Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.5: Спрощення складних раціональних виразів

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    58894

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання

    До кінця цього розділу ви зможете:

    • Спростіть складне раціональне вираз, написавши його як поділ
    • Спростіть складне раціональне вираження за допомогою РК-дисплея
    Примітка

    Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

    Якщо ви пропустили якусь проблему, поверніться до переліченого розділу і перегляньте матеріал.

    1. Спростити:\(\frac{\frac{3}{5}}{\frac{9}{10}}\).
      Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправа 1.6.25.
    2. Спростити:\(\frac{1−\frac{1}{3}}{4^2+4·5}\).
      Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправа 1.6.31.

    Складні дроби - це дроби, в яких чисельник або знаменник містить дріб. У главі 1 ми спростили такі складні дроби:

    \[\begin{array}{cc} {\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}}}&{\frac{\frac{x}{2}}{\frac{xy}{6}}}\\ \nonumber \end{array}\]

    У цьому розділі ми спростимо складні раціональні вирази, які представляють собою раціональні вирази з раціональними виразами в чисельнику або знаменнику.

    Визначення: СКЛАДНИЙ РАЦІОНАЛЬНИЙ ВИРАЗ

    Складне раціональне вираз - це раціональний вираз, в якому чисельник або знаменник містить раціональний вираз.

    Ось кілька складних раціональних виразів:

    \(\frac{\frac{4}{y−3}}{\frac{8}{y^2−9}}\)

    \(\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{x}{y}−\frac{y}{x}}\)

    \(\frac{\frac{2}{x+6}}{\frac{4}{x−6}−\frac{4}{x^2−36}}\)
    Пам'ятайте, ми завжди виключаємо значення, які зробили б будь-який знаменник нулем.

    Ми будемо використовувати два методи для спрощення складних раціональних виразів.

    Спростіть складний раціональний вираз, написавши його як поділ

    Ми вже бачили цей складний раціональний вираз раніше в цьому розділі.

    \(\frac{\frac{6x^2−7x+2}{4x−8}}{\frac{2x^2−8x+3}{x^2−5x+6}}\)

    Ми відмітили, що бруски фракції говорять нам ділити, тому переписали це як проблему поділу

    \((\frac{6x^2−7x+2}{4x−8})÷(\frac{2x^2−8x+3}{x^2−5x+6})\)

    Потім ми помножили перший раціональний вираз на зворотне другого, так само, як ми робимо при діленні двох дробів.

    Це один із способів спрощення раціональних виразів. Ми пишемо його так, ніби ми ділимо два дроби.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    \(\frac{\frac{4}{y−3}}{\frac{8}{y^2−9}}\).

    Відповідь
      \(\frac{\frac{4}{y−3}}{\frac{8}{y^2−9}}\)
    Перепишіть складний дріб як ділення. \(\frac{4}{y−3}÷\frac{8}{y^2−9}\)
    Перепишіть як твір першого разу зворотного другого. \(\frac{4}{y−3}·\frac{y^2−9}{8}\)
    Помножити. \(\frac{4(y^2−9)}{8(y−3)}\)
    Фактор, щоб шукати загальні фактори. \(\frac{4(y−3)(y+3)}{8(y−3)}\)
    Спростити. \(\frac{y+3}{2}\)

    Чи є значення y, які не повинні бути дозволені? Спрощений раціональний вираз має просто константу в знаменнику. Але оригінальний складний раціональний вираз мав знаменники y−3 і\(y^2−9\). Цей вираз буде невизначено, якщо y=3 або y=−3

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    \(\frac{\frac{2}{x^2−1}}{\frac{3}{x+1}}\).

    Відповідь

    \(\frac{2}{3(x−1)}\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    \(\frac{\frac{1}{x^2−7x+12}}{\frac{2}{x−4}}\).

    Відповідь

    \(\frac{1}{2(x−3)}\)

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    \(\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}−\frac{1}{3}}\).

    Відповідь
      .
    Спростити чисельник і знаменник.  
    Знайдіть РК-дисплей і додайте дроби в чисельнику.
    Знайдіть РК-дисплей і додайте дроби в знаменник.    		 .
    Спростити чисельник і знаменник. .
    Спростити чисельник і знаменник, знову ж таки. .
    Перепишіть складний раціональний вираз як задачу поділу. .
    Перші рази множте на зворотний другий. .
    Спростити. .
    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    \(\frac{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}+\frac{1}{12}}\).

    Відповідь

    \(\frac{14}{11}\)

    Приклад\(\PageIndex{6}\)

    \(\frac{\frac{3}{4}−\frac{1}{3}}{\frac{1}{8}+\frac{5}{6}}\).

    Відповідь

    \(\frac{10}{23}\)

    Як спростити складний раціональний вираз, написавши його як поділ

    Приклад\(\PageIndex{7}\)

    \(\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{x}{y}−\frac{y}{x}}\).

    Відповідь

    Наведене вище зображення має три колонки. На зображенні показані кроки щодо того, як розділити складні раціональні вирази на три етапи. Крок перший - спростити чисельник і знаменник. Спростимо суму в чисельнику і різницю в знаменнику для прикладу 1 ділиться на х плюс 1 ділиться на y ділиться на х ділиться на х ділиться на y мінус y ділиться на x. знайти спільний знаменник і скласти дроби в чисельнику і знайти спільний знаменник і відняти дроби в чисельнику щоб отримати 1 раз у розділений на х разів у плюс 1 раз х розділений на y раз х розділений на х раз х розділений на х разів х розділений на y раз мінус у раз у ділиться на х раз у, потім, ми отримуємо y розділений на х у плюс х х у розділений на х у квадраті розділений на х у мінус у квадраті розділений на х у, тепер у нас є лише один раціональний вираз в чисельник і один в знаменнику, у плюс х ділиться на x y ділиться на x у квадраті мінус y в квадраті ділиться на x y.Крок другий - переписати складний раціональний вираз як задачу поділу. Пишемо чисельник, розділений на знаменник.Крок третій - розділити вирази. Помножте перший на зворотний другий, щоб отримати y плюс х розділений на x y раз x y, розділений на x у квадраті мінус y в квадраті. Фактор будь-яких виразів, якщо це можливо. Тепер у нас є х у раз у плюс х розділений на х у раз х мінус у раз х плюс у Видалити загальні фактори. Викреслюємо x, y та y плюс х з чисельника. Викреслюють x, y і x плюс y від знаменника. Спростити, щоб отримати 1 ділиться на x мінус y.

    Приклад\(\PageIndex{8}\)

    \(\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{1}{x}−\frac{1}{y}}\).

    Відповідь

    \(\frac{y+x}{y−x}\)

    Приклад\(\PageIndex{9}\)

    \(\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{\frac{1}{a^2}−\frac{1}{b^2}}\).

    Відповідь

    \(\frac{ab}{b−a}\)

    Означення: СПРОСТІТЬ СКЛАДНИЙ РАЦІОНАЛЬНИЙ ВИРАЗ, ЗАПИСАВШИ ЙОГО ЯК ПОДІЛ.
    1. Спростити чисельник і знаменник.
    2. Перепишіть складний раціональний вираз як задачу поділу.
    3. Розділіть вирази.
    Приклад\(\PageIndex{10}\)

    \(\frac{n−\frac{4n}{n+5}}{\frac{1}{n+5}+\frac{1}{n−5}}\)

    Відповідь
      .
    Спростити чисельник і знаменник.  
    Знайдіть РК-дисплей і додайте дроби в чисельнику.
    Знайдіть РК-дисплей і додайте дроби в знаменник.    		 .
    Спростити чисельники. .

    Відніміть раціональні вирази в чисельнику і додайте в знаменник.    		 .
    Перепишіть як поділ дробу. .
    Перші рази множте на зворотний другий. .
    Фактор будь-яких виразів, якщо це можливо. .
    Видаліть загальні фактори. .
    Спростити. .
    Приклад\(\PageIndex{11}\)

    \(\frac{b−\frac{3b}{b+5}}{\frac{2}{b+5}+\frac{1}{b−5}}\).

    Відповідь

    б (b+2)

    Приклад\(\PageIndex{12}\)

    \(\frac{1−\frac{3}{c+4}}{\frac{1}{c+4}+\frac{c}{3}}\).

    Відповідь

    3с+3

    Спрощення складного раціонального виразу за допомогою РК-дисплея

    Ми «очистили» дроби множенням на РК, коли ми вирішували рівняння з дробами. Ми можемо використовувати цю стратегію тут, щоб спростити складні раціональні вирази. Помножимо чисельник і знаменник на РК всіх раціональних виразів.

    Давайте розглянемо складний раціональний вираз, який ми спростили одним способом у прикладі. Спростимо тут, помноживши чисельник і знаменник на РК. Коли ми\(\frac{LCD}{LCD}\) множимо на ми множимо на 1, тому значення залишається однаковим.

    Приклад\(\PageIndex{13}\)

    Спростити:\(\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}−\frac{1}{3}}\).

    Відповідь
      .
    РК-дисплей всіх дробів у всьому виразі дорівнює 6.  
    Очистіть дроби, помноживши чисельник і знаменник на цей РК-дисплей. .
    Розподілити. .
    Спростити. .
      .
      .
    Приклад\(\PageIndex{14}\)

    Спростити:\(\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{5}}{\frac{1}{10}+\frac{1}{5}}\).

    Відповідь

    \(\frac{7}{3}\)

    Приклад\(\PageIndex{15}\)

    Спростити:\(\frac{\frac{1}{4}+\frac{3}{8}}{\frac{1}{2}−\frac{5}{16}}\).

    Відповідь

    \(\frac{7}{3}\)

    Як спростити складне раціональне вираження за допомогою РК-дисплея

    Приклад\(\PageIndex{16}\)

    Спростити:\(\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{x}{y}−\frac{y}{x}}\).

    Відповідь

    Наведене вище зображення має 3 колонки. Він показує кроки щодо спрощення складного раціонального виразу за допомогою РК-дисплея для 1, розділеного на x плюс 1, розділений на y, розділений на x, розділений на y мінус y, розділений на x Першим кроком є пошук РК-дисплея всіх дробів у складному раціональному виразі. РК-дисплей всіх дробів дорівнює x y Помножте чисельник і знаменник на РК-дисплей.Крок другий полягає в тому, щоб помножити і чисельник і знаменник на x y, щоб отримати x y раз 1 ділиться на х плюс 1 ділиться на y ділиться x y раз х ділиться на y мінус y ділиться на x.Крок третій - спрощення виразу. Розподілити, щоб отримати х у разів 1 ділиться на х плюс х у раз 1 розділений у розділений на x y раз х розділений на y мінус х Y раз у розділений на х Спростити, щоб отримати y плюс х розділений на х в квадраті мінус у квадраті. Видаліть загальні фактори. Викреслюємо y плюс х в чисельнику. Викреслюємо x плюс y в чисельнику. Спростити, щоб отримати 1 ділиться на x мінус y.

    Приклад\(\PageIndex{17}\)

    Спростити:\(\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{\frac{a}{b}−\frac{b}{a}}\).

    Відповідь

    \(\frac{b+a}{a^2+b^2}\)

    Приклад\(\PageIndex{18}\)

    Спростити:\(\frac{\frac{1}{x^2}−\frac{1}{y^2}}{\frac{1}{x}−\frac{1}{y}}\).

    Відповідь

    \(\frac{y−x}{xy}\)

    Визначення: СПРОСТІТЬ СКЛАДНИЙ РАЦІОНАЛЬНИЙ ВИРАЗ ЗА ДОПОМОГОЮ РК-ДИСПЛЕЯ.
    1. Знайти РК-дисплей всіх дробів в комплексному раціональному вираженні.
    2. Помножте чисельник і знаменник на РК-дисплей.
    3. Спростити вираз.

    Обов'язково почніть з факторингу всіх знаменників, щоб ви могли знайти РК-дисплей.

    Приклад\(\PageIndex{19}\)

    Спростити:\(\frac{\frac{2}{x+6}}{\frac{4}{x−6}−\frac{4}{x^2−36}}\).

    Відповідь
      .
    Знайти РК-дисплей всіх дробів в комплексному раціональному вираженні. РК-дисплей (x+6) (x−6)  
    Помножте чисельник і знаменник на РК-дисплей. .
    Спростити вираз.  
    Розподілити в знаменнику. .
    Спростити. .
    Спростити. .
    Щоб спростити знаменник, розподіліть і комбінуйте подібні терміни. .
    Видаліть загальні фактори. .
    Спростити. .
    Зверніть увагу, що більше немає факторів, загальних для чисельника і знаменника.  
    Приклад\(\PageIndex{20}\)

    Спростити:\(\frac{\frac{3}{x+2}}{\frac{5}{x−2}−\frac{3}{x^2−4}}\).

    Відповідь

    \(\frac{3x−6}{5x+7}\)

    Приклад\(\PageIndex{21}\)

    Спростити:\(\frac{\frac{2}{x−7}−\frac{1}{x+7}}{\frac{6}{x+7}−\frac{1}{x^2−49}}\).

    Відповідь

    \(\frac{x+21}{6x+43}\)

    Приклад\(\PageIndex{22}\)

    Спростити:\(\frac{\frac{4}{m^2−7m+12}}{\frac{3}{m−3}−\frac{2}{m−4}}\).

    Відповідь
      .
    Знайти РК-дисплей всіх дробів в комплексному раціональному вираженні. РК-дисплей (m−3) (m−4)  
    Помножте чисельник і знаменник на РК-дисплей. .
    Спростити. .
    Спростити. .
    Розподілити. .
    Поєднуйте подібні терміни. .
    Приклад\(\PageIndex{23}\)

    Спростити:\(\frac{\frac{3}{x^2+7x+10}}{\frac{4}{x+2}+\frac{1}{x+5}}\).

    Відповідь

    \(\frac{3}{5x+22}\)

    Приклад\(\PageIndex{24}\)

    Спростити:\(\frac{\frac{4y}{y+5}+\frac{2}{y+6}}{\frac{3y}{y^2+11y+30}}\).

    Відповідь

    \(\frac{6y+34}{3y}\)

    Приклад\(\PageIndex{25}\)

    Спростити:\(\frac{\frac{y}{y+1}}{1+\frac{1}{y−1}}\).

    Відповідь
      .
    Знайти РК-дисплей всіх дробів в комплексному раціональному вираженні.  
    РК-дисплей (y+1) (y−1)  
    Помножте чисельник і знаменник на РК-дисплей. .
    Розподілити в знаменнику і спростити. .
    Спростити. .
    Спростіть знаменник, а чисельник залиште фактованим. .
      .
    Розмножте знаменник, і видаліть множники, спільні з чисельником. .
    Спростити. .
    Приклад\(\PageIndex{26}\)

    Спростити:\(\frac{\frac{x}{x+3}}{1+\frac{1}{x+3}}\).

    Відповідь

    \(\frac{x}{x+4}\)

    Приклад\(\PageIndex{27}\)

    Спростити:\(\frac{1+\frac{1}{x−1}}{\frac{3}{x+1}}\).

    Відповідь

    \(\frac{x(x+1)}{3(x−1)}\)

    Ключові поняття

    • Спрощення раціонального виразу шляхом написання його як поділу
      1. Спростити чисельник і знаменник.
      2. Перепишіть складний раціональний вираз як задачу поділу.
      3. Розділіть вирази.
    • Спрощення складного раціонального виразу за допомогою РК-дисплея
      1. Знайти РК-дисплей всіх дробів в комплексному раціональному вираженні.
      2. Помножте чисельник і знаменник на РК-дисплей.
      3. Спростити вираз.

    Глосарій

    складне раціональне вираження
    Складне раціональне вираз - це раціональний вираз, в якому чисельник або знаменник містить раціональний вираз.