2.E: Графічні функції та нерівності (вправи)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58345

Anonymous
LibreTexts

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Вправа$\PageIndex{1}$

Визначте домен і діапазон і станьте, чи є функція відношення чи ні.

1. $\{ ( - 4 , - 1 ) , ( - 5,3 ) , ( 10,3 ) , ( 11,2 ) , ( 15,1 ) \}$

2. $\{ ( - 3,0 ) , ( - 2,1 ) , ( 1,3 ) , ( 2,7 ) , ( 2,5 ) \}$

Відповідь

1. Домен:$\{ - 5 , - 4,10,11,15 \}$; діапазон:$\{ - 1,1,2,3 \}$; функція: yes

3. Домен:$\{ - 5,5,15,30 \}$; діапазон:$\{ - 5,0,5,10,15 \}$; функція: немає

5. Домен:$( - \infty , \infty )$; діапазон:$[ - 6 , \infty )$; функція: yes

7. Домен:$\left( - \infty , \frac { 3 } { 2 } \right]$; діапазон:$[ 1 , \infty )$; функція yes

Вправа$\PageIndex{2}$

Оцінити.

$h (x) = 1 2 x − 3; h (−8), h (3),$і$h (4a + 1)$
$p (x) = 4 − x ; p (−10), p (0),$і$p (5a − 1)$
$f (x) = 2x^{2} − x + 3$; знайти$f (−5), f (0)$, і$f (x + h)$
$g (x) = x^{2} − 9$; знайти$f (−3), f (2)$, і$f (x + h)$
$g (x) = \sqrt{2x − 1}$; знайти$g (5), g (1), g (13)$
$h ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x + 6 }$; знайти$h (−7), h (−6)$, і$h (21)$
$f (x) = 8x + 3$; знайти$x$ де$f (x) = 10$.
$g (x) = 5 − 3x$; знайти$x$ де$g (x) = −4$.
З огляду на графік$f (x)$ нижче, знайдіть$f (−60) , f (0)$, і$f (20)$.

10. З огляду на графік$g (x)$ нижче, знайдіть$x$ де$g (x) = −4$ і$g (x) = 12$.

Відповідь

1. $h (−8) = −7, h (3) = −\frac{3}{2}$, і$h (4a + 1) = 2a −\frac{5}{2}$

3. $f (−5) = 58, f (0) = 3$, і$f (x + h) = 2x^{2} + 4xh + 2h^{2} − x − h + 3$

5. $g (5) = 3, g (1) = 1, g (13) = 5$

7. $f \left( \frac { 7 } { 8 } \right) = 10$

9. $f ( - 60 ) = - 20 , f ( 0 ) = 20 , f ( 20 ) = 0$

Вправа$\PageIndex{3}$

Графік і позначення перехоплень.

$4x − 8y = 12$
$9x + 4y = 6$
$\frac{3}{8} x + \frac{1}{2} y = \frac{5}{4}$
$\frac{3}{4} x − \frac{1}{2} y = −1$

Відповідь

Вправа$\PageIndex{4}$

Графік лінійної функції та позначення$x$ -intercept.

$g ( x ) = \frac { 5 } { 8 } x + 10$
$g ( x ) = - \frac { 1 } { 5 } x - 3$
$f ( x ) = - 4 x + \frac { 1 } { 2 }$
$f ( x ) = 3 x - 5$
$h ( x ) = - \frac { 2 } { 3 } x$
$h ( x ) = - 6$

Відповідь

Вправа$\PageIndex{5}$

Знайти нахил лінії, що проходить через задані точки.

$(−5, 3)$і$(−4, 1)$
$(7, −8)$і$(−9, −2)$
$(−\frac{4}{5}, \frac{1}{3})$і$(−\frac{1}{10}, −\frac{3}{5})$
$(\frac{3}{8}, −1)$і$(−\frac{3}{4}, −\frac{1}{16})$
$(−14, 7)$і$(−10, 7)$
$(6, −5)$і$(6, −2)$

Відповідь

1. $m=-2$

3. $m=-\frac{4}{3}$

5. $m=0$

Вправа$\PageIndex{6}$

Графік$f$ і$g$ на одній і тій же прямокутній координатній площині. Використовуйте графік, щоб знайти всі значення,$x$ для яких задане відношення є істинним. Перевірте свою відповідь алгебраїчно.

$f ( x ) = \frac { 1 } { 2 } x - 2 , g ( x ) = - \frac { 5 } { 2 } x + 4 ; f ( x ) = g ( x )$
$f ( x ) = 5 x - 2 , g ( x ) = 3 ; f ( x ) \geq g ( x )$
$f ( x ) = - 4 x + 3 , g ( x ) = - x + 6 ; f ( x ) < g ( x )$
$f ( x ) = \frac { 3 } { 5 } x - 1 , g ( x ) = - \frac { 3 } { 5 } x + 5 ; f ( x ) \leq g ( x )$

Відповідь

1. $x=2$

3. $( - 1 , \infty )$

Вправа$\PageIndex{7}$

Знайти лінійну функцію, що проходить через задані точки.

$(1, −5)$і$(\frac{1}{2}, −4)$
$(\frac{5}{3}, −3)$і$(−2, 8)$
$(7, −6)$і$(5, −7)$
$(−5, −6)$і$(−3, −9)$
Знайдіть рівняння заданої лінійної функції:

6. Знайдіть рівняння заданої лінійної функції:

Відповідь

1. $f ( x ) = - 2 x - 3$

3. $f ( x ) = \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 19 } { 2 }$

5. $f ( x ) = - \frac { 3 } { 7 } x - \frac { 10 } { 7 }$

Вправа$\PageIndex{8}$

Знайдіть рівняння прямої:

Паралельно$8x − 3y = 24$ і проходячи через$(−9, 4)$.
Паралельно$6x + 2y = 24$ і проходячи через$(\frac{1}{2}, −2)$.
Паралельно$\frac{1}{4} x −\frac{2}{3} y = 1$ і проходячи через$(−4, −1)$.
Перпендикулярно$14x + 7y = 10$ і проходить наскрізь$(8, −3)$.
Перпендикулярно$15x − 3y = 6$ і проходить наскрізь$(−3, 1)$.
Перпендикулярно$\frac { 2 } { 9 } x + \frac { 4 } { 3 } y = \frac { 1 } { 2 }$ і проходить наскрізь$(2, −7)$.

Відповідь

1. $y = \frac{8}{3} x + 28$

3. $y = \frac{3}{8} x − \frac{5}{2}$

5. $y = −\frac{1}{5} x + \frac{2}{5}$

Вправа$\PageIndex{9}$

Використовуйте алгебру, щоб вирішити наступне.

Вартість таксі в певному місті включає початкову плату$$2.50$ плюс$$2.00$ за милю. Напишіть функцію, яка дає вартість поїздки на таксі в перерахунку на кількість пройдених миль. Використовуйте функцію, щоб визначити кількість пройдених миль, якщо загальна вартість проїзду є$$9.70$.
Продавець заробляє базову зарплату$$1,800$ в місяць і$4.2$% комісії від її загального обсягу продажів за цей місяць. Напишіть функцію, яка дає їй щомісячну зарплату на основі її загального обсягу продажів. Використовуйте функцію для визначення суми продажів за місяць, в якому була її зарплата$$4,824$.
Якийсь автомобіль$$1,200$ продавався за в$1980$, після чого його стали вважати предметом колекціонування. У$1994$, той же автомобіль продали на аукціоні за$$5,750$. Напишіть лінійну функцію, яка моделює значення автомобіля за кількістю років з моменту$1980$. Використовуйте його для оцінки вартості автомобіля в році$2000$.
Спеціалізований промисловий робот був придбаний новий для$$62,400$. Він має тривалість життя$12$ років, після чого буде вважатися нікчемним. Напишіть лінійну функцію, яка моделює значення робота. Використовуйте функцію для визначення її величини через$8$ роки експлуатації.
Бюро перепису$1950$ населення США оцінило населення Детройта, штат Мічиган, на$1.8$ мільйон чоловік. В$1990$, чисельність населення, за оцінками, зменшилася до$1$ мільйона. Напишіть лінійну функцію, яка дає населенню Детройта мільйонами людей, з точки зору років з тих пір$1950$. Використовуйте функцію для оцінки року, в якому чисельність населення скоротилася до$700,000$ людей.
Онлайн-продажі того чи іншого товару пов'язані з кількістю кліків по його рекламі. Виявлено, що$100$ кліки за тиждень призводять до онлайн-продажів, а$500$ кліки призводять$$160$ до онлайн-продажів.$$112$ Напишіть лінійну функцію, яка моделює онлайн-продажі товару на основі кількості кліків по його рекламі. Скільки кліків потрібно, щоб отримати$$250$ щотижневі онлайн-продажі з цього продукту?
Вартість в доларах виробництва n велосипедів дається за формулою$C (n) = 80n + 3,380$. Якщо кожен велосипед можна продати за$$132$, напишіть функцію, яка дає прибуток, отриманий виробництвом і продажем$n$ велосипедів. Використовуйте формулу, щоб визначити кількість велосипедів, які необхідно виробляти і продати, щоб отримати прибуток як мінімум$$10,000$.
Визначте точку беззбитковості з попередньої вправи.

Відповідь

1. $C (x) = 2x + 2.5 ; 3.6$миль

3. $V (t) = 325t + 1, 200 ; $7,700$

5. $p (x) = −0.02x + 1.8 ; 2005$

7. $P (n) = 52n − 3, 380 ; 258$велосипеди

Вправа$\PageIndex{10}$

Знайдіть впорядковану пару, яка вказує точку$P$.

Відповідь

1. $\left( \frac { 3 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } \right)$

3. $( - 25,25 )$

Вправа$\PageIndex{11}$

Графік кусково заданих функцій.

$g ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { 2 } } & { \text { if } x < 5 } \\ { 10 } & { \text { if } x \geq 5 } \end{array} \right.$
$g ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - 5 } & { \text { if } x < - 5 } \\ { | x | } & { \text { if } x \geq - 5 } \end{array} \right.$
$f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x } & { \text { if } x \leq - 1 } \\ { x ^ { 3 } } & { \text { if } x > - 1 } \end{array} \right.$
$f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x } & { \text { if } x \leq 4 } \\ { \sqrt { x } } & { \text { if } x > 4 } \end{array} \right.$
$h ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x } & { \text { if } x < - 3 } \\ { x ^ { 2 } } & { \text { if } - 3 \leq x < 3 } \\ { - 6 } & { \text { if } x \geq 3 } \end{array} \right.$
$f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \text { if } \quad x < - 1 } \\ { x ^ { 2 } } & { \text { if } } { - 1 \leq x \leq 0 } \\ { \frac { 1 } { x } } & { \text { if } } { x > 0 } \end{array} \right.$
$g ( x ) = \left\{ \begin{array} { c c c } { 1 } & { \text { if } } & { x \leq - 1 } \\ { 0 } & { \text { if } } & { - 1 < x \leq 1 } \\ { - 1 } & { \text { if } } & { x > 1 } \end{array} \right.$
$g ( x ) = \left[\!\![x]\!\!\right] + 2$

Відповідь

Вправа$\PageIndex{12}$

Оцінити.

1. $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { c l } { 5 x - 2 } & { \text { if } x < - 6 } \\ { x ^ { 2 } } & { \text { if } x \geq - 6 } \end{array} \right.$

Знайти$f (−10), f (−6)$, і$f (0)$.

2. $h ( x ) = \left\{ \begin{array} { c l } { 2 - 5 x } & { \text { if } x \leq 0 } \\ { x ^ { 3 } } & { \text { if } x > 0 } \end{array} \right.$

Знайти$h (−1), h (0)$, і$h (\frac{1}{2})$.

3. $g ( x ) = \left\{ \begin{array} { c l } { - 5 } & { \text { if } x < - 4 } \\ { x - 9 } & { \text { if } - 4 \leq x < 0 } \\ { \sqrt { x } } & { \text { if } \quad x \geq 0 } \end{array} \right.$

Знайти$g (−10), g (0)$ і$g (8)$.

4. $q ( x ) = \left\{ \begin{array} { c c c } { \frac { 1 } { x } } & { \text { if } } & { x < - 1 } \\ { 0 } & { \text { if } } & { - 1 \leq x \leq 1 } \\ { x } & { \text { if } } & { x > 1 } \end{array} \right.$

Знайти$q (− 5 3 ), q (1)$ і$q (16)$.

Відповідь

1. $f ( - 10 ) = - 52 , f ( - 6 ) = 36 , f ( 0 ) = 0$

3. $g ( - 10 ) = - 5 , g ( - 4 ) = - 13 , g ( 8 ) = 2 \sqrt { 2 }$

Вправа$\PageIndex{13}$

Намалюйте графік заданої функції.

$f ( x ) = ( x + 5 ) ^ { 2 } - 10$
$g ( x ) = \sqrt { x - 6 } + 9$
$p ( x ) = x - 9$
$h ( x ) = x ^ { 3 } + 5$
$f ( x ) = | x - 20 | - 40$
$f ( x ) = \frac { 1 } { x - 3 }$
$h ( x ) = \frac { 1 } { x + 3 } - 6$
$g ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x - 4 } + 2$
$f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( x + 4 ) ^ { 2 } } & { \text { if } x < - 2 } \\ { x + 2 } & { \text { if } x \geq - 2 } \end{array} \right.$
$g ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - 2 } & { \text { if } x < 6 } \\ { | x - 8 | - 4 } & { \text { if } x \geq 6 } \end{array} \right.$
$g ( x ) = - | x + 4 | - 8$
$h ( x ) = - x ^ { 2 } + 16$
$f ( x ) = \sqrt { - x } - 2$
$r ( x ) = - \frac { 1 } { x } + 2$
$g ( x ) = - 2 | x + 10 | + 8$
$f ( x ) = - 5 \sqrt { x + 1 }$
$f ( x ) = - \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + 1$
$h ( x ) = \frac { 1 } { 3 } ( x - 1 ) ^ { 3 } + 2$

Відповідь

11.

13.

15.

17.

Вправа$\PageIndex{14}$

Напишіть рівняння, яке представляє функцію, графік якої задано.

Відповідь

1. $f ( x ) = ( x - 4 ) ^ { 2 } - 6$

3. $f ( x ) = - x ^ { 2 } + 4$

5. $f ( x ) = - x ^ { 3 } - 2$

7. $f ( x ) = - 10$

Вправа$\PageIndex{15}$

Вирішити.

$|5x − 4| = 14$
$|4 − 3x| = 4$
$9 − 5 |x − 4| = 4$
$6 + 2 |x + 10| = 12$
$|3x − 6| + 5 = 5$
$0.2 |x − 1.8| = 4.6$
$\frac { 2 } { 3 } \left| 2 x - \frac { 1 } { 2 } \right| + \frac { 1 } { 3 } = 2$
$\frac { 1 } { 4 } \left| x + \frac { 5 } { 2 } \right| - 2 = \frac { 1 } { 8 }$
$| 3 x - 9 | = | 4 x + 3 |$
$| 9 x - 7 | = | 3 + 8 x |$

Відповідь

1. $- 2 , \frac { 18 } { 5 }$

3. $3,5$

5. $2$

7. $- 1 , \frac { 3 } { 2 }$

9. $- 12 , \frac { 6 } { 7 }$

Вправа$\PageIndex{16}$

Вирішити. Графік розв'язків на числовому рядку і дайте відповідні інтервальні позначення.

$| 2 x + 3 | < 1$
$| 10 x - 15 | \leq 25$
$| 6 x - 1 | \leq 11$
$| x - 12 | > 7$
$6 - 4 \left| x - \frac { 1 } { 2 } \right| \leq 2$
$5 - | x + 6 | \geq 4$
$| 3 x + 1 | + 7 \leq 4$
$2 | x - 3 | + 6 > 4$
$5 \left| \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 1 } { 2 } \right| > \frac { 5 } { 6 }$
$6.4 - 3.2 | x + 1.6 | > 0$

Відповідь

1. $( - 2 , - 1 )$;

3. $\left[ - \frac { 5 } { 3 } , 2 \right]$;

5. $\left( - \infty , - \frac { 1 } { 2 } \right] \cup \left[ \frac { 3 } { 2 } , \infty \right)$;

7. $\emptyset$;

9. $( - \infty , 1 ) \cup ( 2 , \infty )$;

Вправа$\PageIndex{17}$

Чи є впорядкована пара розв'язком заданої нерівності?

$9 x - 2 y < - 1 ; ( - 1 , - 3 )$;
$4 x + \frac { 1 } { 3 } y > 0 ; ( 1 , - 12 )$;
$\frac { 3 } { 4 } x - y \geq \frac { 1 } { 2 } ; \left( \frac { 1 } { 2 } , - \frac { 1 } { 4 } \right)$
$x - y \leq - 6 ; ( - 1,7 )$
$y \leq x ^ { 2 } - 3 ; ( - 3,5 )$
$y > | x - 6 | + 10 ; ( - 4,12 )$
$y < ( x - 1 ) ^ { 3 } + 7 ; ( - 1,0 )$
$y \geq \sqrt { x + 4 } ; ( - 3,4 )$

Відповідь

1. Так

3. Так

5. Так

7. Ні

Вправа$\PageIndex{18}$

Графік набору розв'язків.

$x + y < 6$
$2x − 3y ≥ 9$
$3x − y ≤ 6$
$y + 4 > 0$
$x − 6 ≥ 0$
$−\frac{1}{3} x +\frac{1}{6} y >\frac{1}{2}$
$y > (x − 2)^{2} − 3$
$y ≤ (x + 6)^{2} + 3$
$y < − |x| + 9$
$y > |x − 12| + 3$
$y ≥ x^{3} + 8$
$y > −(x − 2)^{3}$

Відповідь

11.

Зразок іспиту

Вправа$\PageIndex{19}$

1. Визначте, чи відповідає наступний графік функцію чи ні. Поясніть.

2. Визначте домен і діапазон наступної функції.

3. Дано$g (x) = x^{2} − 5x + 1$, знайдіть$g (−1), g (0)$, і$g (x + h)$.

4. Задано графік функції$f$:

(а) Знайти$f(-6), f(0),$ і$f(2)$

(б) Знайти$x$ де$f(x)=2$

5. Графік$f ( x ) = - \frac { 5 } { 2 } x + 7$ і позначка$x$ -перехоплення.

6. Знайти лінійну функцію, що проходить через$(−\frac{1}{2}, −1)$ і$(2, −2)$.

7. Знайдіть рівняння прямої, паралельної$2x − 6y = 3$ і проходить через неї$(−1, −2)$.

8. Знайдіть рівняння прямої перпендикулярної$3x − 4y = 12$ і проходить через неї$(6, 1)$.

9. Річний дохід нової компанії веб-сервісів у доларах дається за рахунок$R (n) = 125n$, де$n$ представляє кількість користувачів, зареєстрованих компанією. Річна вартість обслуговування зареєстрованої бази користувачів компанії в доларах задається формулою,$C (n) = 85n + 22, 480$ де$n$ представлені користувачі.

(a) Напишіть функцію, яка моделює річний прибуток на основі кількості зареєстрованих користувачів.

(b) Визначте кількість зареєстрованих користувачів, необхідних для беззбитковості.

10. Конкретна пошукова система призначає рейтинг веб-сторінці на основі кількості посилань, які спрямовують користувачів на веб-сторінку. Якщо посилання не знайдено, веб-сторінці присвоюється рейтинг$1$. Якщо знайдені$40$ посилання, що направляють користувачів на веб-сторінку, пошукова система призначає рейтинг сторінки$5$.

(a) Знайдіть лінійну функцію, яка дає рейтинг веб-сторінки на основі кількості посилань, які спрямовують користувачів на неї.

(b) Скільки посилань знадобиться для отримання рейтингу сторінок$7$?

Відповідь

1. Графік не є функцією; він не проходить тест вертикальної лінії.

3. $g (−1) = 7, g (0) = 1$, і$g (x + h) = x^{2} + 2xh + h^{2} − 5x − 5h + 1$

7. $y = \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 5 } { 3 }$

9. (а)$P ( n ) = 40 n - 22,480$ (б)$562$ користувачі

Вправа$\PageIndex{20}$

Використовуйте перетворення, щоб намалювати графік наступних функцій та вказати область та діапазон.

$g ( x ) = | x + 4 | - 5$
$h ( x ) = \sqrt { x - 4 } + 1$
$r ( x ) = - ( x + 3 ) ^ { 3 }$
З огляду на графік, визначаємо визначення функції та її область і діапазон:

5. Намалюйте графік:$h ( x ) = \left\{ \begin{aligned} - x & \text { if } x < 1 \\ \frac { 1 } { x } & \text { if } x \geq 1 \end{aligned} \right.$

6. Намалюйте графік:$g ( x ) = - \frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + 9$

Відповідь

1. Домен:$(−∞, ∞)$; діапазон:$[−5, ∞)$

3. Домен:$(−∞, ∞)$; діапазон:$(−∞, ∞)$

Вправа$\PageIndex{21}$

Вирішити.

$|2 x - 1| + 2 = 7$
$10 - 5 | 2 x - 3 | = 0$
$| 7 x + 4 | = | 9 x - 1 |$

Відповідь

1. $- 2,3$

3. $- \frac { 3 } { 16 } , \frac { 5 } { 2 }$

Вправа$\PageIndex{22}$

Розв'яжіть та графуйте набір рішень.

$| 2 x - 4 | - 5 < 7$
$6 + | 3 x - 5 | \geq 13$
$5 - 3 | x - 4 | \geq - 10$
$3 | 7 x - 1 | + 5 \leq 2$

Відповідь

1. $\left( - \infty , - \frac { 2 } { 3 } \right] \cup [ 4 , \infty )$;

3. $\emptyset$

Вправа$\PageIndex{23}$

Графік набору розв'язків.

$\frac { 1 } { 2 } x - \frac { 2 } { 3 } y \geq 4$
$y > - ( x - 2 ) ^ { 2 } + 4$

Відповідь: 1.

Малюнок 2.Е.62