2.6: Розв'язування рівнянь абсолютних значень та нерівностей

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58339

Anonymous
LibreTexts

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Перегляньте визначення абсолютного значення.
Вирішити рівняння абсолютних значень.
Вирішити абсолютні величини нерівностей.

Рівняння абсолютних значень

Нагадаємо, що абсолютне значення ⁶³ дійсного числа\(a\), що позначається\(|a|\), визначається як відстань між нулем (початком) і графіком цього дійсного числа на числовій лінії. Наприклад,\(|−3|=3\) і\(|3|=3\).

Крім того, абсолютне значення дійсного числа можна визначити алгебраїчно як кускову функцію.

\(| a | = \left\{ \begin{array} { l } { a \text { if } a \geq 0 } \\ { - a \text { if } a < 0 } \end{array} \right.\)

З огляду на це визначення,\(|3| = 3\) і\(|−3| = − (−3) = 3\) .Отже, рівняння\(|x| = 3\) має два рішення для\(x\), а саме\(\{±3\}\). Загалом, дається будь-який алгебраїчний вираз\(X\) і будь-яке додатне число\(p\):

\(\text{If}\: | X | = p \text { then } X = - p \text { or } X = p\)

Іншими словами, аргумент абсолютного значення ⁶⁴\(X\) може бути як позитивним, так і негативним\(p\). Використовуйте цю теорему для алгебраїчного розв'язання рівнянь абсолютних значень.

Приклад\(\PageIndex{1}\):

Вирішити:\(|x+2|=3\).

Рішення

При цьому аргумент абсолютного значення є\(x+2\) і повинен дорівнювати\(3\) або\(−3\).

Тому, щоб вирішити це рівняння абсолютного значення, встановіть\(x+2\) рівне\(±3\) і вирішуйте кожне лінійне рівняння, як зазвичай.

\(\begin{array} { c } { | x + 2 | = 3 } \\ { x + 2 = - 3 \quad \quad\text { or } \quad\quad x + 2 = 3 } \\ { x = - 5 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad x = 1 } \end{array}\)

Відповідь:

Рішення є\(−5\) і\(1\).

Щоб візуалізувати ці розв'язки, графуйте функції по обидва боки знака рівності на одному і тому ж наборі осей координат. В даному випадку\(f (x) = |x + 2|\) є функція абсолютного значення, зсунута на дві одиниці горизонтально вліво, і\(g (x) = 3\) являє собою постійну функцію, графік якої є горизонтальною лінією. Визначте\(x\) -значення де\(f (x) = g (x)\).

З графіка ми бачимо, що обидві функції збігаються де\(x = −5\) і\(x = 1\). Розчини відповідають точкам перетину.

Приклад\(\PageIndex{2}\):

Вирішити:\(| 2 x + 3 | = 4\).

Рішення

Тут аргумент абсолютного значення є\(2x+3\) і може дорівнювати\(-4\) або\(4\).

\(\begin{array} { r l } { | 2 x + 3 | } & { = \quad 4 } \\ { 2 x + 3 = - 4 } & { \text { or }\quad 2 x + 3 = 4 } \\ { 2 x = - 7 } & \quad\quad\:\: { 2 x = 1 } \\ { x = - \frac { 7 } { 2 } } & \quad\quad\:\: { x = \frac { 1 } { 2 } } \end{array}\)

Перевірте, чи задовольняють ці рішення вихідному рівнянню.

Таблиця\(\PageIndex{1}\)
Перевірити\(x=-\frac{7}{2}\)	Перевірити\(x=\frac{1}{2}\)
\(\begin{aligned} \| 2 x + 3 \| & = 4 \\ \left\| 2 \left( \color{Cerulean}{- \frac { 7 } { 2 }} \right) + 3 \right\| & = 4 \\ \| - 7 + 3 \| & = 4 \\ \| - 4 \| & = 4 \\ 4 & = 4 \:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)	\(\begin{array} { r } { \| 2 x + 3 \| = 4 } \\ { \left\| 2 \left( \color{Cerulean}{\frac { 1 } { 2 }} \right) + 3 \right\| = 4 } \\ { \| 1 + 3 \| = 4 } \\ { \| 4 \| = 4 } \\ { 4 = 4 } \:\:\color{Cerulean}{✓} \end{array}\)

Відповідь:

Рішення є\(-\frac{7}{2}\) і\(\frac{1}{2}\).

Для застосування теореми необхідно ізолювати абсолютну величину. Загальні етапи розв'язання рівнянь абсолютних значень викладені в наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{3}\):

Вирішити:\(2 |5x − 1| − 3 = 9\).

Рішення

Крок 1: Ізолюйте абсолютне значення для отримання форми\(|X| = p\).

\(\begin{aligned} 2 | 5 x - 1 | - 3 & = 9 \:\:\:\color{Cerulean} { Add\: 3\: to\: both\: sides. } \\ 2 | 5 x - 1 | & = 12 \:\:\color{Cerulean} { Divide\: both\: sides\: by\: 2 } \\ | 5 x - 1 | & = 6 \end{aligned}\)

Крок 2: Встановіть аргумент абсолютного значення, рівного\(±p\). Тут аргумент -\(5x − 1\) і\(p = 6\).

\(5 x - 1 = - 6 \text { or } 5 x - 1 = 6\)

Крок 3: Вирішіть кожне з отриманих лінійних рівнянь.

\(\begin{array} { r l } { 5 x - 1 = - 6 \quad\:\:\text { or } \quad\quad5 x - 1 } & { \:\:\:\:\:\:= 6 } \\ { 5 x = - 5 }\quad\:\quad\quad\quad\quad\quad\quad\: & { 5 x = 7 } \\ { x = - 1 } \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\:\:& { x = \frac { 7 } { 5 } } \end{array}\)

Крок 4: Перевірте рішення у вихідному рівнянні.

Таблиця\(\PageIndex{2}\)
Перевірити\(x=-1\)	Перевірити\(x=\frac{7}{5}\)
\(\begin{aligned} 2 \| 5 x - 1 \| - 3 & = 9 \\ 2 \| 5 ( \color{Cerulean}{- 1}\color{Black}{ )} - 1 \| - 3 & = 9 \\ 2 \| - 5 - 1 \| - 3 & = 9 \\ 2 \| - 6 \| - 3 & = 9 \\ 12 - 3 & = 9 \\ 9 & = 9 \color{Cerulean}{✓}\end{aligned}\)	\(\begin{aligned} 2 \| 5 x - 1 \| - 3 & = 9 \\ 2 \left\| 5 \left( \color{Cerulean}{\frac { 7 } { 5 }} \right) - 1 \right\| - 3 & = 9 \\ 2 \| 7 - 1 \| - 3 & = 9 \\ 2 \| 6 \| - 3 & = 9 \\ 12 - 3 & = 9 \\ 9 & = 9 \color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)

Відповідь:

Рішення є\(-1\) і\(\frac{7}{5}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вирішити:\(2 - 7 | x + 4 | = - 12\).

Відповідь

\(-6, -2\)

www.youtube.com/В/Г0ЕЙБКрейму

Не всі рівняння абсолютних значень матимуть два рішення.

Приклад\(\PageIndex{4}\):

Вирішити:\(| 7 x - 6 | + 3 = 3\).

Рішення

Почніть з виділення абсолютного значення.

\(\begin{array} { l } { | 7 x - 6 | + 3 = 3 \:\:\:\color{Cerulean} { Subtract\: 3\: on\: both\: sides.} } \\ { \quad | 7 x - 6 | = 0 } \end{array}\)

Тільки нуль має абсолютне значення нуль,\(|0| = 0\). Іншими словами,\(|X| = 0\) має одне рішення, а саме\(X = 0\). Тому задайте аргумент\(7x − 6\) рівним нулю, а потім вирішуйте для\(x\).

\(\begin{aligned} 7 x - 6 & = 0 \\ 7 x & = 6 \\ x & = \frac { 6 } { 7 } \end{aligned}\)

Геометрично одному рішенню відповідає одна точка перетину.

Відповідь:

Рішення є\(\frac{6}{7}\).

Приклад\(\PageIndex{5}\):

Вирішити:\(|x+7|+5=4\).

Рішення

Почніть з виділення абсолютного значення.

\(\begin{aligned} | x + 7 | + 5 & = 4 \:\:\color{Cerulean} { Subtract \: 5\: on\: both\: sides.} \\ | x + 7 | & = - 1 \end{aligned}\)

У цьому випадку ми бачимо, що ізольоване абсолютне значення дорівнює від'ємному числу. Нагадаємо, що абсолютне значення завжди буде позитивним. Тому робимо висновок, що рішення немає. Геометрично точки перетину немає.

Відповідь:

Рішення немає,\(Ø\).

Якщо задано рівняння з двома абсолютними значеннями виду\(| a | = | b |\), то\(b\) має бути таким же, як\(a\) або протилежним. Наприклад, якщо\(a=5\), то\(b = \pm 5\) і у нас є:

\(| 5 | = | - 5 | \text { or } | 5 | = | + 5 |\)

Загалом, наведені алгебраїчні вирази\(X\) і\(Y\):

\(\text{If} | X | = | Y | \text { then } X = - Y \text { or } X = Y\).

Іншими словами, якщо два вирази абсолютного значення рівні, то аргументи можуть бути однаковими або протилежними.

Приклад\(\PageIndex{6}\):

Вирішити:\(| 2 x - 5 | = | x - 4 |\).

Рішення

Встановіть\(2x-5\) рівне,\(\pm ( x - 4 )\) а потім вирішіть кожне лінійне рівняння.

\(\begin{array} { c } { | 2 x - 5 | = | x - 4 | } \\ { 2 x - 5 = - ( x - 4 ) \:\: \text { or }\:\: 2 x - 5 = + ( x - 4 ) } \\ { 2 x - 5 = - x + 4 }\quad\quad\quad 2x-5=x-4 \\ { 3 x = 9 }\quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad x=1 \\ { x = 3 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\:\:\:\:} \end{array}\)

Для перевірки підставляємо ці значення в вихідне рівняння.

Таблиця\(\PageIndex{3}\)
Перевірити\(x=1\)	Перевірити\(x=3\)
\(\begin{aligned} \| 2 x - 5 \| & = \| x - 4 \| \\ \| 2 ( \color{Cerulean}{1}\color{Black}{ )} - 5 \| & = \| ( \color{Cerulean}{1}\color{Black}{ )} - 4 \| \\ \| - 3 \| & = \| - 3 \| \\ 3 & = 3 \color{Cerulean}{ ✓}\end{aligned}\)	\(\begin{aligned} \| 2 x - 5 \| & = \| x - 4 \| \\ \| 2 ( \color{Cerulean}{3}\color{Black}{ )} - 5 \| & = \| ( \color{Cerulean}{3}\color{Black}{ )} - 4 \| \\ \| 1 \| & = \| - 1 \| \\ 1 & = 1 \color{Cerulean}{✓}\end{aligned}\)

Як вправа, використовуйте графічну утиліту для графіків як\(f(x)= |2x-5|\) і\(g(x)=|x-4|\) на одному наборі осей. Переконайтеся, що графіки перетинаються там, де\(x\) дорівнює\(1\) і\(3\).

Відповідь:

Рішення є\(1\) і\(3\).

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вирішити:\(| x + 10 | = | 3 x - 2 |\).

Відповідь

\(-2, 6\)

www.youtube.com/В/ЦСБМК

Абсолютні ціннісні нерівності

Почнемо з вивчення розв'язків наступної нерівності:

\(| x | \leq 3\)

Абсолютне значення числа представляє відстань від початку. Тому це рівняння описує всі числа, відстань яких від нуля менше або дорівнює\(3\). Ми можемо графікувати цей набір рішення, затінюючи всі такі числа.

Звичайно, ми можемо бачити, що існує нескінченно багато рішень,\(|x|≤3\) обмежених\(−3\) і\(3\). Висловіть цей набір рішення за допомогою множинних позначень або інтервальних нотацій наступним чином:

\(\begin{array} { c } { \{ x | - 3 \leq x \leq 3 \} \color{Cerulean} { Set\: Notation } } \\ { [ - 3,3 ] \quad \color{Cerulean}{ Interval \:Notation } } \end{array}\)

У цьому тексті ми виберемо вираження рішень в інтервальній нотації. Загалом, дається будь-який алгебраїчний вираз\(X\) і будь-яке додатне число\(p\):

\(\text{If} | X | \leq p \text { then } - p \leq X \leq p\).

Ця теорема справедливо і для суворих нерівностей. Іншими словами, ми можемо перетворити будь-яку нерівність абсолютного значення за участю "менше, ніж" у складну нерівність, яку можна вирішити, як зазвичай.

Приклад\(\PageIndex{7}\):

Розв'яжіть та графуйте набір рішень:\(|x+2|<3\).

Рішення

\(x+2\)Пов'язаний аргумент\(−3\)\(3\) і вирішувати.

\(\begin{array} { c } { | x + 2 | < 3 } \\ { - 3 < x + 2 < 3 } \\ { - 3 \color{Cerulean}{- 2}\color{Black}{ <} x + 2 \color{Cerulean}{- 2}\color{Black}{ <} 3 \color{Cerulean}{- 2} } \\ { - 5 < x < 1 } \end{array}\)

Тут ми використовуємо відкриті точки для позначення суворих нерівностей на графіку наступним чином.

Відповідь:

Використовуючи інтервальні позначення,\((−5,1)\).

Рішення, яке\(| x + 2 | < 3\) можна інтерпретувати графічно, якщо ми дозволимо,\(f ( x ) = | x + 2 |\)\(g(x)=3\) а потім визначити, де\(f ( x ) < g ( x )\), графуючи обидва\(f\) і\(g\) на одному наборі осей.

Розв'язок складається з усіх\(x\) -значень, де графік\(f\) знаходиться нижче графіка\(g\). У цьому випадку ми бачимо, що\(|x + 2| < 3\) де\(x\) -значення знаходяться між\(−5\) і\(1\). Щоб застосувати теорему, потрібно спочатку виділити абсолютне значення.

Приклад\(\PageIndex{8}\):

Вирішити:\(4 |x + 3| − 7 ≤ 5\).

Рішення

Почніть з виділення абсолютного значення.

\(\begin{array} { c } { 4 | x + 3 | - 7 \leq 5 } \\ { 4 | x + 3 | \leq 12 } \\ { | x + 3 | \leq 3 } \end{array}\)

Далі застосуємо теорему і перепишемо абсолютну величину нерівності як складну нерівність.

\(\begin{array} { c } { | x + 3 | \leq 3 } \\ { - 3 \leq x + 3 \leq 3 } \end{array}\)

Вирішити.

\(\begin{aligned} - 3 \leq x + 3 \leq & 3 \\ - 3 \color{Cerulean}{- 3} \color{Black}{ \leq} x + 3 \color{Cerulean}{- 3} & \color{Black}{ \leq} 3 \color{Cerulean}{- 3} \\ - 6 \leq x \leq 0 \end{aligned}\)

Затінюйте розв'язки на числовому рядку та подайте відповідь у інтервальній нотації. Тут ми використовуємо замкнуті точки для позначення інклюзивних нерівностей на графіку наступним чином:

Відповідь:

Використовуючи інтервальне позначення,\([−6,0]\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Розв'яжіть та графуйте набір рішень:\(3 + | 4 x - 5 | < 8\).

Відповідь

Інтервальні позначення:\((0, \frac{5}{2})\)

www.youtube.com/В/СХ6ППЛ2ФБК 0

Далі ми розглядаємо рішення нерівності, яка передбачає "більше, ніж», як у наступному прикладі:

\(| x | \geq 3\)

Ця нерівність описує всі числа, відстань від початку яких більше або дорівнює\(3\). На графіку ми можемо затінювати всі такі числа.

Існує нескінченно багато рішень, які можуть бути виражені за допомогою множинних позначень і інтервальних позначень наступним чином:

\(\begin{array} { l } { \{ x | x \leq - 3 \text { or } x \geq 3 \} \:\:\color{Cerulean} { Set\: Notation } } \\ { ( - \infty , - 3 ] \cup [ 3 , \infty ) \:\:\color{Cerulean} { Interval\: Notation } } \end{array}\)

Загалом, дається будь-який алгебраїчний вираз\(X\) і будь-яке додатне число\(p\):

\(\text{If} | X | \geq p \text { then } X \leq - p \text { or } X \geq p\).

Теорема справедливо і для суворих нерівностей. Іншими словами, ми можемо перетворити будь-яку нерівність абсолютного значення за участю «більше ніж» в складну нерівність, яка описує два інтервали.

Приклад\(\PageIndex{9}\):

Розв'яжіть та графуйте набір рішень:\(|x+2|>3\).

Рішення

Аргумент\(x+2\) повинен бути менше\(−3\) або більше ніж\(3\).

\(\begin{array} { c } { | x + 2 | > 3 } \\ { x + 2 < - 3 \quad \text { or } \quad x + 2 > 3 } \\ { x < - 5 }\quad\quad\quad\quad\quad\: x>1 \end{array}\)

Відповідь:

Використовуючи інтервальні позначення,\((−∞,−5)∪(1,∞)\).

Рішення, яке\(|x + 2| > 3\) можна інтерпретувати графічно, якщо ми дозволимо,\(f (x) = |x + 2|\)\(g (x) = 3\) а потім визначити, де\(f(x) > g (x)\), графуючи обидва\(f\) і\(g\) на одному наборі осей.

Розв'язок складається з усіх\(x\) -значень, де графік\(f\) знаходиться над графіком\(g\). У цьому випадку ми можемо бачити, що\(|x + 2| > 3\) де\(x\) -значення менше\(−5\) або більше, ніж\(1\). Щоб застосувати теорему, ми повинні спочатку виділити абсолютне значення.

Приклад\(\PageIndex{10}\):

Вирішити:\(3 + 2 |4x − 7| ≥ 13\).

Рішення

Почніть з виділення абсолютного значення.

\(\begin{array} { r } { 3 + 2 | 4 x - 7 | \geq 13 } \\ { 2 | 4 x - 7 | \geq 10 } \\ { | 4 x - 7 | \geq 5 } \end{array}\)

Далі застосуємо теорему і перепишемо абсолютну величину нерівності як складну нерівність.

\(\begin{array} &\quad\quad\quad\quad\:\:\:|4x-7|\geq 5 \\ 4 x - 7 \leq - 5 \quad \text { or } \quad 4 x - 7 \geq 5 \end{array}\)

Вирішити.

\(\begin{array} { l } { 4 x - 7 \leq - 5 \text { or } 4 x - 7 \geq 5 } \\ \quad\:\:\:\:{ 4 x \leq 2 } \quad\quad\quad\:\:\: 4x\geq 12\\ \quad\:\:\:\:{ 4 x \leq \frac { 2 } { 4 } } \quad\quad\quad\quad x\geq 3 \\ \quad\quad{ 4 x \leq \frac { 1 } { 2 } } \end{array}\)

Затінюйте розв'язки на числовому рядку та надайте відповідь за допомогою інтервальних позначень.

Відповідь:

Використовуючи інтервальне позначення,\((−∞,12]∪[3,∞)\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Розв'яжіть і графуйте:\(3 | 6 x + 5 | - 2 > 13\).

Відповідь

Використовуючи інтервальне позначення,\(\left( - \infty , - \frac { 5 } { 3 } \right) \cup ( 0 , \infty )\)

www.youtube.com/В/Р6ГДЖРЗ6В4Ф4

До цього моменту множини розв'язків лінійних абсолютних величин нерівностей складалися з одного обмеженого інтервалу або двох необмежених інтервалів. Це не завжди так.

Приклад\(\PageIndex{11}\):

Розв'яжіть і графуйте:\(|2x−1|+5>2\).

Рішення

Почніть з виділення абсолютного значення.

\(\begin{array} { c } { | 2 x - 1 | + 5 > 2 } \\ { | 2 x - 1 | > - 3 } \end{array}\)

Зверніть увагу, що у нас є абсолютне значення більше, ніж від'ємне число. Для будь-якого дійсного числа x абсолютне значення аргументу завжди буде додатним. Отже, будь-яке дійсне число вирішить цю нерівність.

Геометрично ми бачимо, що\(f(x)=|2x−1|+5\) завжди більше, ніж\(g(x)=2\).

Відповідь:

Всі дійсні числа,\(ℝ\).

Приклад\(\PageIndex{12}\):

Розв'яжіть і графуйте:\(|x+1|+4≤3\).

Рішення

Почніть з виділення абсолютного значення.

\(\begin{array} { l } { | x + 1 | + 4 \leq 3 } \\ { | x + 1 | \leq - 1 } \end{array}\)

У цьому випадку ми бачимо, що ізольоване абсолютне значення має бути менше або дорівнює від'ємному числу. Знову ж таки, абсолютне значення завжди буде позитивним; отже, можна зробити висновок, що рішення не існує.

Геометрично ми бачимо,\(f(x)=|x+1|+4\) що ніколи не менше\(g(x)=3\).

Відповідь:\(Ø\)

Підсумовуючи, існує три випадки для рівнянь абсолютних значень та нерівностей. Відносини\(=, <, \leq, > \) і\(≥\) визначають, яку теорему застосувати.

Випадок 1: Рівняння абсолютного значення:

\(\begin{array} { c } { \text { If } | X | = p } \\ { \text { then } X = - p \text { or } X = p } \end{array}\)

Випадок 2: Нерівність абсолютного значення за участю "менше ніж».

\(\begin{array} { c } { \text { If } | X | \leq p } \\ { \text { then } - p \leq X \leq p } \end{array}\)

Випадок 3: Нерівність абсолютного значення за участю "більше ніж».

\(\begin{array} { c } { \text { If } | X | \geq p } \\ { \text { then } X \leq - p \text { or } X \geq p } \end{array}\)

Ключові винос

Щоб вирішити рівняння абсолютного значення, наприклад\(|X| = p\), замініть його двома рівняннями,\(X = −p\)\(X = p\) а потім вирішити кожне як зазвичай. Рівняння абсолютних значень можуть мати до двох розв'язків.
Щоб вирішити абсолютну величину нерівності за участю «менше, ніж»\(|X| ≤ p\), наприклад, замінити його складеною нерівністю,\(−p ≤ X ≤ p\) а потім вирішити, як зазвичай.
Щоб вирішити абсолютну величину нерівності за участю «більше, ніж»\(|X| ≥ p\), наприклад, замінити його складеною нерівністю\(X ≤ −p\) або\(X ≥ p\) потім вирішити, як зазвичай.
Не забудьте виділити абсолютне значення перед застосуванням цих теорем.

Вправа\(\PageIndex{5}\)

\(|x| = 9\)
\(|x| = 1\)
\(|x − 7| = 3\)
\(|x − 2| = 5\)
\(|x + 12| = 0\)
\(|x + 8| = 0\)
\(|x + 6| = −1\)
\(|x − 2| = −5\)
\(|2y − 1| = 13\)
\(|3y − 5| = 16\)
\(|−5t + 1| = 6\)
\(|−6t + 2| = 8\)
\(\left| \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 2 } { 3 } \right| = \frac { 1 } { 6 }\)
\(\left| \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 1 } { 4 } \right| = \frac { 5 } { 12 }\)
\(|0.2x + 1.6| = 3.6\)
\(|0.3x − 1.2| = 2.7\)
\(| 5 (y − 4) + 5| = 15\)
\(| 2 (y − 1) − 3y| = 4\)
\(|5x − 7| + 3 = 10\)
\(|3x − 8| − 2 = 6\)
\(9 + |7x + 1| = 9\)
\(4 − |2x − 3| = 4\)
\(3 |x − 8| + 4 = 25\)
\(2 |x + 6| − 3 = 17\)
\(9 + 5 |x − 1| = 4\)
\(11 + 6 |x − 4| = 5\)
\(8 − 2 |x + 1| = 4\)
\(12 − 5 |x − 2| = 2\)
\(\frac{1}{2} |x − 5| − \frac{2}{3} = −\frac{1}{6}\)
\(\frac { 1 } { 3 } \left| x + \frac { 1 } { 2 } \right| + 1 = \frac { 3 } { 2 }\)
\(−2 |7x + 1| − 4 = 2\)
\(−3 |5x − 3| + 2 = 5\)
\(1.2 |t − 2.8| − 4.8 = 1.2\)
\(3.6 | t + 1.8| − 2.6 = 8.2\)
\(\frac{1}{2} |2 (3x − 1) − 3| + 1 = 4\)
\(\frac{2}{3} |4 (3x + 1) − 1| − 5 = 3\)
\(|5x − 7| = |4x − 2|\)
\(|8x − 3| = |7x − 12|\)
\(|5y + 8| = |2y + 3|\)
\(|7y + 2| = |5y − 2|\)
\(|5 (x − 2)| = |3x|\)
\(|3 (x + 1)| = |7x|\)
\(\left| \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 1 } { 2 } \right| = \left| \frac { 3 } { 2 } x - \frac { 1 } { 3 } \right|\)
\(\left| \frac { 3 } { 5 } x - \frac { 5 } { 2 } \right| = \left| \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 2 } { 5 } \right|\)
\(|1.5t − 3.5| = |2.5t + 0.5|\)
\(|3.2t − 1.4| = |1.8t + 2.8|\)
\(|5 − 3 (2x + 1)| = |5x + 2|\)
\(|3 − 2 (3x − 2)| = |4x − 1|\)

Відповідь

1. \(−9, 9\)

3. \(4, 10\)

5. \(−12\)

7. \(Ø\)

9. \(−6, 7\)

11. \(−1, \frac{7}{5}\)

13. \(1, \frac{5}{3}\)

15. \(−26, 10\)

17. \(0, 6\)

19. \(0, \frac{14}{5}\)

21. \(−\frac{1}{7}\)

23. \(1, 15\)

25. \(Ø\)

27. \(−3, 1\)

29. \(4, 6\)

31. \(Ø\)

33. \(−2.2, 7.8\)

35. \(−\frac{1}{6}, \frac{11}{6}\)

37. \(1, 5\)

39. \(−\frac{5}{3}, −\frac{11}{7}\)

41. \(\frac{5}{4} , 5\)

43. \(−\frac{1}{13} , 1\)

45. \(−4, 0.75\)

47. \(0, 4\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Розв'яжіть та графуйте набір рішень. Крім того, дайте розчин, встановлений в інтервальних позначеннях.

Вирішити для\(x: p |ax + b| − q = 0\)
Вирішити для\(x: |ax + b| = |p + q|\)

Відповідь: 1. \(x = \frac { - b q \pm q } { a p }\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Розв'яжіть та графуйте набір рішень. Крім того, дайте розчин, встановлений в інтервальних позначеннях.

\(|x| < 5\)
\(|x| ≤ 2\)
\(|x + 3| ≤ 1\)
\(|x − 7| < 8\)
\(|x − 5| < 0\)
\(|x + 8| < −7\)
\(|2x − 3| ≤ 5\)
\(|3x − 9| < 27\)
\(|5x − 3| ≤ 0\)
\(|10x + 5| < 25\)
\(\left| \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 2 } { 3 } \right| \leq 1\)
\(\left| \frac { 1 } { 12 } x - \frac { 1 } { 2 } \right| \leq \frac { 3 } { 2 }\)
\(|x| ≥ 5\)
\(|x| > 1\)
\(|x + 2| > 8\)
\(|x − 7| ≥ 11\)
\(|x + 5| ≥ 0\)
\(|x − 12| > −4\)
\(|2x − 5| ≥ 9\)
\(|2x + 3| ≥ 15\)
\(|4x − 3| > 9\)
\(|3x − 7| ≥ 2\)
\(\left| \frac { 1 } { 7 } x - \frac { 3 } { 14 } \right| > \frac { 1 } { 2 }\)
\(\left| \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 5 } { 4 } \right| > \frac { 3 } { 4 }\)

Відповідь

1. \(( - 5,5 )\);

3. \([ - 4 , - 2 ]\);

5. \(\emptyset\);

7. \([ - 1,4 ]\);

9. \(\left\{ \frac { 3 } { 5 } \right\}\);

11. \([ - 1,5 ]\);

13. \(( - \infty , - 5 ] \cup [ 5 , \infty )\);

15. \(( - \infty , - 10 ) \cup ( 6 , \infty )\);

17. \(\mathbb { R }\);

19. \(( - \infty , - 2 ] \cup [ 7 , \infty )\);

21. \(\left( - \infty , - \frac { 3 } { 2 } \right) \cup ( 3 , \infty )\);

23. \(( - \infty , - 2 ) \cup ( 5 , \infty )\);

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Розв'яжіть та графуйте набір рішень.

\(|3 (2x − 1)| > 15\)
\(|3 (x − 3)| ≤ 21\)
\(−5 |x − 4| > −15\)
\(−3 |x + 8| ≤ −18\)
\(6 − 3 |x − 4| < 3\)
\(5 − 2 |x + 4| ≤ −7\)
\(6 − |2x + 5| < −5\)
\(25 − |3x − 7| ≥ 18\)
\(|2x + 25| − 4 ≥ 9\)
\(|3 (x − 3)| − 8 < −2\)
\(2 |9x + 5| + 8 > 6\)
\(3 |4x − 9| + 4 < −1\)
\(5 |4 − 3x| − 10 ≤ 0\)
\(6 |1 − 4x| − 24 ≥ 0\)
\(3 − 2 |x + 7| > −7\)
\(9 − 7 |x − 4| < −12\)
\(|5 (x − 4) + 5| > 15\)
\(|3 (x − 9) + 6| ≤ 3\)
\(\left| \frac { 1 } { 3 } ( x + 2 ) - \frac { 7 } { 6 } \right| - \frac { 2 } { 3 } \leq - \frac { 1 } { 6 }\)
\(\left| \frac { 1 } { 10 } ( x + 3 ) - \frac { 1 } { 2 } \right| + \frac { 3 } { 20 } > \frac { 1 } { 4 }\)
\(12 + 4 |2x − 1| ≤ 12\)
\(3 − 6 |3x − 2| ≥ 3\)
\(\frac{1}{2} |2x − 1| + 3 < 4\)
2 |\ гідророзриву {1} {2} x +\ гідророзриву {2} {3} | − 3 ≤ −1\)
\(7 − |−4 + 2 (3 − 4x)| > 5\)
\(9 − |6 + 3 (2x − 1)| ≥ 8\)
\(\frac { 3 } { 2 } - \left| 2 - \frac { 1 } { 3 } x \right| < \frac { 1 } { 2 }\)
\(\frac { 5 } { 4 } - \left| \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 4 } x \right| < \frac { 3 } { 8 }\)

Відповідь

1. \(( - \infty , - 2 ) \cup ( 3 , \infty )\);

3. \(( 1,7 )\);

5. \(( - \infty , 3 ) \cup ( 5 , \infty )\);

7. \(( - \infty , - 8 ) \cup ( 3 , \infty )\);

9. \(( - \infty , - 19 ] \cup [ - 6 , \infty )\);

11. \(\mathbb { R }\);

13. \(\left[ \frac { 2 } { 3 } , 2 \right]\);

15. \(( - 12 , - 2 )\);

17. \(( - \infty , 0 ) \cup ( 6 , \infty )\);

19. \([ 0,3 ]\);

21. \(\frac { 1 } { 2 }\);

23. \(\left( - \frac { 1 } { 2 } , \frac { 3 } { 2 } \right)\);

25. \(\left( 0 , \frac { 1 } { 2 } \right)\);

27. \(( - \infty , 3 ) \cup ( 9 , \infty )\);

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Припустимо, що всі змінні в знаменнику є ненульовими.

Вирішити для\(x\) де\(a, p > 0: p |ax + b| − q ≤ 0\)
Вирішити для\(x\) де\(a, p > 0: p |ax + b| − q ≥ 0\)

Відповідь: 1. \(\frac { - q - b p } { a p } \leq x \leq \frac { q - b p } { a p }\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Враховуючи графік\(f\) і\(g\), визначаємо\(x\) -значення, де:

(а)\(f ( x ) = g ( x )\)

(б)\(f ( x ) > g ( x )\)

(c)\(f ( x ) < g ( x )\)

Відповідь

1. (а)\(−6, 0\); (б)\((−∞, −6) ∪ (0, ∞)\); (с)\((−6, 0)\)

3. (а)\(Ø\); (б)\(ℝ\); (с)\(Ø\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Зробіть три записні картки, по одній для кожного з трьох випадків, описаних у цьому розділі. З одного боку напишіть теорему, а з іншого напишіть повне рішення репрезентативного прикладу. Поділіться своєю стратегією виявлення та розв'язання рівнянь абсолютних значень та нерівностей на дошці обговорень.
Створіть власні приклади рівнянь абсолютних значень та нерівностей, які не мають розв'язку, принаймні по одному для кожного випадку, описаного в цьому розділі. Проілюструйте свої приклади графіком.

Відповідь: 1. Відповідь може відрізнятися

Виноски

⁶³ Відстань від графіка числа\(a\) до нуля на числовій лінії, що позначається\(|a|\).

⁶⁴ Число або вираз всередині абсолютного значення.