2.5: Використання перетворень у функції графа

Цілі навчання

• Визначте жорсткі перетворення та використовуйте їх для ескізу графіків.
• Визначте нежорсткі перетворення і використовуйте їх для ескізу графіків.

Вертикальний і горизонтальний переклади

Коли графік функції змінюється за зовнішнім виглядом та/або розташуванням, ми називаємо це перетворенням. Існує два типи перетворень. Жорстке перетворення ⁵⁷ змінює розташування функції в координатній площині, але залишає розмір і форму графіка незмінними. Нежорстке перетворення ⁵⁸ змінює розмір та/або форму графіка.

Вертикальний переклад ⁵⁹ - це жорстке перетворення, яке зміщує графік вгору або вниз щодо вихідного графіка. Це відбувається, коли до будь-якої функції додається константа. Якщо ми додамо позитивну константу до кожної\(y\) -координати, графік зміститься вгору. Якщо додати негативну константу, графік зміститься вниз. Для прикладу розглянемо функції\(g(x) = x^{2} − 3\) і\(h(x) = x^{2} + 3\). Почніть з оцінки деяких значень незалежної змінної\(x\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Тепер побудуйте точки і порівняйте графіки функцій\(g\) і\(h\) з базовим графіком\(f(x) = x^{2}\), який показаний за допомогою пунктирної сірої кривої нижче.

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Функція\(g\) зміщує базовий графік вниз\(3\) одиниці, а функція\(h\) зміщує основний графік вгору\(3\) одиниць. Загалом, це описує вертикальні переклади; якщо\(k\) є будь-яке додатне дійсне число:

Таблиця\(\PageIndex{1}\)

Вертикальний зсув вгору\(k\) одиниць:	\(F(x)=f(x)+k\)
Вертикальний зсув вниз\(k\) одиниць:	\(F(x)=f(x)-k\)

Приклад\(\PageIndex{1}\):

Намалюйте графік\(g(x)=\sqrt{x}+4\).

Рішення

Почніть з базової функції, визначеної\(f(x)=\sqrt{x}\) і змістіть графік вгору\(4\) одиниць.

Відповідь:

Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Горизонтальний переклад ⁶⁰ - це жорстке перетворення, яке зміщує графік вліво або вправо відносно вихідного графіка. Це відбувається, коли ми додаємо або віднімаємо константи з\(x\) -coordinate перед застосуванням функції. Наприклад, розглянемо функції,\(g(x)=(x+3)^{2}\) визначені\(h(x)=(x−3)^{2}\) і створіть такі таблиці:

Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Тут ми додаємо і віднімаємо з x -координати, а потім квадратично результат. Це дає горизонтальний переклад.

Малюнок\(\PageIndex{5}\)

Зверніть увагу, що це протилежне тому, що ви могли б очікувати. Загалом, це описує горизонтальні переклади; якщо\(h\) є будь-яке додатне дійсне число:

Таблиця\(\PageIndex{2}\)

Горизонтальний зсув ліворуч\(h\) одиниць:	\(F(x)=f(x+h)\)
Горизонтальний зсув праворуч\(h\) одиниць:	\(F(x)=f(x-h)\)

Приклад\(\PageIndex{2}\):

Намалюйте графік\(g(x)=(x−4)^{3}\).

Рішення

Почніть з базової функції кубізації,\(f(x)=x^{3}\) визначеної і змістіть\(4\) одиниці графа вправо.

Відповідь:

Малюнок\(\PageIndex{6}\)

Часто трапляються комбінації перекладів.

Приклад\(\PageIndex{3}\):

Намалюйте графік\(g(x)=|x+3|−5\).

Рішення

Почніть з функції абсолютного значення і застосуйте наступні перетворення.

\(\begin{array} { l } { y = | x | } \quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Basic \:function} \\ { y = | x + 3 | } \quad\: \quad\color{Cerulean}{Horizontal \:shift \: left \:3 \:units} \\ { y = | x + 3 | - 5 } \:\:\:\color{Cerulean}{Vertical \:shift \:down \:5 \:units} \end{array}\)

Відповідь:

Малюнок\(\PageIndex{7}\)

Порядок, в якому ми застосовуємо горизонтальні та вертикальні переклади, не впливає на кінцевий графік.

Приклад\(\PageIndex{4}\):

Намалюйте графік\(g ( x ) = \frac { 1 } { x - 5 } + 3\).

Рішення

Почніть з зворотної функції і визначте переклади.

\(\begin{array} { l } { y = \frac{1}{x} } \quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Basic \:function} \\ { y = \frac{1}{x-5} } \quad\: \quad\:\:\:\color{Cerulean}{Horizontal \:shift \: left \:3 \:units} \\ { y = \frac{1}{x-5} +3 } \:\:\:\:\:\:\:\color{Cerulean}{Vertical \:shift \:down \:5 \:units} \end{array}\)

Подбайте про те, щоб зсунути вертикальну асимптоту від осі y на 5 одиниць вправо і змістити горизонтальну асимптоту від осі x вгору на 3 одиниці.

Відповідь:

Малюнок\(\PageIndex{8}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Намалюйте графік\(g ( x ) = ( x - 2 ) ^ { 2 } + 1\).

Відповідь

Малюнок\(\PageIndex{9}\)

www.youtube.com/В/6Ф6ЗКАОГХТЕ

Роздуми

Відбиття ⁶¹ - це перетворення, при якому відбувається дзеркальне відображення графіка навколо осі. У цьому розділі ми розглянемо роздуми про\(x\) - і\(y\) -осі. Графік функції відбивається про\(x\) - осі, якщо кожна\(y\) -координата помножена на\(−1\). Графік функції відображається навколо\(y\) -осі, якщо кожна\(x\) -координата множиться на\(−1\) перед застосуванням функції. Наприклад, розглянемо\(g(x)=\sqrt{−x}\) і\(h(x)=−\sqrt{x}\).

Малюнок\(\PageIndex{10}\)

Порівняйте графік\(g\) і\(h\) з базовою функцією квадратного кореня, визначеною\(f(x)=\sqrt{x}\), показаним пунктирним сірим кольором нижче:

Малюнок\(\PageIndex{11}\)

Перша функція\(g\) має негативний фактор, який з'являється «всередині» функції; це створює відображення про\(y\) -осі. Друга функція\(h\) має негативний фактор, який з'являється «поза» функцією; це створює відображення про\(x\) -осі. Загалом, це правда, що:

Таблиця\(\PageIndex{3}\)

Відображення про\(y\) -осі:	\(F ( x ) = f ( - x )\)
Відображення про\(x\) -осі:	\(F ( x ) = - f ( x )\)

Під час ескізів графіків, які передбачають відображення, спочатку врахуйте відображення, а потім застосуйте вертикальні та/або горизонтальні переклади.

Приклад\(\PageIndex{5}\):

Намалюйте графік\(g ( x ) = - ( x + 5 ) ^ { 2 } + 3\).

Рішення

Почніть з функції квадратування, а потім визначте перетворення, починаючи з будь-яких відображень.

\(\begin{array} { l } { y = x ^ { 2 } } \quad\quad\quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Basic\: function.} \\ { y = - x ^ { 2 } } \quad\quad\quad\quad\quad\:\color{Cerulean}{Relfection\: about\: the\: x-axis.} \\ { y = - ( x + 5 ) ^ { 2 } } \quad\quad\:\:\:\color{Cerulean}{Horizontal\: shift\: left\: 5\: units.} \\ { y = - ( x + 5 ) ^ { 2 } + 3 } \quad\color{Cerulean}{Vertical\: shift\: up\: 3\: units.} \end{array}\)

Використовуйте ці переклади для ескізу графіка.

Відповідь:

Малюнок\(\PageIndex{12}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Намалюйте графік\(g ( x ) = - | x | + 3\).

Відповідь

Малюнок\(\PageIndex{13}\)

www.youtube.com/В/XSBLKFWWZBC

Розриви

Горизонтальні і вертикальні переклади, а також відображення називаються жорсткими перетвореннями, оскільки форма основного графіка залишається незмінною, або жорсткою. Функції, які множаться на дійсне число, відмінне від\(1\), залежно від дійсного числа, здаються розтягнутими вертикально або розтягнутими горизонтально. Цей тип нежорсткого перетворення називається дилатацією ⁶². Наприклад, ми можемо помножити функцію\(4\) квадрата\(f(x) = x^{2}\) на і\(\frac{1}{4}\) побачити, що відбувається з графіком.

Малюнок\(\PageIndex{14}\)

Порівняйте графік\(g\) і\(h\) з основною функцією квадратування, визначеною\(f(x)=x^{2}\), показаним пунктирним сірим кольором нижче:

Малюнок\(\PageIndex{15}\)

\(g\)Функція крутіша, ніж основна функція квадратизації, і її графік, здається, розтягнутий вертикально. Функція не\(h\) така крута, як основна функція квадратури, і, здається, була розтягнута горизонтально.

Загалом, у нас є:

Таблиця\(\PageIndex{4}\)

Дилатація:	\(F ( x ) = a \cdot f ( x )\)

Якщо коефіцієнт\(a\) є ненульовим дробом між\(−1\) і\(1\), він розтягне графік по горизонталі. В іншому випадку графік буде розтягнутий по вертикалі. Якщо фактор\(a\) негативний, то він також спричинить відображення.

Приклад\(\PageIndex{6}\):

Намалюйте графік\(g ( x ) = - 2 | x - 5 | - 3\).

Рішення

Тут ми починаємо з добутку\(−2\) і основної функції абсолютного значення:\(y=−2|x|\) .Це призводить до відображення і розширення.

Малюнок\(\PageIndex{16}\)

Використовуйте точки\(\{(−1, −2), (0, 0), (1, −2)\}\) для графіка відображеної та розширеної функції\(y=−2|x|\). Потім перекладіть цей графік\(5\) одиниць вправо і\(3\) одиниці вниз.

\(\begin{array} { l } { y = - 2 | x | } \quad\quad\quad\quad\:\color{Cerulean}{Basic\: graph\: with\: dilation\: and\: reflection\: about\: the\: x-axis.}\\ { y = - 2 | x - 5 | } \quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Shift\: right\: 5\: units.} \\ { y = - 2 | x - 5 | - 3 } \:\:\:\:\color{Cerulean}{Shift\: down\: 3\: units.} \end{array}\)

Відповідь:

Малюнок\(\PageIndex{17}\)

Підсумовуючи, наведено позитивні дійсні числа\(h\) і\(k\):

Таблиця\(\PageIndex{1}\)

Вертикальний зсув вгору\(k\) одиниць:	\(F(x)=f(x)+k\)
Вертикальний зсув вниз\(k\) одиниць:	\(F(x)=f(x)-k\)

Таблиця\(\PageIndex{2}\)

Горизонтальний зсув ліворуч\(h\) одиниць:	\(F(x)=f(x+h)\)
Горизонтальний зсув праворуч\(h\) одиниць:	\(F(x)=f(x-h)\)

Таблиця\(\PageIndex{3}\)

Відображення про\(y\) -осі:	\(F ( x ) = f ( - x )\)
Відображення про\(x\) -осі:	\(F ( x ) = - f ( x )\)

Таблиця\(\PageIndex{4}\)

Дилатація:	\(F ( x ) = a \cdot f ( x )\)

Ключові винос

• Ідентифікація перетворень дозволяє швидко накидати графік функцій. Цей навик буде корисний у міру просування у вивченні математики. Часто геометричне розуміння проблеми призведе до більш витонченого рішення.
• Якщо до функції додається додатна константа\(f(x) + k\), графік зміститься вгору. Якщо позитивна константа віднімається з функції\(f(x) − k\), графік зміститься вниз. Базова форма графіка залишиться колишньою.
• Якщо до значення в області до застосування функції додається додатна константа\(f(x + h)\), графік зміститься вліво. Якщо позитивна константа віднімається від значення в області до застосування функції\(f(x − h)\), графік зміститься вправо. Базова форма залишиться колишньою.
• Множивши функцію на негативну константу\(−f(x)\), відображає її графік в\(x\) -осі. Множивши значення в області на\(−1\) перед застосуванням функції\(f(−x)\), відображає графік про\(y\) -осі.
• При застосуванні декількох перетворень спочатку застосуйте відображення.
• Множення функції на константу\(1\), відмінну від\(a ⋅ f(x)\), виробляє розширення. Якщо константа є додатним числом більше\(1\), графік буде розтягуватися вертикально. Якщо позитивна константа на дріб менше\(1\), графік буде розтягуватися горизонтально.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Зіставте графік з визначенням функції.

Малюнок\(\PageIndex{18}\)

Малюнок\(\PageIndex{19}\)

Малюнок\(\PageIndex{20}\)

Малюнок\(\PageIndex{21}\)

Малюнок\(\PageIndex{22}\)

Малюнок\(\PageIndex{23}\)

1. \(f(x) = \sqrt{x + 4}\)
2. \(f(x) = |x − 2| − 2\)
3. \(f(x) = \sqrt{x + 1} -1\)
4. \(f(x) = |x − 2| + 1\)
5. \(f(x) = \sqrt{x + 4} + 1\)
6. \(f(x) = |x + 2| − 2\)

Відповідь

1. е

3. д

5. ф

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Графік заданої функції. Визначте основну функцію та переклади, які використовуються для ескізу графіка. Потім вкажіть домен і діапазон.

1. \(f(x) = x + 3\)
2. \(f(x) = x − 2\)
3. \(g(x) = x^{2} + 1\)
4. \(g(x) = x^{2} − 4\)
5. \(g(x) = (x − 5)^{2}\)
6. \(g(x) = (x + 1)^{2}\)
7. \(g(x) = (x − 5)^{2} + 2\)
8. \(g(x) = (x + 2)^{2} − 5\)
9. \(h(x) = |x + 4|\)
10. \(h(x) = |x − 4|\)
11. \(h(x) = |x − 1| − 3\)
12. \(h(x) = |x + 2| − 5\)
13. \(g(x) = \sqrt{x} − 5\)
14. \(g(x) = \sqrt{x − 5}\)
15. \(g(x) = \sqrt{x − 2} + 1\)
16. \(g(x) = \sqrt{x + 2} + 3\)
17. \(h(x) = (x − 2)^{3}\)
18. \(h(x) = x^{3} + 4\)
19. \(h(x) = (x − 1)^{3} − 4\)
20. \(h(x) = (x + 1)^{3} + 3\)
21. \(f(x) = \frac{1}{x−2}\)
22. \(f(x) = \frac{1}{x+3}\)
23. \(f(x) = \frac{1}{x} + 5\)
24. \(f(x) = \frac{1}{x} − 3\)
25. \(f(x) = \frac{1}{x+1} − 2\)
26. \(f(x) = \frac{1}{x−3} + 3\)
27. \(g(x) = −4\)
28. \(g(x) = 2\)
29. \(f ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x - 2 } + 6\)
30. \(f ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x + 8 } - 4\)

Відповідь

1. \(y = x\); Зсув вгору\(3\) одиниць; домен:\(\mathbb{R}\); діапазон:\(\mathbb{R}\)

Малюнок\(\PageIndex{24}\)

3. \(y = x^{2}\); Зсув вгору\(1\) одиниці; домен:\(ℝ\); діапазон:\([1, ∞)\)

Малюнок\(\PageIndex{25}\)

5. \(y = x^{2}\); Зсув праворуч\(5\) одиниць; домен:\(ℝ\); діапазон:\([0, ∞)\)

Малюнок\(\PageIndex{26}\)

7. \(y = x^{2}\); Зсув\(5\) правих одиниць і вгору\(2\) одиниць; домен:\(ℝ\); діапазон:\([2, ∞)\)

Малюнок\(\PageIndex{27}\)

9. \(y = |x|\); Зсув ліворуч\(4\) одиниць; домен:\(ℝ\); діапазон:\([0, ∞)\)

Малюнок\(\PageIndex{28}\)

11. \(y = |x|\); Зсув правої\(1\) одиниці і вниз\(3\) одиниць; домен:\(ℝ\); діапазон:\([−3, ∞)\)

Малюнок\(\PageIndex{29}\)

13. \(y = \sqrt{x}\); Зсув\(5\) одиниць вниз; домен:\([0, ∞)\); діапазон:\([−5, ∞)\)

Малюнок\(\PageIndex{30}\)

15. \(y = \sqrt{x}\); Зсув правої\(2\) одиниці і вгору\(1\) одиниці; домен:\([2, ∞)\); діапазон:\([1, ∞)\)

Малюнок\(\PageIndex{31}\)

17. \(y = x^{3}\); Зсув праворуч\(2\) одиниць; домен:\(ℝ\); діапазон:\(ℝ\)

Малюнок\(\PageIndex{32}\)

19. \(y = x^{3}\); Зсув правої\(1\) одиниці і вниз\(4\) одиниць; домен:\(ℝ\); діапазон:\(ℝ\)

Малюнок\(\PageIndex{33}\)

21. \(y = \frac{1}{x}\); Зсув праворуч\(2\) одиниць; домен:\((−∞, 2) ∪ (2, ∞)\); діапазон:\((−∞, 0) ∪ (0, ∞)\)

Малюнок\(\PageIndex{34}\)

23. \(y = \frac{1}{x}\); Зсув вгору\(5\) одиниць; домен:\((−∞, 0) ∪ (0, ∞)\); діапазон:\((−∞, 1) ∪ (1, ∞)\)

Малюнок\(\PageIndex{35}\)

25. \(y = \frac{1}{x}\); Зсув лівої\(1\) одиниці і вниз\(2\) одиниць; домен:\((−∞, −1) ∪ (−1, ∞)\); діапазон:\((−∞, −2) ∪ (−2, ∞)\)

Малюнок\(\PageIndex{36}\)

27. Базовий граф\(y = −4\); домен:\(ℝ\); діапазон:\(\{−4\}\)

Малюнок\(\PageIndex{37}\)

29. \(y = \sqrt [ 3 ] { x }\); Зсув вгору\(6\) одиниць і\(2\) правих одиниць; домен:\(ℝ\); діапазон:\(ℝ\)

Малюнок\(\PageIndex{38}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Графік кусково функцій.

1. \(h ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { 2 } + 2 } & { \text { if } x < 0 } \\ { x + 2 } & { \text { if } x \geq 0 } \end{array} \right.\)
2. \(h ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { 2 } - 3 \text { if } x < 0 } \\ { \sqrt { x } - 3 \text { if } x \geq 0 } \end{array} \right.\)
3. \(h ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { 3 } - 1 } & { \text { if } x < 0 } \\ { | x - 3 | - 4 } & { \text { if } x \geq 0 } \end{array} \right.\)
4. \(h ( x ) = \left\{ \begin{array} { c c } { x ^ { 3 } } & { \text { if } x < 0 } \\ { ( x - 1 ) ^ { 2 } - 1 } & { \text { if } x \geq 0 } \end{array} \right.\)
5. \(h ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { 2 } - 1 } & { \text { if } x < 0 } \\ { 2 } & { \text { if } x \geq 0 } \end{array} \right.\)
6. \(h ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x + 2 } & { \text { if } x < 0 } \\ { ( x - 2 ) ^ { 2 } } & { \text { if } x \geq 0 } \end{array} \right.\)
7. \(h ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( x + 10 ) ^ { 2 } - 4 } & { \text { if } x < - 8 } \\ { x + 4 } & { \text { if } - 8 \leq x < - 4 } \\ { \sqrt { x + 4 } } & { \text { if } x \geq - 4 } \end{array} \right.\)
8. \(f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x + 10 } & { \text { if } x \leq - 10 } \\ { | x - 5 | - 15 } & { \text { if } - 10 < x \leq 20 } \\ { 10 } & { \text { if } x > 20 } \end{array} \right.\)

Відповідь

1.

Малюнок\(\PageIndex{39}\)

3.

Малюнок\(\PageIndex{40}\)

5.

Малюнок\(\PageIndex{41}\)

7.

Малюнок\(\PageIndex{42}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Напишіть рівняння, яке представляє функцію, графік якої задано.

1.

Малюнок\(\PageIndex{43}\)

2.

Малюнок\(\PageIndex{44}\)

3.

Малюнок\(\PageIndex{45}\)

4.

Малюнок\(\PageIndex{46}\)

5.

Малюнок\(\PageIndex{47}\)

6.

Малюнок\(\PageIndex{48}\)

7.

Малюнок\(\PageIndex{49}\)

8.

Малюнок\(\PageIndex{50}\)

Відповідь

1. \(f ( x ) = \sqrt { x - 5 }\)

3. \(f ( x ) = ( x - 15 ) ^ { 2 } - 10\)

5. \(f ( x ) = \frac { 1 } { x + 8 } + 4\)

7. \(f ( x ) = \sqrt { x + 16 } - 4\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Зіставте графік із заданим визначенням функції.

Малюнок\(\PageIndex{51}\)

Малюнок\(\PageIndex{52}\)

Малюнок\(\PageIndex{53}\)

Малюнок\(\PageIndex{54}\)

Малюнок\(\PageIndex{55}\)

Малюнок\(\PageIndex{56}\)

1. \(f ( x ) = - 3 | x |\)
2. \(f ( x ) = - ( x + 3 ) ^ { 2 } - 1\)
3. \(f ( x ) = - | x + 1 | + 2\)
4. \(f ( x ) = - x ^ { 2 } + 1\)
5. \(f ( x ) = - \frac { 1 } { 3 } | x |\)
6. \(f ( x ) = - ( x - 2 ) ^ { 2 } + 2\)

Відповідь

1. б

3. д

5. ф

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Скористайтеся перетвореннями для побудови графіків наступних функцій.

1. \(f ( x ) = - x + 5\)
2. \(f ( x ) = - | x | - 3\)
3. \(g ( x ) = - | x - 1 |\)
4. \(f ( x ) = - ( x + 2 ) ^ { 2 }\)
5. \(h ( x ) = \sqrt { - x } + 2\)
6. \(g ( x ) = - \sqrt { x } + 2\)
7. \(g ( x ) = - ( x + 2 ) ^ { 3 }\)
8. \(h ( x ) = - \sqrt { x - 2 } + 1\)
9. \(g ( x ) = - x ^ { 3 } + 4\)
10. \(f ( x ) = - x ^ { 2 } + 6\)
11. \(f ( x ) = - 3 | x |\)
12. \(g ( x ) = - 2 x ^ { 2 }\)
13. \(h ( x ) = \frac { 1 } { 2 } ( x - 1 ) ^ { 2 }\)
14. \(h ( x ) = \frac { 1 } { 3 } ( x + 2 ) ^ { 2 }\)
15. \(g ( x ) = - \frac { 1 } { 2 } \sqrt { x - 3 }\)
16. \(f ( x ) = - 5 \sqrt { x + 2 }\)
17. \(f ( x ) = 4 \sqrt { x - 1 } + 2\)
18. \(h ( x ) = - 2 x + 1\)
19. \(g ( x ) = - \frac { 1 } { 4 } ( x + 3 ) ^ { 3 } - 1\)
20. \(f ( x ) = - 5 ( x - 3 ) ^ { 2 } + 3\)
21. \(h ( x ) = - 3 | x + 4 | - 2\)
22. \(f ( x ) = - \frac { 1 } { x }\)
23. \(f ( x ) = - \frac { 1 } { x + 2 }\)
24. \(f ( x ) = - \frac { 1 } { x + 1 } + 2\)

Відповідь

1.

Малюнок\(\PageIndex{57}\)

3.

Малюнок\(\PageIndex{58}\)

5.

Малюнок\(\PageIndex{59}\)

7.

Малюнок\(\PageIndex{60}\)

9.

Малюнок\(\PageIndex{61}\)

11.

Малюнок\(\PageIndex{62}\)

13.

Малюнок\(\PageIndex{63}\)

15.

Малюнок\(\PageIndex{64}\)

17.

Малюнок\(\PageIndex{65}\)

19.

Малюнок\(\PageIndex{66}\)

21.

Малюнок\(\PageIndex{67}\)

23.

Малюнок\(\PageIndex{68}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

1. Використовуйте різні кольори для графіків сімейства графіків, визначених\(y=kx^{2}\), де\(k \in \left\{ 1 , \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 4 } \right\}\). Що відбувається з графом, коли знаменник\(k\) дуже великий? Поділіться своїми висновками на дошці обговорень.
2. Графік\(f ( x ) = \sqrt { x }\) і\(g ( x ) = - \sqrt { x }\) на одному і тому ж наборі осей координат. Як виглядає загальна форма? Спробуйте знайти єдине рівняння, яке описує форму. Поділіться своїми висновками.
3. Дослідіть, що відбувається з графіком функції, коли значення області множаться на коефіцієнт\(a\) перед застосуванням функції,\(f(ax)\). Розробіть деякі правила для цієї ситуації і поділіться ними на дискусійній дошці.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

3. Відповідь може відрізнятися

Виноски

⁵⁷ Набір операцій, які змінюють розташування графіка в координатній площині, але залишають розмір і форму незмінними.

⁵⁸ Набір операцій, що змінюють розмір та/або форму графіка в координатній площині.

⁵⁹ Жорстке перетворення, яке зміщує графік вгору або вниз.

⁶⁰ Жорстке перетворення, яке зміщує графік вліво або вправо.

⁶¹ Перетворення, яке створює дзеркальне відображення графіка навколо осі.

⁶² Нежорстке перетворення, отримане множенням функцій на ненульове дійсне число, яке, здається, розтягує графік або вертикально, або горизонтально.