$

5. $h(-1)=9, h(0)=1, h\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{3}$

7. $f(-1)=\frac{1}{2}, f(0)=0, f(3)=-7$

9. $g(-2)=120, g(-1)=30, g(0)=21$

Вправа$\PageIndex{5}$

Скористайтеся калькулятором, щоб наблизити наступне до найближчої сотої.

$f(x)=2^{x}+5$де$f(2.5)$.
$f(x)=3^{x}-10$де$f(3.2)$.
$g(x)=4^{x}$де$g(\sqrt{2})$.
$g(x)=5^{x}-1$де$g(\sqrt{3})$.
$h(x)=10^{x}$де$h(\pi)$.
$h(x)=10^{x} + 1$де$h\left(\frac{\pi}{3}\right)$.
$f(x)=10^{-x}-2$де$f(1.5)$.
$f(x)=5^{-x}+3$де$f(1.3)$.
$f(x)=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}+1$де$f(-2.7)$.
$f(x)=\left(\frac{3}{5}\right)^{-x}-1$де$f(1.4)$.

Відповідь

1. $10.66$

3. $7.10$

5. $1385.46$

7. $−1.97$

9. $3.99$

Вправа$\PageIndex{6}$

Намалюйте функцію і визначте область і діапазон. Намалюйте горизонтальну асимптоту пунктирною лінією.

$f(x)=4^{x}$
$g(x)=3^{x}$
$f(x)=4^{x}+2$
$f(x)=3^{x}-6$
$f(x)=2^{x-2}$
$f(x)=4^{x+2}$
$f(x)=3^{x+1}-4$
$f(x)=10^{x-4}+2$
$h(x)=2^{x-3}-2$
$h(x)=3^{x+2}+4$
$f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x}$
$h(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}$
$f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x}-2$
$h(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}+2$
$g(x)=2^{-x}-3$
$g(x)=3^{-x}+1$
$f(x)=6-10^{-x}$
$g(x)=5-4^{-x}$
$f(x)=5-2^{x}$
$f(x)=3-3^{x}$

Відповідь

1. Домен:$(-\infty, \infty)$; Діапазон:$(0, \infty)$

3. Домен:$(-\infty, \infty)$; Діапазон:$(2, \infty)$

5. Домен:$(-\infty, \infty)$; Діапазон:$(0, \infty)$

7. Домен:$(-\infty, \infty)$; Діапазон:$(-4, \infty)$

9. Домен:$(-\infty, \infty)$; Діапазон:$(-2, \infty)$

11. Домен:$(-\infty, \infty)$; Діапазон:$(0, \infty)$

13. Домен:$(-\infty, \infty)$; Діапазон:$(-2, \infty)$

15. Домен:$(-\infty, \infty)$; Діапазон:$(-3, \infty)$

17. Домен:$(-\infty, \infty)$; Діапазон:$(-\infty, 6)$

19. Домен:$(-\infty, \infty)$; Діапазон:$(-\infty, 5)$

Вправа$\PageIndex{7}$

Знайти$f (−1), f (0)$, і$f (\frac{3}{2})$ для заданої функції. Використовуйте калькулятор, де це доречно, щоб наблизити до найближчої сотої.

$f(x)=e^{x}+2$
$f(x)=e^{x}-4$
$f(x)=5-3 e^{x}$
$f(x)=e^{-x}+3$
$f(x)=1+e^{-x}$
$f(x)=3-2 e^{-x}$
$f(x)=e^{-2 x}+2$
$f(x)=e^{-x^{2}}-1$

Відповідь

1. $f(-1) \approx 2.37, f(0)=3, f\left(\frac{3}{2}\right) \approx 6.48$

3. $f(-1) \approx 3.90, f(0)=2, f\left(\frac{3}{2}\right) \approx-8.45$

5. $f(-1) \approx 3.72, f(0)=2, f\left(\frac{3}{2}\right) \approx 1.22$

7. $f(-1) \approx 9.39, f(0)=3, f\left(\frac{3}{2}\right) \approx 2.05$

Вправа$\PageIndex{8}$

Намалюйте функцію і визначте область і діапазон. Намалюйте горизонтальну асимптоту пунктирною лінією.

$f(x)=e^{x}-3$
$f(x)=e^{x}+2$
$f(x)=e^{x+1}$
$f(x)=e^{x-3}$
$f(x)=e^{x-2}+1$
$f(x)=e^{x+2}-1$
$g(x)=-e^{x}$
$g(x)=e^{-x}$
$h(x)=-e^{x+1}$
$h(x)=-e^{x}+3$

Відповідь

1. Домен:$(-\infty, \infty)$; Діапазон:$(-3, \infty)$

3. Домен:$(-\infty, \infty)$; Діапазон:$(0, \infty)$

5. Домен:$(-\infty, \infty)$; Діапазон:$(1, \infty)$

7. Домен:$(-\infty, \infty)$; Діапазон:$(-\infty, 0)$

9. Домен:$(-\infty, \infty)$; Діапазон:$(-\infty, 0)$

Вправа$\PageIndex{9}$

Джим інвестував $$750$ в$3$ -річний компакт-диск, який заробляє$4.2$% річних відсотків, які посилюються щомісяця. Скільки буде коштувати компакт-диск наприкінці терміну$3$ -year?
Хосе інвестував $$2,450$ в$4$ -річний компакт-диск, який заробляє$3.6$% річних відсотків, що посилюється півроку. Скільки буде коштувати компакт-диск наприкінці терміну$4$ -year?
Джейн має свої$5,350$ заощадження $ на рахунку, який заробляє$3 \frac{5}{8}$% річних відсотків, який збільшується щоквартально. Скільки буде на рахунку в кінці$5$ років?
Білл має $ на$12,400$ звичайному ощадному рахунку, який заробляє$4 \frac{2}{3}$% річних відсотків, який збільшується щомісяця. Скільки буде на рахунку в кінці$3$ років?
Якщо $$85,200$ інвестується в рахунок, що заробляє$5.8$% річних відсотків, що складаються щоквартально, то скільки відсотків нараховується в перші$3$ роки?
Якщо $$124,000$ інвестується в рахунок, що заробляє$4.6$% річних відсотків, що складаються щомісяця, то скільки відсотків нараховується в перші$2$ роки?
Білл інвестував $$1,400$ в$3$ -річний компакт-диск, який заробляє$4.2$% річних відсотків, які постійно посилюються. Скільки буде коштувати компакт-диск наприкінці терміну$3$ -year?
Бруклін інвестував $$2,850$ в$5$ -річний компакт-диск, який заробляє$5.3$% річних відсотків, які постійно посилюються. Скільки буде коштувати компакт-диск наприкінці терміну$5$ -year?
Омар має свої$4,200$ заощадження $ на рахунку, який заробляє$4 \frac{3}{8}$% річних відсотків, який постійно посилюється. Скільки буде на рахунку в кінці$2 \frac{1}{2}$ років?
Ненсі має свої$8,325$ заощадження $ на рахунку, який заробляє$5 \frac{7}{8}$% річних відсотків, який постійно посилюється. Скільки буде на рахунку в кінці$5 \frac{1}{2}$ років?
Якщо $$12,500$ інвестується в рахунок, який заробляє$3.8$% річних відсотків, що складаються безперервно, то скільки відсотків нараховується в перші$10$ роки?
Якщо $$220,000$ інвестується в рахунок, який заробляє$4.5$% річних відсотків, що складаються безперервно, то скільки відсотків нараховується в перші$2$ роки?
Населення певного невеликого міста зростає відповідно до функції,$P (t) = 12,500(1.02)^{t}$ де$t$ представляє час у роках з моменту останнього перепису населення. Використовуйте функцію для визначення чисельності населення в день перепису (коли$t = 0$) і оцінити чисельність населення в$6$ роках з того часу.
Населення певного невеликого міста зменшується відповідно до функції,$P (t) = 22,300(0.982)^{t}$ де$t$ представляє час у роках з моменту останнього перепису населення. Використовуйте функцію для визначення чисельності населення в день перепису (коли$t = 0$) і оцінити чисельність населення в$6$ роках з того часу.
Зниження вартості нового автомобіля в доларах моделюється за формулою,$V (t) = 28,000(0.84)^{t}$$t$ де відображається кількість років після придбання автомобіля. Використовуйте формулу для визначення вартості автомобіля, коли він був новим ($t = 0$) і значення через$4$ роки.
Кількість унікальних відвідувачів веб-сайту коледжу можна наблизити за формулою,$N (t) = 410(1.32)^{t}$ де$t$ відображається кількість років після 1997 року, коли веб-сайт був створений. Орієнтовна кількість унікальних відвідувачів сайту коледжу в 2020 році.
Якщо його не контролювати, новий штам вірусу грипу може дуже швидко поширитися від однієї людини до інших. Кількість постраждалих людей може бути змодельована за допомогою формули,$P(t)=e^{0.22 t}$$t$ де відображається кількість днів, коли вірус може поширюватися безконтрольно. Оцініть кількість людей, заражених вірусом через$30$ дні і через$60$ дні.
Якщо залишити без уваги, популяція$24$ диких англійських кроликів може рости за формулою,$P(t)=24 e^{0.19 t}$ де час$t$ вимірюється місяцями. Скільки кроликів буде присутнім через$3 \frac{1}{2}$ роки?
Населення певного міста в 1975 році було$65,000$ людьми і зростало в геометричній прогресії з річним темпом$1.7$%. У той час приріст населення моделювався за формулою,$P (t) = 65,000e^{0.017t}$ де було$t$ представлено кількість років з 1975 року. У 2000 році перепис визначила, що фактичне населення - це$104,250$ люди. Яку популяцію прогнозувала модель на 2000 рік і яка була фактична помилка?
Через радіоактивного розпаду кількість$10$ міліграмової проби йоду-131 зменшується за формулою,$A (t) = 10e^{−0.087t}$ де$t$ представляє час, виміряний у днях. Скільки зразка залишається через кілька$10$ днів?
Кількість клітин у зразку бактерій апроксимується логістичною моделлю росту,$N(t)=\frac{1.2 \times 10^{5}}{1+9 e^{-0.32 t}}$ де$t$ відображається час у годині. Визначте початкову кількість клітин, а потім визначте кількість клітин через$6$ години.
Частка ринку товару у відсотках наближається за формулою,$P(t)=\frac{100}{2+e^{-0.44 t}}$ де$t$ відображається кількість місяців після запуску агресивної рекламної кампанії. На скільки можна очікувати збільшення частки ринку після перших трьох місяців реклами?

Відповідь

1. $$850.52$

3. $$6,407.89$

5. $$16,066.13$

7. $$1,588.00$

9. $$4,685.44$

11. $$5,778.56$

13. Початкова чисельність населення:$12,500$; Населення через$6$ роки:$14,077$

15. Нове: $$28,000$; У$4$ роках: $$13,940.40$

17. Після$30$ днів:$735$ люди; Після$60$ днів:$540,365$ люди

19. Модель:$99,423$ люди; помилка:$4,827$ люди

21. Спочатку з'являються$12,000$ клітини, а через$6$ години з'являються$51,736$ клітини.

Вправа$\PageIndex{10}$

Чому$b = 1$ виключається як база при визначенні експоненціальних функцій? Поясніть.
Поясніть, чому експоненціальна функція форми ніколи не$y = b^{x}$ може бути негативною.
Дослідження та обговорення виведення складної процентної формули.
Досліджуйте та обговоріть модель логістичного зростання. Надайте посилання на додаткову інформацію по цій темі.
Досліджуйте та обговоріть життя та внески Леонарда Ейлера.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

3. Відповідь може відрізнятися

5. Відповідь може відрізнятися

Виноски

⁵ Будь-яка функція з визначенням форми$f (x) = b^{x}$ де$b > 0$ і$b ≠ 1$.

⁶ Формула, яка дає суму, накопичену шляхом заробітку відсотків на основну суму та відсотки з плином часу:$A(t)=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}$.

⁷ Формула, яка дає суму, накопичену шляхом заробітку постійно посилюються відсотки:$A (t) = Pe^{rt}$.

\(x\)	\(y\)	\(f(x)=2^{x}\)	\(\color{Cerulean}{Solutions}\)
\ (x\) ">\(-2\)	\ (y\) ">\(\color{Cerulean}{\frac{1}{4}}\)	\ (f (x) =2^ {x}\) ">\(y=2^{-2}=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}\)	\ (\ color {Кольорове} {Рішення}\) ">\(\left(-2, \frac{1}{4}\right)\)
\ (x\) ">\(-1\)	\ (y\) ">\(\color{Cerulean}{\frac{1}{2}}\)	\ (f (x) =2^ {x}\) ">\(y=2^{-1}=\frac{1}{2^{1}}=\frac{1}{2}\)	\ (\ color {Кольорове} {Рішення}\) ">\(\left(-1, \frac{1}{2}\right)\)
\ (x\) ">\(0\)	\ (y\) ">\(\color{Cerulean}{1} \)	\ (f (x) =2^ {x}\) ">\(y=2^{0}=1\)	\ (\ color {Кольорове} {Рішення}\) ">\((0,1)\)
\ (x\) ">\(1\)	\ (y\) ">\(\color{Cerulean}{2}\)	\ (f (x) =2^ {x}\) ">\(y=2^{1}=2\)	\ (\ color {Кольорове} {Рішення}\) ">\((1,2)\)
\ (x\) ">\(2\)	\ (y\) ">\(\color{Cerulean}{4}\)	\ (f (x) =2^ {x}\) ">\(y=2^{2}=4\)	\ (\ color {Кольорове} {Рішення}\) ">\((2,4)\)
\ (x\) ">\(\sqrt{7}\)	\ (y\) ">\(\color{Cerulean}{6.26}\)	\ (f (x) =2^ {x}\) ">\(y=2^{\sqrt{7}} \approx 6.26\)	\ (\ color {Кольорове} {Рішення}\) ">\((2.65,6.26)\)

\(x\)	\(y\)	\(f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\)	\(\color{Cerulean}{Solutions} \)
\ (x\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">\(-2\)	\ (y\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">\(\color{Cerulean}{4} \)	\ (f (x) =\ ліворуч (\ frac {1} {2}\ праворуч) ^ {x}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">\(f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=\frac{1^{-2}}{2^{-2}}=\frac{2^{2}}{1^{2}}=4\)	\ (\ color {Cerulean} {Рішення}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">\((-2,4)\)
\ (x\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">\(-1\)	\ (y\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">\(\color{Cerulean}{2}\)	\ (f (x) =\ ліворуч (\ frac {1} {2}\ праворуч) ^ {x}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">\(f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=\frac{1^{-1}}{2^{-1}}=\frac{2^{1}}{1^{1}}=2\)	\ (\ color {Cerulean} {Рішення}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">\((-1,2)\)
\ (x\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">\(0\)	\ (y\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">\(\color{Cerulean}{1}\)	\ (f (x) =\ ліворуч (\ frac {1} {2}\ праворуч) ^ {x}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">\(f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{0}=1\)	\ (\ color {Cerulean} {Рішення}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">\((0,1)\)
\ (x\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">\(1\)	\ (y\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">\(\color{Cerulean}{\frac{1}{2}}\)	\ (f (x) =\ ліворуч (\ frac {1} {2}\ праворуч) ^ {x}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">\(f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{1}=\frac{1}{2}\)	\ (\ color {Cerulean} {Рішення}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">\(\left(1, \frac{1}{2}\right)\)
\ (x\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">\(2\)	\ (y\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">\(\color{Cerulean}{\frac{1}{4}}\)	\ (f (x) =\ ліворуч (\ frac {1} {2}\ праворуч) ^ {x}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">\(f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}\)	\ (\ color {Cerulean} {Рішення}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">\(\left(2, \frac{1}{4}\right)\)

\(x\)	\(y\)	\(f(x)=e^{x}\)	\(\color{Cerulean}{Solutions} \)
\ (x\) ">\(-2\)	\ (y\) ">\(\color{Cerulean}{0.14}\)	\ (f (x) =e^ {x}\) ">\(f(-2)=e^{-2}=0.14\)	\ (\ color {Кольорове} {Рішення}\) ">\((-2,0.14)\)
\ (x\) ">\(-1\)	\ (y\) ">\(\color{Cerulean}{0.37}\)	\ (f (x) =e^ {x}\) ">\(f(-1)=e^{-1}=0.37\)	\ (\ color {Кольорове} {Рішення}\) ">\((-1,0.37)\)
\ (x\) ">\(0\)	\ (y\) ">\(\color{Cerulean}{1}\)	\ (f (x) =e^ {x}\) ">\(f(0)=e^{0}=1\)	\ (\ color {Кольорове} {Рішення}\) ">\((0,1)\)
\ (x\) ">\(1\)	\ (y\) ">\(\color{Cerulean}{2.72}\)	\ (f (x) =e^ {x}\) ">\(f(1)=e^{1}=2.72\)	\ (\ color {Кольорове} {Рішення}\) ">\((1,2.72)\)
\ (x\) ">\(2\)	\ (y\) ">\(\color{Cerulean}{7.39}\)	\ (f (x) =e^ {x}\) ">\(f(2)=e^{2}=7.39\)	\ (\ color {Кольорове} {Рішення}\) ">\((2,7.39)\)

Річне компаундування	\(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\)
Щорічно\((n=1)\)	\ (\ ліворуч (1+\ frac {1} {n}\ праворуч) ^ {n}\) ">\(\color{black}{\left(1+\frac{1}{\color{Cerulean}{1}}\right)}^{\color{Cerulean}{1}}\color{black}{=}2\)
Півроку\((n=2)\)	\ (\ ліворуч (1+\ frac {1} {n}\ праворуч) ^ {n}\) ">\(\color{black}{\left(1+\frac{1}{\color{Cerulean}{2}}\right)}^{\color{Cerulean}{2}}\color{black}{=}2.25\)
Квартально\((n=4)\)	\ (\ ліворуч (1+\ frac {1} {n}\ праворуч) ^ {n}\) ">\(\color{black}{\left(1+\frac{1}{\color{Cerulean}{4}}\right)}^{\color{Cerulean}{4}}\color{black}{≈}2.44140\)
Щомісячно\((n=12)\)	\ (\ ліворуч (1+\ frac {1} {n}\ праворуч) ^ {n}\) ">\(\color{black}{\left(1+\frac{1}{\color{Cerulean}{12}}\right)}^{\color{Cerulean}{12}}\color{black}{≈}2.61304\)
Щотижневий\((n=52)\)	\ (\ ліворуч (1+\ frac {1} {n}\ праворуч) ^ {n}\) ">\(\color{black}{\left(1+\frac{1}{\color{Cerulean}{52}}\right)}^{\color{Cerulean}{52}}\color{black}{≈}2.69260\)
Щодня\((n=365)\)	\ (\ ліворуч (1+\ frac {1} {n}\ праворуч) ^ {n}\) ">\(\color{black}{\left(1+\frac{1}{\color{Cerulean}{365}}\right)}^{\color{Cerulean}{365}}\color{black}{≈}2.71457\)
Погодинно\((n=8760)\)	\ (\ ліворуч (1+\ frac {1} {n}\ праворуч) ^ {n}\) ">\(\color{black}{\left(1+\frac{1}{\color{Cerulean}{8760}}\right)}^{\color{Cerulean}{8760}}\color{black}{≈}2.71813\)