6.1: Вилучення квадратних коренів та завершення квадрата

Цілі навчання

• Вирішити певні квадратні рівняння шляхом вилучення квадратних коренів.
• Вирішіть будь-яке квадратне рівняння, заповнивши квадрат.

Витяг квадратних коренів

Нагадаємо, що квадратне рівняння має стандартну форму ¹, якщо воно дорівнює\(0\):

\(a x ^ { 2 } + b x + c = 0\)

де\(a, b\), і\(c\) є дійсними числами і\(a ≠ 0\). Розв'язком такого рівняння є корінь квадратичної функції, визначеної\(f (x) = ax^{2} + bx + c\). Квадратні рівняння можуть мати два дійсні розв'язки, одне дійсне рішення або не мати дійсного розв'язку - у цьому випадку буде два комплексні розв'язки. Якщо квадратичні коефіцієнти вираження, то ми можемо вирішити рівняння шляхом факторингу. Наприклад, ми можемо вирішити\(4x^{2} − 9 = 0\) факторингом наступним чином:

\(\begin{aligned} 4 x ^ { 2 } - 9 & = 0 \\ ( 2 x + 3 ) ( 2 x - 3 ) & = 0 \end{aligned}\)

\(\begin{array} { c } { 2 x + 3 = 0 \quad \text { or }\quad 2 x - 3 = 0 } \\ { 2 x = - 3 \quad \quad\:\:\:2 x = 3 } \\ { x = - \frac { 3 } { 2 } \quad\quad\:\:\:\: x = \frac { 3 } { 2 } } \end{array}\)

Два рішення є\(± \frac{3}{2}\). Тут ми використовуємо\(±\) для написання двох рішень в більш компактному вигляді. Мета в цьому розділі полягає в розробці альтернативного методу, який може бути використаний для легкого вирішення рівнянь де\(b = 0\), надаючи форму

\(a x ^ { 2 } + c = 0\)

Рівняння\(4x^{2} − 9 = 0\) знаходиться в такому вигляді і може бути вирішено за допомогою першої ізоляції\(x^{2}\).

\(\begin{aligned} 4 x ^ { 2 } - 9 & = 0 \\ 4 x ^ { 2 } & = 9 \\ x ^ { 2 } & = \frac { 9 } { 4 } \end{aligned}\)

Якщо взяти квадратний корінь обох сторін цього рівняння, то отримаємо наступне:

\(\begin{aligned} \sqrt { x ^ { 2 } } & = \sqrt { \frac { 9 } { 4 } } \\ | x | & = \frac { 3 } { 2 } \end{aligned}\)

Тут ми бачимо, що\(x = ± \frac{3}{2}\) є розв'язками отриманого рівняння. Загалом, це описує властивість квадратного кореня ²; для будь-якого дійсного числа\(k\),

\(\text{If}\quad x ^ { 2 } = k , \quad \text { then } \quad x = \pm \sqrt { k }\)

Застосування властивості квадратного кореня як засобу вирішення квадратного рівняння називається вилученням кореня ³. Цей метод дозволяє вирішувати рівняння, які не мають фактора.

Приклад\(\PageIndex{1}\):

Вирішити:\(9 x ^ { 2 } - 8 = 0\).

Рішення

Зверніть увагу, що квадратичний вираз зліва не фактор. Однак це у формі,\(ax^{2} + c = 0\) і тому ми можемо вирішити це, витягнувши коріння. Почніть з ізоляції\(x^{2}\).

\(\begin{aligned} 9 x ^ { 2 } - 8 & = 0 \\ 9 x ^ { 2 } & = 8 \\ x ^ { 2 } & = \frac { 8 } { 9 } \end{aligned}\)

Далі застосовуємо властивість квадратного кореня. Не забудьте включити\(±\) і спростити.

\(\begin{aligned} x & = \pm \sqrt { \frac { 8 } { 9 } } \\ & = \pm \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } \end{aligned}\)

Для повноти перевірте, чи ці два реальні рішення вирішують вихідне квадратне рівняння.

Таблиця\(\PageIndex{1}\)

Перевірити\(x = - \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 }\)	Перевірити\(x = \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 }\)
\(\begin{aligned} 9 x ^ { 2 } - 8 & = 0 \\ 9 \left(\color{Cerulean}{ - \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 }} \right) ^ { \color{black}{2} } - 8 & = 0 \\ 9 \left( \frac { 4.2 } { 9 } \right) - 8 & = 0 \\ 8 - 8 & = 0 \\ 0 & = 0\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)	\(\begin{aligned} 9 x ^ { 2 } - 8 & = 0 \\ 9 \left(\color{Cerulean}{ \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 }} \right) ^ { \color{black}{2} } - 8 & = 0 \\ 9 \left( \frac { 4.2 } { 9 } \right) - 8 & = 0 \\ 8 - 8 & = 0 \\ 0 & = 0\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)

Відповідь:

Два реальних рішення,\(\pm \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 }\)

Іноді квадратні рівняння не мають реального рішення. У цьому випадку розв'язками будуть комплексні числа.

Приклад\(\PageIndex{2}\):

Вирішити:\(x^{2}+25=0\).

Рішення

Почніть з ізоляції,\(x^{2}\) а потім застосуйте властивість квадратного кореня.

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } + 25 & = 0 \\ x ^ { 2 } & = - 25 \\ x & = \pm \sqrt { - 25 } \end{aligned}\)

Після застосування властивості square root нам залишається квадратний корінь від'ємного числа. Тому реального рішення цього рівняння не існує; розв'язки є складними. Ми можемо записати ці рішення в терміні уявної одиниці\(i = \sqrt { - 1 }\).

\(\begin{aligned} x & = \pm \sqrt { - 25 } \\ & = \pm \sqrt { - 1 \cdot 25 } \\ & = \pm i \cdot 5 \\ & = \pm 5 i \end{aligned}\)

Таблиця\(\PageIndex{2}\)

Перевірити\(x=-5i\)	Перевірити\(x=5i\)
\(\begin{aligned} x ^ { 2 } + 25 & = 0 \\ ( \color{Cerulean}{- 5 i}\color{black}{ )} ^ { 2 } + 25 & = 0 \\ 25 i ^ { 2 } + 25 & = 0 \\ 25 ( - 1 ) + 25 & = 0 \\ - 25 + 25 & = 0 \\ 0 & = 0\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)	\(\begin{aligned} x ^ { 2 } + 25 & = 0 \\ ( \color{Cerulean}{- 5 i}\color{black}{ )} ^ { 2 } + 25 & = 0 \\ 25 i ^ { 2 } + 25 & = 0 \\ 25 ( - 1 ) + 25 & = 0 \\ - 25 + 25 & = 0 \\ 0 & = 0\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)

Відповідь:

Два складних рішення,\(\pm 5 i\).

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вирішити:\(2x^{2}-3=0\).

Відповідь

Рішення є\(\pm \frac { \sqrt { 6 } } { 2 }\).

www.youtube.com/В/9FF7QGHFYTQ

Розглянемо рішення наступного рівняння:

\(( x + 5 ) ^ { 2 } = 9\)

Щоб вирішити це рівняння шляхом факторингу, спочатку квадрат,\(x + 5\) а потім ставлять рівняння в стандартному вигляді, рівному нулю, шляхом віднімання\(9\) з обох сторін.

\(\begin{aligned} ( x + 5 ) ^ { 2 } & = 9 \\ x ^ { 2 } + 10 x + 25 & = 9 \\ x ^ { 2 } + 10 x + 16 & = 0 \end{aligned}\)

Фактор, а потім застосувати властивість нульового добутку.

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } + 10 x + 16 & = 0 \\ ( x + 8 ) ( x + 2 ) & = 0 \\ x + 8 & = 0 \quad \quad\text { or }\quad x + 2 = 0 \\ x & = - 8 \quad \quad \quad\quad\quad\: x = - 2 \end{aligned}\)

Два рішення - це\(−8\) і\(−2\). Коли рівняння знаходиться в такій формі, ми можемо отримати рішення за меншу кількість кроків, витягуючи коріння.

Приклад\(\PageIndex{3}\):

Вирішити шляхом вилучення коренів:\(( x + 5 ) ^ { 2 } = 9\).

Рішення

Термін з квадратним коефіцієнтом ізольований, тому ми починаємо з застосування властивості квадратного кореня.

\(\begin{aligned} ( x + 5 ) ^ { 2 } & = 9 \quad\quad\quad\color{Cerulean}{}Apply\:the\:square\:root\:property. \\ x + 5 & = \pm \sqrt { 9 } \quad\:\:\color{Cerulean}{Simplify.}\\ x + 5 & = \pm \sqrt { 9 } \\ x & = - 5 \pm 3 \end{aligned}\)

У цей момент розділіть «плюс або мінус» на два рівняння і вирішите кожне окремо.

\(\begin{array} { l } { x = - 5 + 3 \quad\text { or } \quad x = - 5 - 3 } \\ { x = - 2 \quad\quad\quad \quad\quad x = - 8 } \end{array}\)

Відповідь:

Рішення є\(-2\) і\(-8\).

Крім меншої кількості кроків, цей метод дозволяє вирішувати рівняння, які не враховують.

Приклад\(\PageIndex{4}\):

Вирішити:\(2 ( x - 2 ) ^ { 2 } - 5 = 0\).

Рішення

Почніть з виділення терміна квадратним коефіцієнтом.

\(\begin{aligned} 2 ( x - 2 ) ^ { 2 } - 5 & = 0 \\ 2 ( x - 2 ) ^ { 2 } & = 5 \\ ( x - 2 ) ^ { 2 } & = \frac { 5 } { 2 } \end{aligned}\)

Далі витягуємо коріння, вирішуємо для\(x\), а потім спрощуємо.

\(\begin{aligned} x - 2 & = \pm \sqrt { \frac { 5 } { 2 } }\quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Rationalize\:the\:denominator.} \\ x & = 2 \pm \frac { \sqrt { 5 } } { \sqrt { 2 } } \cdot \color{Cerulean}{ \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { 2 } } }\\ x & = 2 \pm \frac { \sqrt { 10 } } { 2 } \\ x & = \frac { 4 \pm \sqrt { 10 } } { 2 } \end{aligned}\)

Відповідь:

Рішення є\(\frac { 4 - \sqrt { 10 } } { 2 }\) і\(\frac { 4 + \sqrt { 10 } } { 2 }\).

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вирішити:\(2 ( 3 x - 1 ) ^ { 2 } + 9 = 0\).

Відповідь

Рішення є\(\frac { 1 } { 3 } \pm \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } i\).

www.youtube.com/В/РРРРТФ3RW0

Завершення площі

У цьому розділі ми розробимо метод перезапису будь-якого квадратного рівняння виду

\(a x ^ { 2 } + b x + c = 0\)

як рівняння форми

\(( x - p ) ^ { 2 } = q\)

Цей процес називається завершенням квадрата ⁴. Як ми бачили, квадратні рівняння в такому вигляді можна легко вирішити шляхом вилучення коренів. Почнемо з розгляду ідеальних квадратних триномів:

\(\begin{aligned} ( x + 3 ) ^ { 2 } = x ^ { 2 } +\quad &6 x \quad\quad\quad+& 9 \\ &\color{Cerulean}{\downarrow}&\color{Cerulean}{\uparrow} \\ & \left( \frac { 6 } { 2 } \right) ^ { 2 } = ( 3 ) ^ { 2 } = &9 \end{aligned}\)

Останній термін\(9\),, - квадрат половини коефіцієнта\(x\). Взагалі, це справедливо для будь-якого ідеального квадратного триноміала форми\(x^{2} + bx + c\).

\(\begin{aligned} \left( x + \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 } & = x ^ { 2 } + 2 \cdot \frac { b } { 2 } x + \left( \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 } \\ & = x ^ { 2 } + b x + \left( \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 } \end{aligned}\)

Іншими словами, будь-який триноміал форми\(x^{2} + bx + c\) буде ідеальним квадратним триноміалом, якщо

\(c = \left( \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 }\)

Примітка

Важливо зазначити, що провідний коефіцієнт повинен дорівнювати, щоб\(1\) це було правдою.

Приклад\(\PageIndex{5}\):

Завершіть квадрат:\(x ^ { 2 } - 6 x + \color{Cerulean}{?}\color{black}{ =} ( x + \color{Cerulean}{?}\color{black}{ )} ^ { 2 }\).

Рішення

У цьому прикладі коефіцієнт\(b\) середньострокового дорівнює\(−6\). Знайти значення, яке завершує квадрат, наступним чином:

\(\left( \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 } = \left( \frac { - 6 } { 2 } \right) ^ { 2 } = ( - 3 ) ^ { 2 } = \color{Cerulean}{9}\)

Значення, яке завершує квадрат, дорівнює\(9\).

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } - 6 x \color{Cerulean}{+ 9} & \color{black}{=} ( x - 3 ) ( x - 3 ) \\ & = ( x - 3 ) ^ { 2 } \end{aligned}\)

Відповідь:

\(x ^ { 2 } - 6 x + 9 = ( x - 3 ) ^ { 2 }\)

Приклад\(\PageIndex{6}\):

Завершіть квадрат:\(x ^ { 2 } + x + \color{Cerulean}{?}\color{black}{ =} ( x + \color{Cerulean}{?}\color{black}{ )} ^ { 2 }\).

Рішення

Ось\(b=1\). Знайти значення, яке завершить квадрат, наступним чином:

\(\left( \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 } = \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } = \color{Cerulean}{\frac { 1 } { 4 }}\)

Значення\(\frac{1}{4}\) завершує квадрат:

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } + x \color{Cerulean}{+ \frac { 1 } { 4 }} & \color{black}{=} \left( x + \frac { 1 } { 2 } \right) \left( x + \frac { 1 } { 2 } \right) \\ & = \left( x + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \end{aligned}\)

Відповідь:

\(x ^ { 2 } + x + \frac { 1 } { 4 } = \left( x + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 }\)

Ми можемо використовувати цю методику для вирішення квадратних рівнянь. Ідея полягає в тому, щоб взяти будь-яке квадратне рівняння в стандартній формі і заповнити квадрат, щоб ми могли вирішити його, витягнувши коріння. Нижче наведені загальні кроки для вирішення квадратного рівняння з провідним коефіцієнтом 1 в стандартній формі шляхом заповнення квадрата.

Приклад\(\PageIndex{7}\):

Вирішіть, заповнивши квадрат:\(x ^ { 2 } - 8 x - 2 = 0\).

Рішення

Важливо зауважити, що провідним коефіцієнтом є\(1\).

Крок 1: Додайте або відніміть постійний член, щоб отримати рівняння виду\(x^{2} + bx = c\). Тут ми додаємо\(2\) до обох сторін рівняння.

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } - 8 x - 2 &= 0 \\ x ^ { 2 } - 8 x &= 2 \end{aligned}\)

Крок 2: Використовуйте\(\left( \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 }\) для визначення значення, яке завершує квадрат. В даному випадку,\(b = - 8\).

\(\left( \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 } = \left( \frac { - 8 } { 2 } \right) ^ { 2 } = ( - 4 ) ^ { 2 } = \color{Cerulean}{16}\)

Крок 3: Додайте\(\left( \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 }\) до обох сторін рівняння та заповніть квадрат.

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } - 8 x & = 2 \\ x ^ { 2 } - 8 x \color{Cerulean}{+ 16} & \color{black}{=} 2 \color{Cerulean}{+ 16} \\ ( x - 4 ) ( x - 4 ) &= 18 \\ ( x - 4 ) ^ { 2 } & = 18 \end{aligned}\)

Крок 4: Вирішіть шляхом вилучення коренів.

\(\begin{aligned} ( x - 4 ) ^ { 2 } & = 18 \\ x - 4 & = \pm \sqrt { 18 } \\ x & = 4 \pm \sqrt { 9 \cdot 2 } \\ x & = 4 \pm 3 \sqrt { 2 } \end{aligned}\)

Відповідь:

Рішення є\(4 - 3 \sqrt { 2 }\) і\(4 + 3 \sqrt { 2 }\). Чек залишається на розгляд зчитувача.

Приклад\(\PageIndex{8}\):

Вирішіть, заповнивши квадрат:\(x ^ { 2 } + 2 x - 48 = 0\).

Рішення

Почніть\(48\) з додавання в обидві сторони

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } + 2 x - 48 &= 0 \\ x ^ { 2 } + 2 x &= 48 \end{aligned}\)

Далі знайдіть значення, яке завершує квадрат за допомогою\(b = 2\).

\(\left( \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 } = \left( \frac { 2 } { 2 } \right) ^ { 2 } = ( 1 ) ^ { 2 } = \color{Cerulean}{1}\)

Щоб завершити квадрат, додайте\(1\) в обидві сторони, завершіть квадрат, а потім вирішіть, витягнувши коріння.

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } + 2 x &= 48\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Complete\:the\:square.} \\ x ^ { 2 } + 2 x \color{Cerulean}{+ 1} &\color{black}{=} 48 \color{Cerulean}{+ 1} \\ ( x + 1 ) ( x + 1 ) &= 49 \\ ( x + 1 ) ^ { 2 } &= 49 \quad\quad\quad\color{Cerulean}{Extract\:the\:roots.} \\ x + 1 &= \pm \sqrt { 49 } \\ x + 1 &= \pm 7 \\ x &= - 1 \pm 7 \end{aligned}\)

У цей момент розділіть «плюс або мінус» на два рівняння і вирішите кожне окремо.

\(\begin{array} { l } { x = - 1 - 7 \text { or } x = - 1 + 7 } \\ { x = - 8 \quad\quad\quad x = 6 } \end{array}\)

Відповідь:

Рішення є\(-8\) і\(6\).

Примітка

У попередньому прикладі розв'язки є цілими числами. Якщо це так, то вихідне рівняння буде коефіцієнтом.

\(\begin{array} { c } { x ^ { 2 } + 2 x - 48 = 0 } \\ { ( x - 6 ) ( x + 8 ) = 0 } \end{array}\)

Якщо рівняння коефіцієнтів, ми можемо вирішити його шляхом факторингу. Однак не всі квадратні рівняння будуть факторами. Крім того, рівняння часто мають складні рішення.

Приклад\(\PageIndex{9}\):

Вирішіть, заповнивши квадрат:\(x ^ { 2 } - 10 x + 26 = 0\).

Рішення

Почніть з віднімання\(26\) з обох сторін рівняння.

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } - 10 x + 26 & = 0 \\ x ^ { 2 } - 10 x & = - 26 \end{aligned}\)

Тут і визначаємо значення\(b=-10\), яке завершує квадрат наступним чином:

\(\left( \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 } = \left( \frac { - 10 } { 2 } \right) ^ { 2 } = ( - 5 ) ^ { 2 } = \color{Cerulean}{25}\)

Щоб завершити квадрат, додайте\(25\) до обох сторін рівняння.

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } - 10 x & = - 26 \\ x ^ { 2 } - 10 x \color{Cerulean}{+ 25} & \color{black}{=} - 26 + \color{Cerulean}{25} \\ x ^ { 2 } - 10 x \color{Cerulean}{+ 25} & \color{black}{=} - 1 \end{aligned}\)

Фактор і потім вирішують шляхом вилучення коренів.

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } - 10 x + 25 & = - 1 \\ ( x - 5 ) ( x - 5 ) & = - 1 \\ ( x - 5 ) ^ { 2 } & = - 1 \\ x - 5 & = \pm \sqrt { - 1 } \\ x - 5 & = \pm i \\ x & = 5 \pm i \end{aligned}\)

Відповідь:

Рішення є\(5 \pm i\).

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вирішіть, заповнивши квадрат:\(x ^ { 2 } - 2 x - 17 = 0\).

Відповідь

Рішення є\(x = 1 \pm 3 \sqrt { 2 }\).

www.youtube.com/В/I8WVWPE-CT0

\(x\)Коефіцієнт не завжди ділиться на\(2\).

Приклад\(\PageIndex{10}\):

Вирішіть, заповнивши квадрат:\(x^{2} + 3x+4=0\).

Рішення

Почніть з віднімання\(4\) з обох сторін.

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } + 3 x + 4 &= 0 \\ x ^ { 2 } + 3 x &= - 4 \end{aligned}\)

Використовуйте\(b=3\) для пошуку значення, яке завершує квадрат:

\(\left( \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 } = \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } = \color{Cerulean}{\frac { 9 } { 4 }}\)

Щоб завершити квадрат, додайте\(\frac{9}{4}\) до обох сторін рівняння.

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } + 3 x & = - 4 \\ x ^ { 2 } + 3 x \color{Cerulean}{+ \frac { 9 } { 4 }} & \color{black}{=} - 4 + \color{Cerulean}{\frac { 9 } { 4 }} \\ \left( x + \frac { 3 } { 2 } \right) \left( x + \frac { 3 } { 2 } \right) & = \frac { - 16 } { 4 } + \frac { 9 } { 4 } \\ \left( x + \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } & = \frac { - 7 } { 4 } \end{aligned}\)

Вирішити шляхом вилучення коренів.

\(\begin{aligned} \left( x + \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } & = - \frac { 7 } { 4 } \\ x + \frac { 3 } { 2 } & = \pm \sqrt { \frac { - 1 \cdot 7 } { 4 } } \\ x + \frac { 3 } { 2 } & = \pm \frac { i \sqrt { 7 } } { 2 } \\ x & = - \frac { 3 } { 2 } \pm \frac { \sqrt { 7 } } { 2 } i \end{aligned}\)

Відповідь:

Рішення є\(- \frac { 3 } { 2 } \pm \frac { \sqrt { 7 } } { 2 } i\).

Поки що всі приклади мали провідний коефіцієнт\(1\). Формула\(\left( \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 }\) визначає значення, яке завершує квадрат, тільки якщо провідний коефіцієнт дорівнює\(1\). Якщо це не так, то просто розділіть обидві сторони на провідний коефіцієнт перед початком кроків, намічених для завершення квадрата.

Приклад\(\PageIndex{11}\):

Вирішіть, заповнивши квадрат:\(2 x ^ { 2 } + 5 x - 1 = 0\).

Рішення

Зверніть увагу, що провідний коефіцієнт є\(2\). Тому розділіть обидві сторони на\(2\) перед початком кроків, необхідних для вирішення, виконавши квадрат.

\(\begin{array} { c } { \frac { 2 x ^ { 2 } + 5 x - 1 } {\color{Cerulean}{ 2} } \color{black}{=} \frac { 0 } { \color{Cerulean}{2} } } \\ { \frac { 2 x ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 5 x } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } = 0 } \\ { x ^ { 2 } + \frac { 5 } { 2 } x - \frac { 1 } { 2 } = 0 } \end{array}\)

Додайте\(\frac{1}{2}\) до обох сторін рівняння.

\(\begin{array} { r } { x ^ { 2 } + \frac { 5 } { 2 } x - \frac { 1 } { 2 } = 0 } \\ { x ^ { 2 } + \frac { 5 } { 2 } x = \frac { 1 } { 2 } } \end{array}\)

Тут і\(b=\frac{5}{2}\) ми можемо знайти значення, яке завершує квадрат наступним чином:

\(\left( \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 } = \left( \frac {\color{OliveGreen}{ 5 / 2} } {\color{black}{ }2 } \right) ^ { 2 } = \left( \frac { 5 } { 2 } \cdot \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } = \left( \frac { 5 } { 4 } \right) ^ { 2 } = \color{Cerulean}{\frac { 25 } { 16 }}\)

Щоб завершити квадрат, додайте\(\frac{25}{16}\) до обох сторін рівняння.

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } + \frac { 5 } { 2 } x &= \frac { 1 } { 2 } \\ x ^ { 2 } + \frac { 5 } { 2 } x \color{Cerulean}{+ \frac { 25 } { 16 }} &\color{black}{=} \frac { 1 } { 2 } \color{Cerulean}{+ \frac { 25 } { 16 }} \\ \left( x + \frac { 5 } { 4 } \right) \left( x + \frac { 5 } { 4 } \right) &= \frac { 8 } { 16 } + \frac { 25 } { 16 } \\ \left( x + \frac { 5 } { 4 } \right) ^ { 2 } &= \frac { 33 } { 16 } \end{aligned}\)

Далі вирішують шляхом вилучення коренів.

\(\begin{aligned} \left( x + \frac { 5 } { 4 } \right) ^ { 2 } & = \frac { 33 } { 16 } \\ x + \frac { 5 } { 4 } & = \pm \sqrt { \frac { 33 } { 16 } } \\ x + \frac { 5 } { 4 } & = \pm \frac { \sqrt { 33 } } { 4 } \\ x & = - \frac { 5 } { 4 } \pm \frac { \sqrt { 33 } } { 4 } \\ x & = \frac { - 5 \pm \sqrt { 33 } } { 4 } \end{aligned}\)

Відповідь:

Рішення є\(\frac { - 5 \pm \sqrt { 33 } } { 4 }\).

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Вирішіть, заповнивши квадрат:\(3 x ^ { 2 } - 2 x + 1 = 0\).

Відповідь

Рішення є\(x = \frac { 1 } { 3 } \pm \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } i\)

www.youtube.com/В/А-І6ЛККнмти

Ключові виноси

• Вирішити рівняння форми\(ax^{2} + c = 0\) шляхом вилучення коренів.
• Вилучення коренів передбачає ізоляцію квадрата, а потім застосування властивості квадратного кореня. Не забудьте включити «\(±\)», коли берете квадратний корінь з обох сторін.
• Після застосування властивості квадратного кореня вирішіть кожне з отриманих рівнянь. Обов'язково спростіть всі радикальні вирази і раціоналізуйте знаменник при необхідності.
• Вирішіть будь-яке квадратне рівняння, заповнивши квадрат.
• Ви можете застосувати властивість квадратного кореня для вирішення рівняння, якщо ви можете спочатку перетворити рівняння у форму\((x − p)^{2} = q\).
• Щоб завершити квадрат, спочатку переконайтеся, що рівняння має форму\(x^{2} + bx = c\). Провідний коефіцієнт повинен бути\(1\). Потім додайте значення\(\left( \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 }\) в обидві сторони і коефіцієнт.
• Процес завершення квадрата працює завжди, але може привести до якихось виснажливих розрахунків з дробами. Це той випадок, коли середній термін,\(b\), не ділиться на\(2\).

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вирішити шляхом факторингу, а потім вирішити шляхом вилучення коренів. Перевірте відповіді.

1. \(x ^ { 2 } - 16 = 0\)
2. \(x ^ { 2 } - 36 = 0\)
3. \(9 y ^ { 2 } - 1 = 0\)
4. \(4 y ^ { 2 } - 25 = 0\)
5. \(( x - 2 ) ^ { 2 } - 1 = 0\)
6. \(( x + 1 ) ^ { 2 } - 4 = 0\)
7. \(4 ( y - 2 ) ^ { 2 } - 9 = 0\)
8. \(9 ( y + 1 ) ^ { 2 } - 4 = 0\)
9. \(( u - 5 ) ^ { 2 } - 25 = 0\)
10. \(( u + 2 ) ^ { 2 } - 4 = 0\)

Відповідь

1. \(-4,4\)

3. \(- \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 3 }\)

5. \(1, 3\)

7. \(\frac { 1 } { 2 } , \frac { 7 } { 2 }\)

9.\ (0,10)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Вирішити шляхом вилучення коренів.

1. \(x ^ { 2 } = 81\)
2. \(x ^ { 2 } = 1\)
3. \(y ^ { 2 } = \frac { 1 } { 9 }\)
4. \(y ^ { 2 } = \frac { 1 } { 16 }\)
5. \(x ^ { 2 } = 12\)
6. \(x ^ { 2 } = 18\)
7. \(16 x ^ { 2 } = 9\)
8. \(4 x ^ { 2 } = 25\)
9. \(2 t ^ { 2 } = 1\)
10. \(3 t ^ { 2 } = 2\)
11. \(x ^ { 2 } - 40 = 0\)
12. \(x ^ { 2 } - 24 = 0\)
13. \(x ^ { 2 } + 1 = 0\)
14. \(x ^ { 2 } + 100 = 0\)
15. \(5 x ^ { 2 } - 1 = 0\)
16. \(6 x ^ { 2 } - 5 = 0\)
17. \(8 x ^ { 2 } + 1 = 0\)
18. \(12 x ^ { 2 } + 5 = 0\)
19. \(y ^ { 2 } + 4 = 0\)
20. \(y ^ { 2 } + 1 = 0\)
21. \(x ^ { 2 } - \frac { 4 } { 9 } = 0\)
22. \(x ^ { 2 } - \frac { 9 } { 25 } = 0\)
23. \(x ^ { 2 } - 8 = 0\)
24. \(t ^ { 2 } - 18 = 0\)
25. \(x ^ { 2 } + 8 = 0\)
26. \(x ^ { 2 } + 125 = 0\)
27. \(5 y ^ { 2 } - 2 = 0\)
28. \(3 x ^ { 2 } - 1 = 0\)
29. \(( x + 7 ) ^ { 2 } - 4 = 0\)
30. \(( x + 9 ) ^ { 2 } - 36 = 0\)
31. \(( x - 5 ) ^ { 2 } - 20 = 0\)
32. \(( x + 1 ) ^ { 2 } - 28 = 0\)
33. \(( 3 t + 2 ) ^ { 2 } + 6 = 0\)
34. \(( 3 t - 5 ) ^ { 2 } + 10 = 0\)
35. \(4 ( 3 x + 1 ) ^ { 2 } - 27 = 0\)
36. \(9 ( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - 8 = 0\)
37. \(2 ( 3 x - 1 ) ^ { 2 } + 3 = 0\)
38. \(5 ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } + 2 = 0\)
39. \(3 \left( y - \frac { 2 } { 3 } \right) ^ { 2 } - \frac { 3 } { 2 } = 0\)
40. \(2 \left( 3 y - \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { 2 } - \frac { 5 } { 2 } = 0\)
41. \(- 3 ( t - 1 ) ^ { 2 } + 12 = 0\)
42. \(- 2 ( t + 1 ) ^ { 2 } + 8 = 0\)
43. Вирішити для\(x : p x ^ { 2 } - q = 0 , p , q > 0\)
44. Вирішити для\(x ( x - p ) ^ { 2 } - q = 0 , p , q > 0\)
45. Діагональ квадрата вимірює\(3\) сантиметри. Знайдіть довжину кожної сторони.
46. Довжина прямокутника в два рази більше ширини. Якщо діагональ прямокутника вимірює\(10\) метри, то знайдіть розміри прямокутника.
47. Якщо коло має площу\(50π\) квадратних сантиметрів, то знайдіть його радіус.
48. Якщо квадрат має площу\(27\) квадратних сантиметрів, то знайдіть довжину кожної сторони.
49. Висота в футах об'єкта, скинутого з драбини\(18\) -фут\(h ( t ) = - 16 t ^ { 2 } + 18\), задається, де\(t\) представляє час у секундах після падіння об'єкта. Скільки часу потрібно об'єкту, щоб вдаритися об землю? (Підказка: Висота - це\(0\) коли об'єкт потрапляє на землю. Округлити до найближчої сотої частки секунди.)
50. Висота в футах об'єкта, що скидається з платформи\(50\) -foot\(h(t) = −16t^{2} + 50\), задається, де\(t\) представляє час у секундах після падіння об'єкта. Скільки часу потрібно об'єкту, щоб вдаритися об землю? (Округлення до найближчої сотої частки секунди.)
51. Наскільки високо досягає сходи\(22\) -фут, якщо її основа знаходиться в\(6\) ногах від будівлі, на якій вона спирається? Округлити до найближчої десятої частини фута.
52. Висота трикутника - це\(\frac{1}{2}\) довжина його підстави. Якщо площа трикутника дорівнює\(72\) квадратним метрам, знайдіть точну довжину підстави трикутника.

Відповідь

1. \(\pm 9\)

3. \(\pm \frac{1}{3}\)

5. \(\pm 2 \sqrt { 3 }\)

7. \(\pm \frac { 3 } { 4 }\)

9. \(\pm \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }\)

11. \(\pm 2 \sqrt { 10 }\)

13. \(\pm i\)

15. \(\pm \frac { \sqrt { 5 } } { 5 }\)

17. \(\pm \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } i\)

19. \(\pm 2 i\)

21. \(\pm \frac { 2 } { 3 }\)

23. \(\pm 2 \sqrt { 2 }\)

25. \(\pm 2 i \sqrt { 2 }\)

27. \(\pm \frac { \sqrt { 10 } } { 5 }\)

29. \(-9,-5\)

31. \(5 \pm 2 \sqrt { 5 }\)

33. \(- \frac { 2 } { 3 } \pm \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } i\)

35. \(\frac { - 2 \pm 3 \sqrt { 3 } } { 6 }\)

37. \(\frac { 1 } { 3 } \pm \frac { \sqrt { 6 } } { 6 } i\)

39. \(\frac { 4\pm 3 \sqrt { 2 } } { 6 }\)

41. \(-1,-3\)

43. \(x = \pm \frac { \sqrt { p q } } { p }\)

45. \(\frac { 3 \sqrt { 2 } } { 2 }\)сантиметри

47. \(5 \sqrt { 2 }\)сантиметри

49. \(1.06\)секунд

51. \(21.2\)ноги

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Доповніть квадрат.

1. \(x ^ { 2 } - 2 x + ? = ( x - ? ) ^ { 2 }\)
2. \(x ^ { 2 } - 4 x + ? = ( x - ? ) ^ { 2 }\)
3. \(x ^ { 2 } + 10 x + ? = ( x + ? ) ^ { 2 }\)
4. \(x ^ { 2 } + 12 x + ? = ( x + ? ) ^ { 2 }\)
5. \(x ^ { 2 } + 7 x + ? = ( x + ? ) ^ { 2 }\)
6. \(x ^ { 2 } + 5 x + ? = ( x + ? ) ^ { 2 }\)
7. \(x ^ { 2 } - x + ? = ( x - ? ) ^ { 2 }\)
8. \(x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } x + ? = ( x - ? ) ^ { 2 }\)
9. \(x ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } x + ? = ( x + ? ) ^ { 2 }\)
10. \(x ^ { 2 } + \frac { 4 } { 5 } x + ? = ( x + ? ) ^ { 2 }\)

Відповідь

1. \(x ^ { 2 } - 2 x + 1 = ( x - 1 ) ^ { 2 }\)

3. \(x ^ { 2 } + 10 x + 25 = ( x + 5 ) ^ { 2 }\)

5. \(x ^ { 2 } + 7 x + \frac { 49 } { 4 } = \left( x + \frac { 7 } { 2 } \right) ^ { 2 }\)

7. \(x ^ { 2 } - x + \frac { 1 } { 4 } = \left( x - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 }\)

9. \(x ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 1 } { 9 } = \left( x + \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { 2 }\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Вирішіть факторингом, а потім вирішуйте, заповнивши квадрат. Перевірте відповіді.

1. \(x ^ { 2 } + 2 x - 8 = 0\)
2. \(x ^ { 2 } - 8 x + 15 = 0\)
3. \(y ^ { 2 } + 2 y - 24 = 0\)
4. \(y ^ { 2 } - 12 y + 11 = 0\)
5. \(t ^ { 2 } + 3 t - 28 = 0\)
6. \(t ^ { 2 } - 7 t + 10 = 0\)
7. \(2 x ^ { 2 } + 3 x - 2 = 0\)
8. \(3 x ^ { 2 } - x - 2 = 0\)
9. \(2 y ^ { 2 } - y - 1 = 0\)
10. \(2 y ^ { 2 } + 7 y - 4 = 0\)

Відповідь

1. \(-4,2\)

3. \(-6,4\)

5. \(-7,4\)

7. \(-2,\frac{1}{2}\)

9. \(- \frac { 1 } { 2 } , 1\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Вирішіть, заповнивши квадрат.

1. \(x^{2}+6 x-1=0\)
2. \(x^{2}+8 x+10=0\)
3. \(x^{2}-2 x-7=0\)
4. \(x^{2}-6 x-3=0\)
5. \(y^{2}-2 y+4=0\)
6. \(y^{2}-4 y+9=0\)
7. \(t^{2}+10 t-75=0\)
8. \(t^{2}+12 t-108=0\)
9. \(u^{2}-\frac{2}{3} u-\frac{1}{3}=0\)
10. \(u^{2}-\frac{4}{5} u-\frac{1}{5}=0\)
11. \(x^{2}+x-1=0\)
12. \(x^{2}+x-3=0\)
13. \(y^{2}+3 y-2=0\)
14. \(y^{2}+5 y-3=0\)
15. \(x^{2}+3 x+5=0\)
16. \(x^{2}+x+1=0\)
17. \(x^{2}-7 x+\frac{11}{2}=0\)
18. \(x^{2}-9 x+\frac{3}{2}=0\)
19. \(t^{2}-\frac{1}{2} t-1=0\)
20. \(t^{2}-\frac{1}{3} t-2=0\)
21. \(4 x^{2}-8 x-1=0\)
22. \(2 x^{2}-4 x-3=0\)
23. \(3 x^{2}+6 x+1=0\)
24. \(5 x^{2}+10 x+2=0\)
25. \(3 x^{2}+2 x-3=0\)
26. \(5 x^{2}+2 x-5=0\)
27. \(4 x^{2}-12 x-15=0\)
28. \(2 x^{2}+4 x-43=0\)
29. \(2 x^{2}-4 x+10=0\)
30. \(6 x^{2}-24 x+42=0\)
31. \(2 x^{2}-x-2=0\)
32. \(2 x^{2}+3 x-1=0\)
33. \(3 u^{2}+2 u-2=0\)
34. \(3 u^{2}-u-1=0\)
35. \(x^{2}-4 x-1=15\)
36. \(x^{2}-12 x+8=-10\)
37. \(x(x+1)-11(x-2)=0\)
38. \((x+1)(x+7)-4(3 x+2)=0\)
39. \(y^{2}=(2 y+3)(y-1)-2(y-1)\)
40. \((2 y+5)(y-5)-y(y-8)=-24\)
41. \((t+2)^{2}=3(3 t+1)\)
42. \((3 t+2)(t-4)-(t-8)=1-10 t\)

Відповідь

1. \(-3 \pm \sqrt{10}\)

3. 1\(\pm 2 \sqrt{2}\)

5. 1\(\pm i \sqrt{3}\)

7. \(-15,5\)

9. \(-\frac{1}{3}, 1\)

11. \(\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\)

13. \(\frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}\)

15. \(-\frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{11}}{2} i\)

17. \(\frac{7 \pm 3 \sqrt{3}}{2}\)

19. \(\frac{1 \pm \sqrt{17}}{4}\)

21. \(\frac{2 \pm \sqrt{5}}{2}\)

23. \(\frac{-3 \pm \sqrt{6}}{3}\)

25. \(\frac{-1 \pm \sqrt{10}}{3}\)

27. \(\frac{3 \pm 2 \sqrt{6}}{2}\)

29. 1\(\pm 2 i\)

31. \(\frac{1 \pm \sqrt{17}}{4}\)

33. \(\frac{-1 \pm \sqrt{7}}{3}\)

35. 2\(\pm 2 \sqrt{5}\)

37. 5\(\pm \sqrt{3}\)

39. \(\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\)

41. \(\frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Вирішіть, заповнивши квадрат і округляйте розчини до сотих.

1. \((2 x-1)^{2}=2 x\)
2. \((3 x-2)^{2}=5-15 x\)
3. \((2 x+1)(3 x+1)=9 x+4\)
4. \((3 x+1)(4 x-1)=17 x-4\)
5. \(9 x(x-1)-2(2 x-1)=-4 x\)
6. \((6 x+1)^{2}-6(6 x+1)=0\)

Відповідь

1. \(0.19,1.31\)

3. \(-0.45,1.12\)

5. \(0.33,0.67\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

1. Створіть власне рівняння, яке можна вирішити, витягнувши коріння. Поділіться ним разом з рішенням на дошці обговорень.
2. Поясніть, чому техніка вилучення коренів значно розширює нашу здатність вирішувати квадратичні рівняння.
3. Поясніть, чому методика виконання квадрата, описана в цьому розділі, вимагає, щоб провідний коефіцієнт дорівнював\(1\).
4. Вивести формулу діагоналі квадрата через його сторони.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

3. Відповідь може відрізнятися

Виноски

¹ Будь-яке квадратне рівняння у вигляді\(ax^{2} + bx + c = 0\), де\(a, b\), і\(c\) є дійсними числами і\(a ≠ 0\).

² Для будь-якого дійсного числа\(k\), якщо\(x^{2}=k\), то\(x = \pm \sqrt { k }\).

³ Застосування властивості квадратного кореня як засобу розв'язання квадратного рівняння.

⁴ Процес перезапису квадратного рівняння повинен бути в формі\((x − p)^{2} = q\).