3.1: Лінійні системи з двома змінними та їх розв'язки

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58295

Anonymous
LibreTexts

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Перевірка розв'язків систем лінійних рівнянь.
Вирішіть лінійні системи за допомогою методу графіків.
Визначте залежні і непослідовні системи.

Визначення лінійної системи з двома змінними

Реальні програми часто моделюються за допомогою декількох змінних і більше одного рівняння. Система рівнянь ¹ складається з безлічі двох або більше рівнянь з однаковими змінними. У цьому розділі ми вивчимо лінійні системи ², що складаються з двох лінійних рівнянь кожна з двома змінними. Наприклад,

\(\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 0 } \\ { - 4 x + 2 y = - 8 } \end{array} \right.\)

Розв'язок лінійної системи ³, або одночасне рішення ⁴, являє собою впорядковану пару\((x, y)\), яка вирішує обидва рівняння. В даному випадку\((3, 2)\) є єдиним рішенням. Щоб перевірити, що впорядкована пара є розв'язком, підставляйте відповідні\(x\) - і\(y\) -значення в кожне рівняння, а потім спростіть, чи отримаєте ви справжнє твердження для обох рівнянь.

Таблиця\(\PageIndex{1}\)
Перевірка:\((3, 2)\)
Рівняння 1:\(2 x - 3 y = 0\)	Рівняння 2:\(- 4 x + 2 y = - 8\)
\(\begin{aligned} 2 ( \color{Cerulean}{3}\color{Black}{ ) }- 3 ( \color{Cerulean}{2}\color{Black}{ )} & = 0 \\ 6 - 6 & = 0 \\ 0 & = 0 \color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)	\(\begin{aligned} - 4 ( \color{Cerulean}{3}\color{Black}{ )} + 2 ( \color{Cerulean}{2}\color{Black}{ )} & = - 8 \\ - 12 + 4 & = - 8 \\ - 8 & = - 8 \color{Cerulean}{✓}\end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\):

Визначте\((1,0)\), чи є рішенням системи\(\left\{ \begin{array} { c } { x - y = 1 } \\ { - 2 x + 3 y = 5 } \end{array} \right.\).

Рішення

Підставте відповідні значення в обидва рівняння.

Таблиця\(\PageIndex{2}\)
Перевірка:\((1, 0)\)
Рівняння 1:\(x - y = 1\)	Рівняння 2:\(- 2 x + 3 y = 5\)
\(\begin{aligned} ( \color{Cerulean}{1}\color{Black}{ )} - ( \color{Cerulean}{0}\color{Black}{ )} & = 1 \\ 1 - 0 & = 1 \\ 1 & = 1 \color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)	\(\begin{array} { r } { - 2 ( \color{Cerulean}{1}\color{Black}{ )} + 3 ( \color{Cerulean}{0}\color{Black}{ )} = 5 } \\ { - 2 + 0 = 5 } \\ { - 2 = 5 } \color{red}{✗} \end{array}\)

Відповідь:

Оскільки\((1, 0)\) не задовольняє обидва рівняння, це не рішення.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Чи\((-2, 4)\) є рішення для системи\(\left\{ \begin{array} { c } { x - y = - 6 } \\ { - 2 x + 3 y = 16 } \end{array} \right. \)?

Відповідь

Так

www.youtube.com/В/VBCSV2ISJBK

Вирішити за допомогою графіків

Геометрично лінійна система складається з двох ліній, де рішенням є точка перетину. Щоб проілюструвати це, ми намалюємо наступну лінійну систему з розв'язком\((3, 2)\):

\(\left\{ \begin{array} { c } { 2 x - 3 y = 0 } \\ { - 4 x + 2 y = - 8 } \end{array} \right.\)

Спочатку перепишіть рівняння у формі перехоплення нахилу, щоб ми могли легко їх графікувати.

Таблиця\(\PageIndex{3}\)
\(\begin{aligned} 2 x - 3 y & = 0 \\ 2 x - 3 y \color{Cerulean}{- 2 x} & \color{Black}{=} 0 \color{Cerulean}{- 2 x} \\ - 3 y & = - 2 x \\ \frac { - 3 y } { \color{Cerulean}{- 3} } & = \frac { - 2 x } { \color{Cerulean}{- 3} } \\ y & = \frac { 2 } { 3 } x \end{aligned}\)	\(\begin{aligned} - 4 x + 2 y & = - 8 \\ - 4 x + 2 y \color{Cerulean}{+ 4 x} & \color{Black}{=} - 8 \color{Cerulean}{+ 4 x} \\ 2 y & = 4 x - 8 \\ \frac { 2 y } { \color{Cerulean}{2} } & \color{Black}{=} \frac { 4 x - 8 } { \color{Cerulean}{2} } \\ y & = 2 x - 4 \end{aligned}\)

Далі замініть ці форми вихідних рівнянь в системі, щоб отримати те, що називається еквівалентною системою ⁵. Еквівалентні системи мають один і той же набір рішень.

\(\begin{array} { c } { \color {Cerulean} { Original\: system } \:\:\:\:\:\:\:\color{Cerulean}{Equivalent\: system}} \\ { \left\{ \begin{array} { c } { 2 x - 3 y = 0 } \\ { - 4 x + 2 y = - 8 } \end{array} \right. \:\:\:\Rightarrow \:\:\:\:\:\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 2 } { 3 } x } \\ { y = 2 x - 4 } \end{array} \right. } \end{array}\)

Якщо ми графуємо обидві лінії на одному наборі осей, то ми можемо побачити, що точка перетину дійсно\((3, 2)\), рішення системи.

Підводячи підсумок, лінійні системи, описані в цьому розділі, складаються з двох лінійних рівнянь, кожне з двома змінними. Розв'язок - це впорядкована пара, яка відповідає точці, де дві лінії перетинаються в прямокутній координатній площині. Тому одним із способів вирішення лінійних систем є побудова графіків обох ліній на одному наборі осей та визначення точки, де вони перетинаються. Це описує графічний метод ⁶ для розв'язання лінійних систем.

При графіку ліній подбайте про те, щоб вибрати хороший масштаб і використовувати прямий край, щоб провести лінію через точки; тут дуже важлива точність.

Приклад\(\PageIndex{2}\):

Вирішити за допомогою графіки:\(\left\{ \begin{array} { l } { x - y = - 4 } \\ { 2 x + y = 1 } \end{array} \right.\).

Рішення

Перепишіть лінійні рівняння у формі ухил-перехоплення.

Таблиця\(\PageIndex{4}\)
\(\begin{aligned} x - y & = - 4 \\ - y & = - x - 4 \\ \frac { - y } { \color{Cerulean}{- 1} } & \color{Black}{=} \frac { - x - 4 } { \color{Cerulean}{- 1} } \\ y & = x + 4 \end{aligned}\)	\(\begin{aligned} 2 x + y & = 1 \\ y & = - 2 x + 1 \end{aligned}\)

Напишіть еквівалентну систему і пографуйте лінії на одному і тому ж наборі осей.

\(\left\{ \begin{array} { l } { x - y = - 4 } \\ { 2 x + y = 1 } \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array} { l } { y = x + 4 } \\ { y = - 2 x + 1 } \end{array} \right.\)

Таблиця\(\PageIndex{5}\)
\(\color{Cerulean}{Line 1:} y=x+4\) \(y-intercept: (0,4)\) \(slope: m = 1 = \frac{1}{1} = \frac{rise}{run}\)	\(\color{Cerulean}{Line 2:} y=-2x+1\) \(y-intercept: (0,1)\) \(slope: m=-2 = frac{-2}{1} = \frac{rise}{run}\)

Використовуйте графік, щоб оцінити точку, де лінії перетинаються, і перевірте, чи вирішує він вихідну систему. На наведеному вище графіку точка перетину здається\((−1, 3)\).

Таблиця\(\PageIndex{6}\)
Перевірка:\((-1, 3)\)
Рядок 1:\(x-y=-4\)	Рядок 2:\(2x+y=1\)
\(\begin{array} { r } { ( \color{Cerulean}{- 1} \color{Black}{)} - ( \color{Cerulean}{3} \color{Black}{)} = - 4 } \\ { - 1 - 3 = - 4 } \\ { - 4 = - 4 } \end{array}\color{Cerulean}{✓}\)	\(\begin{array} { r } { 2 ( \color{Cerulean}{- 1} \color{Black}{)} + ( \color{Cerulean}{3} \color{Black}{)} = 1 } \\ { - 2 + 3 = 1 } \\ { 1 = 1 } \end{array}\color{Cerulean}{✓}\)

Відповідь:

\((-1, 3)\)

Приклад\(\PageIndex{3}\):

Вирішити за допомогою графіки:\(\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + y = 2 } \\ { - 2 x + 3 y = - 18 } \end{array} \right.\).

Рішення

Спочатку ми вирішуємо кожне рівняння\(y\) для отримання еквівалентної системи, де лінії знаходяться у формі нахилу перехоплення.

\(\left\{ \begin{array} { c c } { 2 x + y = 2 } \\ { - 2 x + 3 y = - 18 } \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array} { l } { y = - 2 x + 2 } \\ { y = \frac { 2 } { 3 } x - 6 } \end{array} \right.\)

Проведіть графік ліній і визначте точку перетину.

Таблиця\(\PageIndex{7}\)
Перевірка:\((3, -4)\)
\(\begin{array} { r } { 2 x + y = 2 } \\ { 2 ( \color{Cerulean}{3}\color{Black}{ )} + ( \color{Cerulean}{- 4} \color{Black}{)} = 2 } \\ { 6 - 4 = 2 } \\ { 2 = 2 } \color{Cerulean}{✓} \end{array}\)	\(\begin{aligned} - 2 x + 3 y & = - 18 \\ - 2 ( \color{Cerulean}{3} \color{Black}{)} + 3 ( \color{Cerulean}{- 4} \color{Black}{)} & = - 18 \\ - 6 - 12 & = - 18 \\ - 18 & = - 18 \color{Cerulean}{✓}\end{aligned}\)

Відповідь:

\((3, -4)\)

Приклад\(\PageIndex{4}\):

Вирішити за допомогою графіки:\(\left\{ \begin{array} { c } { 3 x + y = 6 } \\ { y = - 3 } \end{array} \right.\).

Рішення

\(\left\{ \begin{array} { c } { 3 x + y = 6 } \\ { y = - 3 } \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array} { l } { y = - 3 x + 6 } \\ { y = - 3 } \end{array} \right.\)

Таблиця\(\PageIndex{8}\)
Перевірка:\((3, -3)\)
\(\begin{array} { r } { 3 x + y = 6 } \\ { 3 ( \color{Cerulean}{3} \color{Black}{)} + ( \color{Cerulean}{- 3}\color{Black}{ )} = 6 } \\ { 9 - 3 = 6 } \\ { 6 = 6 } \color{Cerulean}{✓} \end{array}\)	\(\begin{aligned} y & = - 3 \\ ( \color{Cerulean}{- 3} \color{Black}{)} & = - 3 \\ - 3 & = - 3 \color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)

Відповідь:

\((3, -3)\)

Метод графіків для розв'язання лінійних систем не є ідеальним, коли рішення складається з координат, які не є цілими числами. У наступних розділах будуть більш точні алгебраїчні методи, але наразі мета полягає в тому, щоб зрозуміти геометрію, яка бере участь у вирішенні систем. Важливо пам'ятати, що розв'язки системи відповідають точці, або точкам, де перетинаються графіки рівнянь.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вирішити за допомогою графіки:\(\left\{ \begin{array} { l } { - x + y = 6 } \\ { 5 x + 2 y = - 2 } \end{array} \right.\).

Відповідь

\((-2, 4)\)

www.youtube.com/В/ФМЦ7WV0

Залежні та непослідовні системи

Система з хоча б одним рішенням називається послідовною системою ⁷. До цього моменту всі приклади були узгодженими системами з точно одним впорядкованим парним рішенням. Виявляється, так буває далеко не завжди. Іноді системи складаються з двох лінійних рівнянь, які є рівнозначними. Якщо це так, два рядки однакові і при графіку збігаються. Значить, набір рішення складається з усіх точок на лінії. Це залежна система ⁸. З огляду на послідовну лінійну систему з двома змінними, можливі два результати:

Рішенням незалежної системи ⁹ є впорядкована пара\((x, y)\). Рішення залежної системи складається з нескінченно багатьох впорядкованих пар\((x, y)\). Оскільки будь-який рядок може бути записаний у формі нахилу-перехоплення\(y = mx + b\), ми можемо висловити ці рішення, залежні від\(x\), наступним чином:

\(\begin{array} { c } { \{ ( x , y ) | y = m x + b \} \:\:\:\color{Cerulean} { Set-Notation } } \\ { ( x , m x + b ) \quad \color{Cerulean} { Shortened\: Form } } \end{array}\)

У цьому тексті ми висловимо всі впорядковані парні рішення\((x, y)\) в скороченому вигляді\((x, mx + b)\), де\(x\) знаходиться будь-яке дійсне число.

Приклад\(\PageIndex{5}\):

Вирішити за допомогою графіки:\(\left\{ \begin{array} { r } { - 2 x + 3 y = - 9 } \\ { 4 x - 6 y = 18 } \end{array} \right.\).

Рішення

Визначте форму нахилу-перехоплення для кожного лінійного рівняння в системі.

Таблиця\(\PageIndex{9}\)
\(\begin{aligned} - 2 x + 3 y & = - 9 \\ - 2 x + 3 y & = - 9 \\ 3 y & = 2 x - 9 \\ y & = \frac { 2 x - 9 } { 3 } \\ y & = \frac { 2 } { 3 } x - 3 \end{aligned}\)	\(\begin{aligned} 4 x - 6 y & = 18 \\ 4 x - 6 y & = 18 \\ - 6 y & = - 4 x + 18 \\ y & = \frac { - 4 x + 18 } { - 6 } \\ y & = \frac { 2 } { 3 } x - 3 \end{aligned}\)

\(\left\{ \begin{array} { c c } { - 2 x + 3 y = - 9 } \\ { 4 x - 6 y = 18 } \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 2 } { 3 } x - 3 } \\ { y = \frac { 2 } { 3 } x - 3 } \end{array} \right.\)

У формі нахилу-перехоплення ми легко бачимо, що система складається з двох ліній з однаковим нахилом і однаковим\(y\) -перехопленням. Вони є, по суті, однією і тією ж лінією. І система залежна.

Відповідь:

\(\left( x , \frac { 2 } { 3 } x - 3 \right)\)

У цьому прикладі важливо помітити, що дві лінії мають однаковий нахил і однаковий\(y\) -перехоплення. Це говорить нам про те, що два рівняння еквівалентні і що одночасні розв'язки - це всі точки на лінії\(y = \frac{2}{3} x − 3\). Це залежна система, і нескінченно багато рішень виражаються за допомогою форми\((x, mx + b)\). Інші ресурси можуть виражати цей набір за допомогою нотації set\(\{(x, y) | y = \frac{2}{3} x − 3\}\), яка читає «набір усіх впорядкованих пар\((x, y)\) такий, що»\(y = \frac{2}{3} x − 3\).

Іноді лінії не перетинаються і немає точки перетину. Така система не має рішення\(Ø\), і називається непослідовною системою ¹⁰.

Приклад\(\PageIndex{6}\):

Вирішити за допомогою графіки:\(\left\{ \begin{array} { l } { - 2 x + 5 y = - 15 } \\ { - 4 x + 10 y = 10 } \end{array} \right.\).

Рішення

Визначте форму нахилу-перехоплення для кожного лінійного рівняння.

Таблиця\(\PageIndex{10}\)
\(\begin{aligned} - 2 x + 5 y & = - 15 \\ - 2 x + 5 y & = - 15 \\ 5 y & = 2 x - 15 \\ y & = \frac { 2 x - 15 } { 5 } \\ y & = \frac { 2 } { 5 } x - 3 \end{aligned}\)	\(\begin{aligned} - 4 x + 10 y & = 10 \\ - 4 x + 10 y & = 10 \\ 10 y & = 4 x + 10 \\ y & = \frac { 4 x + 10 } { 10 } \\ y & = \frac { 2 } { 5 } x + 1 \end{aligned}\)

\(\left\{ \begin{array} { l } { - 2 x + 5 y = - 15 } \\ { - 4 x + 10 y = 10 } \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 2 } { 5 } x - 3 } \\ { y = \frac { 2 } { 5 } x + 1 } \end{array} \right.\)

У формі нахилу-перехоплення ми легко бачимо, що система складається з двох ліній з однаковим нахилом і різними\(y\) -перехопленнями. Тому лінії паралельні і ніколи не будуть перетинатися.

Відповідь:

Одночасного рішення не існує\(\varnothing\).

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вирішити за допомогою графіки:\(\left\{ \begin{array} { c } { x + y = - 1 } \\ { - 2 x - 2 y = 2 } \end{array} \right.\).

Відповідь

\(( x , - x - 1 )\)

www.youtube.com/В/MUQ2OQI7SAG

Ключові винос

У цьому розділі ми обмежимося нашим вивченням системами двох лінійних рівнянь з двома змінними. Розв'язки таких систем, якщо вони існують, складаються з впорядкованих пар, які задовольняють обом рівнянням. Геометрично рішення - це точки, де графи перетинаються.
Метод графіків для розв'язання лінійних систем вимагає від нас графіків обох ліній на одному наборі осей як засіб для визначення місця їх перетину.
Метод графіків не є найбільш точним методом визначення розв'язків, особливо коли рішення має координати, які не є цілими числами. Це гарна практика, щоб завжди перевіряти свої рішення.
Деякі лінійні системи не мають одночасного рішення. Ці системи складаються з рівнянь, які представляють паралельні лінії з різними\(y\) -перехопленнями і не перетинаються в площині. Вони називаються неузгодженими системами, а набір рішень - порожній набір,\(Ø\).
Деякі лінійні системи мають нескінченно багато одночасних рішень. Ці системи складаються з рівнянь, які є еквівалентними і являють собою одну і ту ж лінію. Їх називають залежними системами і їх розв'язки виражаються за допомогою позначення\((x, mx + b)\), де\(x\) знаходиться будь-яке дійсне число.

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Визначте, чи є дана впорядкована пара рішенням даної системи.

1. \((3, -2)\);

\(\left\{ \begin{array} { c } { x + y = - 1 } \\ { - 2 x - 2 y = 2 } \end{array} \right.\)

2. \((-5, 0)\);

\(\left\{ \begin{array} { l } { x + y = - 1 } \\ { - 2 x - 2 y = 2 } \end{array} \right.\)

3. \(( - 2 , - 6 )\);

\(\left\{ \begin{array} { l } { - x + y = - 4 } \\ { 3 x - y = - 12 } \end{array} \right.\)

4. \(( 2 , - 7 )\);

\(\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = - 8 } \\ { - 5 x - 3 y = 11 } \end{array} \right.\)

5. \(( 0 , - 3 )\);

\(\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 5 y = 15 } \\ { - 13 x + 2 y = - 6 } \end{array} \right.\)

6. \(\left( - \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 4 } \right)\);

\(\left\{ \begin{array} { l } { x + y = - \frac { 1 } { 4 } } \\ { - 2 x - 4 y = 0 } \end{array} \right.\)

7. \(\left( \frac { 3 } { 4 } , \frac { 1 } { 4 } \right)\);

\(\left\{ \begin{array} { l } { - x - y = - 1 } \\ { - 4 x - 8 y = 5 } \end{array} \right.\)

8. \(( - 3,4 )\);

\(\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 3 } x + \frac { 1 } { 2 } y = 1 } \\ { \frac { 2 } { 3 } x - \frac { 3 } { 2 } y = - 8 } \end{array} \right.\)

9. \(( - 5 , - 3 )\);

\(\left\{ \begin{array} { c } { y = - 3 } \\ { 5 x - 10 y = 5 } \end{array} \right.\)

10. \(( 4,2 )\);

\(\left\{ \begin{aligned} x & = 4 \\ - 7 x + 4 y & = 8 \end{aligned} \right.\)

Відповідь

1. Ні

3. Ні

5. Так

7. Ні

9. Так

Вправа\(\PageIndex{5}\)

З огляду на графіки, визначають одночасне рішення.

10.

Відповідь

1. \((5, 0)\)

3. \((6, -6)\)

5. \((0,0)\)

7. \(( x , - 2 x + 2 )\)

9. \(\emptyset\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Вирішити за допомогою графіки.

\(\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 3 } { 2 } x + 6 } \\ { y = - x + 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 3 } { 4 } x + 2 } \\ { y = - \frac { 1 } { 4 } x - 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = x - 4 } \\ { y = - x + 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = - 5 x + 4 } \\ { y = 4 x - 5 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { y = \frac { 2 } { 5 } x + 1 } \\ { y = \frac { 3 } { 5 } x } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 2 } { 5 } x + 6 } \\ { y = \frac { 2 } { 5 } x + 10 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = - 2 } \\ { y = x + 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 } \\ { x = - 3 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = 0 } \\ { y = \frac { 2 } { 5 } x - 4 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x = 2 } \\ { y = 3 x } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 3 } { 5 } x - 6 } \\ { y = \frac { 3 } { 5 } x - 3 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \\ { y = - \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 18 } \\ { - 6 x + 3 y = - 6 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} - 3 x + 4 y & = 20 \\ 2 x + 8 y & = 8 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { - 2 x + y = 1 } \\ { 2 x - 3 y = 9 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = - 8 } \\ { 5 x + 4 y = - 4 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 6 y = 36 } \\ { 2 x - 3 y = 6 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 18 } \\ { 6 x - 3 y = - 6 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 30 } \\ { - 6 x - 10 y = - 10 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { - x + 3 y = 3 } \\ { 5 x - 15 y = - 15 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 0 } \\ { - x + y = 0 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { y = x } \\ { y - x = 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { 3 x + 2 y = 0 } \\ { x = 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + \frac { 1 } { 3 } y = \frac { 2 } { 3 } } \\ { - 3 x + \frac { 1 } { 2 } y = - 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 10 } x + \frac { 1 } { 5 } y = 2 } \\ { - \frac { 1 } { 5 } x + \frac { 1 } { 5 } y = - 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 1 } { 2 } y = 1 } \\ { \frac { 1 } { 3 } x + \frac { 1 } { 5 } y = 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 9 } x + \frac { 1 } { 6 } y = 0 } \\ { \frac { 1 } { 9 } x + \frac { 1 } { 4 } y = \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 } { 16 } x - \frac { 1 } { 2 } y = 5 } \\ { - \frac { 5 } { 16 } x + \frac { 1 } { 2 } y = \frac { 5 } { 2 } } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 6 } x - \frac { 1 } { 2 } y = \frac { 9 } { 2 } } \\ { - \frac { 1 } { 18 } x + \frac { 1 } { 6 } y = - \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 } { 4 } y = - \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 1 } { 2 } y = 3 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = 4 } \\ { x = - 5 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = - 3 } \\ { x = 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = 0 } \\ { x = 0 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = - 2 } \\ { y = 3 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = 5 } \\ { y = - 5 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} y & = 2 \\ y - 2 & = 0 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x = - 5 } \\ { x = 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = x } \\ { x = 0 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 6 y = 3 } \\ { - x + y = - 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { - 2 x + 20 y = 20 } \\ { 3 x + 10 y = - 10 } \end{array} \right.\)
Припускаючи\(m\), що ненульове рішення системи:\(\left\{ \begin{array} { l } { y = m x + b } \\ { y = - m x + b } \end{array} \right.\)
Припускаючи\(b\), що ненульове рішення системи:\(\left\{ \begin{array} { l } { y = m x + b } \\ { y = m x - b } \end{array} \right.\)
Знайдіть рівняння прямої перпендикулярної\(y = −2x + 4\) і проходить через неї\((3, 3)\). Графік цієї лінії і заданої лінії на одному і тому ж наборі осей і визначте, де вони перетинаються.
Знайдіть рівняння прямої перпендикулярної\(y − x = 2\) і проходить через неї\((−5, 1)\). Графік цієї лінії і заданої лінії на одному і тому ж наборі осей і визначте, де вони перетинаються.
Знайдіть рівняння прямої перпендикулярної\(y = −5\) і проходить через неї\((2, −5)\). Графік обох ліній на одному і тому ж наборі осей.
Знайдіть рівняння прямої перпендикулярної осі\(y\) -осі і проходить через початок.
Використовуйте графік,\(y = −\frac{2}{3} x + 3\) щоб визначити\(x\) значення -where\(y = −3\). Перевірте свою відповідь за допомогою алгебри.
Використовуйте графік,\(y = \frac{4}{5} x − 3\) щоб визначити\(x\) значення -where\(y = 5\). Перевірте свою відповідь за допомогою алгебри.

Відповідь

1. \((−2, 3)\)

3. \((3, −1)\)

5. \((5, 3)\)

7. \((−3, −2)\)

9. \((10, 0)\)

11. \(Ø\)

13. \((3, 4)\)

15. \((−3, −5)\)

17. \((6, 2)\)

19. \(Ø\)

21. \((x, x)\)

23. \((2, −3)\)

25. \((10, 5)\)

27. \((−9, 6)\)

29. \((x, \frac{1}{3} x − 9)\)

31. \((−5, 4)\)

33. \((0, 0)\)

35. \(Ø\)

37. \(Ø\)

39. \((\frac{3}{2} , −\frac{1}{2})\)

41. \((0, b)\)

43. \(y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2} ; (1, 2)\)

45. \(x = 2\)

47. \(x = 9\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Обговоріть слабкі сторони методу графіків для розв'язування систем.
Поясніть, чому рішення, встановлене на залежну лінійну систему, позначається\((x, mx + b)\).
Намалюйте картину залежної лінійної системи, а також картину непослідовної лінійної системи. Що б вам потрібно, щоб визначити рівняння ліній, які ви намалювали?

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

3. Відповідь може відрізнятися

Виноски

¹ Набір з двох або більше рівнянь з однаковими змінними.

² Набір з двох або більше лінійних рівнянь з однаковими змінними.

³ З урахуванням лінійної системи з двома рівняннями і двома змінними розв'язком є впорядкована пара, яка задовольняє обом рівнянням і відповідає точці перетину.

⁴ Використовується при зверненні до розв'язку системи рівнянь.

⁵ Система, що складається з еквівалентних рівнянь, які поділяють один і той же набір розв'язків.

⁶ Засіб вирішення системи шляхом побудови графіків рівнянь на одному і тому ж наборі осей і визначення місця їх перетину.

⁷ Система з хоча б одним рішенням.

⁸ Лінійна система з двома змінними, яка складається з еквівалентних рівнянь. Має нескінченно багато упорядкованих парних рішень, позначаються\((x, mx + b)\).

⁹ Лінійна система з двома змінними, яка має рівно одне впорядковане парне рішення.

¹⁰ Система без одночасного вирішення.