3.4: Розв'язування лінійних систем з трьома змінними

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58307

Anonymous
LibreTexts

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Перевірте рішення лінійних систем з трьома змінними.
Вирішити лінійні системи з трьома змінними шляхом усунення.
Визначте залежні і непослідовні системи.
Вирішуйте додатки за участю трьох невідомих.

Розв'язки лінійних систем з трьома змінними

Реальні програми часто моделюються за допомогою декількох змінних і більше одного рівняння. У цьому розділі ми вивчимо лінійні системи, що складаються з трьох лінійних рівнянь, кожна з трьома змінними. Наприклад,

$\left\{ \begin{array} { l l } { 3 x + 2 y - z = - 7 } & { \color{Cerulean} { (1) } } \\ { 6 x - y + 3 z = - 4 } & { \color{Cerulean} { (2) } } \\ { x + 10 y - 2 z = 2 } & { \color{Cerulean} { (3) } } \end{array} \right.$

Розв'язком такої лінійної системи є впорядкована потрійна ¹⁹$(x, y, z)$, яка вирішує всі рівняння. В даному випадку$(−2, 1, 3)$ є єдиним рішенням. Щоб перевірити, що впорядкована трійка є розв'язком, підставляйте відповідні$x$$y$ -, - і$z$ -значення, а потім спростіть, чи отримаєте ви справжнє твердження з усіх трьох рівнянь.

Таблиця$\PageIndex{1}$
$\color{Cerulean}{Check:}\color{Black}{(-2,1,3)}$
$\begin{array} { r } { \text { Equation } \color{Cerulean}{( 1 ) :} } \\ { 3 x + 2 y + z = - 7 } \\ { 3 ( \color{Cerulean}{- 2}\color{Black}{ )} + 2 ( \color{Cerulean}{1}\color{Black}{ )} - ( \color{Cerulean}{3}\color{Black}{ )} = - 7 } \\ { - 6 + 2 - 3 = - 7 } \\ { - 7 = - 7\:\:\color{Cerulean}{✓} } \end{array}$	$\begin{array} { r } { \text { Equation } \color{Cerulean}{( 2 ) : }} \\ { 6 x -y + 3z = -4 } \\ { 6 ( \color{Cerulean}{- 2}\color{Black}{ )} - (\color{Cerulean}{ 1}\color{Black}{ )} -3 (\color{Cerulean}{ 3}\color{Black}{ )} = - 4 } \\ { - 12 -1 -9 = - 4 } \\ { - 4 = - 4 } \:\:\color{Cerulean}{✓}\end{array}$	$\begin{array} { r } { \text { Equation }\color{Cerulean}{ ( 3 ) :} } \\ { x +10y -2z = 2 } \\ { ( \color{Cerulean}{- 2}\color{Black}{ )} +10 ( \color{Cerulean}{1}\color{Black}{ )} -2 ( \color{Cerulean}{3}\color{Black}{ )} = 2 } \\ { - 2+10 -6 = 2 } \\ { 2 = 2 } \:\:\color{Cerulean}{✓} \end{array}$

Оскільки впорядкована трійка задовольняє всім трьом рівнянням, ми робимо висновок, що це дійсно рішення.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Визначте$(1, 4, \frac{4}{3}$, чи є рішенням наступної лінійної системи:

$\left\{ \begin{aligned} 9 x + y - 6 z & = 5 \\ - 6 x - 3 y + 3 z & = - 14 \\ 3 x + 2 y - 7 z & = 15 \end{aligned} \right.$

$\color{Cerulean}{Check:}\color{Black}{(1, 4, \frac{4}{3})}$
$\begin{array} { r } { \text { Equation } \color{Cerulean}{( 1 ) :} } \\ { 9 x + y - 6 z = 5 } \\ { 9 ( \color{Cerulean}{1}\color{Black}{ )} + ( \color{Cerulean}{4}\color{Black}{ )} - 6 \left( \color{Cerulean}{\frac { 4 } { 3 }} \right) = 5 } \\ { 9 + 4 - 8 = 5 } \\ { 5 = 5 } \:\:\color{Cerulean}{✓}\end{array}$	$\begin{array} { r } { \text { Equation } \color{Cerulean}{( 2 ) :} } \\ { -6x -3y +3z = -14 } \\ { 6 ( \color{Cerulean}{1}\color{Black}{ )} - 3( \color{Cerulean}{4}\color{Black}{ )}+ 3 \left( \color{Cerulean}{\frac { 4 } { 3 }} \right) = -14 } \\ { -6-12+4 = -14 } \\ { -14= -14 } \:\:\color{Cerulean}{✓}\end{array}$	$\begin{array} { r } { \text { Equation } \color{Cerulean}{( 3 ) :} } \\ { 3x+2y-7z = 15 } \\ { 3 ( \color{Cerulean}{1}\color{Black}{ )} +2( \color{Cerulean}{4}\color{Black}{ )}-7 \left( \color{Cerulean}{\frac { 4 } { 3 }} \right) = 15 } \\ { 3+8-\frac{28}{3} = 15 } \\ { \frac{5}{3}= 15 } \:\:\color{red}{X}\end{array}$

Відповідь

Точка не задовольняє всім рівнянням і, отже, не є рішенням.

Впорядкована трійка, наприклад,$(2, 4, 5)$ може бути позначена в тривимірному просторі наступним чином:

Впорядкована трійка вказує положення щодо початку$(0, 0, 0)$, в даному випадку$2$ одиниці вздовж$x$ -осі,$4$ одиниці паралельні$y$ -осі, і$5$ одиниці, паралельні$z$ -осі. Лінійне рівняння з трьома змінними ²⁰ знаходиться в стандартній формі, якщо

$ax+by+cz=d$

де$a, b, c$, і$d$ є дійсними числами. Наприклад,$6x + y + 2z = 26$ знаходиться в стандартному вигляді. Вирішуючи для$z$, ми отримуємо$z = −3x − \frac{1}{2} y + 13$ і можемо розглядати як$x$ і$y$ незалежні змінні. При графіку в тривимірному просторі його графік буде утворювати пряму плоску поверхню, яка називається площиною ²¹.

Тому графік системи з трьох лінійних рівнянь і трьох невідомих буде складатися з трьох площин у просторі. Якщо є одночасне рішення, система послідовна і рішення відповідає точці, де три площини перетинаються.

Графіка площин в тривимірному просторі не входить в сферу застосування цього підручника. Однак завжди важливо розуміти геометричну інтерпретацію.

Вправа$\PageIndex{1}$

Визначте$(3, −1, 2)$, чи є рішення для системи:

$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - z = 7 } \\ { 3 x + 5 y - 3 z = - 2 } \\ { 4 x - y + 2 z = 17 } \end{array} \right.$

Відповідь

Так, це рішення.

www.youtube.com/В/2УЕТ4ЛЗКСОГ

Вирішити лінійні системи з трьома змінними шляхом усунення

У цьому розділі метод елімінації використовується для розв'язання систем трьох лінійних рівнянь з трьома змінними. Ідея полягає в тому, щоб усунути одну зі змінних і вирішити вихідну систему в систему з двох лінійних рівнянь, після чого ми можемо потім вирішити, як зазвичай. Кроки викладені в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{2}$

Вирішити:$\left\{ \begin{array} { l l } { 3 x + 2 y - z = - 7 } & { \color{Cerulean}{(1)} } \\ { 6 x - y + 3 z = - 4 } & { \color{Cerulean} { (2) } } \\ { x + 10 y - 2 z = 2 } & { \color{Cerulean} { (3) } } \end{array} \right.$

Рішення

Всі три рівняння мають стандартну форму. Якби це не так, було б найкращою практикою переписати рівняння в стандартній формі перед початком цього процесу.

Крок 1: Виберіть будь-які два рівняння та усуньте змінну. У цьому випадку ми можемо вирівняти змінну$z$ для усунення, якщо згрупувати$3$ раз перше рівняння з другим рівнянням.

Далі складіть рівняння разом.

$\begin{aligned} 9 x + 6 y \color{red}{- 3 z}&\color{black}{ =} 21 \\ \pm 6 x - y \color{red}{+ 3 z}&\color{black}{ =} - 4 \\ \hline \\ 15x + 5y &= -25 \color{OliveGreen}{✓} \end{aligned}$

Крок 2: Виберіть будь-які інші два рівняння та усуньте ту саму змінну. Ми можемо вибудовуватися,$z$ щоб усунути знову, якщо згрупувати$−2$ раз перше рівняння з третім рівнянням.

А потім додати,

$\begin{aligned} - 6 x - 4 y \color{red}{+ 2 z}&\color{black}{ =} 14 \\ \pm x + 10 y \color{red}{- 2 z} &\color{black}{=} 2 \\ \hline \\-5x + 6y& = 16 \color{OliveGreen}{✓}\end{aligned}$

Крок 3: Розв'яжіть отриману систему двох рівнянь з двома невідомими. Тут вирішуємо шляхом ліквідації. Помножте друге рівняння на,$3$ щоб вирівняти$x$ змінну для усунення.

Далі складіть рівняння разом.

$\begin{aligned} \color{red}{15 x}\color{black}{ +} 5 y &= - 25 \\ \pm \color{red}{- 15 x}\color{black}{ +} 18 y &= 48 \\ \hline\\23y&=23\\y&=1 \end{aligned}$

Крок 4: Назад підставляємо і визначаємо всі координати. Щоб знайти x, скористайтеся наступним,

$\begin{aligned} 15 x + 5 y & = - 25 \\ 15 x + 5 ( \color{OliveGreen}{1}\color{black}{ )} & = - 25 \\ 15 x & = - 30 \\ x & = - 2 \end{aligned}$

Тепер виберіть одне з вихідних рівнянь, щоб знайти$z$,

$\begin{aligned} 3 x + 2 y - z & = - 7 \quad\color{Cerulean}{(1)} \\ 3 ( \color{OliveGreen}{- 2}\color{Black}{ )} + 2 ( \color{OliveGreen}{1}\color{Black}{ )} - z & = - 7 \\ - 6 + 2 - z & = - 7 \\ - 4 - z & = - 7 \\ - z & = - 3 \\ z & = 3 \end{aligned}$

Звідси рішення, представлене у вигляді впорядкованої$(x, y, z)$ трійки, є$(−2, 1, 3)$. Це та сама система, яку ми перевірили на початку цього розділу.

Відповідь

$(-2,1,3)$

Не має значення, яку змінну ми спочатку вибираємо для усунення, якщо ми усуваємо її двічі двома різними наборами рівнянь.

Приклад$\PageIndex{3}$

Вирішити:$\left\{ \begin{array} { c } { - 6 x - 3 y + 3 z = - 14 } \\ { 9 x + y - 6 z = 5 } \\ { 3 x + 2 y - 7 z = 15 } \end{array} \right.$.

Рішення

Оскільки$y$ має коефіцієнт$1$ у другому рівнянні, виберіть для усунення цієї змінної. Використовуйте рівняння$1$ і$2$ для усунення$y$.

Далі використовуємо рівняння$2$ і$3$ усуваємо$y$ знову.

Це залишає систему з двох рівнянь з двома змінними$x$ і$z$,

$\left\{ \begin{array} { l } { 21 x - 15 z = 1 } \\ { - 15 x + 5 z = 5 } \end{array} \right.$

Помножте друге рівняння на$3$ і усуньте змінну$z$.

Тепер повертаємося замінник, щоб знайти$z$.

$\begin{aligned} 21 x - 15 z & = 1 \\ 21 \left( \color{Cerulean}{- \frac { 2 } { 3} } \right) - 15 z & = 1 \\ - 14 - 15 z & = 1 \\ - 15 z & = 15 \\ z & = - 1 \end{aligned}$

Нарешті, виберіть одне з оригінальних рівнянь для пошуку$y$.

$\begin{aligned} - 6 x - 3 y + 3 z & = - 14 \\ - 6 \left( \color{Cerulean}{- \frac { 2 } { 3} } \right) - 3 y + 3 ( \color{Cerulean}{- 1}\color{Black}{ )} & = - 14 \\ 4 - 3 y - 3 & = - 14 \\ 1 - 3 y & = - 14 \\ - 3 y & = - 15 \\ y & = 5 \end{aligned}$

Відповідь

$\left( - \frac { 2 } { 3 } , 5 , - 1 \right)$

Приклад$\PageIndex{4}$

Вирішити:$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 6 y + 7 z = 4 } \\ { - 3 x - 4 y + 5 z = 12 } \\ { 5 x + 10 y - 3 z = - 13 } \end{array} \right.$.

Рішення

У цьому прикладі немає очевидного вибору змінної для усунення. Вибираємо для усунення$x$.

$\begin{array} { l } { \color{Cerulean}{ (1) } } \\ { \color{Cerulean}{ (2) } } \end{array}$$\left \{ \begin{array} { l l } { 2 x + 6y + 7z = 4 } & { \stackrel{ \times3 } { \Rightarrow } } \\ { -3 x -4y +5z = 12 } & { \underset { \times 2 } { \Rightarrow }} \end{array} \right. \left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 18 y + 21z = 12 } \\ { -6x -8y +10z = 24 } \end{array} \\\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad10y + 31z=36 \color{OliveGreen}{✓} \right.$

Далі використовуємо рівняння$2$ і$3$ усуваємо$x$ знову.

$\begin{array} { l } { \color{Cerulean}{ (2) } } \\ { \color{Cerulean}{ (3) } } \end{array}$$\left \{ \begin{array} { l l } { -3 x -4y + 5z = 12 } & { \stackrel{ \times5 } { \Rightarrow } } \\ { 5 x +10y -3z = -13 } & { \underset { \times 3 } { \Rightarrow }} \end{array} \right. \left\{ \begin{array} { l } { -15 x -20 y + 25z = 60 } \\ { 15x +30y -9z = -39 }\end{array} \\\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad10y + 16z=21 \color{OliveGreen}{✓} \right.$

Це залишає систему з двох рівнянь з двома змінними$y$ і$z$,

$\left\{ \begin{array} { l } { 10 y + 31 z = 36 } \\ { 10 y + 16 z = 21 } \end{array} \right.$

Перше рівняння помножте на засіб для усунення змінної$y$.$−1$

Тепер повертаємося замінник, щоб знайти$y$.

$\begin{aligned} 10 y + 31 z & = 36 \\ 10 y + 31 ( \color{OliveGreen}{1}\color{Black}{ )} & = 36 \\ 10 y + 31 & = 36 \\ 10 y & = 5 \\ y & = \frac { 5 } { 10 } \\ y & = \frac { 1 } { 2 } \end{aligned}$

Виберіть будь-яке з вихідних рівнянь для пошуку$x$.

$\begin{aligned} 2 x + 6 y + 7 z & = 4 \\ 2 x + 6 \left( \color{OliveGreen}{\frac { 1 } { 2 }} \right) + 7 ( \color{OliveGreen}{1}\color{Black}{ )} & = 4 \\ 2 x + 3 + 7 & = 4 \\ 2 x + 10 & = 4 \\ 2 x & = - 6 \\ x & = - 3 \end{aligned}$

Відповідь

$\left( - 3 , \frac { 1 } { 2 } , 1 \right)$

Вправа$\PageIndex{2}$

Вирішити:$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - z = 7 } \\ { 3 x + 5 y - 3 z = - 2 } \\ { 4 x - y + 2 z = 17 } \end{array} \right.$

Відповідь

$(3, -1, 2)$

www.youtube.com/В/КСБ8Д3Г2ІК

Залежні та непослідовні системи

Так само, як і в лінійних системах з двома змінними, не всі лінійні системи з трьома змінними мають єдине рішення. Іноді відсутні одночасні рішення.

Приклад$\PageIndex{5}$:

Вирішити систему:$\left\{ \begin{aligned} 4 x - y + 3 z & = 5 \\ 21 x - 4 y + 18 z & = 7 \\ - 9 x + y - 9 z & = - 8 \end{aligned} \right.$.

Рішення

У цьому випадку ми вирішили усунути змінну$y$.

$\begin{array} { l } { \color{Cerulean}{ (1) } } \\ { \color{Cerulean}{ (3) } } \end{array}$$\left \{ \begin{array} { l l } { 4 x -y + 3z = 5 } & \\ { -9 x +y -9z = -8 } & \end{array} \right. \\\quad-5x -6z=-3 \color{OliveGreen}{✓} $

Далі використовуємо рівняння$2$ і$3$ усуваємо$y$ знову.

Це залишає систему з двох рівнянь з двома змінними$x$ і$z$,

$\left\{ \begin{array} { l } { - 5 x - 6 z = - 3 } \\ { - 15 x - 18 z = - 25 } \end{array} \right.$

Перше рівняння множимо на$-3$ і усуваємо змінну$z$.

Складання отриманих рівнянь разом призводить до помилкового твердження, яке вказує на те, що система непослідовна. Одночасного рішення немає.

Відповідь

$\varnothing$

Подібно до лінійних систем з двома змінними, деякі лінійні системи з трьома змінними мають нескінченно багато рішень. Такі системи називаються залежними системами.

Приклад$\PageIndex{6}$

Вирішити систему:$\left\{ \begin{array} { c } { 7 x - 4 y + z = - 15 } \\ { 3 x + 2 y - z = - 5 } \\ { 5 x + 12 y - 5 z = - 5 } \end{array} \right.$.

Рішення

Усунути$z$, склавши перше і друге рівняння разом.

$\begin{array} { l } { \color{Cerulean}{ (1) } } \\ { \color{Cerulean}{ (3) } } \end{array}$$\left \{ \begin{array} { l l } { 7 x -4y + z = -15 } & \\ { 3 x +2y -z = -5 } & \end{array} \right. \\\quad10x -2y=-20 \color{OliveGreen}{✓} $

Далі використовуємо рівняння$1$ і$3$ усуваємо$z$ знову.

Це залишає систему з двох рівнянь з двома змінними$x$ і$y$,

$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x - 2 y = - 20 } \\ { 40 x - 8 y = - 80 } \end{array} \right.$

Вибудувати змінну$y$ для усунення, розділивши перше рівняння на,$2$ а друге рівняння на$−8$.

$\left \{ \begin{array} { l l } { 10 x -2y = -20 } & { \stackrel{ \div 2} { \Longrightarrow } } \\ { 40 x -8y = -80 } & { \underset { \div (-8) } { \Longrightarrow }} \end{array} \right. \left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = -10 } \\ { -5x +y = 10 }\end{array} \\\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad 0=0 \:\:\color{Cerulean}{True} \right.$

Істинне твердження вказує на те, що система залежна. Щоб висловити нескінченну кількість$(x, y,z)$ розв'язків термінами однієї змінної, ми вирішуємо for$y$ і$z$ обидва в терміні$x$.

$\begin{aligned} 10 x - 2 y & = - 20 \\ - 2 y & = - 10 x - 20 \\ \frac { - 2 y } { - 2 } & = \frac { - 10 x - 20 } { - 2 } \\ y & = 5 x + 10 \end{aligned}$

Після того, як ми маємо$y$ з точки зору$x$, ми можемо вирішити для з$z$ точки зору$x$ шляхом зворотного підстановки в одне з вихідних рівнянь.

$\begin{aligned} 7 x - 4 y + z & = - 15 \\ 7 x - 4 ( \color{OliveGreen}{5 x + 10}\color{black}{ )} + z & = - 15 \\ 7 x - 20 x - 40 + z & = - 15 \\ - 13 x - 40 + z & = - 15 \\ z & = 13 x + 25 \end{aligned}$

Відповідь

$( x , 5 x + 10,13 x + 25 )$

Послідовна система з нескінченно багатьма рішеннями є залежною системою. З огляду на три площини, нескінченно багато одночасних рішень можуть відбуватися різними способами.

Вправа$\PageIndex{3}$

Вирішити:$\left\{ \begin{aligned} 7 x + y - 2 z & = - 4 \\ - 21 x - 7 y + 8 z & = 4 \\ 7 x + 3 y - 3 z & = 0 \end{aligned} \right.$

Відповідь

$\left( x , \frac { 7 } { 3 } x + 4 , \frac { 14 } { 3 } x + 4 \right)$

www.youtube.com/В/ГГгатніймлі

Програми за участю трьох невідомих

Багато реальних додатків включають більше двох невідомих. Коли додаток вимагає трьох змінних, ми шукаємо зв'язки між змінними, які дозволяють нам написати три рівняння.

Приклад$\PageIndex{7}$

Громадський театр$63$ продавав квитки на післяобідню виставу в цілому$$444$. Вартість квитка для дорослих$$8$, вартість дитячого$$4$ квитка та вартість квитка для старших$$6$. Якщо дорослим було продано вдвічі більше квитків, ніж дітям та людям похилого віку разом узятих, скільки з кожного квитка було продано?

Рішення

Почніть з визначення трьох змінних.

$x$Дозволяти представляти кількість проданих квитків для дорослих.

$y$Дозволяти представляти кількість проданих дитячих квитків.

Нехай$z$ представляють кількість проданих старших квитків.

Перше рівняння походить із заяви про те, що$63$ квитки були продані.

$\color{Cerulean}{(1)}\quad \color{black}{x}+y+z=63$

Друге рівняння походить від загального обсягу продажів квитків.

$\color{Cerulean}{(2)}\quad \color{black}{8}x+4y+6z=444$

Третє рівняння походить від твердження, що вдвічі більше квитків для дорослих було продано, ніж дитячі та старші квитки разом узяті.

$\begin{aligned} x & = 2 ( y + z ) \\ x & = 2 y + 2 z \\ \color{Cerulean}{( 3 )} \quad\color{black}{ x} - 2 y - 2 z & = 0 \end{aligned}$

Тому завдання моделюється наступною лінійною системою.

$\left\{ \begin{array} { c } { x + y + z = 63 } \\ { 8 x + 4 y + 6 z = 444 } \\ { x - 2 y - 2 z = 0 } \end{array} \right.$

Рішення цієї системи залишають як вправу. Рішення є$(42, 9, 12)$.

Відповідь

Театр продавав квитки$42$ для дорослих,$9$ дитячі квитки та квитки для$12$ старших.

Ключові винос

Одночасне розв'язання лінійної системи з трьома рівняннями та трьома змінними - це впорядкована трійка$(x, y, z)$, яка задовольняє всі рівняння. Якщо він не вирішує кожне рівняння, то це не рішення.
Ми можемо розв'язати системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими шляхом усунення. Виберіть будь-які два рівняння і усуньте змінну. Далі вибираємо будь-які інші два рівняння і усуваємо ту ж змінну. Це призведе до створення системи з двох рівнянь з двома змінними, які можуть бути вирішені будь-яким методом, вивченим раніше.
Якщо процес розв'язання системи призводить до помилкового твердження, значить, система непослідовна і не має рішення.
Якщо процес розв'язання системи призводить до істинного твердження, то система залежна і має нескінченно багато рішень.
Щоб вирішити програми, які вимагають трьох змінних, шукайте зв'язки між змінними, які дозволяють записати три лінійні рівняння.

Вправа$\PageIndex{4}$

Визначте, чи є дана впорядкована трійка рішенням даної системи.

1. $(3, -2, -1)$;

$\left\{ \begin{array} { c } { x + y - z = 2 } \\ { 2 x - 3 y + 2 z = 10 } \\ { x + 2 y + z = - 3 } \end{array} \right.$

2. $(-8, -1, 5)$;

$\left\{ \begin{array} { c } { x + 2 y - z = - 15 } \\ { 2 x - 6 y + 2 z = 0 } \\ { 3 x - 9 y + 4 z = 5 } \end{array} \right.$

3. $(1, -9, 2)$;

$ \left\{ \begin{array} { c } { 8 x + y - z = - 3 } \\ { 7 x - 2 y - 3 z = 19 } \\ { x - y + 9 z = 28 } \end{array} \right.$

4. $(-4, 1, -3)$;

$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y - z = - 7 } \\ { x - 5 y + 2 z = 3 } \\ { 2 x + y + 3 z = - 16 } \end{array} \right.$

5. $\left( 6 , \frac { 2 } { 3 } , - \frac { 1 } { 2 } \right)$;

$\left\{ \begin{array} { c } { x + 6 y - 4 z = 12 } \\ { - x + 3 y - 2 z = - 3 } \\ { x - 9 y + 8 z = - 4 } \end{array} \right.$

6. $\left( \frac { 1 } { 4 } , - 1 , - \frac { 3 } { 4 } \right)$;

$\left\{ \begin{array} { r } { 2 x - y - 2 z = 3 } \\ { 4 x + 5 y - 8 z = 2 } \\ { x - 2 y - z = 3 } \end{array} \right.$

7. $(3, -2, 1)$;

$\left\{ \begin{array} { c } { 4 x - 5 y = 22 } \\ { 2 y - z = 8 } \\ { - 5 x + 2 z = - 13 } \end{array} \right.$

8. $\left( 1 , \frac { 5 } { 2 } , - \frac { 1 } { 2 } \right)$;

$\left\{ \begin{aligned} 2 y - 6 z & = 8 \\ 3 x - 4 z & = 5 \\ 18 z & = - 9 \end{aligned} \right.$

9. $\left( \frac { 1 } { 2 } , - 2,6 \right)$;

$\left\{ \begin{array} { c } { a - b + c = 9 } \\ { 4 a - 2 b + c = 14 } \\ { 2 a + b + \frac { 1 } { 2 } c = 3 } \end{array} \right.$

10. $( - 1,5 , - 7 )$;

$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + b + \frac { 1 } { 3 } c = - \frac { 1 } { 3 } } \\ { 8 a + 2 b + \frac { 1 } { 2 } c = - \frac { 3 } { 2 } } \\ { 25 a + 5 b + c = - 7 } \end{array} \right.$

Відповідь

1. Ні

3. Так

5. Так

7. Ні

9. Ні

Вправа$\PageIndex{5}$

Вирішити

$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y + z = 4 } \\ { 5 x + 2 y + 2 z = 2 } \\ { x + 4 y - 3 z = 7 } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array} { c } { 5 x - 2 y + z = - 9 } \\ { 2 x + y - 3 z = - 5 } \\ { 7 x + 3 y + 2 z = 6 } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array} { c } { x + 5 y - 2 z = 15 } \\ { 3 x - 7 y + 4 z = - 7 } \\ { 2 x + 4 y - 3 z = 21 } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array} { c } { x - 4 y + 2 z = 3 } \\ { 2 x + 3 y - 3 z = 9 } \\ { 3 x + 2 y + 4 z = - 1 } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array} { c } { 5 x + 4 y - 2 z = - 5 } \\ { 4 x - y + 3 z = 14 } \\ { 6 x + 3 y - 5 z = - 12 } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + 3 y - 2 z = - 4 } \\ { 3 x + 5 y + 3 z = 17 } \\ { 2 x + y - 4 z = - 8 } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array} { c } { x + y - 4 z = 1 } \\ { 9 x - 3 y + 6 z = 2 } \\ { - 6 x + 2 y - 4 z = - 2 } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} 5 x - 8 y + z & = 5 \\ - 3 x + 5 y - z & = - 3 \\ - 11 x + 18 y - 3 z & = - 5 \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x - y + 2 z & = 3 \\ 2 x - y + 3 z & = 2 \\ - x - 3 y + 4 z & = 1 \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{array} { c } { x + y + z = 8 } \\ { x - y + 4 z = - 7 } \\ { - x - y + 2 z = 1 } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - y + 2 z = 3 } \\ { 6 x + 3 y - 4 z = - 1 } \\ { 3 x - 2 y + 3 z = 4 } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array} { c } { x - 4 y + 6 z = - 1 } \\ { 3 x + 8 y - 2 z = 2 } \\ { 5 x + 2 y - 3 z = - 5 } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 4 y - z = 7 } \\ { 5 x - 8 y + 3 z = 11 } \\ { 2 x + 6 y + z = 9 } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y - 4 z = 6 } \\ { 6 x - 5 y + 3 z = 1 } \\ { 9 x + 3 y - 4 z = 10 } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - 6 y + z = 8 } \\ { - x + 2 y - z = 4 } \\ { x + 2 y - 2 z = 14 } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array} { l } { - 9 x + 3 y + z = 3 } \\ { 12 x - 4 y - z = 2 } \\ { - 6 x + 2 y + z = 8 } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array} { c } { a - b + c = 9 } \\ { 4 a - 2 b + c = 14 } \\ { 2 a + b + \frac { 1 } { 2 } c = 3 } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + b + \frac { 1 } { 3 } c = - \frac { 1 } { 3 } } \\ { 8 a + 2 b + \frac { 1 } { 2 } c = - \frac { 3 } { 2 } } \\ { 25 a + 5 b + c = - 7 } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y - 4 z = - 5 } \\ { 4 x - 6 y + 3 z = - 22 } \\ { 6 x + 8 y - 5 z = 20 } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 4 y - 2 z = 8 } \\ { 2 x + 2 y + 3 z = - 4 } \\ { 3 x - 6 y - 7 z = 8 } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array} { c } { 9 x + 7 y + 4 z = 8 } \\ { 4 x - 5 y - 6 z = - 11 } \\ { - 5 x + 2 y + 3 z = 4 } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 7 y + 2 z = - 7 } \\ { 5 x + 4 y + 3 z = 5 } \\ { 2 x - 3 y + 5 z = - 4 } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 1 } \\ { 2 y - 3 z = 2 } \\ { 3 x + 2 z = 3 } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array} { l } { 5 y - 3 z = - 28 } \\ { 3 x + 2 y = 8 } \\ { 4 y - 7 z = - 27 } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} 2 x + 3 y + z & = 1 \\ 6 y + z & = 4 \\ 2 z & = - 4 \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x - 3 y - 2 z & = 5 \\ 2 y + 6 z & = - 1 \\ 4 z & = - 6 \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} 2 x & = 10 \\ 6 x - 5 y & = 30 \\ 3 x - 4 y - 2 z & = 3 \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + 7 z = 2 } \\ { - 4 y = 6 } \\ { 8 y + 3 z = 0 } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array} { c } { 5 x + 7 y + 2 z = 4 } \\ { 12 x + 16 y + 4 z = 15 } \\ { 10 x + 13 y + 3 z = 14 } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 12 y - 8 z = 5 } \\ { 2 x + 3 y - 2 z = 2 } \\ { 4 x - 2 y + 5 z = - 1 } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array} { c } { 17 x - 4 y - 3 z = - 2 } \\ { 5 x + \frac { 1 } { 2 } y - 2 z = - \frac { 9 } { 2 } } \\ { 2 x + 5 y - 4 z = - 13 } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} 3 x - 5 y - \frac { 1 } { 2 } z & = \frac { 7 } { 2 } \\ x - y - \frac { 1 } { 2 } z & = - \frac { 1 } { 2 } \\ 3 x - 8 y + z & = 11 \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{array} { l } { 4 a - 2 b + 3 c = 9 } \\ { 3 a + 3 b - 5 c = - 6 } \\ { 10 a - 6 b + 5 c = 13 } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array} { l } { 6 a - 2 b + 5 c = - 2 } \\ { 4 a + 3 b - 3 c = - 1 } \\ { 3 a + 5 b + 6 c = 24 } \end{array} \right.$

Відповідь

1. $(2, -1, -3)$

3. $(4, 1, -3)$

5. $(1, -1, 3)$

7. $\varnothing$

9. $(5, -10, -6)$

11. $\left( \frac { 1 } { 2 } , - 2 , - \frac { 1 } { 2 } \right)$

13. $\left( 3 , \frac { 1 } { 2 } , 0 \right)$

15. $\left( x , \frac { 3 } { 2 } x - 3,2 x - 10 \right)$

17. $(1, -2, 6)$

19. $(-1, 2, -2)$

21. $(1, -3, 5)$

23. $(1, 1, 0)$

25. $(0, 1, -2)$

27. $(5, 0, 6)$

29. $\varnothing$

31. $( x , 2 x - 1,3 x + 2 )$

33. $(1, 2, 3)$

Вправа$\PageIndex{6}$

Налаштуйте систему рівнянь і використовуйте її для вирішення наступного.

Сума трьох цілих чисел дорівнює$38$. У два менше, ніж$4$ рази менше ціле число дорівнює сумі інших. Сума меншого і більшого цілого числа дорівнює$2$ більш ніж в два рази більше, ніж іншого. Знайти цілі числа.
Сума трьох цілих чисел дорівнює$40$. Тричі менше ціле число дорівнює сумі інших. У два рази$8$ більше дорівнює більше, ніж сума інших. Знайти цілі числа.
Сума кутів$A, B$, а$C$ трикутника дорівнює$180°$. Більший кут$C$ дорівнює подвоєній сумі двох інших. Чотири рази$A$ найменший кут дорівнює різниці кута$C$ і$B$. Знайдіть кути.
Сума кутів$A, B$, а$C$ трикутника дорівнює$180°$. Кут$C$ дорівнює сумі двох інших кутів. $A$П'ятикратний кут дорівнює сумі кута$C$ і$B$. Знайдіть кути.
Всього$$12,000$ було вкладено в три рахунки, що заробляють відсотки. Процентні ставки$2$ становили$4$%,% та$5$%. Якщо загальний простий відсоток за один рік був$$400$ і сума вкладень під$2$% дорівнювала сумі сум на двох інших рахунках, то скільки було вкладено в кожен рахунок?
Джо вклав свій$$6,000$ бонус на три рахунки, заробляючи$4 \frac{1}{2}$% відсотків. Він вклав удвічі більше в рахунок, заробляючи$4 \frac{1}{2}$%, ніж на інших двох рахунках разом узятих. Якщо загальний простий відсоток за рік був$$234$, скільки Джо вклав у кожен рахунок?
Баночка містить нікелі, копійки та чверті. Є$105$ монети загальною вартістю$$8.40$. Якщо в два рази$3$ більше копійок, ніж чвертей, знайдіть, скільки кожної монети знаходиться в банку.
Білфолд тримає один долар, п'ять доларів і десять доларів купюри і має значення$$210$. Є$50$ купюри загальною, де кількість однодоларових купюр на один менше, ніж удвічі перевищує кількість п'ятидоларових купюр. Скільки кожного законопроекту є?
Медсестра бажає приготувати розчин місцевого антисептика$15$ -унції, що містить$3$% перекису водню. Для отримання цієї суміші до наявних%$1.5$ і% продуктів перекису водню додають очищену воду.$10$ Якщо є лише$3$ унції$10$% розчину пероксиду водню, скільки потрібно$1.5$% розчину перекису водню та води?
Хіміку потрібно виготовити розчин$32$ -унції, що складається$8 \frac{3}{4}$ в% кислоти. Він має три концентрати з$5$%,$10$%$40$ і% кислоти. Якщо він повинен використовувати вдвічі більше$5$% розчину кислоти, ніж$10$% розчину, то скільки унцій$40$% розчину йому знадобиться?
Громадський театр$128$ продавав квитки на вечірню виставу в цілому$$1,132$. Вартість квитка для дорослих$$10$, вартість дитячого$$5$ квитка та вартість квитка для старших$$6$. Якщо дорослим було продано втричі більше квитків, ніж дітям та людям похилого віку разом узятих, скільки з кожного квитка було продано?
Джеймс$82$ продавав предмети на зустрічі своп в цілому$$504$. Він продавав пакети шкарпеток для$$6$, друкував футболки для$$12$, і шапки для$$5$. Якщо він$5$ продав раз стільки капелюхів, скільки футболок, скільки кожного предмета він продав?
Парабола проходить через три точки$(−1, 7), (1, −1)$ і$(2, −2)$. Використовувати ці точки і$y = a x ^ { 2 } + b x + c$ побудувати систему з трьох лінійних рівнянь в терміні$a, b$,$c$ а потім вирішити систему.
Парабола проходить через три точки$(−2, 11), (−1, 4)$ і$(1, 2)$. Використовувати ці точки і$y = a x ^ { 2 } + b x + c$ побудувати систему з трьох лінійних рівнянь в терміні$a, b$,$c$ і вирішити її.

Відповідь

1. $8, 12, 18$

3. $A = 20 ^ { \circ } , B = 40 ^ { \circ } , \text { and } C = 120 ^ { \circ }$

5. Сума вкладена в$2$% була$$6,000$, сума вкладена в$4$% була$$2,000$, а сума вкладена під$5$% була$$4,000$.

7. $72$нікелів,$23$ копійок і$10$ чвертей

9. $10$унції$1.5$% розчину пероксиду водню і$2$ унції води

11. $96$Були продані квитки для дорослих, дитячі квитки та квитки для$12$ старших.$20$

13. $a = 1, b = −4$, і$c = 2$

Вправа$\PageIndex{7}$

На записній картці запишіть кроки для вирішення системи з трьох лінійних рівнянь з трьома змінними за допомогою елімінації. Використовуйте свої замітки, щоб пояснити другові, як вирішити одну з вправ у цьому розділі.
Дослідіть та обговоріть підгонку кривої. Чому підгонка кривої є важливою темою?

Відповідь: 1. Відповідь може відрізнятися

Виноски

¹⁹ Трійки$(x, y, z)$, які ідентифікують положення щодо початку в тривимірному просторі.

²⁰ Рівняння, яке можна записати в стандартному вигляді$ax + by + cz = d$ де$a, b, c$, і$d$ є дійсними числами.

²¹ Будь-яка рівна двовимірна поверхня.

\(\color{Cerulean}{Check:}\color{Black}{(-2,1,3)}\)
\(\begin{array} { r } { \text { Equation } \color{Cerulean}{( 1 ) :} } \\ { 3 x + 2 y + z = - 7 } \\ { 3 ( \color{Cerulean}{- 2}\color{Black}{ )} + 2 ( \color{Cerulean}{1}\color{Black}{ )} - ( \color{Cerulean}{3}\color{Black}{ )} = - 7 } \\ { - 6 + 2 - 3 = - 7 } \\ { - 7 = - 7\:\:\color{Cerulean}{✓} } \end{array}\)	\(\begin{array} { r } { \text { Equation } \color{Cerulean}{( 2 ) : }} \\ { 6 x -y + 3z = -4 } \\ { 6 ( \color{Cerulean}{- 2}\color{Black}{ )} - (\color{Cerulean}{ 1}\color{Black}{ )} -3 (\color{Cerulean}{ 3}\color{Black}{ )} = - 4 } \\ { - 12 -1 -9 = - 4 } \\ { - 4 = - 4 } \:\:\color{Cerulean}{✓}\end{array}\)	\(\begin{array} { r } { \text { Equation }\color{Cerulean}{ ( 3 ) :} } \\ { x +10y -2z = 2 } \\ { ( \color{Cerulean}{- 2}\color{Black}{ )} +10 ( \color{Cerulean}{1}\color{Black}{ )} -2 ( \color{Cerulean}{3}\color{Black}{ )} = 2 } \\ { - 2+10 -6 = 2 } \\ { 2 = 2 } \:\:\color{Cerulean}{✓} \end{array}\)

\(\color{Cerulean}{Check:}\color{Black}{(1, 4, \frac{4}{3})}\)
\(\begin{array} { r } { \text { Equation } \color{Cerulean}{( 1 ) :} } \\ { 9 x + y - 6 z = 5 } \\ { 9 ( \color{Cerulean}{1}\color{Black}{ )} + ( \color{Cerulean}{4}\color{Black}{ )} - 6 \left( \color{Cerulean}{\frac { 4 } { 3 }} \right) = 5 } \\ { 9 + 4 - 8 = 5 } \\ { 5 = 5 } \:\:\color{Cerulean}{✓}\end{array}\)	\(\begin{array} { r } { \text { Equation } \color{Cerulean}{( 2 ) :} } \\ { -6x -3y +3z = -14 } \\ { 6 ( \color{Cerulean}{1}\color{Black}{ )} - 3( \color{Cerulean}{4}\color{Black}{ )}+ 3 \left( \color{Cerulean}{\frac { 4 } { 3 }} \right) = -14 } \\ { -6-12+4 = -14 } \\ { -14= -14 } \:\:\color{Cerulean}{✓}\end{array}\)	\(\begin{array} { r } { \text { Equation } \color{Cerulean}{( 3 ) :} } \\ { 3x+2y-7z = 15 } \\ { 3 ( \color{Cerulean}{1}\color{Black}{ )} +2( \color{Cerulean}{4}\color{Black}{ )}-7 \left( \color{Cerulean}{\frac { 4 } { 3 }} \right) = 15 } \\ { 3+8-\frac{28}{3} = 15 } \\ { \frac{5}{3}= 15 } \:\:\color{red}{X}\end{array}\)