4.4: Розв'язування поліноміальних рівнянь шляхом факторингу

Цілі навчання

• Перегляньте загальні стратегії факторингу.
• Розв'яжіть поліноміальні рівняння методом факторингу.
• Знайти коріння поліноміальної функції.
• Знайдіть поліноміальні рівняння за даними розв'язків.

Огляд загальних стратегій факторингу

Ми вивчили різні методи факторингу поліномів до чотирьох членів. Завдання полягає в тому, щоб визначити тип полінома, а потім вирішити, який метод застосовувати. Нижче наведено загальні рекомендації щодо факторингу поліномів.

загальні рекомендації щодо факторингу поліномів

Крок 1: Перевірте наявність загальних факторів. Якщо терміни мають спільні фактори, то враховують найбільший загальний фактор (GCF).

Крок 2: Визначте кількість членів у многочлені.

1. Факторні чотиричленні многочлени шляхом групування.
2. Факторні триноміали (3 терміни) з використанням методу «проб і помилок» або змінного струму.
3. Факторні біноміали (2 terms) з використанням наступних спеціальних продуктів:
   • Різниця квадратів:\(a^{2}−b^{2}=(a+b)(a−b)\)
   • Сума квадратів:\(a^{2}+b^{2}\) немає загальної формули
   • Різниця кубиків:\(a^{3}−b^{3}=(a−b)(a^{2}+ab+b^{2})\)
   • Сума кубів:\(a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}−ab+b^{2})\)

Крок 3: Шукайте фактори, які можна враховувати далі.

Крок 4: Перевірте, перемноживши.

Якщо біноміал - це і різниця квадратів, і різниця кубів, то спочатку множник його як різницю квадратів. Це призведе до більш повної факторизації. Крім того, не всі поліноми з цілочисельними коефіцієнтами множника. Коли це так, ми говоримо, що многочлен є простим.

Якщо вираз має GCF, то спочатку враховуйте це. Це часто не помічають і, як правило, призводить до факторів, з якими легше працювати. Крім того, шукайте результуючі фактори для подальшого факторингу; багато проблем факторингу вимагають більше одного кроку. Поліном повністю враховується, коли жоден з факторів не може бути врахований далі.

Приклад\(\PageIndex{1}\):

Фактор\(54 x ^ { 4 } - 36 x ^ { 3 } - 24 x ^ { 2 } + 16 x\).

Рішення

Цей чотиричленний многочлен має GCF of\(2x\). Фактор це в першу чергу.

\(54 x ^ { 4 } - 36 x ^ { 3 } - 24 x ^ { 2 } + 16 x = 2 x \left( 27 x ^ { 3 } - 18 x ^ { 2 } - 12 x + 8 \right)\)

Тепер введіть результуючий чотиричленний многочлен шляхом групування і шукайте результуючі фактори для подальшого множника.

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Відповідь

\(2 x ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } ( 3 x + 2 )\). Чек залишається на розгляд зчитувача.

Приклад\(\PageIndex{2}\):

Фактор:\(x ^ { 4 } - 3 x ^ { 2 } - 4\).

Рішення

Цей триноміал не має GCF.

\(\begin{aligned} x ^ { 4 } - 3 x ^ { 2 } - 4 & = \left( x ^ { 2 } \quad\right) \left( x ^ { 2 }\quad \right) \\ & = \left( x ^ { 2 } + 1 \right) \left( x ^ { 2 } - 4 \right) \quad\color{Cerulean} { Difference\: of\: squares } \\ & = \left( x ^ { 2 } + 1 \right) ( x + 2 ) ( x - 2 ) \end{aligned}\)

Коефіцієнт\(\left( x ^ { 2 } + 1 \right)\) є простим, а тримінал повністю врахований.

Відповідь:

\(\left( x ^ { 2 } + 1 \right) ( x + 2 ) ( x - 2 )\)

Приклад\(\PageIndex{3}\):

Фактор:\(x ^ { 6 } + 6 x ^ { 3 } - 16\).

Рішення

Почніть з факторингу\(x ^ { 6 } = x ^ { 3 } \cdot x ^ { 3 }\) і шукайте фактори\(16\), які додають до\(6\).

\(\begin{aligned} x ^ { 6 } + 6 x ^ { 3 } - 16 & = \left( x ^ { 3 }\quad \right) \left( x ^ { 3 }\quad \right) \\ & = \left( x ^ { 3 } - 2 \right) \left( x ^ { 3 } + 8 \right)\quad \color{Cerulean} { sum\:of\:cubes } \\ & = \left( x ^ { 3 } - 2 \right) ( x + 2 ) \left( x ^ { 2 } - 2 x + 4 \right) \end{aligned}\)

Коефіцієнт\(\left( x ^ { 3 } - 2 \right)\) не може бути врахований далі за допомогою цілих чисел, і факторизація завершена.

Відповідь:

\(\left( x ^ { 3 } - 2 \right) ( x + 2 ) \left( x ^ { 2 } + 2 x + 4 \right)\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Фактор:\(9 x ^ { 4 } + 17 x ^ { 2 } - 2\)

Відповідь

\(( 3 x + 1 ) ( 3 x - 1 ) \left( x ^ { 2 } + 2 \right)\)

www.youtube.com/В/ЛСАП8_УГУХ0

Розв'язування поліноміальних рівнянь методом факторингу

У цьому розділі ми розглянемо методику, яка може бути використана для вирішення певних поліноміальних рівнянь. Починаємо з властивості нульового добутку ²⁰:

\(a⋅b=0\)якщо і тільки якщо\(a=0\) або\(b=0\)

Властивість нульового добутку вірно для будь-якої кількості факторів, що складають рівняння. Іншими словами, якщо будь-який твір дорівнює нулю, то хоча б один зі змінних факторів повинен дорівнювати нулю. Якщо вираз дорівнює нулю і може бути врахований на лінійні множники, то ми зможемо встановити кожен коефіцієнт рівним нулю і вирішити для кожного рівняння.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Вирішити:\(2 x ( x - 4 ) ( 5 x + 3 ) = 0\).

Рішення

Встановіть кожну змінну коефіцієнт рівний нулю і вирішуйте.

\(\begin{aligned} 2 x & = 0 \\ \frac { 2 x } { \color{Cerulean}{2} } & = \frac { 0 } {\color{Cerulean}{ 2} } \\ x & = 0 \end{aligned}\)або\(\begin{aligned} x - 4 & = 0 \\ x & = 4 \end{aligned}\) або\(\begin{aligned} 5 x + 3 & = 0 \\ \frac { 5 x } { \color{Cerulean}{5} } & = \frac { - 3 } {\color{Cerulean}{ 5} } \\ x & = - \frac { 3 } { 5 } \end{aligned}\)

Щоб перевірити, що це рішення, ми можемо замінити назад у вихідне рівняння, щоб побачити, чи отримаємо ми справжнє твердження. Зверніть увагу, що кожне рішення дає нульовий коефіцієнт. Це залишається на розгляд читача.

Відповідь:

Рішення є\(0, 4\), і\(\frac{−3}{5}\).

Звичайно, більшість рівнянь не будуть приведені в факторованому вигляді.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Вирішити:\(4 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 100 x + 25 = 0\).

Рішення

Почніть з факторингу лівої сторони повністю.

\(\begin{aligned} 4 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 100 x + 25 & = 0 \quad\color{Cerulean}{Factor\:by\:grouping.} \\ x ^ { 2 } ( 4 x - 1 ) - 25 ( 4 x - 1 ) & = 0 \\ ( 4 x - 1 ) \left( x ^ { 2 } - 25 \right) & = 0\quad\color{Cerulean}{Factor\:as\:a\:difference\:of\:squares.} \\ ( 4 x - 1 ) ( x + 5 ) ( x - 5 ) & = 0 \end{aligned}\)

Встановіть кожен коефіцієнт рівним нулю і вирішуйте.

\(\begin{array} { r } { 4 x - 1 = 0 } \\ { 4 x = 1 } \\ { x = \frac { 1 } { 4 } } \end{array}\)або\(\begin{aligned} x + 5 & = 0 \\ x & = - 5 \end{aligned}\) або\(\begin{aligned} x - 5 & = 0 \\ x & = 5 \end{aligned}\)

Відповідь:

Рішення є\(\frac{1}{4}, −5\), і\(5\).

Використання властивості нульового добутку після факторингу рівняння, рівного нулю, є ключем до цього методу. Однак рівняння не може бути дано рівним нулю, і тому перед факторингом можуть бути деякі попередні кроки. Кроки, необхідні для вирішення факторингом ²¹, викладені в наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Вирішити:\(15 x ^ { 2 } + 3 x - 8 = 5 x - 7\).

Рішення

Крок 1: Висловіть рівняння в стандартному вигляді, рівному нулю. У цьому прикладі віднімаємо\(5x\) і додаємо\(7\) до обох сторін.

\(\begin{array} { l } { 15 x ^ { 2 } + 3 x - 8 = 5 x - 7 } \\ { 15 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0 } \end{array}\)

Крок 2: Фактор виразу.

\((3x−1)(5x+1)=0\)

Крок 3: Застосуйте властивість нульового добутку та встановіть кожен коефіцієнт змінної рівний нулю.

\(3x−1=0\)або\(5x+1=0\)

Крок 4: Розв'яжіть отримані лінійні рівняння.

\(\begin{array} { r } { 3 x - 1 = 0 } \\ { 3 x = 1 } \\ { x = \frac { 1 } { 3 } } \end{array}\)або\(\begin{aligned} 5 x + 1 & = 0 \\ 5 x & = - 1 \\ x & = - \frac { 1 } { 5 } \end{aligned}\)

Відповідь:

Рішення є\(\frac{1}{3}\) і\(\frac{−1}{5}\). Перевірка необов'язкова.

Приклад\(\PageIndex{7}\):

Вирішити:\((3x+2)(x+1)=4\).

Рішення

Це квадратне рівняння, здається, враховується; отже, може бути спокусливим встановити кожен коефіцієнт рівним\(4\). Однак це призвело б до неправильних результатів. Ми повинні переписати рівняння, рівне нулю, щоб ми могли застосувати властивість нульового добутку.

\(\begin{array} { r } { ( 3 x + 2 ) ( x + 1 ) = 4 } \\ { 3 x ^ { 2 } + 3 x + 2 x + 2 = 4 } \\ { 3 x ^ { 2 } + 5 x + 2 = 4 } \\ { 3 x ^ { 2 } + 5 x - 2 = 0 } \end{array}\)

Після того, як він знаходиться в стандартній формі, ми можемо коефіцієнт, а потім встановити кожен коефіцієнт рівним нулю.

\(\begin{array} { c } { ( 3 x - 1 ) ( x + 2 ) = 0 } \\ { 3 x - 1 = 0 \quad \text { or } \quad x + 2 = 0 } \\ \quad\quad{ 3 x = 1 }\quad\quad\quad\:\:\quad x=-2\\ { x = \frac { 1 } { 3 } }\quad\quad\quad\quad\quad\: \end{array}\)

Відповідь:

Рішення є\(\frac{1}{3}\) і\(−2\).

Пошук коренів функцій

Нагадаємо, що будь-який многочлен з однією змінною є функцією і може бути записаний у вигляді,

\(f ( x ) = a _ { n } x ^ { n } + a _ { n - 1 } x ^ { n - 1 } + \cdots + a _ { 1 } x + a _ { 0 }\)

Корінь ²² функції - це значення в області, яке призводить до нуля. Іншими словами, коріння виникають, коли функція дорівнює нулю,\(f(x)=0\).

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Знайдіть коріння:\(f ( x ) = ( x + 2 ) ^ { 2 } - 4\).

Рішення

Щоб знайти коріння, задаємо функцію рівну нулю і вирішуємо.

\(\begin{aligned} f ( x ) & = 0 \\ ( x + 2 ) ^ { 2 } - 4 & = 0 \\ x ^ { 2 } + 4 x + 4 - 4 & = 0 \\ x ^ { 2 } + 4 x & = 0 \\ x ( x + 4 ) & = 0 \end{aligned}\)

Далі ставимо кожен коефіцієнт рівним нулю і вирішуємо.

\(\begin{aligned} x = 0 \quad \text { or } \quad x + 4 = 0 \\ x = - 4 \end{aligned}\)

Ми можемо показати, що ці\(x\) -значення є корінням, оцінюючи.

\(\begin{aligned} f ( 0 ) & = ( 0 + 2 ) ^ { 2 } - 4 \\ & = 4 - 4 \\ & = 0 \color{Cerulean}{✓}\end{aligned}\)\(\begin{aligned} f ( - 4 ) & = ( - 4 + 2 ) ^ { 2 } - 4 \\ & = ( - 2 ) ^ { 2 } - 4 \\ & = 4 - 4 \\ & = 0 \color{Cerulean}{✓}\end{aligned}\)

Відповідь:

Коріння - це\(0\) і\(−4\).

Якщо ми графуємо функцію в попередньому прикладі, ми побачимо, що коріння відповідають\(x\) -перехопленням функції. Тут функція\(f\) являє собою базову параболу зміщених\(2\) одиниць вліво і\(4\) одиниць вниз.

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Знайдіть коріння:\(f ( x ) = x ^ { 4 } - 5 x ^ { 2 } + 4\).

Рішення

Щоб знайти коріння, задаємо функцію рівну нулю і вирішуємо.

\(\begin{aligned} f ( x ) & = 0 \\ x ^ { 4 } - 5 x ^ { 2 } + 4 & = 0 \\ \left( x ^ { 2 } - 1 \right) \left( x ^ { 2 } - 4 \right) & = 0 \\ ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 2 ) ( x - 2 ) & = 0 \end{aligned}\)

Далі ставимо кожен коефіцієнт рівним нулю і вирішуємо.

\(\begin{aligned} x + 1 & = 0 \\ x & = - 1 \end{aligned}\)або\(\begin{array} { r } { x - 1 = 0 } \\ { x = 1 } \end{array}\) або\(\begin{aligned} x + 2 & = 0 \\ x & = - 2 \end{aligned}\) або\(\begin{aligned} x - 2 & = 0 \\ x & = 2 \end{aligned}\)

Відповідь:

Коріння є\(−1, 1, −2\), і\(2\).

Графік попередньої функції не входить в сферу дії цього курсу. Однак графік наведено нижче:

Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Зверніть увагу, що ступінь многочлена є\(4\) і ми отримали чотири кореня. Загалом, для будь-якої поліноміальної функції з однією змінною ступеня\(n\) фундаментальна теорема алгебри ²³ гарантує\(n\) реальні корені або менше. Ми бачили, що багато поліномів не впливають на фактор. Це не означає, що функції за участю цих нефакторних поліномів не мають реальних коренів. Насправді багато поліноміальних функцій, які не мають фактора, мають реальні рішення. Ми навчимося знаходити ці типи коренів, продовжуючи вивчати алгебру.

Приклад\(\PageIndex{10}\)

Знайдіть коріння:\(f ( x ) = - x ^ { 2 } + 10 x - 25\).

Рішення

Щоб знайти коріння, задаємо функцію рівну нулю і вирішуємо.

\(\begin{aligned} f ( x ) & = 0 \\ - x ^ { 2 } + 10 x - 25 & = 0 \\ - \left( x ^ { 2 } - 10 x + 25 \right) & = 0 \\ - ( x - 5 ) ( x - 5 ) & = 0 \end{aligned}\)

Далі встановіть кожну змінну коефіцієнт рівний нулю і вирішуйте.

\(\begin{aligned} x - 5 & = 0 \quad\quad\text { or }& x - 5 = 0 \\ & = 5 \quad &x= 5 \end{aligned}\)

Розчин, який повторюється двічі, називається подвійним коренем ²⁴. У цьому випадку є тільки одне рішення.

Відповідь:

Корінь є\(5\).

У попередньому прикладі показано, що функція ступеня\(2\) може мати один корінь. З кроку факторингу ми бачимо, що функцію можна записати

\(f ( x ) = - ( x - 5 ) ^ { 2 }\)

У такому вигляді ми можемо побачити відображення про\(x\) -осі і зсув до правих\(5\) одиниць. Вершина - це\(x\) перехоплення, що ілюструє той факт, що є тільки один корінь.

Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Знайдіть коріння\(f ( x ) = x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - x - 3\).

Відповідь

\(±1, −3\)

www.youtube.com/В/Т1ШКК Хаве

Приклад\(\PageIndex{11}\)

Припускаючи сухі дорожні умови та середній час реакції, безпечний гальмівний шлях у футах задається тим\(d ( x ) = \frac { 1 } { 20 } x ^ { 2 } + x\), де\(x\) представляє швидкість автомобіля в милі на годину. Визначте безпечну швидкість автомобіля, якщо ви очікуєте зупинки в\(40\) ногах.

Рішення

Нас просять знайти швидкість,\(x\) де безпечний гальмівний шлях\(d(x)=40\) ноги.

\(\begin{array} { c } { d ( x ) = 40 } \\ { \frac { 1 } { 20 } x ^ { 2 } + x = 40 } \end{array}\)

Щоб вирішити for\(x\), перепишіть отримане рівняння в стандартному вигляді. У цьому випадку ми спочатку помножимо обидві сторони на\(20\), щоб очистити дріб.

\(\begin{aligned} \color{Cerulean}{20}\color{black}{ \left( \frac { 1 } { 20 } x ^ { 2 } + x \right)} & = \color{Cerulean}{20}\color{black}{ (} 40 ) \\ x ^ { 2 } + 20 x & = 800 \\ x ^ { 2 } + 20 x - 800 & = 0 \end{aligned}\)

Наступний множник, а потім задайте кожен коефіцієнт рівним нулю.

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } + 20 x - 800 & = 0 \\ ( x + 40 ) ( x - 20 ) & = 0 \\ x + 40 & = 0\quad or\quad \:x-20=0 \\ x & = - 40\quad \quad\quad\quad x=20 \end{aligned}\)

Негативна відповідь не має сенсу в контексті даної проблеми. Вважайте\(x=20\) милі на годину єдиним рішенням.

Відповідь:

\(20\)миль на годину

Пошук рівнянь із заданими розв'язками

Ми можемо використовувати властивість нульового добутку для пошуку рівнянь, заданих розв'язками. Для цього етапи вирішення шляхом факторингу виконуються в зворотному порядку.

Приклад\(\PageIndex{12}\)

Знайти квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, заданими розв'язками\(\frac{−3}{2}\) і\(\frac{1}{3}\).

Рішення

З огляду на розв'язки, можна визначити два лінійних чинника. Щоб уникнути дробових коефіцієнтів, спочатку очищаємо дроби, множивши обидві сторони на знаменник.

\(\begin{aligned} x & = - \frac { 3 } { 2 } \\ 2 x & = - 3 \\ 2 x + 3 & = 0 \end{aligned}\)або\(\begin{aligned} x & = \frac { 1 } { 3 } \\ 3 x & = 1 \\ 3 x - 1 & = 0 \end{aligned}\)

Добуток цих лінійних факторів дорівнює нулю при\(x=\frac{−3}{2}\) або\(x=\frac{1}{3}\).

\((2x+3)(3x−1)=0\)

Помножте біноміали і укажіть рівняння в стандартному вигляді.

\(\begin{array} { r } { 6 x ^ { 2 } - 2 x + 9 x - 3 = 0 } \\ { 6 x ^ { 2 } + 7 x - 3 = 0 } \end{array}\)

Ми можемо перевірити наше рівняння, підставляючи дані відповіді, щоб побачити, чи отримаємо ми справжнє твердження. Крім того, наведене вище рівняння не є унікальним, тому перевірка стає важливою, коли наше рівняння виглядає відмінним від чужого.

Відповідь:

\(6 x ^ { 2 } + 7 x - 3 = 0\)

Приклад\(\PageIndex{13}\)

Знайдіть поліноміальну функцію з реальними коренями\(1, −2\), і\(2\).

Рішення

За даними розв'язків\(f(x)=0\) ми можемо знайти лінійні коефіцієнти.

\(\begin{array} { r } { x = 1 } \\ { x - 1 = 0 } \end{array}\)або\(\begin{aligned} x & = - 2 \\ x + 2 & = 0 \end{aligned}\) або\(\begin{aligned} x & = 2 \\ x - 2 & = 0 \end{aligned}\)

Застосовуємо властивість нульового добутку і множимо.

\(\begin{aligned} ( x - 1 ) ( x + 2 ) ( x - 2 ) & = 0 \\ ( x - 1 ) \left( x ^ { 2 } - 4 \right) & = 0 \\ x ^ { 3 } - 4 x - x ^ { 2 } + 4 & = 0 \\ x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 4 x + 4 & = 0 \end{aligned}\)

Відповідь:

\(f ( x ) = x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 4 x + 4\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Знайти поліноміальне рівняння з цілими коефіцієнтами, заданими розв'язками\(\frac{1}{2}\) і\(\frac{−3}{4}\).

Відповідь

\(8 x ^ { 2 } + 2 x - 3 = 0\)

www.youtube.com/В/О4КП

Ключові винос

• Факторинг і властивість нульового добутку дозволяють вирішувати рівняння.
• Щоб розв'язати поліноміальне рівняння, спочатку запишіть його в стандартному вигляді. Після того, як він дорівнює нулю, множник його, а потім встановіть кожну змінну коефіцієнт рівний нулю. Розв'язки результуючих рівнянь є розв'язками оригіналу.
• Не всі поліноміальні рівняння можуть бути вирішені факторингом. Ми навчимося вирішувати поліноміальні рівняння, які не враховуються пізніше в курсі.
• Поліноміальна функція може мати максимум кількість реальних коренів, рівних її ступеня. Щоб знайти коріння функції, встановіть її рівним нулю і вирішіть.
• Щоб знайти поліноміальне рівняння з заданими розв'язками, виконують процес розв'язання факторингом у зворотному порядку.

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Фактор повністю.

1. \(50 x ^ { 2 } - 18\)
2. \(12 x ^ { 3 } - 3 x\)
3. \(10 x ^ { 3 } + 65 x ^ { 2 } - 35 x\)
4. \(15 x ^ { 4 } + 7 x ^ { 3 } - 4 x ^ { 2 }\)
5. \(6 a ^ { 4 } b - 15 a ^ { 3 } b ^ { 2 } - 9 a ^ { 2 } b ^ { 3 }\)
6. \(8 a ^ { 3 } b - 44 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 20 a b ^ { 3 }\)
7. \(36 x ^ { 4 } - 72 x ^ { 3 } - 4 x ^ { 2 } + 8 x\)
8. \(20 x ^ { 4 } + 60 x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 } - 15 x\)
9. \(3 x ^ { 5 } + 2 x ^ { 4 } - 12 x ^ { 3 } - 8 x ^ { 2 }\)
10. \(10 x ^ { 5 } - 4 x ^ { 4 } - 90 x ^ { 3 } + 36 x ^ { 2 }\)
11. \(x ^ { 4 } - 23 x ^ { 2 } - 50\)
12. \(2 x ^ { 4 } - 31 x ^ { 2 } - 16\)
13. \(- 2 x ^ { 5 } - 6 x ^ { 3 } + 8 x\)
14. \(- 36 x ^ { 5 } + 69 x ^ { 3 } + 27 x\)
15. \(54 x ^ { 5 } - 78 x ^ { 3 } + 24 x\)
16. \(4 x ^ { 6 } - 65 x ^ { 4 } + 16 x ^ { 2 }\)
17. \(x ^ { 6 } - 7 x ^ { 3 } - 8\)
18. \(x ^ { 6 } - 25 x ^ { 3 } - 54\)
19. \(3 x ^ { 6 } + 4 x ^ { 3 } + 1\)
20. \(27 x ^ { 6 } - 28 x ^ { 3 } + 1\)

Відповідь

1. \(2 ( 5 x + 3 ) ( 5 x - 3 )\)

3. \(5 x ( x + 7 ) ( 2 x - 1 )\)

5. \(3 a ^ { 2 } b ( 2 a + b ) ( a - 3 b )\)

7. \(4 x ( x - 2 ) ( 3 x + 1 ) ( 3 x - 1 )\)

9. \(x ^ { 2 } ( 3 x + 2 ) ( x + 2 ) ( x - 2 )\)

11. \(\left( x ^ { 2 } + 2 \right) ( x + 5 ) ( x - 5 )\)

13. \(- 2 x \left( x ^ { 2 } + 4 \right) ( x - 1 ) ( x + 1 )\)

15. \(6 x ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( 3 x + 2 ) ( 3 x - 2 )\)

17. \(( x + 1 ) \left( x ^ { 2 } - x + 1 \right) ( x - 2 ) \left( x ^ { 2 } + 2 x + 4 \right)\)

19. \(\left( 3 x ^ { 3 } + 1 \right) ( x + 1 ) \left( x ^ { 2 } - x + 1 \right)\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вирішити.

1. \(( 6 x - 5 ) ( x + 7 ) = 0\)
2. \(( x + 9 ) ( 3 x - 8 ) = 0\)
3. \(5 x ( 2 x - 5 ) ( 3 x + 1 ) = 0\)
4. \(4 x ( 5 x - 1 ) ( 2 x + 3 ) = 0\)
5. \(( x - 1 ) ( 2 x + 1 ) ( 3 x - 5 ) = 0\)
6. \(( x + 6 ) ( 5 x - 2 ) ( 2 x + 9 ) = 0\)
7. \(( x + 4 ) ( x - 2 ) = 16\)
8. \(( x + 1 ) ( x - 7 ) = 9\)
9. \(( 6 x + 1 ) ( x + 1 ) = 6\)
10. \(( 2 x - 1 ) ( x - 4 ) = 39\)
11. \(x ^ { 2 } - 15 x + 50 = 0\)
12. \(x ^ { 2 } + 10 x - 24 = 0\)
13. \(3 x ^ { 2 } + 2 x - 5 = 0\)
14. \(2 x ^ { 2 } + 9 x + 7 = 0\)
15. \(\frac { 1 } { 10 } x ^ { 2 } - \frac { 7 } { 15 } x - \frac { 1 } { 6 } = 0\)
16. \(\frac { 1 } { 4 } - \frac { 4 } { 9 } x ^ { 2 } = 0\)
17. \(6 x ^ { 2 } - 5 x - 2 = 30 x + 4\)
18. \(6 x ^ { 2 } - 9 x + 15 = 20 x - 13\)
19. \(5 x ^ { 2 } - 23 x + 12 = 4 ( 5 x - 3 )\)
20. \(4 x ^ { 2 } + 5 x - 5 = 15 ( 3 - 2 x )\)
21. \(( x + 6 ) ( x - 10 ) = 4 ( x - 18 )\)
22. \(( x + 4 ) ( x - 6 ) = 2 ( x + 4 )\)
23. \(4 x ^ { 3 } - 14 x ^ { 2 } - 30 x = 0\)
24. \(9 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - 36 x = 0\)
25. \(\frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } - \frac { 3 } { 4 } x = 0\)
26. \(\frac { 1 } { 2 } x ^ { 3 } - \frac { 1 } { 50 } x = 0\)
27. \(- 10 x ^ { 3 } - 28 x ^ { 2 } + 48 x = 0\)
28. \(- 2 x ^ { 3 } + 15 x ^ { 2 } + 50 x = 0\)
29. \(2 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 72 x + 36 = 0\)
30. \(4 x ^ { 3 } - 32 x ^ { 2 } - 9 x + 72 = 0\)
31. \(45 x ^ { 3 } - 9 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0\)
32. \(x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } - x + 3 = 0\)
33. \(x ^ { 4 } - 5 x ^ { 2 } + 4 = 0\)
34. \(4 x ^ { 4 } - 37 x ^ { 2 } + 9 = 0\)

Відповідь

1. \(- 7 , \frac { 5 } { 6 }\)

3. \(0 , \frac { 5 } { 2 } , - \frac { 1 } { 3 }\)

5. \(- \frac { 1 } { 2 } , 1 , \frac { 5 } { 3 }\)

7. \(- 6,4\)

9. \(- \frac { 5 } { 3 } , \frac { 1 } { 2 }\)

11. \(5,10\)

13. \(- \frac { 5 } { 3 } , 1\)

15. \(- \frac { 1 } { 3 } , 5\)

17. \(- \frac { 1 } { 6 } , 6\)

19. \(\frac { 3 } { 5 } , 8\)

21. \(2,6\)

23. \(0 , - \frac { 3 } { 2 } , 5\)

25. \(0 , \pm \frac { 3 } { 2 }\)

27. \(- 4,0 , \frac { 6 } { 5 }\)

29. \(\pm 6 , \frac { 1 } { 2 }\)

31. \(\pm \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 5 }\)

33. \(\pm 1 , \pm 2\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Знайдіть коріння заданих функцій.

1. \(f ( x ) = x ^ { 2 } + 10 x - 24\)
2. \(f ( x ) = x ^ { 2 } - 14 x + 48\)
3. \(f ( x ) = - 2 x ^ { 2 } + 7 x + 4\)
4. \(f ( x ) = - 3 x ^ { 2 } + 14 x + 5\)
5. \(f ( x ) = 16 x ^ { 2 } - 40 x + 25\)
6. \(f ( x ) = 9 x ^ { 2 } - 12 x + 4\)
7. \(g ( x ) = 8 x ^ { 2 } + 3 x\)
8. \(g ( x ) = 5 x ^ { 2 } - 30 x\)
9. \(p ( x ) = 64 x ^ { 2 } - 1\)
10. \(q ( x ) = 4 x ^ { 2 } - 121\)
11. \(f ( x ) = \frac { 1 } { 5 } x ^ { 3 } - 1 x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 20 } x + \frac { 1 } { 4 }\)
12. \(f ( x ) = \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - \frac { 4 } { 3 } x - 2\)
13. \(g ( x ) = x ^ { 4 } - 13 x ^ { 2 } + 36\)
14. \(g ( x ) = 4 x ^ { 4 } - 13 x ^ { 2 } + 9\)
15. \(f ( x ) = ( x + 5 ) ^ { 2 } - 1\)
16. \(g ( x ) = - ( x + 5 ) ^ { 2 } + 9\)
17. \(f ( x ) = - ( 3 x - 5 ) ^ { 2 }\)
18. \(g ( x ) = - ( x + 2 ) ^ { 2 } + 4\)

Відповідь

1. \(2 , - 12\)

3. \(- \frac { 1 } { 2 } , 4\)

5. \(\frac { 5 } { 4 }\)

7. \(- \frac { 3 } { 8 } , 0\)

9. \(\pm \frac { 1 } { 8 }\)

11. \(\pm \frac { 1 } { 2 } , 5\)

13. \(\pm 2 , \pm 3\)

15. \(- 6 , - 4\)

17. \(\frac { 5 } { 3 }\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

За заданим графіком функції визначають реальні корені.

1.

Малюнок\(\PageIndex{5}\)

2.

Малюнок\(\PageIndex{6}\)

3.

Малюнок\(\PageIndex{7}\)

4.

Малюнок\(\PageIndex{8}\)

5. Сторони квадрата вимірюють\(x − 2\) одиниці виміру. Якщо площа\(36\) квадратних одиниць, то знайдіть\(x\).

6. Сторони прямокутного трикутника мають довжини, які є послідовними парними цілими числами. Знайдіть довжини кожної сторони. (Підказка: Застосувати теорему Піфагора)

7. Прибуток в доларах, одержуваний виробництвом і продажем n велосипедів на тиждень, дається за формулою\(P ( n ) = - 5 n ^ { 2 } + 400 n - 6000\). Скільки велосипедів потрібно виготовити і продати, щоб зламатися?

8. Висота в футах об'єкта, опущеного з вершини будівлі\(64\) -foot, задається тим,\(h ( t ) = - 16 t ^ { 2 } + 64\) де\(t\) представляє час у секундах після його скидання. Скільки часу знадобиться, щоб вдарити об землю?

9. Коробку можна виготовити, вирізавши кути і склавши по краях квадратний лист картону. Дається шаблон для картонної коробки висотою 2 дюйми.

Малюнок\(\PageIndex{9}\)

Яка довжина кожної сторони картонного листа, якщо обсяг коробки повинен бути\(98\) кубічними дюймами?

10. Висота трикутника на\(4\) сантиметри менше, ніж в два рази більше довжини його підстави. Якщо загальна площа трикутника дорівнює\(48\) квадратним сантиметрам, то знайдіть довжини підстави і висоту.

11. Рівномірна межа повинна бути розміщена навколо\(8 × 10\) дюймового зображення.

Малюнок\(\PageIndex{10}\)

Якщо загальна площа, включаючи кордон, повинна бути\(168\) квадратними дюймами, то наскільки широкою повинна бути межа?

12. Площа фоторамки, включаючи межу шириною\(3\) -дюйм, становить\(120\) квадратні дюйми.

Малюнок\(\PageIndex{11}\)

Якщо ширина внутрішньої області на\(2\) дюйми менше її довжини, то знайдіть розміри внутрішньої області.

13. Припускаючи сухі дорожні умови та середній час реакції, безпечний гальмівний шлях у футах задається тим,\(d ( x ) = \frac { 1 } { 20 } x ^ { 2 } + x\) де\(x\) представляє швидкість автомобіля в милі на годину. Визначте безпечну швидкість автомобіля, якщо ви очікуєте зупинки в\(75\) ногах.

14. Виробнича компанія визначила, що щоденний дохід у тисячах доларів дається за формулою,\(R ( n ) = 12 n - 0.6 n ^ { 2 }\) де\(n\) представлена кількість проданих палітр товару\((0 ≤ n < 20)\). Визначте кількість проданих палітр за день, якщо виручка\(45\) склала тисячу доларів.

Відповідь

1. \(- 3 , - 1,0,2\)

3. \(- 2,3\)

5. \(8\)одиниць

7. \(20\)або\(60\) велосипеди

9. \(11\)в

11. \(2\)дюймів

13. \(30\)миль на годину

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Знайдіть поліноміальне рівняння з заданими розв'язками.

1. \(-3,5\)
2. \(-1,8\)
3. \(2, \frac{1}{3}\)
4. \(- \frac { 3 } { 4 } , 5\)
5. \(0,-4\)
6. \(0,7\)
7. \(\pm 7\)
8. \(\pm 2\)
9. \(- 3,1,3\)
10. \(- 5 , - 1,1\)

Відповідь

1. \(x ^ { 2 } - 2 x - 15 = 0\)

3. \(3 x ^ { 2 } - 7 x + 2 = 0\)

5. \(x ^ { 2 } + 4 x = 0\)

7. \(x ^ { 2 } - 49 = 0\)

9. \(x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 9 x + 9 = 0\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Знайдіть функцію з заданими коренями.

1. \(\frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 }\)
2. \(\frac { 2 } { 5 } , - \frac { 1 } { 3 }\)
3. \(\pm \frac { 3 } { 4 }\)
4. \(\pm \frac { 5 } { 2 }\)
5. \(5\)подвійний корінь
6. \(-3\)подвійний корінь
7. \(-1,0,3\)
8. \(-5,0,2\)

Відповідь

1. \(f ( x ) = 6 x ^ { 2 } - 7 x + 2\)

3. \(f ( x ) = 16 x ^ { 2 } - 9\)

5. \(f ( x ) = x ^ { 2 } - 10 x + 25\)

7. \(f ( x ) = x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } - 3 x\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Нагадаємо, що якщо\(| X | = p\), то\(X=-p\) або\(X=p\). Використовуйте це для вирішення наступних рівнянь абсолютних значень.

1. \(\left| x ^ { 2 } - 8 \right| = 8\)
2. \(\left| 2 x ^ { 2 } - 9 \right| = 9\)
3. \(\left| x ^ { 2 } - 2 x - 1 \right| = 2\)
4. \(\left| x ^ { 2 } - 8 x + 14 \right| = 2\)
5. \(\left| 2 x ^ { 2 } - 4 x - 7 \right| = 9\)
6. \(\left| x ^ { 2 } - 3 x - 9 \right| = 9\)

Відповідь

1. \(\pm 4,0\)

3. \(\pm 1,3\)

5. \(- 2,1,4\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

1. Поясніть початковому студенту алгебри різницю між рівнянням і виразом.
2. У чому різниця між коренем і\(x\) -перехопленням? Поясніть.
3. Створіть функцію з трьома реальними коренями за вашим вибором. Графік його за допомогою графічної утиліти і перевірити свої результати. Поділіться своєю функцією на дошці обговорень.
4. Досліджуйте та обговоріть фундаментальну теорему алгебри.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

3. Відповідь може відрізнятися

Виноски

²⁰ Твір дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли хоча б один з факторів дорівнює нулю.

²¹ Процес розв'язання рівняння, рівного нулю, шляхом його факторингу і подальшої установки кожної змінної коефіцієнта, рівного нулю.

²² Значення в області функції, що призводить до нуля.

²³ Гарантії того, що до поліноміальної функції буде стільки (або менше) коренів з однією змінною, як її ступінь.

²⁴ Корінь, який повторюється двічі.