3.2: Розв'язування лінійних систем з двома змінними

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58320

Anonymous
LibreTexts

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Розв'язуйте лінійні системи за допомогою методу заміщення.
Вирішити лінійні системи за допомогою методу усунення.
Визначте сильні і слабкі сторони кожного методу.

Метод заміщення

У цьому розділі ми розглянемо повністю алгебраїчну техніку розв'язання систем, метод заміщення ¹¹. Ідея полягає в тому, щоб вирішити одне рівняння для однієї зі змінних і підставити результат в інше рівняння. Після виконання цього кроку підстановки нам залишається єдине рівняння з однією змінною, яке можна вирішити за допомогою алгебри.

Приклад\(\PageIndex{1}\):

Вирішити шляхом підміни:\(\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 3 } \\ { 3 x - 2 y = - 8 } \end{array} \right.\).

Рішення

Вирішити для будь-якої змінної в будь-якому рівнянні. Якщо ви виберете перше рівняння, ви можете виділити\(y\) за один крок.

\(\begin{aligned} 2 x + y & = - 3 \\ y & = - 2 x - 3 \end{aligned}\)

Підставте вираз\(-2x-3\) для змінної\(y\) в інше рівняння.

\(3 x - 2 ( - \color{OliveGreen}{2 x - 3}\color{Black}{ )} = - 8\)

Це залишає нам еквівалентне рівняння з однією змінною, яке можна вирішити за допомогою методів, вивчених до цього моменту. Вирішити для залишилася змінної.

\(\begin{aligned} 3 x - 2 ( \color{OliveGreen}{- 2 x - 3}\color{Black}{ )} & = - 8 \\ 3 x + 4 x + 6 & = - 8 \\ 7 x + 6 & = - 8 \\ 7 x & = - 14 \\ x & = - 2 \end{aligned}\)

Назад підставляємо ¹², щоб знайти іншу координату. \(x = −2\)Замініть будь-яке з вихідних рівнянь або їх еквівалентів. Зазвичай ми використовуємо еквівалентне рівняння, яке ми знайшли при виділенні змінної на першому кроці.

\(\begin{aligned} y & = - 2 x - 3 \\ & = - 2 ( \color{OliveGreen}{- 2}\color{Black}{ )} - 3 \\ & = 4 - 3 \\ & = 1 \end{aligned}\)

Не забудьте представити рішення як впорядковану пару:\((−2, 1)\). Переконайтеся, що ці координати вирішують обидва рівняння вихідної системи:

Таблиця\(\PageIndex{1}\)
Перевірка:\((-2,1)\)
Рівняння 1	Рівняння 2
\(\begin{array} { r } { 2 x + y = - 3 } \\ { 2 ( \color{Cerulean}{- 2} \color{Black}{)} + (\color{Cerulean}{ 1} \color{Black}{)} = - 3 } \\ { - 4 + 1 = - 3 } \\ { - 3 = - 3 } \:\:\color{Cerulean}{✓}\end{array}\)	\(\begin{array} { r } { 3 x - 2 y = - 8 } \\ { 3 ( - 2 ) \color{Cerulean}{- 2}\color{Black}{ (}\color{Cerulean}{ 1}\color{Black}{ )} = - 8 } \\ { - 6 - 2 = - 8 } \\ { - 8 = - 8 } \:\:\color{Cerulean}{✓} \end{array}\)

Графік цієї лінійної системи наступний:

Метод заміщення для розв'язання систем є повністю алгебраїчним методом. Таким чином, графічне оформлення ліній не потрібно.

Відповідь:

\((-2, 1)\)

Приклад\(\PageIndex{2}\):

Вирішити шляхом підміни:\(\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 9 } \\ { 4 x + 2 y = - 1 } \end{array} \right.\).

Рішення

Не має значення, яку змінну ми виберемо для ізоляції в першу чергу. У цьому випадку почніть з вирішення for\(x\) в першому рівнянні.

\(\begin{aligned} 3 x - 5 y & = 9 \\ 3 x & = 5 y + 9 \\ x & = \frac { 5 y + 9 } { 3 } \\ x & = \frac { 5 } { 3 } y + 3 \end{aligned}\)

\(\left\{ \begin{array} { c } { 3 x - 5 y = 9 \Longrightarrow \color{Cerulean}{x}\color{Black}{ =} \frac { 5 } { 3 } y + 3 } \\ { 4\color{Cerulean}{ x}\color{Black}{ +} 2 y = - 1 } \end{array} \right.\)

Далі підставляємо в друге рівняння і вирішуємо для\(y\).

\(\begin{aligned} 4 \left( \frac { 5 } { 3 } y + 3 \right) + 2 y & = - 1 \\ \frac { 20 } { 3 } y + 12 + 2 y & = - 1 \\ \frac { 26 } { 3 } y & = - 13 \\ y & = - 13 \left( \frac { 3 } { 26 } \right) \\ y & = - \frac { 3 } { 2 } \end{aligned}\)

Назад підставляємо в рівняння, яке використовується на етапі підстановки:

\(\begin{aligned} x & = \frac { 5 } { 3 } y + 3 \\ & = \frac { 5 } { 3 } \left( \color{Cerulean}{- \frac { 3 } { 2 }} \right) + 3 \\ & = - \frac { 5 } { 2 } + 3 \\ & = \frac { 1 } { 2 } \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\left( \frac { 1 } { 2 } , - \frac { 3 } { 2 } \right)\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вирішити шляхом підміни:\(\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 3 } \\ { x + 2 y = 2 } \end{array} \right.\).

Відповідь

\(\left( 1 , \frac { 1 } { 2 } \right)\)

www.youtube.com/В/ГЗФТХГ

Як ми знаємо, не всі лінійні системи мають лише одне впорядковане парне рішення. Далі ми вивчимо, що відбувається при використанні методу підстановки для вирішення залежної системи.

Приклад\(\PageIndex{3}\):

Вирішити шляхом підміни:\(\left\{ \begin{array} { l } { - 5 x + y = - 1 } \\ { 10 x - 2 y = 2 } \end{array} \right.\).

Рішення

Оскільки перше рівняння має термін з коефіцієнтом\(1\), ми вирішуємо для цього спочатку.

\(\left\{ \begin{array} { l } { - 5 x + y = - 1 \quad \Rightarrow \quad \color{Cerulean}{y}\color{Black}{ =} 5 x - 1 } \\ { 10 x - 2\color{Cerulean}{ y}\color{Black}{ =} 2 } \end{array} \right.\)

Далі підставляємо цей вираз у for\(y\) у другому рівнянні.

\(\begin{aligned} 10 x - 2 y & = 2 \\ 10 x - 2 ( \color{OliveGreen}{5 x - 1}\color{Black}{ )} & = 2 \\ 10 x - 10 x + 2 & = 2 \\ 2 & = 2\quad \color{Cerulean}{True} \end{aligned}\)

Цей процес призвів до істинного твердження; отже, рівняння є ідентичністю, а будь-яке дійсне число - це рішення. Це говорить про те, що система залежна. Одночасні рішення набувають вигляду\((x, mx + b)\), або в даному випадку\((x, 5x − 1)\), де\(x\) знаходиться будь-яке дійсне число.

Відповідь:

\(( x , 5 x - 1 )\)

Щоб краще зрозуміти попередній приклад, перепишіть обидва рівняння у формі нахилу-перехоплення та розкладіть їх на одному наборі осей.

\(\left\{ \begin{array} { l } { - 5 x + y = - 1 } \\ { 10 x - 2 y = 2 } \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array} { l } { y = 5 x - 1 } \\ { y = 5 x - 1 } \end{array} \right.\)

Ми бачимо, що обидва рівняння представляють одну і ту ж лінію, і, таким чином, система залежить. Тепер вивчіть, що відбувається при вирішенні неузгодженої системи методом підстановки.

Приклад\(\PageIndex{4}\):

Вирішити шляхом підміни:\(\left\{ \begin{array} { l } { - 7 x + 3 y = 3 } \\ { 14 x - 6 y = - 16 } \end{array} \right.\).

Рішення

Вирішити для\(y\) в першому рівнянні.

\(\begin{aligned} - 7 x + 3 y & = 3 \\ - 7 x + 3 y & = 3 \\ 3 y & = 7 x + 3 \\ y & = \frac { 7 x + 3 } { 3 } \\ y & = \frac { 7 } { 3 } x + 1 \end{aligned}\)

\(\left\{ \begin{array} { l l } { - 7 x + 3 y = 3 } & { \Rightarrow \quad \color{Cerulean}{y}\color{Black}{ =} \frac { 7 } { 3 } x + 1 } \\ { 14 x - 6\color{Cerulean}{ y}\color{Black}{ =} - 16 } \end{array} \right. \)

Підставляємо в друге рівняння і вирішуємо.

\(\begin{aligned} 14 x - 6 y & = - 16 \\ 14x-6 \left( \color{OliveGreen}{\frac { 7 } { 3 } x + 1} \right) & = - 16 \\ 14x - \overset{\color{Cerulean}{2}}{\color{Black}{\cancel{6}}} \cdot \frac { 7 } { \underset{\color{Cerulean}{1}}{\cancel{3} }} x - 6 & = - 16 \\14 x - 14 x - 6 & = - 16 \\ - 6 &= - 16\quad\color{red}{False} \end{aligned}\)

Рішення призводить до помилкового твердження. Це говорить про те, що рівняння є протиріччям. Там немає рішення для\(x\) і, отже, немає рішення для системи.

Відповідь:

\(\varnothing\)

Помилкове твердження вказує на те, що система непослідовна, або в геометричному плані, що лінії паралельні і не перетинаються. Щоб проілюструвати це, визначте форму нахилу-перехоплення кожної лінії і наведіть графік їх на одному і тому ж наборі осей.

\(\left\{ \begin{array} { l l } { - 7 x + 3 y = 3 } \\ { 14 x - 6 y = - 16 } \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 7 } { 3 } x + 1 } \\ { y = \frac { 7 } { 3 } x + \frac { 8 } { 3 } } \end{array} \right.\)

У формі нахилу перехоплення легко побачити, що дві лінії мають однаковий нахил, але різні\(y\) -перехоплення.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вирішити шляхом підміни:\(\left\{ \begin{array} { r } { 2 x - 5 y = 3 } \\ { 4 x - 10 y = 6 } \end{array} \right.\).

Відповідь

\(\left( x , \frac { 2 } { 5 } x - \frac { 3 } { 5 } \right)\)

www.youtube.com/В/ЮКХ9М-Л9ВАУ

Метод ліквідації

У цьому розділі метою є огляд ще одного повністю алгебраїчного методу розв'язання системи лінійних рівнянь, що називається методом елімінації ¹³ або методом додавання ¹⁴. Цей метод залежить від властивості додавання рівнянь ¹⁵: задані алгебраїчні вирази A, B, C і D ми маємо

\(\text{If} \:A = B \text { and } C = D , \text { then } A + C = B + D\)

Ми можемо додати рівняння разом, щоб усунути змінну\(y\).

\(\begin{aligned} x \color{red}{+ y}\color{Black}{ =} 5 \\ \pm \frac { x \color{red}{- y} = 1 } { 2 x \:\:\:= \:\:\: 6 }\end{aligned}\)

Це залишає нам лінійне рівняння з однією змінною, яку можна легко вирішити:

\(\begin{aligned} 2 x & = 6 \\ x & = 3 \end{aligned}\)

На даний момент у нас є\(x\) -координата одночасного рішення, так що все, що залишилося зробити, це назад замінити знайти відповідне\(y\) -значення.

\(\begin{array} { r } { x + y = 5 } \\ { \color{OliveGreen}{3} \color{Black}{+} y = 5 } \\ { y = 2 } \end{array}\)

Рішення системи є\((3, 2)\). Звичайно, змінна не завжди так легко усувається. Як правило, ми повинні знайти еквівалентну систему, застосовуючи властивість множення рівності до одного або обох рівнянь як засіб вирівнювання однієї зі змінних для усунення. Мета полягає в тому, щоб організувати, щоб або\(x\)\(y\) терміни, або терміни були протилежними, так що при додаванні рівнянь терміни усунути.

Приклад\(\PageIndex{5}\):

Вирішити шляхом ліквідації:\(\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = - 1 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.\).

Рішення

Ми вирішили усунути терміни зі змінною,\(y\) оскільки коефіцієнти мають різні ознаки. Для цього спочатку визначаємо найменш загальне кратне коефіцієнтів; в даному випадку\(LCM(3, 2)\) є\(6\). Тому помножте обидві сторони обох рівнянь на відповідні значення для отримання коефіцієнтів\(−6\) і\(6\). Це призводить до наступної еквівалентної системи:

\(\left\{ \begin{array} { l l } { 5 x - 3 y = - 1 } & { \stackrel { x 2 } { \Rightarrow } } \\ { 3 x + 2 y = 7 } & { \stackrel { x3 } { \Rightarrow } } \end{array} \right. \left\{ \begin{array} { c } { 10 x - 6 y = - 2 } \\ { 9 x + 6 y = 21 } \end{array} \right.\)

Терміни за участю тепер\(y\) вишикуються для усунення. Складіть рівняння разом і вирішіть для\(x\).

\(\begin{aligned} 10 x \color{red}{- 6 y} & \color{Black}{=} - 2 \\ + \quad 9 x \color{red}{+ 6 y} & \color{Black}{=} 21 \\ \hline 19 x & = 19 \\ x & = 1 \end{aligned}\)

Замінник назад.

\(\begin{aligned} 3 x + 2 y & = 7 \\ 3 ( \color{OliveGreen}{1}\color{Black}{ )} + 2 y & = 7 \\ 3 + 2 y & = 7 \\ 2 y & = 4 \\ y & = 2 \end{aligned}\)

Тому одночасне рішення є\((1, 2)\). Перевірка слідує.

Таблиця\(\PageIndex{2}\)
Перевірка:\((1, 2)\)
Рівняння 1:	Рівняння 2:
\(\begin{aligned} 5 x - 3 y & = - 1 \\ 5 ( \color{Cerulean}{1}\color{Black}{ )} - 3 ( \color{Cerulean}{2}\color{Black}{ )} & = - 1 \\ 5 - 6 & = - 1 \\ - 1 & = - 1 \:\:\color{Cerulean}{✓}\end{aligned}\)	\(\begin{array} { r } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { 3 ( \color{Cerulean}{1}\color{Black}{ )} + 2 ( \color{Cerulean}{2}\color{Black}{ )} = 7 } \\ { 3 + 4 = 7 } \\ { 7 = 7 } \:\:\color{Cerulean}{✓}\end{array}\)

Відповідь:

\((1, 2)\)

Іноді лінійні системи не наводяться в стандартному вигляді\(ax + by = c\). Коли це так, найкраще переставити рівняння перед початком кроків для вирішення шляхом усунення. Крім того, ми можемо усунути будь-яку змінну. Мета полягає в тому, щоб отримати рішення для однієї зі змінних, а потім назад замінити, щоб знайти рішення для іншої.

Приклад\(\PageIndex{6}\):

Вирішити шляхом ліквідації:\(\left\{ \begin{aligned} 12 x + 5 y & = 11 \\ 3 x & = 4 y + 1 \end{aligned} \right.\).

Рішення:

По-перше, перепишіть друге рівняння в стандартному вигляді.

\(\begin{aligned} 3 x & = 4 y + 1 \\ 3 x - 4 y & = 1 \end{aligned}\)

Це призводить до еквівалентної системи в стандартній формі, де подібні терміни вирівнюються в стовпцях.

\(\left\{ \begin{array} { c c } { 12 x + 5 y = 11 } \\ { 3 x = 4 y + 1 } \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array} { c } { 12 x + 5 y = 11 } \\ { 3 x - 4 y = 1 } \end{array} \right.\)

Ми можемо усунути термін зі змінною,\(x\) якщо помножити друге рівняння на\(−4\).

Далі складаємо рівняння разом,

\(\begin{aligned} \color{red}{12 x} \color{Black}{+5 y} & \color{Black}{=} 11 \\ + \quad \color{red}{-12x} \color{Black}{+ 16 y} & \color{Black}{=} -4 \\ \hline 21y & = 7 \\ y & = \frac{7}{21} = \frac{1}{3} \end{aligned}\)

Замінник назад.

\(\begin{array} { l } { 3 x = 4 y + 1 } \\ { 3 x = 4 \left( \color{OliveGreen}{\frac { 1 } { 3 }} \right) + 1 } \\ { 3 x = \frac { 4 } { 3 } + 1 } \\ { 3 x = \frac { 7 } { 3 } } \\ { x = \frac { 7 } { 3 } \cdot \frac { 1 } { 3 } } \\ { x = \frac { 7 } { 9 } } \end{array}\)

Відповідь:

\(\left( \frac { 7 } { 9 } , \frac { 1 } { 3 } \right)\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вирішити шляхом ліквідації:\(\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = - 9 } \end{array} \right.\).

Відповідь

\((-5, 3)\)

www.youtube.com/В/ФХ90ХФГГБі

На цьому етапі ми досліджуємо, що відбувається при вирішенні залежних і непослідовних систем за допомогою методу елімінації.

Приклад\(\PageIndex{7}\):

Вирішити шляхом ліквідації:\(\left\{ \begin{array} { c } { 3 x - y = 7 } \\ { 6 x - 2 y = 14 } \end{array} \right.\).

Рішення

Щоб усунути змінну\(x\), ми могли б помножити перше рівняння на\(−2\).

Тепер додаємо рівняння, які ми маємо

\(\begin{aligned} -6 x + \color{red}{2 y} & \color{Black}{=} -14 \\ \pm \quad \color{black}{6x}- \color{red}{2 y} & \color{Black}{=} 14 \\ \hline 0 & = 0\quad\color{Cerulean}{True} \end{aligned}\)

Істинне твердження вказує на те, що це залежна система. Лінії збігаються, і нам потрібно\(y\)\(x\) в плані представити набір рішення у вигляді\((x, mx + b)\). Виберіть одне з вихідних рівнянь і вирішіть для\(y\). Оскільки рівняння рівнозначні, не має значення, який з них ми виберемо.

\(\begin{aligned} 3 x - y & = 7 \\ - y & = - 3 x + 7 \\ \color{Cerulean}{- 1}\color{Black}{ (} - y ) & = \color{Cerulean}{- 1}\color{Black}{ (} - 3 x + 7 ) \\ y & = 3 x - 7 \end{aligned}\)

Відповідь:

\(( x , 3 x - 7 )\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Вирішити шляхом ліквідації:\(\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 15 y = - 15 } \\ { 2 x + 10 y = 30 } \end{array} \right.\).

Відповідь

Немає рішення,\(\varnothing\)

www.youtube.com/В/Е4Б0ЛМЛЕЛІЙ

З огляду на лінійну систему, де рівняння мають дробові коефіцієнти, зазвичай краще очистити дроби перед початком методу елімінації.

Приклад\(\PageIndex{8}\):

Вирішити:\(\left\{ \begin{array} { l } { - \frac { 1 } { 10 } x + \frac { 1 } { 2 } y = \frac { 4 } { 5 } } \\ { \frac { 1 } { 7 } x + \frac { 1 } { 3 } y = - \frac { 2 } { 21 } } \end{array} \right.\).

Рішення

Нагадаємо, що ми можемо очистити дроби, множивши обидві сторони рівняння на найменш спільний кратний знаменників (РК). Подбайте про розподіл, а потім спрощуйте.

Таблиця\(\PageIndex{3}\)
Рівняння 1	Рівняння 2
\(\begin{array} { r } { \color{Cerulean}{10}\color{Black}{ \left( - \frac { 1 } { 10 } x + \frac { 1 } { 2 } y \right)} = \color{Cerulean}{10}\color{Black}{ \left( \frac { 4 } { 5 } \right) }} \\ { \color{Cerulean}{10} \color{Black}{\cdot} \left( - \frac { 1 } { 10 } x \right) + \color{Cerulean}{10}\color{Black}{ \cdot} \frac { 1 } { 2 } y = \color{Cerulean}{10}\color{Black}{ \cdot} \frac { 4 } { 5 } } \\ { - x + 5 y = 8 } \end{array}\)	\(\begin{array} { c } { \color{Cerulean}{21}\color{Black}{ \left( \frac { 1 } { 7 } x + \frac { 1 } { 3 } y \right)} = \color{Cerulean}{21}\color{Black}{ \left( - \frac { 2 } { 21 } \right) }} \\ { \color{Cerulean}{21}\color{Black}{ \cdot} \frac { 1 } { 7 } x + \color{Cerulean}{21}\color{Black}{ \cdot} \frac { 1 } { 3 } y = \color{Cerulean}{21}\color{Black}{ \left( - \frac { 2 } { 21 } \right) }} \\ { 3 x + 7 y = - 2 } \end{array}\)

Це призводить до еквівалентної системи, де рівняння мають цілочисельні коефіцієнти,

\(\left\{ \begin{array} { l l } { -\frac{1}{10} x + \frac{1}{2}y = \frac{4}{5} } & { \stackrel { x 10 } { \Rightarrow } } \\ { \frac{1}{7} x + \frac{1}{3} y = -\frac{2}{21} } & { \stackrel { x21 } { \Rightarrow } } \end{array} \right. \left\{ \begin{array} { c } { - x +5y = 8 } \\ { 3 x + 7 y = -2 } \end{array} \right.\)

Вирішити за допомогою методу усунення.

Малюнок\(\PageIndex{7}\)

\(\begin{aligned} \color{red}{-3 x} + \color{black}{15 y} & \color{Black}{=} 24 \\ \pm \quad \color{red}{3x}+ \color{black}{7 y} & \color{Black}{=} -2 \\ \hline 22y & = 22 \\ y&=1 \end{aligned}\)

Замінник назад.

\(\begin{aligned} 3 x + 7 y & = - 2 \\ 3 x + 7 ( \color{OliveGreen}{1}\color{Black}{ )} & = - 2 \\ 3 x + 7 & = - 2 \\ 3 x & = - 9 \\ x & = - 3 \end{aligned}\)

Відповідь:

\((-3,1)\)

Ми можемо використовувати подібну техніку для очищення десяткових знаків перед вирішенням.

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вирішити за допомогою усунення:\(\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 2 } { 3 } y = 3 } \\ { \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 1 } { 2 } y = \frac { 8 } { 3 } } \end{array} \right.\).

Відповідь

\((5, -2)\)

www.youtube.com/В/UJLPE7 змія

Короткий зміст методів розв'язання лінійних систем

Розглянуто три методи розв'язання лінійних систем двох рівнянь з двома змінними. Кожен метод є дійсним і може дати однаковий правильний результат. У цьому розділі ми узагальнюємо сильні та слабкі сторони кожного методу.

Метод графіків корисний для розуміння того, що таке система рівнянь і як повинні виглядати рішення. Коли рівняння системи графуються на одному і тому ж наборі осей, ми бачимо, що рішення є точкою, де графіки перетинаються. Графік полегшується, коли рівняння знаходяться у формі перехоплення нахилу. Наприклад,

\(\left\{ \begin{array} { l } { y = 5 x + 15 } \\ { y = - 5 x + 5 } \end{array} \right.\)

Одночасне рішення\((−1, 10)\) відповідає точці перетину. Один недолік цього методу полягає в тому, що він дуже неточний. Коли координати розв'язку не є цілими числами, метод практично непридатний. Якщо у нас є вибір, ми зазвичай уникаємо цього методу на користь більш точних алгебраїчних методів.

Метод заміщення, з іншого боку, є повністю алгебраїчним методом. Це вимагає вирішити одну зі змінних і підставити результат в інше рівняння. Отримане рівняння має одну змінну, для якої можна вирішити. Цей метод особливо корисний, коли в системі є змінна з коефіцієнтом\(1\). Наприклад,

\(\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + y = 20 } \\ { 7 x + 5 y = 14 } \end{array} \right. \color{Cerulean}{Choose\: the\: substitution\: method.} \quad\)

У цьому випадку легко вирішити для\(y\) першого рівняння, а потім підставити результат в інше рівняння. Один недолік цього методу полягає в тому, що він часто призводить до рівноцінних рівнянь з дробовими коефіцієнтами, з якими нудно працювати. Якщо коефіцієнта немає\(1\), то зазвичай краще всього вибрати метод усунення.

Метод елімінації є повністю алгебраїчним методом, який використовує властивість додавання рівнянь. Ми множимо одне або обидва рівняння, щоб отримати еквівалентні рівняння, де одна зі змінних усувається, якщо скласти їх разом. Наприклад,

\(\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 9 } \\ { 5 x - 8 y = - 16 } \end{array} \color{Cerulean}\:\:{Choose\: the\:elimination\: method.}\right. \quad\)

Щоб усунути члени\(x\), які беруть участь, ми помножимо обидві сторони першого рівняння на\(5\) і обидві сторони другого рівняння на\(−2\). Це призводить до еквівалентної системи, де змінна\(x\) усувається, коли ми додаємо рівняння разом. Звичайно, є й інші комбінації чисел, які досягають такого ж результату. Ми навіть могли б вибрати, щоб усунути змінну\(y\). Незалежно від того, яка змінна усувається першою, рішення буде однаковим. Відзначимо, що метод підстановки, в даному випадку, зажадає нудних розрахунків з дробовими коефіцієнтами. Однією слабкістю методу елімінації, як ми побачимо далі в нашому дослідженні алгебри, є те, що він не завжди працює для нелінійних систем.

Ключові виноси

Метод підстановки вимагає, щоб ми розв'язали одну зі змінних, а потім підставляємо результат в інше рівняння. Після виконання кроку підстановки отримане рівняння має одну змінну і може бути вирішене за допомогою методів, вивчених до цього моменту.
Метод елімінації - ще один повністю алгебраїчний метод розв'язання системи рівнянь. Помножте одне або обидва рівняння в системі на певні числа, щоб отримати еквівалентну систему, де принаймні одна змінна в обох рівняннях має протилежні коефіцієнти. Додавання цих еквівалентних рівнянь разом усуває цю змінну, і отримане рівняння має одну змінну, для якої ви можете вирішити.
Хорошою практикою є спочатку переписати рівняння в стандартній формі перед початком методу усунення.
Розв'язки систем двох лінійних рівнянь з двома змінними, якщо вони існують, є впорядкованими парами\((x, y)\).
Якщо процес розв'язання системи рівнянь призводить до помилкового твердження, то система непослідовна і рішення немає,\(Ø\).
Якщо процес розв'язання системи рівнянь призводить до ідентичності, то система залежна і існує нескінченно багато рішень, які можуть бути виражені за допомогою форми\((x, mx + b)\).

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Вирішити шляхом підміни.

\(\left\{ \begin{array} { l } { y = - 5 x + 1 } \\ { 4 x - 3 y = - 41 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x = 2 y - 3 } \\ { x + 3 y = - 8 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = x } \\ { 2 x + 3 y = 10 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 1 } { 3 } } \\ { x - 6 y = 4 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = 4 x + 1 } \\ { - 4 x + y = 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = - 3 x + 5 } \\ { 3 x + y = 5 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = 2 x + 3 } \\ { 2 x - y = - 3 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 2 } { 3 } x - 1 } \\ { 6 x - 9 y = 0 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = - 2 } \\ { - 2 x - y = - 6 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 1 } { 5 } x + 3 } \\ { 7 x - 5 y = 9 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 1 } \\ { 3 x - 5 y = 19 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 3 } \\ { - 2 x + 3 y = - 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 2 } \\ { 3 x - 2 y = 17 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x - 3 y = - 11 } \\ { 3 x + 5 y = - 5 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = - 3 } \\ { 3 x - 4 y = - 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 12 } \\ { 9 x - y = 10 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = - 6 } \\ { - 4 x - 8 y = 24 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x + 3 y = - 6 } \\ { - 2 x - 6 y = - 12 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { - 3 x + y = - 4 } \\ { 6 x - 2 y = - 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x - 5 y = - 10 } \\ { 2 x - 10 y = - 20 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 9 } \\ { 4 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { 4 x + 2 y = - 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 1 } \\ { 4 x + 10 y = 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 7 y = - 3 } \\ { 6 x + 14 y = 0 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 10 x - y = 3 } \\ { - 5 x + \frac { 1 } { 2 } y = 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { - \frac { 1 } { 3 } x + \frac { 1 } { 6 } y = \frac { 2 } { 3 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 } { 3 } y = - \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 3 } x + \frac { 2 } { 3 } y = 1 } \\ { \frac { 1 } { 4 } x - \frac { 1 } { 3 } y = - \frac { 1 } { 12 } } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 7 } x - y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 4 } x + \frac { 1 } { 2 } y = 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { - \frac { 3 } { 5 } x + \frac { 2 } { 5 } y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 1 } { 12 } y = - \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x = \frac { 2 } { 3 } y } \\ { x - \frac { 2 } { 3 } y = 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { - \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 1 } { 2 } y = \frac { 5 } { 8 } } \\ { \frac { 1 } { 4 } x + \frac { 1 } { 2 } y = \frac { 1 } { 4 } } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 0 } \\ { - x + 2 y = 3 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x } \\ { 2 x - 3 y = 0 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { - 3 x + 4 y = 20 } \\ { 2 x + 8 y = 8 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = - 1 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { - 3 x + 7 y = 2 } \\ { 2 x + 7 y = 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x = 5 } \\ { x = - 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = 4 } \\ { 5 y = 20 } \end{array} \right.\)

Відповідь

1. \((-2,11)\)

3. \((2,2)\)

5. \(\varnothing\)

7. \(( x , 2 x + 3 )\)

9. \(( 4 , - 2 )\)

11. \(( 3 , - 2 )\)

13. \(( 3 , - 4 )\)

15. \(\left( - \frac { 8 } { 5 } , - \frac { 7 } { 10 } \right)\)

17. \(\left( x , - \frac { 1 } { 2 } x - 3 \right)\)

19. \(\varnothing\)

21. \(( 2 , - 3 )\)

23. \(\left( \frac { 1 } { 2 } , 0 \right)\)

25. \(\varnothing\)

27. \(( 1,1 )\)

29. \(\left( - \frac { 11 } { 10 } , - \frac { 2 } { 5 } \right)\)

31. \(\left( - \frac { 1 } { 2 } , \frac { 3 } { 4 } \right)\)

33. \((0,0)\)

35. \((1, 2)\)

37. \(\varnothing\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Вирішити шляхом ліквідації.

\(\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + y = 3 } \\ { 3 x - y = 0 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 3 } \\ { 2 x - y = 9 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x - y = - 6 } \\ { 5 x + y = - 18 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x + 3 y = 5 } \\ { - x - 2 y = 0 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { - x + 4 y = 4 } \\ { x - y = - 7 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { - x + y = 2 } \\ { x - y = - 3 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = - 2 } \\ { 6 x + 4 y = 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = - 3 } \\ { 10 x - y = 4 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { - 2 x + 14 y = 28 } \\ { x - 7 y = 21 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { - 2 x + y = 4 } \\ { 12 x - 6 y = - 24 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x + 8 y = 3 } \\ { 3 x + 12 y = 6 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 15 } \\ { 4 x + 10 y = 14 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = - 10 } \\ { 3 x - 9 y = 15 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { - 4 x - 5 y = - 3 } \\ { 8 x + 3 y = - 15 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { - 2 x + 7 y = 56 } \\ { 4 x - 2 y = - 112 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { - 9 x - 15 y = - 15 } \\ { 3 x + 5 y = - 10 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 7 y = 4 } \\ { 2 x + 6 y = - 7 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 4 } \\ { - 5 x - 3 y = - 7 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = - 1 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 3 y = 9 } \\ { 2 x + 5 y = - 14 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 9 x - 3 y = 3 } \\ { 7 x + 2 y = - 15 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = - 7 } \\ { - 7 x + 6 y = 11 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 9 y = 8 } \\ { 3 x + 7 y = - 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 5 } \\ { 3 x + 3 y = - 5 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { - 3 x + 6 y = - 12 } \\ { 2 x - 4 y = 8 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 15 y = - 1 } \\ { 15 x + 10 y = - 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 2 } \\ { 18 x - 12 y = 5 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = - 2 x - 3 } \\ { - 3 x - 2 y = 4 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 28 x + 6 y = 9 } \\ { 6 y = 4 x - 15 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = 5 x + 15 } \\ { y = - 5 x + 5 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 9 } \\ { 5 x - 8 y = - 16 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 } { 3 } y = \frac { 1 } { 6 } } \\ { \frac { 5 } { 2 } x + y = \frac { 7 } { 2 } } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 4 } x - \frac { 1 } { 9 } y = 1 } \\ { x + y = \frac { 3 } { 4 } } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 } { 4 } y = \frac { 1 } { 3 } } \\ { \frac { 1 } { 4 } x + \frac { 1 } { 2 } y = - \frac { 19 } { 6 } } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { - \frac { 14 } { 3 } x + 2 y = 4 } \\ { - \frac { 1 } { 3 } x + \frac { 1 } { 7 } y = \frac { 4 } { 21 } } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 0.025 x + 0.1 y = 0.5 } \\ { 0.11 x + 0.04 y = - 0.2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 1.3 x + 0.1 y = 0.35 } \\ { 0.5 x + y = - 2.75 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 5 } \\ { 0.02 x + 0.03 y = 0.125 } \end{array} \right.\)

Відповідь

1. \(\left( \frac { 1 } { 3 } , 1 \right)\)

3. \((-4,2)\)

5. \((-8,-1)\)

7. \(\left( - \frac { 1 } { 3 } , 1 \right)\)

9. \(\varnothing\)

11. \(\left( 1 , \frac { 1 } { 4 } \right)\)

13. \((-1,-2)\)

15. \((-28,0)\)

17. \(\left( - \frac { 1 } { 2 } , - 1 \right)\)

19. \((1,2)\)

21. \((-1,-4)\)

23. \((-5,2)\)

25. \(\left( x , \frac { 1 } { 2 } x - 2 \right)\)

27. \(\left( - \frac { 3 } { 10 } , - \frac { 13 } { 15 } \right)\)

29. \(\left( \frac { 3 } { 4 } , - 2 \right)\)

31. \((120,77)\)

33. \(\left( 3 , - \frac { 9 } { 4 } \right)\)

35. \(\varnothing\)

37. \(( 0.5 , - 3 )\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Вирішуйте за допомогою будь-якого методу.

\(\left\{ \begin{array} { l } { 6 x = 12 y + 7 } \\ { 6 x + 24 y + 5 = 0 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = 2 x - 3 } \\ { 3 x + y = 12 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x + 3 y = - 5 } \\ { y = \frac { 1 } { 3 } x + 5 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = 1 } \\ { x = - 4 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { x + 9 = 0 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = x } \\ { - x + y = 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = 5 x } \\ { y = - 10 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 3 } { 2 } x + 1 } \\ { - 2 y + 2 = 3 x } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 7 y = - 2 x - 1 } \\ { 7 x = 2 y + 23 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 9 y - 14 = 0 } \\ { 3 x + 2 y - 5 = 0 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 5 } { 16 } x + 10 } \\ { y = \frac { 5 } { 16 } x - 10 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 6 } { 5 } x + 12 } \\ { x = 6 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x - 3 ) + y = 0 } \\ { 3 ( 2 x + y - 1 ) = 15 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 3 - 2 ( x - y ) = - 3 } \\ { 4 x - 3 ( y + 1 ) = 8 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 1 ) = 3 ( 2 y - 1 ) - 21 } \\ { 3 ( x + 2 ) = 1 - ( 3 y - 2 ) } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 3 } = - 7 } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = - 8 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { - \frac { 1 } { 7 } x + y = - \frac { 2 } { 3 } } \\ { - \frac { 1 } { 14 } x + \frac { 1 } { 2 } y = \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } - \frac { y } { 2 } = \frac { 3 } { 4 } } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 6 } = \frac { 1 } { 6 } } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 5 } { 3 } x + \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 3 } x + \frac { 1 } { 5 } y = \frac { 1 } { 10 } } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 15 } x - \frac { 1 } { 12 } y = \frac { 1 } { 3 } } \\ { - \frac { 3 } { 10 } x + \frac { 3 } { 8 } y = - \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 0.2 x - 0.05 y = 0.43 } \\ { 0.3 x + 0.1 y = - 0.3 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 0.1 x + 0.3 y = 0.3 } \\ { 0.05 x - 0.5 y = - 0.63 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 0.15 x - 0.25 y = - 0.3 } \\ { - 0.75 x + 1.25 y = - 4 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { - 0.15 x + 1.25 y = 0.4 } \\ { - 0.03 x + 0.25 y = 0.08 } \end{array} \right.\)

Відповідь

1. \(\left( \frac { 1 } { 2 } , - \frac { 1 } { 3 } \right)\)

3. \(\left( - 10 , \frac { 5 } { 3 } \right)\)

5. \(\left( - 9 , \frac { 1 } { 2 } \right)\)

7. \(( - 2 , - 10 )\)

9. \(( 3 , - 1 )\)

11. \(( 32,0 )\)

13. \(( x , - 2 x + 6 )\)

15. \(( - 4,3 )\)

17. \(\varnothing\)

19. \(\left( x - \frac { 5 } { 3 } x + \frac { 1 } { 2 } \right)\)

21. \(( 0.8 , - 5.4 )\)

23. \(\varnothing\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Поясніть початківцю алгебри учневі, як вибрати метод розв'язання системи двох лінійних рівнянь. Також поясніть, як виглядають рішення і чому.
Складіть власну лінійну систему з двома змінними і вирішуйте її за допомогою всіх трьох методів. Поясніть, який метод був кращим у вашій вправі.

Відповідь: 1. Відповідь може відрізнятися

Виноски

¹¹ Засіб розв'язання лінійної системи шляхом розв'язання для однієї зі змінних і підстановки результату в інше рівняння.

¹² Після того, як буде знайдено значення змінної, поверніть його назад в одне з вихідних рівнянь або його еквівалент, щоб визначити відповідне значення іншої змінної.

¹³ Засіб розв'язання системи шляхом додавання еквівалентних рівнянь таким чином, щоб усунути змінну.

¹⁴ Часто використовується при зверненні до методу усунення для вирішення систем.

¹⁵ Якщо\(A, B, C\), і\(D\) є алгебраїчні вирази, де\(A = B\) і\(C = D\), то\(A + C = B + D\).