2.1: Відносини, графіки та функції

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58346

Anonymous
LibreTexts

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Вказати домен і діапазон відношення.
Визначте функцію.
Використовувати позначення функцій

Графіки, відносини, область та діапазон

Прямокутна система координат ¹ складається з двох дійсних числових ліній, які перетинаються під прямим кутом. Горизонтальна числова лінія називається віссю x ², а вертикальна числова лінія називається віссю y ³. Ці дві числові лінії визначають плоску поверхню, яка називається площиною ⁴, і кожна точка на цій площині пов'язана з впорядкованою парою ⁵ дійсних чисел$(x, y)$. Перше число називається$x$ -координатою, а друге$y$ - координатою. Перетин двох осей відоме як початок ⁶, що відповідає точці$(0, 0)$.

$x$- і$y$ -осі розбивають площину на чотири області, які називаються квадрантами ⁷, названі за допомогою римських цифр I, II, III та IV, як показано на малюнку. $(x, y)$Впорядкована пара являє собою положення точок щодо початку. Наприклад, впорядкована пара$(−4, 3)$ представляє$4$ одиниці позиції зліва від початку, а$3$ одиниці вище у другому квадранті.

Цю систему часто називають декартовою системою координат ⁸, названою на честь французького математика Рене Декарта (1596—1650).

Далі ми визначаємо відношення ⁹ як будь-який набір впорядкованих пар. У контексті алгебри цікаві відносини є множинами впорядкованих пар$(x, y)$ в прямокутній координатній площині. Зазвичай координати пов'язані правилом, вираженим за допомогою алгебраїчного рівняння. Наприклад, як алгебраїчні рівняння, так$y = |x| − 2$ і$x = |y| + 1$ визначають відносини між$x$ і$y$. Нижче наведено кілька цілих чисел, які задовольняють обидва рівняння:

Тут виходять два співвідношення, що складаються з семи впорядкованих парних розв'язків:

$y=|x|−2 has solutions \{(−3,1),(−2,0),(−1,−1),(0,−2),(1,−1),(2,0),(3,1)\}$

$and$

$x=|y|+1 has solutions \{(4,−3),(3,−2),(2,−1),(1,0),(2,1),(3,2),(4,3)\}$

Ми можемо візуально відобразити будь-яке відношення цього типу на координатній площині шляхом побудови точок.

Множини розв'язків кожного рівняння утворюватимуть відношення, що складається з нескінченно багатьох впорядкованих пар. Ми можемо використовувати дані впорядковані парні рішення для оцінки всіх інших впорядкованих пар шляхом проведення лінії через задані точки. Тут ми ставимо стрілку на кінцях наших рядків, щоб вказати, що цей набір впорядкованих пар триває без меж.

Представлення відношення на прямокутній координатній площині, як показано вище, називається графом ¹⁰. Будь-яка крива, розміщена на прямокутній координатній площині, являє собою набір впорядкованих пар і таким чином визначає відношення.

Множина, що складається з усіх перших компонентів відношення, в даному випадку x -значень, називається доменом ¹¹. А множина, що складається з усіх других складових відношення, в даному випадку y -значень, називається діапазоном ¹² (або кодомен ¹³). Часто ми можемо визначити область і діапазон відношення, якщо нам дано його графік.

Тут ми бачимо, що граф$y=|x|−2$ має область, що складається з усіх дійсних чисел$ℝ=(−∞,∞)$, і діапазон всіх y -значень більше або дорівнює$−2, [−2,∞)$. Домен графа$x=|y|+1$ складається з усіх x -значень більше або дорівнює$1, [1,∞)$, а діапазон складається з усіх дійсних чисел,$ℝ=(−∞,∞)$.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Визначте домен і діапазон за наступним співвідношенням:

Рішення

Мінімальне$x$ -значення, представлене на графіку, є$−8$ всі інші більше. Тому домен складається з усіх$x$ -значень в інтервалі$[−8,∞)$. Мінімальне$y$ значення, представлене на графіку, є$0$; таким чином, діапазон є$[0,∞)$.

Відповідь:

Домен:$[−8,∞)$; діапазон:$[0,∞)$

Функції

Особливий інтерес представляють відносини, де кожне$x$ -значення відповідає рівно одному$y$ -значенню. Відношення з цією властивістю називається функцією ¹⁴.

Приклад$\PageIndex{2}$:

Визначте область та діапазон наступного відношення та вкажіть, чи є вона функцією чи ні:$\{(−1, 4), (0, 7), (2, 3), (3, 3), (4, −2)\}$

Рішення

Тут відокремлюємо домен (x-значення), і діапазон (y-значення), і зображуємо відповідність значень стрілками.

Відношення є функцією, оскільки кожне x -значення відповідає рівно одному y -значенню.

Відповідь:

Домен є$\{−1, 0, 2, 3, 4\}$ і діапазон є$\{−2, 3, 4, 7\}$. Відношення - це функція.

Приклад$\PageIndex{3}$:

Визначте область та діапазон наступного відношення та вкажіть, чи є вона функцією чи ні:$\{(−4, −3), (−2, 6), (0, 3), (3, 5), (3, 7)\}$

Рішення

Задане відношення не є функцією, оскільки$x$ -value$3$ відповідає двом$y$ -значенням. Ми також можемо розпізнати функції як відносини, де no$x$ -values повторюються.

Відповідь:

Домен є$\{−4, −2, 0, 3\}$ і діапазон є$\{−3, 3, 5, 6, 7\}$. Це відношення не є функцією.

Розглянемо відносини, що складаються з семи впорядкованих парних рішень до$y = |x| − 2 $ і$x = |y| + 1$. Відповідність між доменом і діапазоном кожного можна зобразити наступним чином:

Зверніть увагу, що кожен елемент в області набору рішень$y = |x| − 2$ відповідає лише одному елементу в діапазоні; це функція. З іншого боку$x = |y| + 1$, рішення мають значення в області, які відповідають двом елементам у діапазоні. Зокрема, значення x$4$ відповідає двом значенням y$−3$ і$3$. Тому$x = |y| + 1$ не визначає функцію.

Ми можемо візуально ідентифікувати функції за їх графіками, використовуючи тест вертикальної лінії ¹⁵. Якщо будь-яка вертикальна лінія перетинає графік більше одного разу, то графік не представляє функцію.

Вертикальна лінія представляє значення в області, а кількість перетинів з графіком - кількість значень, яким вона відповідає. Як ми бачимо, будь-яка вертикальна лінія перетинає графік$y=|x|−2$ лише один раз; отже, це функція. Вертикальна лінія може перетинати графік$x=|y|+1$ більше одного разу; отже, це не функція. Як на малюнку,$x$ -value$3$ відповідає більш ніж одному$y$ -значенню.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Враховуючи графік, вкажіть область та діапазон та визначте, чи є він функцією чи ні:

Рішення

З графіка ми бачимо, що мінімальне$x$ -значення є,$−1$ а максимальне$x$ -значення є$5$. Отже, домен складається з усіх дійсних чисел у множині від$[−1,5]$. Максимальне$y$ значення є$3$ і мінімум є$−3$; отже, діапазон складається з$y$ -значень в інтервалі$[−3,3]$.

Крім того, оскільки ми можемо знайти вертикальну лінію, яка перетинає графік не один раз, робимо висновок, що графік не є функцією. У домені є багато$x$ -значень, які відповідають двом$y$ -значенням.

Відповідь:

Домен:$[−1,5]$; діапазон:$[−3,3]$; функція: немає

Вправа$\PageIndex{1}$

Враховуючи графік, визначте область та діапазон та вкажіть, чи є це функція чи ні:

Відповідь

Домен:$(−∞,15]$; діапазон:$ℝ$; функція: немає

www.youtube.com/В/УЕТВДКХК

Функція позначення

З визначенням функції приходить спеціальне позначення. Якщо розглядати кожне значення x як вхід, який дає рівно один вихід, то ми можемо використовувати позначення функції ¹⁶:

$f ( x ) = y$

Позначення$f(x)$ говорить «f з x» і не слід плутати з множенням. Алгебра часто включає функції, і тому позначення стають корисними при виконанні загальних завдань. $f$Ось ім'я функції, і$f (x)$ позначає значення в діапазоні, пов'язане зі значенням x в домені. Функції часто називаються різними літерами; деякі загальні імена функцій є$f, g, h, C$, і$R$. Визначено, що множина розв'язків to$y = |x| − 2$ є функцією, тому за допомогою позначення функції ми можемо записати:

$\begin{aligned} y & = | x | - 2 \\ \color{Cerulean}{\downarrow} & \\ f ( x ) & = | x | - 2 \end{aligned}$

Важливо відзначити, що$y$ і$f(x)$ використовуються взаємозамінно. Це позначення використовується наступним чином:

$\begin{array} { l } { f ( x )\:\: =\:\:\: | x | - 2 } \\ { \:\:\:\:\:\downarrow \quad\quad\quad \downarrow } \\ { f ( \color{Cerulean}{- 5}\color{Black}{ )} = | \color{Cerulean}{- 5}\color{Black}{ |} - 2 = 5 - 2 = 3 } \end{array}$

Тут компактне позначення$f(−5) = 3$ вказує на те, що де$x = −5$ (вхід), функція призводить$y = 3$ (вихід). Іншими словами, замініть змінну значенням, вказаним всередині дужок.

Функції компактно визначаються алгебраїчним рівнянням, таким як$f (x) = |x| − 2$. Задані значення для$x$ в області, ми можемо швидко обчислити відповідні значення в діапазоні. Як ми бачили, функції також виражаються за допомогою графіків. У цьому випадку інтерпретуємо$f(−5) = 3$ наступним чином:

Функція позначення впорядковує завдання оцінки. Наприклад, скористайтеся функцією,$h$ визначеною для$h (x) = \frac{1}{2} x − 3$ обчислення для$x$ -values у множині$\{−2, 0, 7\}$.

$\begin{array} { c } { h ( \color{Cerulean}{- 2}\color{Black}{ )} = \frac { 1 } { 2 } ( \color{Cerulean}{- 2}\color{Black}{ )} - 3 = - 1 - 3 = - 4 } \\ { h ( \color{Cerulean}{0}\color{Black}{ )} = \frac { 1 } { 2 } ( \color{Cerulean}{0}\color{Black}{ )} - 3 = 0 - 3 = - 3 } \\ { h ( \color{Cerulean}{7}\color{Black}{ )} = \frac { 1 } { 2 } ( \color{Cerulean}{7}\color{Black}{ )} - 3 = \frac { 7 } { 2 } - 3 = \frac { 1 } { 2 } } \end{array}$

З огляду на будь-яку функцію$h(x) = y$, визначену, значення$x$ називається аргументом функції ¹⁷. Аргументом може бути будь-який алгебраїчний вираз. Наприклад:

$\begin{aligned} h ( \color{Cerulean}{4 a ^ { 3 }}\color{Black}{ )} & = \frac { 1 } { 2 } ( \color{Cerulean}{4 a ^ { 3 } }\color{Black}{)} - 3 = 2 a ^ { 3 } - 3 \\ h ( \color{Cerulean}{2 x - 1}\color{Black}{ )} & = \frac { 1 } { 2 } ( \color{Cerulean}{2 x - 1}\color{Black}{ )} - 3 = x - \frac { 1 } { 2 } - 3 = x - \frac { 7 } { 2 } \end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{5}$:

Дано$g ( x ) = x ^ { 2 }$, знайдіть$g (−2), g ( \frac{1}{2} )$, і$g (x + h)$.

Рішення

Нагадаємо, що при оцінці найкраще почати з заміни змінних дужками, а потім підставити відповідні значення. Це допомагає з порядком операцій при спрощенні виразів.

$\begin{aligned} g ( \color{Cerulean}{- 2}\color{Black}{ )} & = ( \color{Cerulean}{- 2}\color{Black}{ )} ^ { 2 } = 4 \\ g ( \color{Cerulean}{\frac { 1 } { 2 }}\color{Black}{)} & = ( \color{Cerulean}{\frac { 1 } { 2 }} \color{Black}{)} ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } \\ g (\color{Cerulean}{ x + h}\color{Black}{ )} & = ( \color{Cerulean}{x + h}\color{Black}{ )} ^ { 2 } = x ^ { 2 } + 2 x h + h ^ { 2 } \end{aligned}$

Відповідь:

$g (−2) = 4,\: g ( \frac{1}{2} ) = \frac{1}{4} ,\: g (x + h) = x^{2} + 2xh + h^{2}$

У цей момент важливо відзначити, що, загалом,$f (x + h) ≠ f (x) + f (h)$. Попередній приклад, де$g (x) = x^{2}$, ілюструє це красиво

$\begin{array} { l } { g ( x + h ) \neq g ( x ) + g ( h ) } \\ { ( x + h ) ^ { 2 } \neq x ^ { 2 } + h ^ { 2 } } \end{array}$

Приклад$\PageIndex{6}$:

Дано$f ( x ) = \sqrt { 2 x + 4 }$, знайдіть$f (−2), f (0)$, і$f \left( \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } - 2 \right)$.

Рішення

$\begin{aligned} f ( \color{Cerulean}{- 2}\color{Black}{ )} & = \sqrt { 2 ( \color{Cerulean}{- 2}\color{Black}{ )} + 4 } = \sqrt { - 4 + 4 } = \sqrt { 0 } = 0 \\ f ( \color{Cerulean}{0}\color{Black}{ )} & = \sqrt { 2 ( \color{Cerulean}{0}\color{Black}{ )} + 4 } = \sqrt { 0 + 4 } = \sqrt { 4 } = 2 \\ f ( \color{Cerulean}{\frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } - 2}\color{Black}{ )} & = \sqrt { 2( \color{Cerulean}{ \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } - 2}\color{Black}{)} + 4 } = \sqrt { a ^ { 2 } - 4 + 4 } = \sqrt { a ^ { 2 } } = | a | \end{aligned}$

Відповідь:

$f (−2) = 0,\: f (0) = 2,\: f \left( \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } - 2 \right)= |a|$

Приклад$\PageIndex{7}$:

Дано графік$g(x)$, знайти$g(−8), g(0)$, і$g(8)$.

Рішення

Використовуйте графік, щоб знайти відповідні$y$ -значення де$x = −8, 0$, і$8$.

Відповідь:

$g(−8)=−2,\: g(0)=0,\: g(8)=2$

Іноді видається висновок і нас просять знайти вхід.

Приклад$\PageIndex{8}$:

Дано$f (x) = 5x + 7$, знайдіть$x$ де$f (x) = 27$.

Рішення

У цьому прикладі наведено висновок і нас просять знайти вхід. $f (x)$Замінюйте$27$ і вирішуйте.

$\begin{array} { c } { f ( x ) = 5 x + 7 }\\\color{Cerulean}{\downarrow}\quad\quad\quad\:\:\: \\ { 27 = 5 x + 7 } \\ { 20 = 5 x } \\ { 4 = x } \end{array}$

Тому,$f (4) = 27$. Як перевірку ми можемо оцінити$f (4) = 5 (4) + 7 = 27$.

Відповідь:

$x = 4$

Приклад$\PageIndex{9}$:

З огляду на графік$g$, знайдіть$x$ де$g(x)=2$.

Рішення

Тут нас просять знайти x -значення, задане певним y -значенням. Ми починаємо з 2 на осі y, а потім читаємо відповідне x -значення.

Ми бачимо, що$g(x)=2$ де$x=−5$; Іншими словами,$g(−5)=2$.

Відповідь:

$ x=−5$

Вправа$\PageIndex{2}$

З огляду на графік$h$, знайти$x$ де$h(x)=-4$

Відповідь

$x=-15$і$x=15$

www.youtube.com/В/НТВМЛФПК

Ключові винос

Відношення - це будь-яка сукупність впорядкованих пар. Однак у цьому курсі ми будемо працювати з наборами впорядкованих пар$(x, y)$ у прямокутній системі координат. Набір$x$ -values визначає домен, а набір$y$ -values визначає діапазон.
Спеціальні відносини, де кожне$x$ -значення (вхід) відповідає рівно одному$y$ -value (output), називаються функціями.
Ми можемо легко визначити, чи рівняння являє собою функцію, виконавши тест вертикальної лінії на його графіку. Якщо будь-яка вертикальна лінія перетинає графік більше одного разу, то графік не представляє функцію.
Якщо алгебраїчне рівняння визначає функцію, то ми можемо використовувати позначення$f (x) = y$. Позначення$f (x)$ читається «f з x» і не слід плутати з множенням. При роботі з функціями важливо пам'ятати, що$y$ і$f (x)$ використовуються взаємозамінно.
Якщо його попросять знайти$f(a)$, ми підставляємо аргумент$a$ в для змінної, а потім спрощуємо. Аргументом може бути алгебраїчний вираз.
Якщо попросять знайти$x$ де$f(x) = a$, ми встановлюємо функцію рівну$a$ і потім вирішуємо для$x$.

Вправа$\PageIndex{3}$

Визначте домен та діапазон та вкажіть, чи є відношення функцією чи ні.

$\{ ( 3,1 ) , ( 5,2 ) , ( 7,3 ) , ( 9,4 ) , ( 12,4 ) \}$
$\{ ( 2,0 ) , ( 4,3 ) , ( 6,6 ) , ( 8,6 ) , ( 10,9 ) \}$
$\{ ( 7,5 ) , ( 8,6 ) , ( 10,7 ) , ( 10,8 ) , ( 15,9 ) \}$
$\{ ( 1,1 ) , ( 2,1 ) , ( 3,1 ) , ( 4,1 ) , ( 5,1 ) \}$
$\{ ( 5,0 ) , ( 5,2 ) , ( 5,4 ) , ( 5,6 ) , ( 5,8 ) \}$
$\{ ( - 3,1 ) , ( - 2,2 ) , ( - 1,3 ) , ( 0,4 ) , ( 0,5 ) \}$

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

Відповідь

1. Домен:$\{ 3,5,7,9,12 \}$; діапазон:$\{ 1,2,3,4 \}$; функція: yes

3. Домен:$\{ 7,8,10,15 \}$; діапазон:$\{ 5,6,7,8,9 \}$; функція: немає

5. Домен:$\{5\}$; діапазон:$\{ 0,2,4,6,8 \}$; функція: немає

7. Домен:$\{ - 4 , - 1,0,2,3 \}$; діапазон:$\{ 1,2,3 \}$; функція: yes

9. Домен:$\{−1, 0, 1, 2\}$; діапазон:$\{0, 1, 2, 3, 4\}$; функція: немає

11. Домен:$\{−2\}$; діапазон:$\{−4, −2, 0, 2, 4\}$; функція: немає

13. Домен:$ℝ$; діапазон:$[−2, ∞)$; функція: yes

15. Домен:$(−∞, −1]$; діапазон:$ℝ$; функція: немає

17. Домен:$(−∞, 0]$; діапазон:$[−1, ∞)$; функція: yes

19. Домен:$ℝ$; діапазон:$(−∞, 3]$; функція: yes

21. Домен:$ℝ$; діапазон:$ℝ$; функція: yes

23. Домен:$[−5, −1]$; діапазон:$[−2, 2]$; функція: немає

25. Домен:$ℝ$; діапазон:$[0, ∞]$; функція: yes

27. Домен:$ℝ$; діапазон:$ℝ$; функція: yes

29. Домен:$ℝ$; діапазон:$[−1, 1]$; функція: yes

31. Домен:$[−8, 8]$; діапазон:$[−3, 3]$; функція: немає

33. Домен:$ℝ$; діапазон:$[−8, ∞]$; функція: yes

Вправа$\PageIndex{4}$

Оцініть.

$g ( x ) = | x - 5 | \text { find } g ( - 5 ) , g ( 0 ) , \text { and } g ( 5 )$
$g ( x ) = | x | - 5 ; \text { find } g ( - 5 ) , g ( 0 ) , \text { and } g ( 5 )$
$g ( x ) = | 2 x - 3 | ; \text { find } g ( - 1 ) , g ( 0 ) , \text { and } g \left( \frac { 3 } { 2 } \right)$
$g ( x ) = 3 - | 2 x | ; \text { find } g ( - 3 ) , g ( 0 ) , \text { and } g ( 3 )$
$f ( x ) = 2 x - 3 ; \text { find } f ( - 2 ) , f ( 0 ) , \text { and } f ( x - 3 )$
$f ( x ) = 5 x - 1 ; \text { find } f ( - 2 ) , f ( 0 ) , \text { and } f ( x + 1 )$
$g ( x ) = \frac { 2 } { 3 } x + 1 ; \text { find } g ( - 3 ) , g ( 0 ) , \text { and } f ( 9 x + 6 )$
$g ( x ) = - \frac { 3 } { 4 } x - \frac { 1 } { 2 } ; \text { find } g ( - 4 ) , g ( 0 ) , \text { and } g ( 6 x - 2 )$
$g ( x ) = x ^ { 2 } ; \text { find } g ( - 5 ) , g ( \sqrt { 3 } ) , \text { and } g ( x - 5 )$
$g ( x ) = x ^ { 2 } + 1 ; \text { find } g ( - 1 ) , g ( \sqrt { 6 } ) , \text { and } g ( 2 x - 1 )$
$f ( x ) = x ^ { 2 } - x - 2 ; \text { find } f ( 0 ) , f ( 2 ) , \text { and } f ( x + 2 )$
$f ( x ) = - 2 x ^ { 2 } + x - 4 ; \text { find } f ( - 2 ) , f \left( \frac { 1 } { 2 } \right) , \text { and } f ( x - 3 )$
$h ( t ) = - 16 t ^ { 2 } + 32 ; \text { find } h \left( \frac { 1 } { 4 } \right) , h \left( \frac { 1 } { 2 } \right) , \text { and } h ( 2 a - 1 )$
$h ( t ) = - 16 t ^ { 2 } + 32 ; \text { find } h ( 0 ) , h ( \sqrt { 2 } ) , h ( 2 a + 1 )$
$f ( x ) = \sqrt { x + 1 } - 2 \text { find } f ( - 1 ) , f ( 0 ) , f ( x - 1 )$
$f ( x ) = \sqrt { x - 3 } + 1 ; \text { find } f ( 12 ) , f ( 3 ) , f ( x + 3 )$
$g ( x ) = \sqrt { x + 8 } ; \text { find } g ( 0 ) , g ( - 8 ) , \text { and } g ( x - 8 )$
$g ( x ) = \sqrt { 3 x - 1 } ; \text { find } g \left( \frac { 1 } { 3 } \right) , g \left( \frac { 5 } { 3 } \right) , \text { and } g \left( \frac { 1 } { 3 } a ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } \right)$
$f ( x ) = x ^ { 3 } + 1 ; \text { find } f ( - 1 ) , f ( 0 ) , f \left( a ^ { 2 } \right)$
$f ( x ) = x ^ { 3 } - 8 ; \text { find } f ( 2 ) , f ( 0 ) , f \left( a ^ { 3 } \right)$

Відповідь

1. $g ( - 5 ) = 10 , g ( 0 ) = 5 , g ( 5 ) = 0$

3. $g ( - 1 ) = 5 , g ( 0 ) = 3 , g \left( \frac { 3 } { 2 } \right) = 0$

5. $f ( - 2 ) = - 7 , f ( 0 ) = - 3 , f ( x - 3 ) = 2 x - 9$

7. $g ( - 3 ) = - 1 , g ( 0 ) = 1 , g ( 9 x + 6 ) = 6 x + 5$

9. $g ( - 5 ) = 25 , g ( \sqrt { 3 } ) = 3 , g ( x - 5 ) = x ^ { 2 } - 10 x + 25$

11. $f ( 0 ) = - 2 , f ( 2 ) = 0 , f ( x + 2 ) = x ^ { 2 } + 3 x$

13. $h \left( \frac { 1 } { 4 } \right) = 31 , h \left( \frac { 1 } { 2 } \right) = 28 , h ( 2 a - 1 ) = - 64 a ^ { 2 } + 64 a + 16$

15. $f ( - 1 ) = - 2 , f ( 0 ) = - 1 , f ( x - 1 ) = \sqrt { x } - 2$

17. $g ( 0 ) = 2 \sqrt { 2 } , g ( - 8 ) = 0 , g \left( a ^ { 2 } - 8 \right) = | a |$

19. $f ( - 1 ) = 0 , f ( 0 ) = 1 , f \left( a ^ { 2 } \right) = a ^ { 6 } + 1$

Вправа$\PageIndex{5}$

Дано функцію find$f(x+h)$.

$f ( x ) = 3 x - 1$
$f ( x ) = - 5 x + 2$
$f ( x ) = x ^ { 2 } + x + 1$
$f ( x ) = 2 x ^ { 2 } - x - 1$
$f ( x ) = x ^ { 3 }$
$f ( x ) = 2 x ^ { 3 } - 1$

Відповідь

1. $f ( x + h ) = 3 x + 3 h - 1$

3. $f ( x + h ) = x ^ { 2 } + 2 x h + h ^ { 2 } + x + h + 1$

5. $f ( x + h ) = x ^ { 3 } + 3 h x ^ { 2 } + 3 h ^ { 2 } x + h ^ { 3 }$

Вправа$\PageIndex{6}$

Знайти$x$ задану функцію.

$f ( x ) = 2 x - 3 ; \text { find } x \text { where } f ( x ) = 25$
$f ( x ) = 7 - 3 x ; \text { find } x \text { where } f ( x ) = - 27$
$f ( x ) = 2 x + 5 ; \text { find } x \text { where } f ( x ) = 0$
$f ( x ) = - 2 x + 1 ; \text { find } x \text { where } f ( x ) = 0$
$g ( x ) = 6 x + 2 ; \text { find } x \text { where } g ( x ) = 5$
$g ( x ) = 4 x + 5 ; \text { find } x \text { where } g ( x ) = 2$
$h ( x ) = \frac { 2 } { 3 } x - \frac { 1 } { 2 } ; \text { find } x \text { where } h ( x ) = \frac { 1 } { 6 }$
$h ( x ) = \frac { 5 } { 4 } x + \frac { 1 } { 3 } ; \text { find } x \text { where } h ( x ) = \frac { 1 } { 2 }$
Значення нового автомобіля в доларах задається функцією,$V(t) = −1,800t + 22,000$ де$t$ представляє вік автомобіля в роках. Використовуйте функцію для визначення вартості автомобіля, коли йому$4$ виповнилося років. У чому полягала вартість нового автомобіля?
Щомісячний дохід у доларах орендованого продавця автомобілів задається$I(n) = 350n + 1,450$ функцією, яка$n$ представляє кількість проданих автомобілів за місяць. Використовуйте функцію для визначення доходу продавця, якщо він продає$3$ автомобілі в цьому місяці. Який у нього дохід, якщо він не продає жодних машин за один місяць?

Відповідь

1. $x=14$

3. $x=-\frac{5}{2}$

5. $x=\frac{1}{2}$

7. $x=1$

9. Новий:$$22,000$;$4$ років:$$14,800$

Вправа$\PageIndex{7}$

За заданим графіком функції$f$ знайдіть значення функції.

Знайти$f ( 0 ) , f ( 2 )$, і$f ( 4 )$.

2. Знайти$f(-1), f(0)$, і$f(1)$.

3. Знайти$f (0), f (2)$, і$f (4)$.

4. Знайти$f (−3), f (0)$, і$f (3)$.

5. Знайти$f (−4), f (0)$, і$f (2)$. \

6. Знайти$f (−6), f (0)$, і$f (6)$.

7. Знайти$f (−2), f (2)$, і$f (7)$.

8. Знайти$f (0), f (5)$, і$f (9)$.

9. Знайти$f (−8), f (0)$, і$f (8)$.

10. Знайти$f (−12), f (0)$, і$f (12)$.

Відповідь

1. $f (0) = 5, f (2) = 1, f (4) = 5$

3. $f (0) = 0, f (2) = 2, f (4) = 0$

5. $f (−4) = 3, f (0) = 3, f (2) = 3$

7. $f (−2) = 1, f (2) = 3, f (7) = 4$

9. $f (−8) = 10, f (0) = 0, f (8) = 10$

Вправа$\PageIndex{8}$

За заданим графіком функції$g$ знайдіть$x$ -значення:

Знайти$x$ де$g (x) = 3, g (x) = 0$, і$g (x) = −2$.

2. Знайти$x$ де$g (x) = 0, g (x) = 1$, і$g (x) = 4$.

3. Знайти$x$ де$g (x) = −5, g (x) = 0$, і$g (x) = 10$.

4. Знайти$x$ де$g (x) = 0, g (x) = 10$, і$g (x) = 15$.

5. Знайти$x$ де$g (x) = −5, g (x) = −4$, і$g (x) = 4$. \

6. Знайти$x$ де$g (x) = 1, g (x) = 0$, і$g (x) = −3$.

7. Знайти$x$ де$g (x) = −4, g (x) = 3$, і$g (x) = 4$.

8. Знайти$x$ де$g (x) = −5, g (x) = −4$, і$g (x) = 4$.

9. Знайти$x$ де$g (x) = −10$ і$g (x) = 5$.

10. Знайти$x$ де$g(x)=2$.

Вартість певного автомобіля в доларах залежить від кількості років з моменту його придбання$1970$ відповідно до наступної функції:

11. Якою була цінність автомобіля, коли він був новим в$1970$?

12. В якому році вартість автомобіля була на мінімумі?

13. У чому полягала вартість автомобіля$2005$?

14. В які роки цінувався автомобіль$$4,000$?

Відповідь

1. $g (−4) = 3, g (2) = 0$, і$g (6) = −2$.

3. $g (10) = −5, g (5) = 0$і$g (15) = 0 , g (−5) = 10$ і$g (25) = 10$

5. $g (−2) = −5, g (−3) = −4$і$g (−1) = −4 , g (−5) = 4$ і$g (1) = 4$

7. $g (−2) = −4, g (−1) = 3, g (0) = 4$

9. $g (−10) = −10$і$g (5) = −10 ; g (−5) = 5$ і$g (10) = 5$

11. $$5,000$

13. $$10,000$

Вправа$\PageIndex{9}$

З огляду на лінійну функцію$f(x)=2x-5$, визначену, спростити наступне.

$f ( 5 ) - f ( 3 )$
$f ( 0 ) - f ( 7 )$
$f ( x + 2 ) - f ( 2 )$
$f ( x + 7 ) - f ( 7 )$
$f ( x + h ) - f ( x )$
$\frac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h }$
Спрощення$\frac { c ( x + h ) - c ( x ) } { h }$ дано$c ( x ) = 3 x + 1$.
Спрощення$\frac { p ( x + h ) - p ( x ) } { h }$ дано$p ( x ) = 7 x - 3$.
Спрощення$\frac { g ( x + h ) - g ( x ) } { h }$ дано$g ( x ) = m x + b$.
Спрощення$\frac { q ( x + h ) - q ( x ) } { h }$ дано$q ( x ) = a x$.

Відповідь

1. $4$

3. $2x$

5. $2h$

7. $3$

9. $m$

Вправа$\PageIndex{10}$

Кому приписують введення позначень$y = f (x)$? Надайте короткий зміст його життя і досягнень.
Поясніть початківцю алгебри студенту, що таке тест вертикальної лінії і чому він працює.
Досліджуйте та обговоріть життя та внески Рене Декарта.
Провести пошук в Інтернеті для тесту вертикальної лінії, функцій та оціночних функцій. Поділіться посиланням на сторінку, яка, на вашу думку, може виявитися корисною для інших.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

3. Відповідь може відрізнятися

Виноски

¹ Система з двома числовими лініями під прямим кутом, що визначають точки на площині з використанням впорядкованих пар$(x, y)$.

² Горизонтальна числова лінія, яка використовується як посилання в прямокутній системі координат.

³ Вертикальна числова лінія, яка використовується як посилання в прямокутній системі координат.

⁴ Плоска поверхня визначається$x$ - і$y$ -осями.

⁵ Пари$(x, y)$, які ідентифікують положення відносно початку координат на прямокутній координатній площині.

⁶ Точка, де$x$ - і$y$ -осі перетинаються, позначається$(0, 0)$.

⁷ Чотири області прямокутної координатної площини частково обмежені$y$ осями$x$ - і -і пронумеровані за допомогою римських цифр I, II, III та IV.

⁸ Термін використовується на честь Рене Декарта при зверненні до прямокутної системи координат.

⁹ Будь-який набір впорядкованих пар.

¹⁰ Візуальне зображення відношення на прямокутній координатній площині.

¹¹ Безліч, що складається з усіх перших складових відношення. Для відносин, що складаються з точок на площині, доменом є набір всіх$x$ -значень.

¹² Безліч, що складається з усіх других компонентів відношення. Для відносин, що складаються з точок на площині, діапазон - це множина всіх$y$ -значень.

¹³ Використовується при посиланні на діапазон.

¹⁴ Відношення, де кожен елемент в області відповідає рівно одному елементу в діапазоні.

¹⁵ Якщо будь-яка вертикальна лінія перетинає графік більше одного разу, то граф не представляє функцію.

¹⁶ Позначення$f (x) = y$, яке$x$ читається «$f$з дорівнює»$y$. Задана функція,$y$ і$f (x)$ може бути використана як взаємозамінна.

¹⁷ Значення або алгебраїчний вираз, що використовуються як вхідні дані при використанні позначення функції.