Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.6: Вирішити раціональні рівнян

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    58876

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання

    До кінця цього розділу ви зможете:

    • Розв'язувати раціональні рівнян
    • Розв'яжіть раціональне рівняння для конкретної змінної
    Примітка

    Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

    Якщо ви пропустили якусь проблему, поверніться до переліченого розділу і перегляньте матеріал.

    1. Вирішити:\(\frac{1}{6}x+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\).
      Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправа 2.5.1.
    2. Вирішити:\(n^2−5n−36=0\).
      Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправа 7.6.13.
    3. Вирішіть для y з точки зору x: 5x+2y=10 для y
      Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправу 2.6.22.

    Визначивши терміни вираження та рівняння на початку основ, ми використовували їх у цій книзі. Ми спростили багато видів виразів і розв'язали багато видів рівнянь. Ми спростили багато раціональних виразів досі в цьому розділі. Тепер будемо вирішувати раціональні рівняння.

    Визначення раціонального рівняння аналогічно визначенню рівняння, яке ми використовували в Фундаментах.

    визначення: РАЦІОНАЛЬНЕ РІВНЯННЯ

    Раціональне рівняння - це два раціональних вирази, з'єднаних знаком рівності.

    Ви повинні обов'язково знати різницю між раціональними виразами та раціональними рівняннями. Рівняння містить знак рівності.

    \[\begin{array}{cc} {\textbf{Rational Expression}}&{\textbf{Rational Equation}}\\ {\frac{1}{8}x+\frac{1}{2}}&{\frac{1}{8}x+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}}\\ {\frac{y+6}{y^2−36}}&{\frac{y+6}{y^2−36}=y+1}\\ {\frac{1}{n−3}+\frac{1}{n+4}}&{\frac{1}{n−3}+\frac{1}{n+4}=\frac{15}{n^2+n−12}}\\ \nonumber \end{array}\]

    Розв'язувати раціональні рівнян

    Ми вже розв'язали лінійні рівняння, які містили дроби. Ми знайшли РК всіх дробів у рівнянні, а потім помножили обидві сторони рівняння на РК, щоб «очистити» дроби.

    Ось приклад, який ми робили, коли працювали з лінійними рівняннями:

      . .
    Обидві сторони ми помножили на РК-дисплей. .  
    Потім ми розподілили. .  
    Ми спростили - і тоді у нас було рівняння без дробів. .  
    Нарешті, ми вирішили це рівняння. .  
      .  

    Ми будемо використовувати ту ж стратегію для вирішення раціональних рівнянь. Ми помножимо обидві сторони рівняння на РК-дисплей. Тоді у нас буде рівняння, яке не містить раціональних виразів і, таким чином, нам набагато простіше вирішити.

    Але тому, що вихідне рівняння може мати змінну в знаменнику ми повинні бути обережні, що ми не в кінцевому підсумку з рішення, яке б зробити знаменник дорівнює нулю.

    Отже, перш ніж ми почнемо розв'язувати раціональне рівняння, ми досліджуємо його спочатку, щоб знайти значення, які б зробити будь-які знаменники нуль. Таким чином, коли ми вирішимо раціональне рівняння, ми дізнаємось, чи є алгебраїчні рішення, які ми повинні відкинути.

    Алгебраїчне рішення раціонального рівняння, яке призвело б до невизначеного будь-якого з раціональних виразів, називається стороннім рішенням.

    Означення: СТОРОННІЙ РОЗВ'ЯЗОК РАЦІОНАЛЬНОГО РІВНЯННЯ

    Стороннє рішення раціонального рівняння - це алгебраїчне рішення, яке призведе до того, що будь-яке з виразів у вихідному рівнянні буде невизначено.

    Відзначимо будь-які можливі сторонні рішення, в, шляхом написання\(x \ne c\) next to the equation.

    Як розв'язувати рівняння з раціональними виразами

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Вирішити:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}\).

    Відповідь

    Наведене вище зображення має 3 колонки. Він показує кроки для пошуку стороннього розв'язку раціонального рівняння для прикладу 1, поділене на x плюс одна третина дорівнює п'ятишостим. Крок перший - відзначити будь-яке значення змінної, яке зробить будь-який знаменник нулем. Якщо х дорівнює 0, то я ділиться на х не визначено. Таким чином, ми напишемо х розділений нуль поруч з рівнянням, щоб отримати 1 ділиться на х плюс одна третина дорівнює п'ять-шостих разів х ділиться на нуль.Крок другий полягає в тому, щоб знайти найменш спільний знаменник усіх знаменників у рівнянні. Знайдіть РК-дисплей 1, розділений на х одну третину, і п'ять шостих. Х дорівнює 6 х.Крок третій полягає в очищенні дробів шляхом множення обох сторін рівняння на РК-дисплей. Помножте обидві сторони рівняння на РК-дисплей, 6 х, щоб отримати 6 разів 1 ділиться на х плюс одна третина дорівнює 6 х разів на п'ять шостих. Використовуйте розподільну властивість, щоб отримати 6 х разів 1 розділений на х плюс 6 х разів одна третина дорівнює 6 х разів п'ять шостих. Спростити - і зверніть увагу, немає більше дробів, і у нас є 6 плюс 2 х дорівнює 5 х.Крок 4 полягає в вирішенні отриманого рівняння. Спростити, щоб отримати 6 дорівнює 3 х і 2 дорівнює х.Крок 5 - перевірка. Якщо будь-які значення, знайдені на кроці 1, є алгебраїчними розв'язками, відкиньте їх. Перевірте всі залишки розв'язків у вихідному рівнянні. Ми не отримали 0 як алгебраїчне рішення. Ми підставляємо х дорівнює 2 у вихідне рівняння, щоб отримати половину плюс одна третина дорівнює п'яти-шостим, потім три шості плюс дві шісті дорівнює п'яти-шостим і, нарешті, п'ять шостих дорівнює п'яти-шостим.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Вирішити:\(\frac{1}{y}+\frac{2}{3}=\frac{1}{5}\).

    Відповідь

    \(−\frac{15}{7}\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Вирішити:\(\frac{2}{3}+\frac{1}{5}=\frac{1}{x}\).

    Відповідь

    \(\frac{15}{13}\)

    Етапи цього методу наведені нижче.

    Означення: РОЗВ'ЯЗУЙТЕ РІВНЯННЯ З РАЦІОНАЛЬНИМИ ВИ
    1. Зверніть увагу на будь-яке значення змінної, яке зробить будь-який знаменник нулем.
    2. Знайдіть найменш спільний знаменник усіх знаменників у рівнянні.
    3. Очистіть дроби, помноживши обидві сторони рівняння на РК-дисплей.
    4. Вирішити отримане рівняння.
    5. Перевірте.
      • Якщо будь-які значення, знайдені на кроці 1, є алгебраїчними розв'язками, відкиньте їх.
      • Перевірте всі залишки розв'язків у вихідному рівнянні.

    Ми завжди починаємо з того, що відзначаємо значення, які призведуть до того, що будь-які знаменники будуть нульовими.

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Вирішити:\(1−\frac{5}{y}=−\frac{6}{y^2}\).

    Відповідь
      .
    Зверніть увагу на будь-яке значення змінної, яке зробить будь-який знаменник нулем. .
    Знайдіть найменш спільний знаменник усіх знаменників у рівнянні. РК-дисплей є\(y^2\)  
    Очистіть дроби, помноживши обидві сторони рівняння на РК-дисплей. .
    Розподілити. .
    Помножити. .
    Вирішити отримане рівняння. Спочатку запишіть квадратне рівняння в стандартному вигляді. .
    Фактор. .
    Використовуйте властивість нульового продукту. .
    Вирішити. .
    Перевірте.  
    Ми не отримали 0 як алгебраїчне рішення.  
    .  
    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    Вирішити:\(1−\frac{2}{a}=\frac{15}{a^2}\).

    Відповідь

    5, −3

    Приклад\(\PageIndex{6}\)

    Вирішити:\(1−\frac{4}{b}=\frac{12}{b^2}\).

    Відповідь

    6, −2

    Приклад\(\PageIndex{7}\)

    Вирішити:\(\frac{5}{3u−2}=\frac{3}{2u}\).

    Відповідь
      .
    Зверніть увагу на будь-яке значення змінної, яке зробить будь-який знаменник нулем. .
    Знайдіть найменш спільний знаменник усіх знаменників у рівнянні. РК-дисплей - 2u (3u−2).  
    Очистіть дроби, помноживши обидві сторони рівняння на РК-дисплей. .
    Видаліть загальні фактори. .
    Спростити. .
    Помножити. .
    Вирішити отримане рівняння. .
    Ми не отримали 0 або\(\frac{2}{3}\) як алгебраїчні розв'язки.  
    .  
    Приклад\(\PageIndex{8}\)

    Вирішити:\(\frac{1}{x−1}=\frac{2}{3x}\).

    Відповідь

    −2

    Приклад\(\PageIndex{9}\)

    Вирішити:\(\frac{3}{5n+1}=\frac{2}{3n}\).

    Відповідь

    −2

    Коли один із знаменників є квадратичним, не забудьте спочатку вразити його, щоб знайти РК-дисплей.

    Приклад\(\PageIndex{10}\)

    Вирішити:\(\frac{2}{p+2}+\frac{4}{p−2}=\frac{p−1}{p^2−4}\).

    Відповідь
      .
    Зверніть увагу на будь-яке значення змінної, яке зробить будь-який знаменник нулем. .
    Знайдіть найменш спільний знаменник усіх знаменників у рівнянні. РК-дисплей (p+2) (p−2).  
    Очистіть дроби, помноживши обидві сторони рівняння на РК-дисплей. .
    Розподілити. .
    Видаліть загальні фактори. .
    Спростити. .
    Розподілити. .
    Вирішити. .
      .
      .
    Ми не отримали 2 або −2 як алгебраїчні розв'язки.  
    .  
    Приклад\(\PageIndex{11}\)

    Вирішити:\(\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x−1}=\frac{1}{x^2−1}\).

    Відповідь

    \(\frac{2}{3}\)

    Приклад\(\PageIndex{12}\)

    Вирішити:\(\frac{5}{y+3}+\frac{2}{y−3}=\frac{5}{y^2−9}\)

    Відповідь

    2

    Приклад\(\PageIndex{13}\)

    Вирішити:\(\frac{4}{q−4}−\frac{3}{q−3}=1\).

    Відповідь
      .
    Зверніть увагу на будь-яке значення змінної, яке зробить будь-який знаменник нулем. .
    Знайдіть найменш спільний знаменник усіх знаменників у рівнянні. РК-дисплей має значення (q−4) (q−3).  
    Очистіть дроби, помноживши обидві сторони рівняння на РК-дисплей. .
    Розподілити. .
    Видаліть загальні фактори. .
    Спростити. .
    Спростити. .
    Поєднуйте подібні терміни. .
    Вирішити. Спочатку пишіть в стандартній формі. .
    Фактор. .
    Використовуйте властивість нульового продукту. .
    Ми не отримали 4 або 3 як алгебраїчні розв'язки.  
    .  
    Приклад\(\PageIndex{14}\)

    Вирішити:\(\frac{2}{x+5}−\frac{1}{x−1}=1\).

    Відповідь

    −1, −2

    Приклад\(\PageIndex{15}\)

    Вирішити:\(\frac{3}{x+8}−\frac{2}{x−2}=1\).

    Відповідь

    −2, −3

    Приклад\(\PageIndex{16}\)

    Вирішити:\(\frac{m+11}{m^2−5m+4}=\frac{5}{m−4}−\frac{3}{m−1}\).

    Відповідь
      .
    Фактор всі знаменники, так що ми можемо відзначити будь-яке значення змінної буде зробити будь-який знаменник нуль. .
    Знайдіть найменш спільний знаменник усіх знаменників у рівнянні. РК-дисплей (m−4) (m−1)  
    Очистіть дробові дроби. .
    Розподілити. .
    Видаліть загальні фактори. .
    Спростити. .
    Вирішити отримане рівняння. .
      .
    Перевірте. Єдиним алгебраїчним рішенням було 4, але ми сказали, що 4 зробить знаменник рівним нулю. Алгебраїчний розчин - це стороннє рішення. Рішення цього рівняння немає.  
    Приклад\(\PageIndex{17}\)

    Вирішити:\(\frac{x+13}{x^2−7x+10}=\frac{6}{x−5}−\frac{4}{x−2}\).

    Відповідь

    немає рішення

    Приклад\(\PageIndex{18}\)

    Вирішити:\(\frac{y−14}{y^2+3y−4}=\frac{2}{y+4}+\frac{7}{y−1}\).

    Відповідь

    немає рішення

    Рівняння, яке ми розв'язували в прикладі, мало лише одне алгебраїчне рішення, але це було стороннє рішення. Це не залишило нам рішення рівняння. Деякі рівняння не мають розв'язку.

    Приклад\(\PageIndex{19}\)

    Вирішити:\(\frac{n}{12}+\frac{n+3}{3n}=\frac{1}{n}\).

    Відповідь
      .
    Зверніть увагу на будь-яке значення змінної, яке зробить будь-який знаменник нулем. .
    Знайдіть найменш спільний знаменник усіх знаменників у рівнянні. РК-дисплей - 12н.  
    Очистіть дроби, помноживши обидві сторони рівняння на РК-дисплей. .
    Розподілити. .
    Видаліть загальні фактори. .
    Спростити. .
    Вирішити отримане рівняння. .
      .
      .
      .
    Перевірте.  
    n=0 є стороннім рішенням.  
    .  
    Приклад\(\PageIndex{20}\)

    Вирішити:\(\frac{x}{18}+\frac{x+6}{9x}=\frac{2}{3x}\).

    Відповідь

    −2

    Приклад\(\PageIndex{21}\)

    Вирішити:\(\frac{y+5}{5y}+\frac{y}{15}=\frac{1}{y}\).

    Відповідь

    −3

    Приклад\(\PageIndex{22}\)

    Вирішити:\(\frac{y}{y+6}=\frac{72}{y^2−36}+4\).

    Відповідь
      .
    Фактор всі знаменники, так що ми можемо відзначити будь-яке значення змінної, що б зробити будь-який знаменник нуль. .
    Знайдіть найменш спільний знаменник. РК-дисплей (y−6) (y+6).  
    Очистіть дробові дроби. .
    Спростити. .
    Спростити. .
    Вирішити отримане рівняння. .
      .
      .
      .
      .
    Перевірка.  
    y=−6 є стороннім рішенням.  
    .  
    Приклад\(\PageIndex{23}\)

    Вирішити:\(\frac{x}{x+4}=\frac{32}{x^2−16}+5\).

    Відповідь

    −4, 3

    Приклад\(\PageIndex{24}\)

    Вирішити:\(\frac{y}{y+8}=\frac{128}{y^2−64}+9\).

    Відповідь

    7

    Приклад\(\PageIndex{25}\)

    Вирішити:\(\frac{x}{2x−2}−\frac{2}{3x+3}=\frac{5x^2−2x+9}{12x^2−12}\).

    Відповідь
      .
    Почнемо з факторингу всіх знаменників, щоб було простіше виявити сторонні рішення і ЖК. .
    Зверніть увагу на будь-яке значення змінної, яке зробить будь-який знаменник нулем. .
    Знайдіть найменш спільний знаменник.РК-дисплей дорівнює 12 (x−1) (x+1)
    Очистіть дробові дроби. .
    Спростити. .
    Спростити. .
    Вирішити отримане рівняння. .
      .
      .
      .
    Перевірка.  
    x=1 і x=−1 є сторонніми розв'язками.
    Рівняння не має розв'язку.    		  
    Приклад\(\PageIndex{26}\)

    Вирішити:\(\frac{y}{5y−10}−\frac{5}{3y+6}=\frac{2y^2−19y+54}{15y^2−60}\).

    Відповідь

    немає рішення

    Приклад\(\PageIndex{27}\)

    Вирішити:\(\frac{z^2}{z+8}−\frac{3}{4z−8}=\frac{3z^2−16z−68}{z^2+8z−64}\).

    Відповідь

    немає рішення

    Розв'яжіть раціональне рівняння для конкретної змінної

    Коли ми вирішували лінійні рівняння, ми навчилися вирішувати формулу для конкретної змінної. Багато формул, що використовуються в бізнесі, науці, економіці та інших сферах, використовують раціональні рівняння для моделювання зв'язку між двома або більше змінними. Зараз ми побачимо, як вирішити раціональне рівняння для конкретної змінної.

    Ми почнемо з формули, що стосується відстані, швидкості та часу. Ми використовували його багато разів раніше, але зазвичай не в такому вигляді.

    Приклад\(\PageIndex{28}\)

    Вирішити:\(\frac{D}{T}=R\) для Т.

    Відповідь
      .
    Зверніть увагу на будь-яке значення змінної, яке зробить будь-який знаменник нулем. .
    Очистіть дроби, множивши обидві сторони рівнянь на РК, Т. .
    Спростити. .
    Розділіть обидві сторони на R, щоб виділити T. .
    Спростити. .
    Приклад\(\PageIndex{29}\)

    Вирішити:\(\frac{A}{L}=W\) для Л.

    Відповідь

    \(L=\frac{A}{W}\)

    Приклад\(\PageIndex{30}\)

    Вирішити:\(\frac{F}{A}=M\) для А.

    Відповідь

    \(A=\frac{F}{M}\)

    Приклад використовує формулу нахилу, яку ми використовували, щоб отримати точку-нахил форми рівняння прямої.

    Приклад\(\PageIndex{31}\)

    Вирішити:\(m=\frac{x−2}{y−3}\) для y.

    Відповідь
      .
    Зверніть увагу на будь-яке значення змінної, яке зробить будь-який знаменник нулем. .
    Очистіть дроби, множивши обидві сторони рівнянь на LCD, y−3. .
    Спростити. .
    Виділяють термін з y. .
    Розділіть обидві сторони на m, щоб виділити y. .
    Спростити. .
    Приклад\(\PageIndex{32}\)

    Вирішити:\(\frac{y−2}{x+1}=\frac{2}{3}\) для х.

    Відповідь

    \(x=\frac{3y−8}{2}\)

    Приклад\(\PageIndex{33}\)

    Вирішити:\(x=\frac{y}{1−y}\) для y.

    Відповідь

    \(y=\frac{x}{1+x}\)

    Обов'язково виконайте всі кроки в прикладі. Це може виглядати як дуже проста формула, але ми не можемо вирішити її миттєво для будь-якого знаменника.

    Приклад\(\PageIndex{34}\)

    Вирішити\(\frac{1}{c}+\frac{1}{m}=1\) для c.

    Відповідь
      .
    Зверніть увагу на будь-яке значення змінної, яке зробить будь-який знаменник нулем. .
    Очистіть дроби, множивши обидві сторони рівнянь на РК, см .
    Розподілити. .
    Спростити. .
    Зберіть терміни з c праворуч. .
    Фактор виразу праворуч. .
    Щоб виділити c, розділіть обидві сторони на m−1. .
    Спрощення шляхом видалення загальних факторів. .

    Зверніть увагу, що навіть якщо ми виключили c = 0 і m = 0 з вихідного рівняння, ми також повинні тепер стверджувати, що\(m \ne 1\).

    Приклад\(\PageIndex{35}\)

    Вирішити:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=c\) для.

    Відповідь

    \(a=\frac{b}{cb−1}\)

    Приклад\(\PageIndex{36}\)

    Вирішити:\(\frac{2}{x}+\frac{1}{3}=\frac{1}{y}\) для y.

    Відповідь

    \(y=\frac{3x}{6+x}\)

    Ключові концепції

    • Стратегія розв'язання рівнянь з раціональними виразами
      1. Зверніть увагу на будь-яке значення змінної, яке зробить будь-який знаменник нулем.
      2. Знайдіть найменш спільний знаменник усіх знаменників у рівнянні.
      3. Очистіть дроби, помноживши обидві сторони рівняння на РК-дисплей.
      4. Вирішити отримане рівняння.
      5. Перевірка.
      • Якщо будь-які значення, знайдені на кроці 1, є алгебраїчними розв'язками, відкиньте їх.
      • Перевірте всі залишки розв'язків у вихідному рівнянні.

    Глосарій

    раціональне рівняння
    Раціональне рівняння - це два раціональних вирази, з'єднаних знаком рівності.
    стороннє рішення раціонального рівняння
    Стороннє рішення раціонального рівняння - це алгебраїчне рішення, яке призведе до того, що будь-яке з виразів у вихідному рівнянні буде невизначено.