1.8: Розв'язування лінійних нерівностей за допомогою однієї змінної

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58262

Anonymous
LibreTexts

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Визначте лінійні нерівності та перевіряйте розв'язки.
Розв'яжіть лінійні нерівності та виражайте розв'язки графічно на числовій лінії та в інтервальних позначеннях.
Розв'яжіть складні лінійні нерівності та виражайте розв'язки графічно на числовій лінії та в інтервальних позначеннях.
Розв'язуйте програми, що включають лінійні нерівності та інтерпретуйте результати.

Лінійні нерівності

Лінійна нерівність ¹³⁸ - це математичне твердження, яке пов'язує лінійний вираз як менший або більший за інший. Нижче наведено кілька прикладів лінійних нерівностей, всі з яких вирішуються в цьому розділі:

Таблиця$\PageIndex{1}$
$5 x + 7 < 22$	$- 2 ( x + 8 ) + 6 \geq 20$	$- 2 ( 4 x - 5 ) < 9 - 2 ( x - 2 )$

Розв'язок лінійної нерівності ¹³⁹ - це дійсне число, яке буде видавати істинний оператор при заміні змінної. Лінійні нерівності мають або нескінченно багато рішень, або немає рішення. Якщо розв'язків нескінченно багато, графуйте розв'язку, встановлене на числовому рядку і/або висловіть рішення за допомогою інтервальних позначень.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Чи є$x=−4$ і$x=6$ рішення$5x+7<22$?

Рішення

Підставляємо значення в for$x$, спростити і перевірити, чи отримаємо ми справжнє твердження.

Таблиця$\PageIndex{2}$
Перевірити$x=−4$	Перевірити$x=6$
\ (x=−4\)» клас ="lt-математика-6393"> $\begin{array} { r } { 5 ( \color{Cerulean}{- 4}\color{Black}{ )} + 7 < 22 } \\ { - 20 + 7 < 22 } \\ { - 13 < 22 } \:\:\color{Cerulean}{✓} \end{array}$	\ (x=6\)» клас = «lt-математика-6393"> $\begin{array} { c } { 5 ( \color{Cerulean}{6} \color{Black}{)} + 7 < 22 } \\ { 30 + 7 < 22 } \\ { 37 < 22 } \:\:\color{red}{✗} \end{array}$

Відповідь:

$x=−4$це рішення,$x=6$ а не

Усі методи, крім однієї, вивчені для розв'язування лінійних рівнянь, застосовуються до розв'язання лінійних нерівностей. Ви можете додати або відняти будь-яке дійсне число до обох сторін нерівності, і ви можете помножити або розділити обидві сторони на будь-яке додатне дійсне число, щоб створити еквівалентні нерівності. Наприклад:

$ 10 > - 5 $

$10\color{Cerulean}{-7}\color{Black}{>} -5\color{Cerulean}{-7}\quad \color{Cerulean}{Subtract\: 7\: on\: both\: sides.}$

$ 3 > - 12 \quad\color{Cerulean}{✓}\quad\color{Cerulean}{True.}$

$10>-5$

$\frac{10}{\color{Cerulean}{5}}\color{Black}{>}\frac{-5}{\color{Cerulean}{5}}\quad\color{Cerulean}{Divide\: both\: sides\: by\: 5.}$

$2>-1 \quad\color{Cerulean}{✓\:\:True}$

Віднімання$7$ з кожної сторони і поділ кожної сторони позитивними$5$ призводить до нерівності, яка є істинною.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Розв'яжіть та графуйте набір рішень:$5x+7<22$.

Рішення

$\begin{array} { c } { 5 x + 7 < 22 } \\ { 5 x + 7 \color{Cerulean}{- 7}\color{Black}{ < 22}\color{Cerulean}{ - 7} } \\ { 5 x < 15 } \\ { \frac { 5 x } {\color{Cerulean}{ 5} } < \frac { 15 } { \color{Cerulean}{5} } } \\ { x < 3 } \end{array}$

Корисно взяти хвилину і вибрати кілька значень у наборі рішень і поза ним, замінити їх у вихідну нерівність, а потім перевірити результати. Як зазначено, ви повинні$x=0$ розраховувати на вирішення початкової нерівності, а це не$x=5$ повинно.

Таблиця$\PageIndex{3}$
Перевірити$x=0$	Перевірити$x=5$
\ (x = 0\) "> $\begin{array} { r } { 5 ( \color{Cerulean}{0}\color{Black}{ )} + 7 < 22 } \\ { 7 < 22 }\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{array}$	\ (x = 5\) "> $\begin{array} { r } { 5 ( \color{Cerulean}{5}\color{Black}{ )} + 7 < 22 } \\ { 25 + 7 < 22 } \\ { 32 < 22 } \:\:\color{red}{✗} \end{array}$

Перевірка таким чином дає нам хороший показник того, що ми правильно вирішили нерівність.

Ми можемо висловити це рішення двома способами: використовуючи множинні позначення та інтервальні позначення.

$\begin{array} { r } { \{ x | x < 3 \} } &\color{Cerulean}{Set\: notation} \\ { ( - \infty , 3 ) } &\color{Cerulean}{Interval\: notation} \end{array}$

У цьому тексті ми виберемо подання відповідей за допомогою інтервальних позначень.

Відповідь

$(−∞, 3) $

При роботі з лінійними нерівностями застосовується інше правило при множенні або діленні на від'ємне число. Щоб проілюструвати проблему, розглянемо істинне твердження$10 > −5$ і розділіть обидві сторони на$−5$.

$\begin{array} { l } { 10 > - 5 } \\ { \frac { 10 } { \color{Cerulean}{- 5} } \color{Black}{>} \frac { - 5 } { \color{Cerulean}{- 5} } } \quad \color{Cerulean}{Divide\: both\: sides\: by\: -5.} \\ { - 2 \color{red}{>}\color{Black}{ 1} \quad \color{red}{✗} \color{Cerulean}{ False } } \end{array}$

Поділ на$−5$ призводить до помилкового твердження. Щоб зберегти справжнє твердження, нерівність повинна бути зворотна.

$\begin{array} { l } { 10 \color{OliveGreen}{>}\color{Black}{ - 5} } \\ { \frac { 10 } { \color{Cerulean}{- 5} } \color{Black}{<} \frac { - 5 } { \color{Cerulean}{- 5} } } \quad \color{Cerulean}{Reverse\: the\: inequality.} \\ { - 2 \color{OliveGreen}{<}\color{Black}{ 1} \quad \color{Cerulean}{✓} \color{Cerulean}{ True } } \end{array}$

Така ж проблема виникає при множенні на від'ємне число. Це призводить до наступного нового правила: при множенні або діленні на від'ємне число зворотне нерівність. Це легко забути, тому особливо уважно стежте за негативними коефіцієнтами. Загалом, задані алгебраїчні вирази$A$ і$B$, де$c$ додатне ненульове дійсне число, ми маємо такі властивості нерівностей ¹⁴⁰:

Таблиця$\PageIndex{4}$
Додаткова властивість нерівностей:	Якщо$A<B$ тоді,$A \color{Cerulean}{+c}\:\color{Black}{<}\:B\color{Cerulean}{+c}$
Властивість віднімання нерівностей:	Якщо$A<B$ тоді,$A \color{Cerulean}{-c}\:\color{Black}{<}\:B\color{Cerulean}{-c}$
Властивість множення нерівностей:	Якщо$A<B$, то$\color{Cerulean}{c}\color{Black}{A}\:<\:\color{Cerulean}{c}\color{Cerulean}\color{Black}{B}$ Якщо$A<B$, то$\color{Cerulean}{-c}\color{Black}{A}\:\color{OliveGreen}{>}\:\color{Cerulean}{-c}\color{Cerulean}\color{Black}{B}$
Поділ властивості нерівностей:	Якщо$A<B$, то$\frac{A}{\color{Cerulean}{c}}\color{Black}{<}\frac{B}{\color{Cerulean}{c}}$ Якщо$A<B$, то$\frac{A}{\color{Cerulean}{-c}}\color{OliveGreen}{>}\frac{\color{Black}{B}}{\color{Cerulean}{-c}}$

Ми використовуємо ці властивості для отримання еквівалентної нерівності ¹⁴¹, одного з тим же набором розв'язків, де змінна ізольована. Процес схожий на рішення лінійних рівнянь.

Приклад$\PageIndex{3}$:

Розв'яжіть та графуйте набір рішень:$−2(x+8)+6≥20$.

Рішення

$\begin{aligned} - 2 ( x + 8 ) + 6 & \geq 20 \quad\color{Cerulean}{Distribute.} \\ - 2 x - 16 + 6 & \geq 20 \quad\color{Cerulean}{Combine\: like\: terms.} \\ - 2 x - 10 & \geq 20 \quad\color{Cerulean}{Solve\: for\: x.} \\ - 2 x & \geq 30 \quad\color{Cerulean}{Divide\: both\: sides\: by\: -2.} \\ \frac { - 2 x } { \color{Cerulean}{- 2} } & \color{OliveGreen}{\leq} \frac { \color{Black}{30} } { \color{Cerulean}{- 2} } \quad\color{Cerulean}{Reverse\: the\: inequality.} \\ x & \leq - 15 \end{aligned}$

Відповідь:

Інтервальні позначення$(−∞, −15] $

Приклад$\PageIndex{4}$:

Розв'яжіть та графуйте набір рішень:$−2(4x−5)<9−2(x−2)$.

Рішення

$\begin{array} { c } { - 2 ( 4 x - 5 ) < 9 - 2 ( x - 2 ) } \\ { - 8 x + 10 < 9 - 2 x + 4 } \\ { - 8 x + 10 < 13 - 2 x } \\ { - 6 x < 3 } \\ { \frac { - 6 x } { \color{Cerulean}{- 6} } \color{OliveGreen}{>} \frac { \color{Black}{3} } { \color{Cerulean}{- 6} } }\color{Cerulean}{Reverse\:the\:inequality.} \\ { x > - \frac { 1 } { 2 } } \end{array}$

Відповідь:

Інтервальні позначення$(−\frac{1}{2}, ∞)$

Приклад$\PageIndex{5}$:

Розв'яжіть та графуйте набір рішень:$\frac{1}{2}x−2≥\frac{1}{2}(\frac{7}{4}x−9)+1$.

Рішення

$\begin{array} { c } { \frac { 1 } { 2 } x - 2 \geq \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 7 } { 4 } x - 9 \right) + 1 } \\ { \frac { 1 } { 2 } x - 2 \geq \frac { 7 } { 8 } x - \frac { 9 } { 2 } + 1 } \\ { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 7 } { 8 } x \geq - \frac { 7 } { 2 } + 2 } \\ { - \frac { 3 } { 8 } x \geq - \frac { 3 } { 2 } } \\ { \left( \color{Cerulean}{- \frac { 8 } { 3 }} \right) \left(\color{Black}{ - \frac { 3 } { 8 } x} \right) \leq \left( \color{Cerulean}{- \frac { 8 } { 3 }} \right) \left( \color{Black}{-} \frac { 3 } { 2 } \right) \quad \color{Cerulean} { Reverse\: the\: inequality. } } \\ { x \leq 4 } \end{array}$

Відповідь:

Інтервальні позначення:$(−∞, 4]$

Вправа$\PageIndex{1}$

Розв'яжіть та графуйте набір рішень:$10 - 5 ( 2 x + 3 ) \leq 25$

Відповідь

$[ - 3 , \infty )$;

www.youtube.com/В/КоллнтВіФМ8

Складні нерівності

Нижче наведено кілька прикладів складних лінійних нерівностей:

Таблиця$\PageIndex{5}$
$- 13 < 3 x - 7 < 17$	$4 x + 5 \leq - 15 \text { or } 6 x - 11 > 7$

Ці складні нерівності ¹⁴² насправді є двома нерівностями в одному твердженні, з'єднаних словом і/або словом або. Наприклад,

$- 13 < 3 x - 7 < 17$

це складна нерівність, оскільки вона може бути розкладена наступним чином:

$- 13 < 3 x - 7 \text { and } 3 x - 7 < 17$

Ми можемо розв'язати кожну нерівність окремо; перетин двох множин розв'язків вирішує вихідну складну нерівність. Хоча цей метод працює, є ще один метод, який зазвичай вимагає менше кроків. Застосовують властивості цього розділу до всіх трьох частин складної нерівності з метою виділення змінної в середині оператора для визначення меж множини розв'язку.

Приклад$\PageIndex{6}$:

Розв'яжіть та графуйте набір рішень:$−13<3x−7<17$.

Рішення

$\begin{array} { c } { - 13 < 3 x - 7 < 17 } \\ { - 13 \color{Cerulean}{+ 7}\color{Black}{ <} 3 x - 7 \color{Cerulean}{+ 7}\color{Black}{ <} 17 \color{Cerulean}{+ 7} } \\ { - 6 < 3 x < 24 } \\ { \frac { - 6 } { \color{Cerulean}{3} } \color{Black}{<} \frac { 3 x } { \color{Cerulean}{3} } \color{Black}{<} \frac { 24 } { \color{Cerulean}{3} } } \\ { - 2 < x < 8 } \end{array}$

Відповідь:

Інтервальні позначення:$(−2,8)$

Приклад$\PageIndex{7}$:

Розв'яжіть та графуйте набір рішень:$\frac{5}{6}≤\frac{1}{3}(\frac{1}{2}x+4)<2$.

Рішення

$\begin{array} { c } { \frac { 5 } { 6 } \leq \frac { 1 } { 3 } \left( \frac { 1 } { 2 } x + 4 \right) < 2 } \\ { \frac { 5 } { 6 } \leq \frac { 1 } { 6 } x + \frac { 4 } { 3 } < 2 } \\ { \color{Cerulean}{6}\color{Black}{ \cdot} \left( \frac { 5 } { 6 } \right) \leq \color{Cerulean}{6}\color{Black}{ \cdot} \left( \frac { 1 } { 6 } x + \frac { 4 } { 3 } \right) < \color{Cerulean}{6}\color{Black}{ \cdot} ( 2 ) } \\ { 5 \leq x + 8 < 12 } \\ { 5 \color{Cerulean}{- 8}\color{Black}{ \leq} x + 8 \color{Cerulean}{- 8}\color{Black}{ <} 12 \color{Cerulean}{- 8} } \\ { - 3 \leq x < 4 } \end{array}$

Відповідь:

Інтервальні позначення$[−3,4)$

Важливо відзначити, що при множенні або діленні всіх трьох частин складної нерівності на від'ємне число необхідно повернути назад всі нерівності в твердженні. Наприклад:

$\begin{array} { l } { - 10 < - 2 x < 20 } \\ { \frac { - 10 } { \color{Cerulean}{- 2} } \color{OliveGreen}{>} \frac { \color{Black}{- 2 x} } { \color{Cerulean}{ - 2} } \color{OliveGreen}{>} \frac { \color{Black}{20} } { \color{Cerulean}{- 2} } } \\ { 5 > x > - 10 } \end{array}$

Відповідь вище можна записати в еквівалентній формі, де менші числа лежать зліва, а більші числа лежать праворуч, так як вони з'являються на числовій лінії.

$- 10 < x < 5$

Використовуйте інтервальні позначення, напишіть:$(-10, 5)$.

Вправа$\PageIndex{2}$

Розв'яжіть та графуйте набір рішень:$−3≤−3(2x−3)<15$.

Відповідь

$(-1,2]$;

www.youtube.com/В/ФГДК

Для складних нерівностей зі словом «або» ви працюєте обидві нерівності окремо, а потім розглядаєте об'єднання множин розв'язків. Цінності в цьому союзі вирішують або нерівність.

Приклад$\PageIndex{8}$:

Розв'яжіть та графуйте набір рішень:$4x+5≤−15$ або$6x−11>7$.

Рішення

Вирішіть кожну нерівність і сформуйте об'єднання, об'єднавши множини рішень.

Таблиця$\PageIndex{6}$
$\begin{aligned} 4 x + 5 & \leq - 15 \\ 4 x & \leq - 20 \\ x & \leq - 5 \end{aligned}$	або	$\begin{array} { r } { 6 x - 11 > 7 } \\ { 6 x > 18 } \\ { x > 3 } \end{array}$

Відповідь:

Інтервальні позначення$(−∞,−5]∪(3,∞)$

Вправа$\PageIndex{3}$

Розв'яжіть та графуйте набір рішень:$5 ( x - 3 ) < - 20 \text { or } 2 ( 5 - 3 x ) < 1$.

Відповідь

$( - \infty , - 1 ) \cup \left( \frac { 3 } { 2 } , \infty \right)$

www.youtube.com/В/ХДХП 6DABL4I

Застосування лінійних нерівностей

Деякі ключові слова та фрази, які вказують на нерівності, узагальнені нижче:

Таблиця$\PageIndex{7}$
Ключові фрази	Переклад
Число - це як мінімум$5$.	$x\geq 5$
Число є$5$ або більше включно.	$x\geq 5$
Число є не більше$3$.	$x\leq 3$
Число є$3$ або менш включно.	$x\leq 3$
Число строго менше$4$.	$x<4$
Число менше$4$, не включно.	$x<4$
Число більше, ніж$7$.	$x>7$
Число більше$7$, ніж, не включено.	$x>7$
Число знаходиться між$2$ і$10$.	$2<x<10$
Число є принаймні$5$ і максимум$15$.	$5\leq x\leq 15$
Число може варіюватися від$5$ до$15$.	$5\leq x\leq 15$

Як і у всіх додатках, уважно прочитайте проблему кілька разів і шукайте ключові слова і фрази. Визначте невідомі і призначте змінні. Далі перекладіть формулювання в математичну нерівність. Нарешті, використовуйте властивості, які ви навчилися вирішувати нерівність і висловити рішення графічно або в інтервальній нотації.

Приклад$\PageIndex{9}$:

У сім$3$ разів менше суми числа і$5$ є не більше$11$. Знайти всі числа, які задовольняють цій умові.

Рішення

Спочатку виберіть змінну для невідомого числа і визначте ключові слова і фрази.

Нехай n представляють невідоме, позначене «числом».

Вирішити для п.

$\begin{aligned} 3 ( n + 5 ) - 7 & \leq 11 \\ 3 n + 15 - 7 & \leq 11 \\ 3 n + 8 & \leq 11 \\ 3 n & \leq 3 \\ n & \leq 1 \end{aligned}$

Відповідь:

Будь-яке число, менше або рівне,$1$ задовольнить твердження.

Приклад$\PageIndex{10}$:

Щоб заробити B на курсі математики, середній показник тесту повинен бути не менше$80$% і менше$90$%. Якщо студент заробив$92$$96$%,$79$%,% та$83$% на перших чотирьох тестах, що вона повинна набрати на п'ятому тесті, щоб заробити B?

Рішення

Налаштуйте складну нерівність, де середнє значення тесту становить від$80$% до$90$%. При цьому включають нижню межу,$80$.

Нехай х представляють рахунок на п'ятому тесті.

$\begin{aligned} 80\quad \leq\quad & \color{Cerulean}{ test\: average }\quad\quad\quad\quad < 90 \\ 80\quad \leq \quad & \frac { 92 + 96 + 79 + 83 + x } { 5 }<90 \\ \color{Cerulean}{5}\color{Black}{ \cdot} 80 \leq\quad & \color{Cerulean}{5}\color{Black}{ \cdot} \frac { 350 + x } { 5 } \quad\quad\quad\quad\quad<\color{Cerulean}{5}\color{Black}{\cdot} 90 \\ 400 \leq\quad & 350 + x \quad\quad\quad\quad\quad\quad\:\:\:<45 \\ 50 \leq\quad & x\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\:\:<100 \end{aligned}$

Відповідь:

Вона повинна заробити бал не менше$50$% і менше$100$%.

У попередньому прикладі верхня межа$100$% не була частиною набору розчину. Що було б, якби вона заробила$100$% на п'ятому тесті?

$\begin{aligned} \text {average} & = \frac { 92 + 96 + 79 + 83 + \color{Cerulean}{100} } {\color{Black}{ 5} } \\ & = \frac { 450 } { 5 } \\ & = 90 \end{aligned}$

Як ми бачимо, її середній показник становив би$90$%, який би заробив їй A.

Ключові винос

Нерівності зазвичай мають нескінченно багато рішень. Розв'язки представлені графічно на числовому рядку або з використанням інтервальних позначень або обох.
Все, крім одного з правил розв'язання лінійних нерівностей, такі ж, як і рішення лінійних рівнянь. Якщо розділити або помножити нерівність на від'ємне число, зворотне нерівність, щоб отримати еквівалентну нерівність.
Складні нерівності за участю слова «або» вимагають від нас вирішити кожну нерівність і сформувати об'єднання кожного набору розв'язків. Це ті значення, які вирішують хоча б одну з заданих нерівностей.
Складні нерівності за участю слова «і» вимагають перетину множин розв'язків для кожної нерівності. Це ті значення, які вирішують обидві або всі задані нерівності.
Загальні рекомендації щодо вирішення проблем слів стосуються додатків, пов'язаних з нерівностями. Будьте в курсі нового списку ключових слів і фраз, які вказують на математичну установку, що включає нерівності.

Вправа$\PageIndex{4}$

Визначте, чи є дане значення рішенням.

$5 x - 1 < - 2 ; x = - 1$
$- 3 x + 1 > - 10 ; x = 1$
$2 x - 3 < - 5 ; x = 1$
$5 x - 7 < 0 ; x = 2$
$9 y - 4 \geq 5 ; y = 1$
$- 6 y + 1 \leq 3 ; y = - 1$
$12 a + 3 \leq - 2 ; a = - \frac { 1 } { 3 }$
$25 a - 2 \leq - 22 ; a = - \frac { 4 } { 5 }$
$- 10 < 2 x - 5 < - 5 ; x = - \frac { 1 } { 2 }$
$3 x + 8 < - 2 \text { or } 4 x - 2 > 5 ; x = 2$

Відповідь

1. Так

3. Ні

5. Так

7. Ні

9. Так

Вправа$\PageIndex{5}$

Графік всіх розв'язків на числовому рядку і надайте відповідні інтервальні позначення.

$3 x + 5 > - 4$
$2 x + 1 > - 1$
$5 - 6 y < - 1$
$7 - 9 y > 43$
$6 - a \leq 6$
$- 2 a + 5 > 5$
$\frac { 5 x + 6 } { 3 } \leq 7$
$\frac { 4 x + 11 } { 6 } \leq \frac { 1 } { 2 }$
$\frac { 1 } { 2 } y + \frac { 5 } { 4 } \geq \frac { 1 } { 4 }$
$\frac { 1 } { 12 } y + \frac { 2 } { 3 } \leq \frac { 5 } { 6 }$
$2 ( 3 x + 14 ) < - 2$
$5 ( 2 y + 9 ) > - 15$
$5 - 2 ( 4 + 3 y ) \leq 45$
$- 12 + 5 ( 5 - 2 x ) < 83$
$6 ( 7 - 2 a ) + 6 a \leq 12$
$2 a + 10 ( 4 - a ) \geq 8$
$9 ( 2 t - 3 ) - 3 ( 3 t + 2 ) < 30$
$- 3 ( t - 3 ) - ( 4 - t ) > 1$
$\frac { 1 } { 2 } ( 5 x + 4 ) + \frac { 5 } { 6 } x > - \frac { 4 } { 3 }$
$\frac { 2 } { 5 } + \frac { 1 } { 6 } ( 2 x - 3 ) \geq \frac { 1 } { 15 }$
$5 x - 2 ( x - 3 ) < 3 ( 2 x - 1 )$
$3 ( 2 x - 1 ) - 10 > 4 ( 3 x - 2 ) - 5 x$
$- 3 y \geq 3 ( y + 8 ) + 6 ( y - 1 )$
$12 \leq 4 ( y - 1 ) + 2 ( 2 y + 1 )$
$- 2 ( 5 t - 3 ) - 4 > 5 ( - 2 t + 3 )$
$- 7 ( 3 t - 4 ) > 2 ( 3 - 10 t ) - t$
$\frac { 1 } { 2 } ( x + 5 ) - \frac { 1 } { 3 } ( 2 x + 3 ) > \frac { 7 } { 6 } x + \frac { 3 } { 2 }$
$- \frac { 1 } { 3 } ( 2 x - 3 ) + \frac { 1 } { 4 } ( x - 6 ) \geq \frac { 1 } { 12 } x - \frac { 5 } { 4 }$
$4 ( 3 x + 4 ) \geq 3 ( 6 x + 5 ) - 6 x$
$1 - 4 ( 3 x + 7 ) < - 3 ( x + 9 ) - 9 x$
$6 - 3 ( 2 a - 1 ) \leq 4 ( 3 - a ) + 1$
$12 - 5 ( 2 a + 6 ) \geq 2 ( 5 - 4 a ) - a$

Відповідь

1. $( - 3 , \infty )$;

Ф малюнок 1.8.12

3. $( 1 , \infty )$;

5. $[ 0 , \infty )$;

7. $( - \infty , 3 ]$;

9. $[ - 2 , \infty )$;

11. $( - \infty , - 5 )$;

13. $[ - 8 , \infty )$;

15. $[ 5 , \infty )$;

17. $( - \infty , 7 )$;

19. $( - 1 , \infty )$;

21. $( 3 , \infty )$;

23. $\left( - \infty , - \frac { 3 } { 2 } \right]$;

25. $\emptyset$;

27. $( - \infty , 0 )$;

29. $\mathbb { R }$;

31. $[ - 2 , \infty )$;

Вправа$\PageIndex{6}$

Графік всіх розв'язків на числовому рядку і надайте відповідні інтервальні позначення.

$- 1 < 2 x + 1 < 9$
$- 4 < 5 x + 11 < 16$
$- 7 \leq 6 y - 7 \leq 17$
$- 7 \leq 3 y + 5 \leq 2$
$- 7 < \frac { 3 x + 1 } { 2 } \leq 8$
$- 1 \leq \frac { 2 x + 7 } { 3 } < 1$
$- 4 \leq 11 - 5 t < 31$
$15 < 12 - t \leq 16$
$- \frac { 1 } { 3 } \leq \frac { 1 } { 6 } a + \frac { 1 } { 3 } \leq \frac { 1 } { 2 }$
$- \frac { 1 } { 6 } < \frac { 1 } { 3 } a + \frac { 5 } { 6 } < \frac { 3 } { 2 }$
$5 x + 2 < - 3 \text { or } 7 x - 6 > 15$
$4 x + 15 \leq - 1 \text { or } 3 x - 8 \geq - 11$
$8 x - 3 \leq 1 \text { or } 6 x - 7 \geq 8$
$6 x + 1 < - 3 \text { or } 9 x - 20 > - 5$
$8 x - 7 < 1 \text { or } 4 x + 11 > 3$
$10 x - 21 < 9 \text { or } 7 x + 9 \geq 30$
$7 + 2 y < 5 \text { or } 20 - 3 y > 5$
$5 - y < 5 \text { or } 7 - 8 y \leq 23$
$15 + 2 x < - 15 \text { or } 10 - 3 x > 40$
$10 - \frac { 1 } { 3 } x \leq 5 \text { or } 5 - \frac { 1 } { 2 } x \leq 15$
$9 - 2 x \leq 15 \text { and } 5 x - 3 \leq 7$
$5 - 4 x > 1 \text { and } 15 + 2 x \geq 5$
$7 y - 18 < 17 \text { and } 2 y - 15 < 25$
$13 y + 20 \geq 7 \text { and } 8 + 15 y > 8$
$5 - 4 x \leq 9 \text { and } 3 x + 13 \leq 1$
$17 - 5 x \geq 7 \text { and } 4 x - 7 > 1$
$9 y + 20 \leq 2 \text { and } 7 y + 15 \geq 1$
$21 - 6 y \leq 3 \text { and } - 7 + 2 y \leq - 1$
$- 21 < 6 ( x - 3 ) < - 9$
$0 \leq 2 ( 2 x + 5 ) < 8$
$- 15 \leq 5 + 4 ( 2 y - 3 ) < 17$
$5 < 8 - 3 ( 3 - 2 y ) \leq 29$
$5 < 5 - 3 ( 4 + t ) < 17$
$- 3 \leq 3 - 2 ( 5 + 2 t ) \leq 21$
$- 40 < 2 ( x + 5 ) - ( 5 - x ) \leq - 10$
$- 60 \leq 5 ( x - 4 ) - 2 ( x + 5 ) \leq 15$
$- \frac { 1 } { 2 } < \frac { 1 } { 30 } ( x - 10 ) < \frac { 1 } { 3 }$
$- \frac { 1 } { 5 } \leq \frac { 1 } { 15 } ( x - 7 ) \leq \frac { 1 } { 3 }$
$- 1 \leq \frac { a + 2 ( a - 2 ) } { 5 } \leq 0$
$0 < \frac { 5 + 2 ( a - 1 ) } { 6 } < 2$

Відповідь

1. $(- 1,4 )$;

3. $[0,4]$;

5. $(−5,5]$;

7. $(−4,3]$;

9. $[−4,1]$;

11. $(−∞,−1)∪(3,∞)$;

13. $(−∞,12]∪[52,∞)$;

15. $ℝ$;

17. $(−∞,5)$;

19. $(−∞,−10)$;

21. $[−3,2]$;

23. $(−∞,5)$;

25. $Ø$;

27. $−2$;

29. $(−12,32)$;

31. $[−1,3)$;

33. $(−8,−4)$;

35. $(−15,−5]$;

37. $(−5,20)$;

39. $[−13, 43]$;

Вправа$\PageIndex{7}$

Знайти всі числа, які задовольняють заданій умові.

Три менше ніж удвічі більше суми числа і$6$ є не більше$13$.
У п'ять$3$ разів менше суми числа і$4$ є не більше$10$.
П'ять разів перевищує суму числа і$3$ становить не менше$5$.
У три рази різниця між числом і$2$ становить не менше$12$.
Сума$3$ разів на число і$8$ знаходиться між$2$ і$20$.
Вісім менше ніж в два рази число між$−20$ і$−8$.
Чотири віднімається з трьох разів деяке число між$−4$ і$14$.
Дев'ять віднімається від$5$ разів деяке число між$1$ і$11$.

Відповідь

1. $( - \infty , 2 ]$

3. $[ - 2 , \infty )$

5. $( - 2,4 )$

7. $( 0,6 )$

Вправа$\PageIndex{8}$

Налаштуйте алгебраїчну нерівність, а потім вирішуйте.

З членство в гольф-клубі, вартістю$$120$ на місяць, кожен раунд гольф коштує тільки$$35.00$. Скільки раундів гольф може член грати, якщо він хоче зберегти свої витрати$$270$ на місяць щонайбільше?
Прокат вантажівки коштує$$95$ на день плюс$$0.65$ за милю. Скільки миль можна проїхати на одноденному прокаті, щоб зберегти вартість не більше$$120$?
Марк заробив$6, 7$, і$10$$10$ бали з перших трьох вікторин. Що він повинен забити на четвертій вікторині, щоб усереднити принаймні$8$?
Джо заробив бали$78, 82, 88$ і$70$ на своїх перших чотирьох іспитах з алгебри. Що він повинен набрати на п'ятому іспиті, щоб усереднити хоча б$80$?
А гімнастка забила$13.2, 13.0, 14.3, 13.8$, причому$14.6$ на перших п'яти змаганнях. Що він повинен забити на шостій події, щоб в середньому хоча б$14.0$?
Танцівниця забила$7.5$ і$8.2$ з перших двох суддів. Який її бал від третього судді надходить так, ніби вона середня$8.4$ або вища?
Якщо два рази кут знаходиться між$180$ градусами і$270$ градусами, то які межі початкового кута?
Периметр квадрата повинен бути між$120$ дюймами і$460$ дюймами. Знайдіть довжину всіх можливих сторін, які задовольняють цій умові.
Комп'ютер буде вимкнено, якщо температура перевищує$45$° C. Дайте еквівалентну інструкцію, використовуючи градуси за Фаренгейтом. Підказка:$C = \frac{5}{9} (F − 32)$.
Певний антифриз ефективний для температурного діапазону від$−35$$120$ °C до °С, знайти еквівалентний діапазон у градусах Фаренгейта.

Відповідь

1. Учасники можуть грати$4$ раунди або менше.

3. Марк повинен заробити не менше$9$ очок на четвертій вікторині.

5. Він повинен забити a$15.1$ на шостій події.

7. Кут знаходиться між$90$ градусами і$135$ градусами.

9. Комп'ютер вимкнеться, коли температура перевищить$113$° F.

Вправа$\PageIndex{9}$

Часто студенти змінюють нерівність при вирішенні$5x + 2 < −18$? Чому ви вважаєте, що це поширена помилка? Поясніть починаючому студенту алгебри, чому ми цього не робимо.
Провести веб-пошук «вирішення лінійних нерівностей». Поділіться посиланням на веб-сайт або відеоурок, який ви вважаєте корисним.
Напишіть свої власні$5$ ключові висновки для всієї цієї глави. Що ви знайшли для огляду і що ви знайшли, щоб бути новим? Поділіться своїми думками на дискусійній дошці.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

3. Відповідь може відрізнятися

Виноски

¹³⁸ Лінійні вирази, пов'язані з символами$≤, <, ≥,$ і$>$.

¹³⁹ Справжнє число, яке виробляє твердження true, коли його значення підставляється змінною.

¹⁴⁰ Властивості використовуються для отримання еквівалентних нерівностей і використовуються як засіб їх вирішення.

¹⁴¹ Нерівності, які мають однаковий набір рішень.

¹⁴² Дві або більше нерівностей в одному твердженні приєднані словом «і» або словом «або».

Ключові фрази	Переклад
Число - це як мінімум\(5\).	\(x\geq 5\)
Число є\(5\) або більше включно.	\(x\geq 5\)
Число є не більше\(3\).	\(x\leq 3\)
Число є\(3\) або менш включно.	\(x\leq 3\)
Число строго менше\(4\).	\(x<4\)
Число менше\(4\), не включно.	\(x<4\)
Число більше, ніж\(7\).	\(x>7\)
Число більше\(7\), ніж, не включено.	\(x>7\)
Число знаходиться між\(2\) і\(10\).	\(2<x<10\)
Число є принаймні\(5\) і максимум\(15\).	\(5\leq x\leq 15\)
Число може варіюватися від\(5\) до\(15\).	\(5\leq x\leq 15\)

Додаткова властивість нерівностей:	Якщо\(A<B\) тоді,\(A \color{Cerulean}{+c}\:\color{Black}{<}\:B\color{Cerulean}{+c}\)
Властивість віднімання нерівностей:	Якщо\(A<B\) тоді,\(A \color{Cerulean}{-c}\:\color{Black}{<}\:B\color{Cerulean}{-c}\)
Властивість множення нерівностей:	Якщо\(A<B\), то\(\color{Cerulean}{c}\color{Black}{A}\:<\:\color{Cerulean}{c}\color{Cerulean}\color{Black}{B}\) Якщо\(A<B\), то\(\color{Cerulean}{-c}\color{Black}{A}\:\color{OliveGreen}{>}\:\color{Cerulean}{-c}\color{Cerulean}\color{Black}{B}\)
Поділ властивості нерівностей:	Якщо\(A<B\), то\(\frac{A}{\color{Cerulean}{c}}\color{Black}{<}\frac{B}{\color{Cerulean}{c}}\) Якщо\(A<B\), то\(\frac{A}{\color{Cerulean}{-c}}\color{OliveGreen}{>}\frac{\color{Black}{B}}{\color{Cerulean}{-c}}\)