3.3: Застосування лінійних систем з двома змінними

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58308

Anonymous
LibreTexts

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Налаштуйте та вирішуйте програми, що включають зв'язки між двома змінними.
Налаштуйте та вирішуйте проблеми суміші.
Налаштуйте та вирішуйте проблеми рівномірного руху (задачі відстані).

Проблеми, пов'язані з відносинами між двома змінними

Якщо перевести додаток в математичну установку за допомогою двох змінних, то нам потрібно сформувати лінійну систему з двома рівняннями. Налаштування проблем зі словами з двома змінними часто спрощує весь процес, особливо коли відносини між змінними не настільки зрозумілі.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Сума$4$ разів більше ціле і$5$ раз менше ціле число дорівнює$7$. Коли двічі менше ціле число віднімається з$3$ разів більше, результат є$11$. Знайти цілі числа.

Рішення

Почніть з присвоєння змінних більшому та меншому цілому числу.

$x$Дозволяти представляти більше ціле число.

$y$Дозволяти представляти менше ціле число.

При використанні двох змінних нам потрібно встановити два рівняння. Перше речення описує суму, а друге речення описує різницю.

Це призводить до наступної системи:

$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 7 } \\ { 3 x - 2 y = 11 } \end{array} \right.$

Вирішити за допомогою методу усунення. Для усунення змінної$y$ помножте перше рівняння на,$2$ а друге - на$5$.

$\left\{ \begin{array} { l l } { 4 x + 5y = 7 } & { \stackrel { \times2 } { \Rightarrow } } \\ { 3 x -2y = 11 } & { \stackrel { \Rightarrow } { \times 5 } } \end{array} \right. \left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 10 y = 14 } \\ { 15 x -10y = 55 } \end{array} \right.$

Додайте рівняння в еквівалентну систему і вирішіть для$x$.

$\begin{aligned} 8 x \color{red}{+ 10 y} &\color{black}{=} 14 \\ \pm 15 x \color{red}{- 10 y} & \color{black}{=} 55 \\ \hline\\ 23x & = 99\\ x & = \frac{69}{23}\\x&=3 \end{aligned}$

Назад замінник знайти$y$.

$\begin{aligned} 4 x + 5 y & = 7 \\ 4 ( \color{OliveGreen}{3} \color{black}{)} + 5 y & = 7 \\ 12 + 5 y & = 7 \\ 5 y & = - 5 \\ y & = - 1 \end{aligned}$

Відповідь:

Найбільше ціле число -$3$ і менше число -$-1$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Ціле число$1$ менше, ніж в два рази більше, ніж інше. Якщо їх сума дорівнює$20$, знайдіть цілі числа.

Відповідь

Два цілих числа -$7$ і$13$.

www.youtube.com/В/ЛНЗО1_J4x20

Далі розглянемо додатки, що передбачають прості відсотки і гроші.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Всього$$12,800$ було вкладено два рахунки. Частина була інвестована в компакт-диск під$3 \frac{1}{8}$% річної процентної ставки, а частина була вкладена в фонд грошового ринку під$4 \frac{3}{4}$% річної процентної ставки. Якщо загальний простий відсоток за один рік був$$465$, то скільки було вкладено в кожен рахунок?

Рішення

Почніть з визначення двох змінних.

Нехай$x$ представляють суму вкладеного в$3 \frac{1}{8}$%$= 3.125$%$= 0.03125$.

Нехай$y$ представляють суму, вкладену$4 \frac{3}{4}$$= 4.75$ в%% =$0.0475$.

Загальна сума на обох рахунках може бути виражена у вигляді

$x+y=12,800$

Щоб налаштувати друге рівняння, використовуйте той факт, що загальний відсоток був$$465$. Нагадаємо, що відсотки за один рік - це процентна ставка в рази більше основної суми$(I = prt = pr ⋅ 1 = p)$. Використовуйте це, щоб додати відсотки в обох облікових записах. Переконайтеся, що r використовує десяткові еквіваленти для процентних ставок, заданих у відсотках.

$\begin{aligned} \color{Cerulean} { interest\: from\: the\: C D\: +\: interest\: from\: the\: fund\: =\: total\: interest } \\ 0.03125 x \quad\quad\quad +\quad\quad\:\: \quad 0.0475 y \quad\quad\quad\quad = 465\quad\quad\quad\quad\:\: \end{aligned}$

Ці два рівняння разом утворюють наступну лінійну систему:

$\left\{ \begin{array} { c } { x + y = 12,800 } \\ { 0.03125 x + 0.0475 y = 465 } \end{array} \right.$

Усунути$x$ шляхом множення першого рівняння на$-0.03125$.

Далі складаємо отримані рівняння.

$\begin{aligned} \color{red}{- 0.03125 x}\color{black}{ -} 0.03125 y &= - 400 \\ \pm\:\: \color{red}{0.03125 x}\color{black}{ +} 0.0475 y &= 465 \\ \hline \\0.01625y &=65 \\ y & = \frac{65}{0.01635} \\ y & = 4,000 \end{aligned}$

Назад замінник знайти$x$.

$\begin{aligned} x + y & = 12,800 \\ x + 4000 & = 12,800 \\ x & = 8,800 \end{aligned}$

Відповідь:

$$4,000$було інвестовано в$4 \frac{3}{4}$% і$$8,800$ інвестовано під$3 \frac{1}{8}$%.

Приклад$\PageIndex{3}$:

Баночка, що складається тільки з нікелів і копійок, містить$58$ монети. Якщо загальна вартість$$4.20$, скільки кожної монети знаходиться в банку?

Рішення

$n$Дозволяти представляти кількість нікелів в банку.

$d$Дозволяти представляти кількість копійок в банку.

Загальна кількість монет в банку можна виразити за допомогою наступного рівняння:

$n+d=58$

Далі використовуйте значення кожної монети, щоб визначити загальну вартість$$4.20$.

$\begin{aligned} \color{Cerulean} {value\: of\: nickels\: + \: value\: of\: dimes\: =\: total\:value} \\ 0.05 n\quad\quad\: +\quad\:\:\: 0.10 d\quad\quad\quad = 4.20\quad\quad\quad \end{aligned}$

Це призводить нас до наступної лінійної системи:

$\left\{ \begin{array} { l } { n + d = 58 } \\ { 0.05 n + 0.10 d = 4.20 } \end{array} \right.$

Тут ми будемо вирішувати за допомогою методу підстановки. У першому рівнянні ми можемо вирішити для$n$.

$n = 58 − d$Підставляємо в друге рівняння і вирішуємо для$d$.

$\begin{aligned} 0.05 ( \color{Cerulean}{58 - d}\color{black}{ )} + 0.10 d & = 4.20 \\ 2.9 - 0.05 d + 0.10 d & = 4.20 \\ 2.9 + 0.05 d & = 4.20 \\ 0.05 d & = 1.3 \\ d & = 26 \end{aligned}$

Тепер повертаємося підставляємо, щоб знайти кількість нікелів.

$\begin{aligned} n & = 58 - d \\ & = 58 - 26 \\ & = 32 \end{aligned}$

Відповідь:

У баночці є$32$ нікелі і$26$ копійки.

Вправа$\PageIndex{2}$

У Джої є баночка, повна$40$ монет, що складаються тільки з чвертей і нікелів. Якщо загальна вартість$$5.00$, скільки з кожної монети Джоуї є?

Відповідь

У Джої є$15$ чверті і$25$ нікельси.

www.youtube.com/В/41БХТ_ТТКА

Проблеми сумішей

Проблеми з сумішшю часто включають відсоток і деяку загальну суму. Важливо розмежувати ці два типи величин. Наприклад, якщо проблема говорить про те, що ємність$20$ -унція заповнена$2$% сольовим (сольовим) розчином, то це означає, що ємність заповнюється сумішшю солі і води наступним чином:

Таблиця$\PageIndex{1}$
	Відсоток	Сума
Сіль	$2$$= 0.02$	$0.02(20$унцій$) = 0.4$ унцій
Вода	$98$%$= 0.98$	$0.98(20$унцій$) = 19.6$ унцій

Іншими словами, множимо відсоток на загальну суму, щоб отримати кількість кожної частини суміші.

Приклад$\PageIndex{4}$:

$1.8$% сольовий розчин повинен бути об'єднаний і змішаний$3.2$ з% сольовим розчином для отримання$35$ унцій сольового розчину$2.2$%. Скільки потрібно кожного?

Рішення

$x$Дозволяти представляти кількість необхідного сольового розчину$1.8$%.

$y$Дозволяти представляти кількість необхідного сольового розчину$3.2$%.

Загальна кількість сольового розчину, необхідного -$35$ унції. Це призводить до одного рівняння,

$x+y=35$

Друге рівняння додає кількість солі в правильних відсотках. Кількість солі отримують шляхом множення в процентному співвідношенні на кількість, де змінні$x$ і$y$ представляють кількості розчинів. Кількість солі в кінцевому розчині становить$2.2$% від$35$ унцій, або$.022(35)$.

$\begin{aligned} \color {Cerulean} { salt\: in\: 1.8} \%\: \color{Cerulean}{solution } + \color{Cerulean} { salt\: in \:} 3.2 \% \color{Cerulean} { \:solution } = \color{Cerulean} { salt\: in\: the\: end\: solution } \\ 0.018 x \quad\quad\quad+ \quad\:\quad 0.032 y\quad\quad\quad\quad = \quad\quad\quad0.022 ( 35 )\quad\quad\quad \end{aligned}$

Алгебраїчна установка складається з обох рівнянь, представлених у вигляді системи:

$\left\{ \begin{array} { c } { x + y = 35 } \\ { 0.018 x + 0.032 y = 0.022 ( 35 ) } \end{array} \right.$

Вирішити.

Складіть отримані рівняння разом

$\begin{aligned} - 0.018 x - 0.018 y &= - 0.63 \\ \pm\:\: 0.018 x + 0.032 y &= 0.77 \\ \hline \\0.014y &=0.14\\y&=\frac{0.14}{0.014}\\y&=10 \end{aligned}$

Назад замінник знайти$x$.

$\begin{aligned} x + y & = 35 \\ x + \color{OliveGreen}{10} & \color{Black}{=} 35 \\ x & = 25 \end{aligned}$

Відповідь:

Нам потрібні$25$ унції$1.8$% сольового розчину і$10$ унції$3.2$% сольового розчину.

Приклад$\PageIndex{5}$:

Концентрат антифризу$80$% змішують з водою для отримання$48$ літрової суміші, що містить$25$% антифризу. Скільки потрібно води і концентрату антифризу?

Рішення

Дозвольте$x$ представляти кількість необхідного концентрату антифризу$80$%.

$y$Дозволяти представляти кількість води, необхідної.

Загальний обсяг суміші повинен складати$48$ літри.

$x+y=48$

Друге рівняння додає кількість антифризу з кожного розчину в правильних відсотках. Кількість антифризу в кінцевому результаті$25$ складає%$48$ літра, або$0.25(48)$.

$\begin{aligned} \color {Cerulean} { antifreeze\: in\: 80} \%\: \color{Cerulean}{concentrate } + \color{Cerulean} { antrifreeze\: in \: water} = \color{Cerulean} { antifreeze\: in\: the\: end\: mixture } \\ 0.018 x \quad\quad \quad\quad\quad+ \: \quad\:\quad 0.032 y\quad\quad\quad\quad = \quad\quad\quad\quad0.022 ( 35 )\quad\quad\quad\quad\quad \end{aligned}$

Тепер ми можемо сформувати систему з двох лінійних рівнянь і двох змінних наступним чином:

$\left\{ \begin{array} { c } { x + y = 48 } \\ { 0.80 x = 0.25 ( 48 ) } \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array} { l } { x + y = 48 } \\ { 0.80 x = 12 } \end{array} \right.$

Використовуйте друге рівняння, щоб знайти$x$:

$\begin{aligned} 0.80 x & = 12 \\ x & = \frac { 12 } { 0.80 } \\ x & = 15 \end{aligned}$

Назад замінник знайти$y$.

$\begin{aligned} x + y & = 48 \\ \color{OliveGreen}{15} + y & = 48 \\ y & = 33 \end{aligned}$

Відповідь:

Нам потрібно змішати$33$ літри води з$15$ літрами концентрату антифризу.

Вправа$\PageIndex{3}$

Хімік бажає створити$100$ мл розчину з$12$% вмістом кислоти. Він використовує два типи вихідних розчинів, один з вмістом кислоти$30$%, а інший з вмістом кислоти$10$%. Скільки кожного йому потрібно?

Відповідь

Хіміку потрібно буде змішати$10$ мл$30$% -ного розчину кислоти з$90$ мл$10$% -ного розчину кислоти.

www.youtube.com/В/НХБ за 9 МВт

Проблеми рівномірного руху (задачі відстані)

Нагадаємо, що пройдена відстань дорівнює середньому показнику часу, що пройшов з цією швидкістю,$D = r ⋅ t$. Ці проблеми рівномірного руху зазвичай мають багато даних, тому це допомагає спочатку організувати ці дані в діаграмі, а потім налаштувати лінійну систему. У цьому розділі пропонується використовувати дві змінні.

Приклад$\PageIndex{6}$:

Виконавчий проїхав загалом$4$ години і$875$ милі на машині та літаку. Під'їжджаючи до аеропорту на машині, вона набирала в середньому$50$ кілометри на годину. У повітрі літак в середньому становив$320$ милі на годину. Скільки часу їй знаДОБИЛОСЯ, щоб доїхати до аеропорту?

Рішення

Нас просять знайти час, який потрібен їй, щоб доїхати до аеропорту; це вказує на те, що час - невідома кількість.

Нехай$x$ уявляють час, який знадобився, щоб доїхати до аеропорту. Нехай$y$ уявляють час, проведений в повітрі.

Заповніть діаграму заданою інформацією.

Використовуйте формулу$D = r \cdot t$, щоб заповнити невідомі відстані.

$\begin{array} { l } { \text { Distance traveled in the car: } D = r \cdot t = 50 \cdot x } \\ { \text { Distance traveled in the air: } D = r \cdot t = 320 \cdot y } \end{array}$

Стовпець відстані та стовпчик часу діаграми допомагають нам налаштувати наступну лінійну систему.

$\left\{ \begin{array} { c } { x + y = \:4 \:\:\color{Cerulean}{\leftarrow total \:time\:traveled }} \\ { 50 x + 320 y = 875 \color{Cerulean}{\leftarrow total\: distance\: traveled } } \end{array} \right.$

Вирішити.

$\begin{aligned} \color{red}{- 50 x}\color{black}{ -} 50 y& = - 200 \\ \pm\:\:\color{red}{ 50 x}\color{black}{ +} 320 y& = 875 \\ \hline\\270y&=675\\y&=\frac{675}{270}\\y&=\frac{5}{2} \end{aligned}$

Тепер назад замінюємо, щоб знайти час, який$x$ знадобився, щоб доїхати до аеропорту:

$\begin{aligned} x + y & = 4 \\ x + \color{OliveGreen}{\frac { 5 } { 2 }} & \color{Black}{=} 4 \\ x & = \frac { 8 } { 2 } - \frac { 5 } { 2 } \\ x & = \frac { 3 } { 2 } \end{aligned}$

Відповідь:

Їй знадобилися$1 \frac{1}{2}$ години, щоб доїхати до аеропорту.

Не завжди так, що час - це невідома кількість. Уважно прочитайте проблему та визначте, що вас попросять знайти; це визначає ваші змінні.

Приклад$\PageIndex{7}$:

Літаючи з вітром, легкий літак пройшов$240$ милі за$2$ годинами. Потім літак повернувся проти вітру і проїхав ще$135$ милі за$1 \frac{1}{2}$ години. Знайти швидкість літака і швидкість вітру.

Рішення

Почніть з ідентифікації змінних.

$x$Дозволяти представляти швидкість літака.

Нехай$w$ представляють швидкість вітру.

Використовуйте наступну діаграму для організації даних:

З вітром загальна швидкість літака становить$x + w$. Літаючи проти вітру, загальна швидкість дорівнює$x − w$.

Використовуйте рядки діаграми разом з формулою$D = r ⋅ t$ для побудови лінійної системи, яка моделює цю задачу. Подбайте про те, щоб згрупувати величини, що представляють норму в дужках.

$\left\{ \begin{array} { l } { 240 = ( x + w ) \cdot 2 \color{Cerulean}{\leftarrow distance\: traveled\: with \:the \:wind } } \\ { 135 = ( x - w ) \cdot 1.5 \color{Cerulean}{ \leftarrow distance\: traveled\: against\: the\: wind } } \end{array} \right.$

Якщо розділити обидві сторони першого рівняння на$2$ і обидві сторони другого рівняння на$1.5$, то отримаємо наступну еквівалентну систему:

$\left\{ \begin{array} { l } { 240 = ( x + w ) \cdot 2 } \quad\quad\overset{\div 2}{\Longrightarrow} \\ { 135 = ( x - w ) \cdot 1.5 \:\quad\underset{\div 1.5}{\Longrightarrow} } \end{array} \right. \quad \left\{ \begin{array} { l } { 120 = x + w } \\ { 90 = x - w } \end{array} \right.$

$w$Тут вишикувалися для усунення.

$\begin{aligned} x \color{red}{+ w}&\color{black}{ =} 120 \\ \pm x \color{red}{- w}&\color{black}{=} 90 \\ \hline\\2x &=210\\x & = \frac{210}{2} \\x& = 105\end{aligned}$

Замінник спини

$\begin{aligned} x + w & = 120 \\ \color{OliveGreen}{105}\color{black}{ +} w & = 120 \\ w & = 15 \end{aligned}$

Відповідь:

Швидкість літака -$105$ милі на годину, а швидкість вітру -$15$ милі на годину.

Вправа$\PageIndex{4}$

Човен проїхав$27$ милі вниз за течією за$2$ годинами. На зворотній поїздці, яка була проти течії, човен зміг проїхати$21$ милі лише за$2$ годинами. Якими були швидкості човна і течії?

Відповідь

Швидкість човна становила$12$ милі на годину, а швидкість течії -$1.5$ милі на годину.

www.youtube.com/В/ЄВДКТФССУС

Ключові винос

Використовуйте дві змінні як засіб для спрощення алгебраїчної установки додатків, де зв'язок між невідомими незрозумілий.
Уважно прочитайте проблему кілька разів. Якщо використовуються дві змінні, то пам'ятайте, що для вирішення задачі потрібно встановити два лінійних рівняння.
Обов'язково відповісти на питання у формі пропозиції і включити правильні одиниці для відповіді.

Вправа$\PageIndex{5}$

Налаштуйте лінійну систему і вирішуйте.

Сума двох цілих чисел дорівнює$45$. Більше ціле число$3$ менше, ніж в два рази менше. Знайдіть два цілих числа.
Сума двох цілих чисел дорівнює$126$. Чим більше$18$ менше, ніж в$5$ рази, тим менше. Знайдіть два цілих числа.
Сума двох цілих чисел дорівнює$41$. Коли$3$ раз менше віднімається від більшого результату$17$. Знайдіть два цілих числа.
Сума двох цілих чисел дорівнює$46$. Коли більший віднімається з двох разів, тим менше результат$2$. Знайдіть два цілих числа.
Різниця двох цілих чисел дорівнює$11$. Коли в два рази більше віднімається з$3$ разів менше, результат є$3$. Знайти цілі числа.
Різниця двох цілих чисел дорівнює$6$. Сума в два рази менша і більша$72$. Знайти цілі числа.
Сума$3$ разів більшого цілого числа і$2$ разів меншого дорівнює$15$. Коли$3$ раз менше ціле число віднімається з подвоєного більшого, результат є$23$. Знайти цілі числа.
Сума подвоєного більшого цілого числа і$3$ разів меншого дорівнює$10$. Коли$4$ раз менше ціле число додається до більшого, результат буде$0$. Знайти цілі числа.
Різниця в два рази меншого цілого і$7$ разів більше$4$. Коли$5$ раз більше ціле число віднімається з$3$ разів менше, результат є$−5$. Знайти цілі числа.
Різниця меншого цілого числа і двічі більшого дорівнює$0$. Коли$3$ раз більше ціле число віднімається з$2$ разів менше, результат є$−5$. Знайти цілі числа.
Довжина прямокутника більше ніж в два рази$5$ більше його ширини. Якщо периметр вимірює$46$ метри, то знайдіть розміри прямокутника.
Ширина прямокутника на$2$ сантиметри менше половини його довжини. Якщо периметр вимірює$62$ сантиметри, то знайдіть розміри прямокутника.
Розділене прямокутне перо поруч з річкою побудовано із загальною$136$ футами огорожі (див. ілюстрацію). Якщо зовнішнє огородження вимірює$114$ ноги, то знайдіть розміри пера.

14. Побудовано розділене прямокутне перо із загальною$168$ футами огорожі (див. Ілюстрацію). Якщо по периметру вимірюють$138$ ноги, то знайдіть розміри пера.

15. Знайти$a$ і$b$ таке, що в системі$\left\{ \begin{array} { l } { a x + b y = 8 } \\ { b x + a y = 7 } \end{array} \right.$ є рішення$(2,1)$. (Підказка: Підставити задані$x$ - і$y$ -значення і вирішити отриману лінійну систему з точки зору$a$ і$b$.)

16. Знайти$a$ і$b$ таке, що в системі$\left\{ \begin{array} { l } { a x - b y = 11 } \\ { b x + a y = 13 } \end{array} \right.$ є рішення$(3, -1)$.

17. Через дві точки$(5, −9)$ і проходить лінія$(−3, 7)$. Використовувати ці точки і$y = mx + b$ побудувати систему з двох лінійних рівнянь в терміні$m$$b$ і вирішити її.

18. Через дві точки$(2, 7)$ і проходить лінія$(\frac{1}{2}, −2)$. Використовувати ці точки і$y = mx + b$ побудувати систему з двох лінійних рівнянь в терміні$m$$b$ і вирішити її.

19. $$5,200$Основний капітал інвестується в два рахунки, один заробляє$3$% відсотків, а інший заробляє$6$% відсотків. Якщо сумарні відсотки за рік є$$210$, то скільки вкладено в кожен рахунок?

20. $$2,200$Заощадження Гаррі знаходяться на двох рахунках. Один рахунок заробляє$2$% річних відсотків, а інший заробляє$4$%. Його загальний інтерес за рік становить$$69$. Скільки у нього в кожному обліковому записі?

21. Джанін має два ощадні рахунки на загальну суму$$6,500$. Один рахунок заробляє$2 \frac{3}{4}$% річних відсотків, а інший заробляє$3 \frac{1}{2}$%. Якщо її сумарний відсоток за рік є$$211$, то скільки коштує на кожному рахунку?

22. Маргарет має свої загальні заощадження$$24,200$ на двох різних рахунках компакт-дисків. Один компакт-диск заробляє$4.6$% відсотків, а інший заробляє$3.4$% відсотків. Якщо її загальний відсоток за рік$$1,007.60$, то скільки у неї в кожному обліковому записі компакт-диска?

23. Минулого року Менді заробила вдвічі більше відсотків у своєму фонді Money Market, ніж на своєму звичайному ощадному рахунку. Загальний відсоток з двох рахунків був$$246$. Скільки відсотків вона заробляла на кожному рахунку?

24. Малий бізнес інвестував$$120,000$ в два рахунки. Рахунок, який заробляє$4$% річних відсотків, приніс вдвічі більше відсотків, ніж рахунок, який заробляє$3$% річних відсотків. Скільки було вкладено в кожен рахунок?

25. Саллі заробляє$$1,000$ в місяць плюс комісія в розмірі$2$% від продажів. Джейн заробляє$$200$ в місяць плюс$6$% від її продажів. При якому щомісячному показнику продажів і Саллі, і Джейн зароблять однакову суму оплати?

26. Вартість виготовлення спеціальних книжкових полиць включає початкову плату за встановлення$$1,200$ плюс додаткову$$20$ одиницю виробленої одиниці. Кожна полиця може продаватися$$60$ за одиницю. Знайдіть кількість одиниць, які повинні бути виготовлені та продані, де витрати дорівнюють отриманому доходу.

27. Джим зміг придбати піцу$$12.35$ з чвертями і копійками. Якщо він використовує$71$ монети, щоб купити піцу, то скільки з них у нього було?

28. Касовий апарат містить$$5$$$10$ купюри і купюри загальною вартістю$$350$. Якщо є$46$ купюри загальні, то скільки кожного містить реєстр?

29. Дві сім'ї купили квитки на домашній баскетбольний матч. Одна сім'я замовила$2$ дорослі квитки та$4$ дитячі квитки на загальну суму$$36.00$. Інша сім'я замовила$3$ дорослі квитки і$2$ дитячі квитки на загальну суму$$32.00$. Скільки коштував кожен квиток?

30. Двоє друзів знайшли сорочки та шорти у продажу на блошиному ринку. Один купив$4$ сорочки та$2$ шорти на загальну суму$$28.00$. Інший купив$3$ сорочки та$3$ шорти на загальну суму$$30.75$. Скільки коштувала кожна сорочка і кожна пара шортів?

31. Громадський театр продавав$140$ квитки на вечірній мюзикл в цілому$$1,540$. Кожен дорослий квиток був проданий для$$12$ і кожен дитячий квиток був проданий для$$8$. Скільки було продано квитків для дорослих?

32. Книжковий магазин кампусу продає графічні калькулятори для$$110$ та наукові калькулятори для$$16$. У перший день занять$50$ калькулятори були продані в цілому$$1,646$. Скільки з них було продано?

33. Баночка, що складається тільки з нікелів і чвертей, містить$70$ монети. Якщо загальна вартість$$9.10$, скільки кожної монети знаходиться в банку?

34. Джилл має$$9.20$ вартість копійки і чверті. Якщо є$68$ монети в цілому, скільки з кожної вона має?

Відповідь

1. Цілими числами є$16$ і$29$.

3. Цілими числами є$6$ і$35$.

5. Цілими числами є$25$ і$36$.

7. Цілими числами є$−3$ і$7$.

9. Цілими числами є$−5$ і$−2$.

11. Довжина:$17$ метри; ширина:$6$ метри

13. Ширина:$22$ стопи; довжина:$70$ фути

15. $a = 3, b = 2$

17. $m = −2, b = 1$

19. $$3,400$в$3$% і$$1,800$ при$6$%

21. $$2,200$в$2 \frac{3}{4}$% і$$4,300$ при$3 \frac{1}{2}$%

23. Економія:$$82$; Грошовий ринок:$$164$.

25. $$20,000$

27. $35$чверті і$36$ копійки

29. Дорослі$$7.00$ кожен і діти$$5.50$ кожен.

31. $105$продавалися квитки для дорослих.

33. Баночка містить$42$ нікелі і$28$ четвертинки.

Вправа$\PageIndex{6}$

Налаштуйте лінійну систему і вирішуйте.

$17$% розчин кислоти повинен бути змішаний з$9$% -ним розчином кислоти для отримання$8$ галонів$10$% розчину кислоти. Скільки потрібно кожного?
Медсестра бажає отримати$28$ унції сольового розчину$1.5$%. Скільки$1$% сольового розчину вона повинна змішати з$4.5$% сольовим розчином, щоб домогтися потрібної суміші?
Клієнт замовив$4$ фунти змішаного арахісового продукту, що містить$12$% кешью. Інвентар складається лише з двох сумішей, що містять$10$$26$% і% кешью. Скільки кожного типу потрібно змішати, щоб заповнити замовлення?
Один спиртовий розчин містить$10$% спирту, а інший містить$25$% спирту. Скільки кожного слід змішати разом, щоб отримати$2$ галони$13.75$% спиртового розчину?
Скільки концентрату чистячої рідини, з$60$% вмісту спирту, необхідно змішати з водою, щоб отримати суміш$24$ -унція$15$ з% вмісту спирту?
Скільки фунтів чистого арахісу потрібно поєднувати$20$ з% арахісовою сумішшю, щоб$2$ отримати фунти арахісової суміші$50$%?
$50$% концентрат фруктового соку можна придбати оптом. Кращий смак досягається при змішуванні води з концентратом таким чином, щоб отримати$15$% суміші фруктових соків. Скільки води і концентрату потрібно для приготування фруктового напою$60$ -унція?
Чистий цукор повинен бути змішаний з фруктовим салатом, що містить$10$% цукру для отримання$65$ унцій салату, що містить$18$% цукру. Скільки потрібно чистого цукру?
Спеціальний алюмінієвий сплав створюється шляхом змішування$150$ грамів сплаву алюмінію$15$% і$350$ грам сплаву алюмінію$55$%. Який відсоток алюмінію знаходиться в отриманій суміші?
Науковий співробітник змішав$500$ мілілітри розчину, який містив$12$% кислоти з$300$ мілілітрами води. Який відсоток кислоти знаходиться в отриманому розчині?

Відповідь

1. $7$галони$9$% розчину кислоти і$1$ галон$17$% розчину кислоти

3. $3.5$фунти суміші кешью$10$% і$0.5$ фунтів суміші кешью$26$%

5. $6$унції концентрату чистячої рідини

7. $18$унції концентрату фруктового соку і$42$ унцій води

9. $43$%

Вправа$\PageIndex{7}$

Налаштуйте лінійну систему і вирішуйте.

Дві ноги$432$ -милі поїздки зайняли$8$ години. Середня швидкість для першого етапу поїздки становила$52$ милі на годину, а середня швидкість для другого етапу поїздки склала$60$ милі на годину. Скільки часу займала кожна нога поїздки?
Джеррі взяв два автобуси на$265$ -мильну поїздку з Лос-Анджелеса до Лас-Вегаса. Перший автобус усереднював$55$ милі на годину, а другий автобус зміг усереднити$50$ милі на годину. Якщо загальна поїздка зайняла$5$ години, то скільки часу було проведено в кожному автобусі?
Виконавчий був в змозі в середньому$48$ миль на годину до аеропорту в своєму автомобілі, а потім сісти на літак, який в середньому$210$ милі на годину. Відрядження$549$ -mile зайняло$3$ години. Скільки часу їй знаДОБИЛОСЯ, щоб доїхати до аеропорту?
Джо проводить$1$ годину щоранку, займаючись бігом підтюпцем, а потім їзда на велосипеді в цілому$15$ милі. Він здатний в середньому$6$ милі на годину бігу підтюпцем і$18$ милі на годину їзди на велосипеді. Скільки часу він проводить пробіжки щоранку?
Плавання з поточним Джеком може проплисти$2.5$ милі за$\frac{1}{2}$ годину. Плаваючи назад, проти того ж течії, він може проплисти лише$2$ кілометри за однакову кількість часу. Наскільки швидко проходить струм?
Легкий літак, що летить з вітром, може проїхати$180$ милі за$1 \frac{1}{2}$ годинами. Літак може пролетіти однакову відстань проти вітру за$2$ годинами. Знайти швидкість вітру.
Легкий літак, що летить з вітром, може проїхати$600$ милі за$4$ годинами. На зворотну поїздку, проти вітру, піде$5$ години. Які швидкості літака і вітру?
Човен може проїхати$15$ милі з течією нижче за течією за$1 \frac{1}{4}$ годинами. Повертаючись вгору за течією проти течії, човен може проїхати лише$8 \frac{3}{4}$ милі за однакову кількість часу. Знайти швидкість струму.
Мері пробігла стежку від своєї машини до салону зі швидкістю$6$ миль на годину. Потім вона повернулася до своєї машини зі швидкістю$4$ миль на годину. Якщо вся поїздка зайняла$1$ годину, то скільки часу їй знадобилося, щоб повернутися до своєї машини?
Два поїзда йдуть зі станції, що рухаються в протилежних напрямках. Один поїзд на$8$ милі на годину швидше, ніж інший, і в$2 \frac{1}{2}$$230$ години-милі один від одного. Визначте середню швидкість кожного поїзда.
Два поїзда йдуть зі станції, що рухаються в протилежних напрямках. Один поїзд на$12$ милі на годину швидше, ніж інший, і в$3$$300$ години-милі один від одного. Визначте середню швидкість кожного поїзда.
Бігун може витримати середню швидкість пробігу$8$ миль на годину до місця призначення і$6$ миль на годину на зворотній поїздці. Знайдіть загальну відстань пробіжок, якщо загальний час бігу становив$1 \frac{3}{4}$ годину.

Відповідь

1. Перший етап поїздки зайняв$6$ години, а другий -$2$ години.

3. Їй знадобилася$\frac{1}{2}$ година, щоб доїхати до аеропорту.

5. $0.5$миль на годину.

7. Літак:$135$ миль на годину; вітер:$15$ миль на годину

9. $\frac{3}{5}$година

11. Один поїзд усереднював$44$ милі на годину, а інший усереднював$56$ милі на годину.

Вправа$\PageIndex{8}$

Складіть номер або грошову проблему самостійно та поділіться нею на дошці обговорень.
Складіть власну проблему суміші та поділіться нею на дошці обговорень.
Складіть власну проблему рівномірного руху та поділіться нею на дошці обговорень.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

3. Відповідь може відрізнятися

	Відсоток	Сума
Сіль	\(2\)\(= 0.02\)	\(0.02(20\)унцій\() = 0.4\) унцій
Вода	\(98\)%\(= 0.98\)	\(0.98(20\)унцій\() = 19.6\) унцій