8.1: Спрощення раціональних виразів
- Page ID
- 58911
До кінця цього розділу ви зможете:
- Визначте значення, для яких раціональний вираз невизначений
- Оцінити раціональні вирази
- Спрощення раціональних виразів
- Спрощення раціональних виразів за допомогою протилежних
Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.
Якщо ви пропустили якусь проблему, поверніться до переліченого розділу і перегляньте матеріал.
- Спростити:\(\frac{90y}{15y^2}\).
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання]. - Фактор:\(6x^2−7x+2\).
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання]. - Фактор:\(n^3+8\).
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання].
У главі 1 ми розглянули властивості дробів та їх операції. Ми ввели раціональні числа, які є просто дробами, де чисельники і знаменники є цілими числами, а знаменник не дорівнює нулю.
У цьому розділі ми будемо працювати з дробами, чиї чисельники і знаменники є поліномами. Ми називаємо ці раціональні вирази.
Раціональний вираз - це вираз виду\(\frac{p(x)}{q(x)}\), де p і q - многочлени і\(q \ne 0\).
Ось кілька прикладів раціональних виразів:
\[\begin{array}{cccc} {−\frac{13}{42}}&{\frac{7y}{8z}}&{\frac{5x+2}{x^2−7}}&{\frac{4x^2+3x−1}{2x−8}}\\ \nonumber \end{array}\]
Зверніть увагу, що перший раціональний вираз, перерахований вище\(−\frac{13}{42}\), - це всього лише дріб. Оскільки константа - це многочлен з нульовим ступенем, то відношення двох констант є раціональним виразом, за умови, що знаменник не дорівнює нулю.
Ми будемо виконувати ті ж операції з раціональними виразами, що і з дробами. Ми спростимо, додамо, віднімемо, множимо, ділимо і будемо використовувати їх в додатках.
Визначте значення, для яких раціональний вираз не визначено
Коли ми працюємо з числовим дробом, легко уникнути ділення на нуль, тому що ми можемо бачити число в знаменнику. Щоб уникнути ділення на нуль в раціональному вираженні, ми не повинні допускати значення змінної, яка зробить знаменник нулем.
Якщо знаменник дорівнює нулю, раціональний вираз невизначений. Чисельником раціонального виразу може бути 0, але не знаменником.
Тому, перш ніж ми почнемо будь-яку операцію з раціональним виразом, ми досліджуємо його спочатку, щоб знайти значення, які б зробити знаменник нуль. Таким чином, коли ми вирішимо раціональне рівняння, наприклад, ми дізнаємося, чи дозволені алгебраїчні розв'язки, які ми знаходимо, чи ні.
- Встановіть знаменник, рівний нулю.
- Розв'яжіть рівняння в множині реалів, якщо це можливо.
Визначте значення, для яких раціональне вираз невизначено:
- \(\frac{9y}{x}\)
- \(\frac{4b−3}{2b+5}\)
- \(\frac{x+4}{x^2+5x+6x}\)
Рішення
Вираз буде невизначено, коли знаменник дорівнює нулю.
| 1. | \(\frac{9y}{x}\) |
| Встановіть знаменник, рівний нулю. Вирішити для змінної. | х=0 |
| \(\frac{9y}{x}\)не визначено для x = 0. | |
| 2. |
\(\frac{4b−3}{2b+5}\) |
| Встановіть знаменник, рівний нулю. Вирішити для змінної. | 2б+5=0 |
| 2b=−5 | |
| \(b=−\frac{5}{2}\) | |
| \(\frac{4b−3}{2b+5}\)не визначено для\(b=−\frac{5}{2}\). | |
| 3. | \(\frac{x+4}{x^2+5x+6x}\) |
| Встановіть знаменник, рівний нулю. Вирішити для змінної. | \(x^2+5x+6x=0\) |
| \((x+2)(x+3)=0\) | |
| х+2=0 або х+3=0 | |
| x=−2 або x=−3 | |
| \(\frac{x+4}{x^2+5x+6x}\)не визначено для x=−2 або x=−3. |
Сказати, що\(\frac{x+4}{x^2+5x+6x}\) раціональний вираз не визначено для x=−2orx=−3, подібно до написання фрази «void, де заборонено» у правилах конкурсу.
Спробуйте\(\PageIndex{2}\)
Визначте значення, для яких раціональне вираз невизначено:
- \(\frac{3y}{x}\)
- \(\frac{8n−5}{3n+1}\)
- \(\frac{a+10}{a^2+4a+3a}\)
- Answer
-
- x=0
- \(n=−\frac{1}{3}\)
- a=−1, a=−3
Try It \(\PageIndex{3}\)
Визначте значення, для яких раціональне вираз невизначено:
- \(\frac{4p}{5q}\)
- \(\frac{y−1}{3y+2}\)
- \(\frac{m−5}{m^2+m−6}\)
- Відповідь
-
- q=0
- \(y=−\frac{2}{3}\)
- м = 2, м = −3
Оцінити раціональні вирази
Щоб оцінити раціональний вираз, ми підставляємо значення змінних у вираз і спрощуємо, як і для багатьох інших виразів у цій книзі.
Оцініть\(\frac{2x+3}{3x−5}\) для кожного значення:
- х=0
- х=2
- x=−3
Рішення
| 1. |  |
 |
 |
| Спростити. |  |
| 2. |  |
 |
 |
| Спростити. |  |
 |
|
 |
|
| 3. |  |
 |
 |
| Спростити. |  |
 |
|
 |
Спробуйте\(\PageIndex{5}\)
Оцінити\(\frac{y+1}{2y−3}\) for each value:
- y=1
- y=−3
- y=0
- Answer
-
- −2
- \(\frac{2}{9}\)
- \(−\frac{1}{3}\)
Try It \(\PageIndex{6}\)
Оцініть\(\frac{5x−1}{2x+1}\) для кожного значення:
- х=1
- x=−1
- х=0
- Відповідь
-
- \(\frac{4}{3}\)
- 6
- −1
Оцініть\(\frac{x^2+8x+7}{x^2−4}\) для кожного значення:
- х=0
- х=2
- x=−1
Рішення
| 1. |  |
 |
 |
| Спростити. |  |
 |
|
| 2. | |
 |
 |
| Спростити. |  |
 |
|
| Цей раціональний вираз не визначено для x = 2. | |
| 3. |  |
 |
 |
| Спростити. |  |
 |
|
 |
|
 |
|
Спробуйте\(\PageIndex{8}\)
Оцінити\(\frac{x^2+1}{x^2−3x+2}\) for each value:
- x=0
- x=−1
- x=3
- Answer
-
- \(\frac{1}{2}\)
- \(\frac{1}{3}\)
- 2
Try It \(\PageIndex{9}\)
Оцініть\(\frac{x^2+x−6}{x^2−9}\) для кожного значення.
- х=0
- x=−2
- х=1
- Відповідь
-
- \(\frac{2}{3}\)
- \(\frac{4}{5}\)
- \(\frac{1}{2}\)
Пам'ятайте, що дріб спрощується, коли він не має спільних факторів, крім 1, в чисельнику і знаменнику. Коли ми оцінюємо раціональний вираз, ми обов'язково спрощуємо отриманий дріб.
Оцініть\(\frac{a^2+2ab+b^2}{3ab}\) для кожного значення.
- а=1, б=2
- a=−2, b=−1
- \(a=\frac{1}{3}\), b=0
Рішення
| 1. | \(\frac{a^2+2ab+b^2}{3ab}\)коли a=1, b=2 |
 |
 |
| Спростити. |  |
 |
|
 |
|
| 2. | \(\frac{a^2+2ab+b^2}{3ab}\)коли a=−2, b=−1 |
 |
 |
| Спростити. |  |
 |
|
 |
|
| 3. | \(\frac{a^2+2ab+b^2}{3ab}\)коли\(a=\frac{1}{3}\), b=0 |
 |
 |
| Спростити. |  |
 |
Спробуйте\(\PageIndex{11}\)
Оцінити\(\frac{2a^{3}b}{a^2+2ab+b^2}\) for each value.
- a=−1, b=2
- a=0, b=−1
- a=1, \(b=\frac{1}{2}\)
- Answer
-
- −4
- 0
- \(\frac{4}{9}\)
Try It \(\PageIndex{12}\)
Оцініть\(\frac{a^2−b^2}{8ab^3}\) для кожного значення:
- a=1, b=−1
- \(a=\frac{1}{2}\), b=−1
- a=−2, b=1
- Відповідь
-
- 0
- \(\frac{3}{16}\)
- \(\frac{3}{16}\)
Спрощення раціональних виразів
Так само, як дріб вважається спрощеним, якщо в його чисельнику і знаменнику відсутні загальні множники, крім 1, раціональний вираз спрощується, якщо в його чисельнику і знаменнику немає загальних факторів, крім 1.
Раціональний вираз вважається спрощеним, якщо в його чисельнику і знаменнику відсутні загальні фактори.
Наприклад:
- \(\frac{2}{3}\)спрощується, оскільки немає загальних факторів 2 і 3.
- \(\frac{2x}{3x}\)не спрощується, оскільки х є загальним коефіцієнтом 2 х і 3 х.
Ми використовуємо властивість еквівалентних дробів для спрощення числових дробів. Ми повторюємо його тут, оскільки ми також будемо використовувати його для спрощення раціонального виразу s.
Якщо a, b і c - числа де\(b \ne 0\)\(c\ne 0\), то\(\frac{a}{b}=\frac{a·c}{b·c}\) і\(\frac{a·c}{b·c}=\frac{a}{b}\)
Зверніть увагу, що у властивості еквівалентних дробів значення, які б зробили знаменники нульовими, спеціально заборонені. Бачимо\(b \ne 0\),\(c\ne 0\) чітко викладено. Кожен раз, коли ми пишемо раціональний вираз, ми повинні зробити подібне твердження, що забороняє значення, які б зробили знаменник нуль. Однак, щоб ми зосередилися на роботі під рукою, ми опустимо її написання на прикладах.
Почнемо з розгляду того, як ми спрощуємо числові дроби.
Спростити:\(−\frac{36}{63}\).
Рішення
 |
|
| Перепишіть чисельник і знаменник із зазначенням загальних факторів. |  |
| Спростіть використання властивості еквівалентних дробів. |  |
Зверніть увагу, що дріб\(−\frac{4}{7}\) спрощується, оскільки більше немає загальних факторів.
Спробуйте\(\PageIndex{14}\)
Спростити:\(−\frac{45}{81}\).
- Answer
-
\(−\frac{5}{9}\)
Try It \(\PageIndex{15}\)
Спростити:\(−\frac{42}{54}\).
- Відповідь
-
\(−\frac{7}{9}\)
Протягом цієї глави ми будемо вважати, що всі числові значення, які зробили б знаменник нулем, виключаються. Ми не будемо писати обмеження для кожного раціонального виразу, але майте на увазі, що знаменник ніколи не може бути нулем. Таким чином, в цьому наступному\(x \ne 0\) прикладі, і\(y \ne 0\).
Спростити:\(\frac{3xy}{18x^{2}y^{2}}\).
Рішення
 |
|
| Перепишіть чисельник і знаменник із зазначенням загальних факторів. |  |
| Спростіть використання властивості еквівалентних дробів. |  |
Ви помітили, що це ті самі кроки, які ми зробили, коли розділили мономи в поліномах?
Спробуйте\(\PageIndex{17}\)
Спростити:\(\frac{4x^{2}y}{12xy^2}\).
- Answer
-
\(\frac{x}{3y}\)
Try It \(PageIndex{18}\)
Спростити:\(\frac{16x^{2}y}{2xy^2}\).
- Відповідь
-
\(\frac{8x}{y}\)
Будьте дуже обережні, як ви видаляєте загальні фактори. Коефіцієнти множаться, щоб зробити виріб. Ви можете видалити фактор з продукту. Ви не можете вилучити термін із суми.
Зверніть увагу, що видалення х з\(\frac{x+5}{x}\) було б як скасування 2 в дробі\(\frac{2+5}{2}\)!
Як спростити раціональні біноміали
Спростити:\(\frac{2x+8}{5x+20}\).
Рішення
Спробуйте\(\PageIndex{20}\)
Спростити:\(\frac{3x−6}{2x−4}\).
- Answer
-
\(\frac{3}{2}\)
Try It \(\PageIndex{21}\)
Спростити:\(\frac{7y+35}{5y+25}\).
- Відповідь
-
\(\frac{7}{5}\)
Тепер ми підсумовуємо кроки, які слід виконати, щоб спростити раціональні вирази.
- Коефіцієнт чисельника і знаменника повністю.
- Спростити, розділивши загальні фактори.
Ми будемо використовувати методи, які ми розглянули в Факторинг, щоб перерахувати поліноми в чисельниках і знаменниках у наступних прикладах.
Спростити:\(\frac{x^2+5x+6}{x^2+8x+12}\).
Рішення
| \(\frac{x^2+5x+6}{x^2+8x+12}\) | |
| Коефіцієнт чисельника і знаменника. | \(\frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)(x+6)}\) |
| Видаліть загальний множник х+2 з чисельника і знаменника. | \(\frac{x+3}{x+6}\) |
Чи можете ви сказати, які значення x повинні бути виключені в цьому прикладі?
Спробуйте\(\PageIndex{23}\)
Спростити:\(\frac{x^2−x−2}{x^2−3x+2}\).
- Answer
-
\(\frac{x+1}{x−1}\)
Try It \(\PageIndex{24}\)
Спростити:\(\frac{x^2−3x−10}{x^2+x−2}\).
- Відповідь
-
\(\frac{x−5}{x−1}\)
Спростити:\(\frac{y^2+y−42}{y^2−36}\).
Рішення
| \(\frac{y^2+y−42}{y^2−36}\). | |
| Коефіцієнт чисельника і знаменника. | \(\frac{(y+7)(y−6)}{(y+6)(y−6)}\) |
| Вилучити загальний множник y−6 з чисельника та знаменника. | \(\frac{y+7}{y+6}\) |
Спробуйте\(\PageIndex{26}\)
Спростити:\(\frac{x^2+x−6}{x^2−4}\).
- Answer
-
\(\frac{x+3}{x+2}\)
Try It \(\PageIndex{27}\)
Спростити:\(\frac{x^2+8x+7}{x^2−49}\).
- Відповідь
-
\(\frac{x+1}{x−7}\)
Спростити:\(\frac{p^3−2p^2+2p−4}{p^2−7p+10}\).
Рішення
| \(\frac{p^3−2p^2+2p−4}{p^2−7p+10}\) | |
| Фактор чисельник і знаменник, використовуючи групування для множення чисельника. | \(\frac{p^2(p−2)+2(p−2)}{(p−5)(p−2)}\) |
| \(\frac{(p^2+2)(p−2)}{(p−5)(p−2)}\) | |
| Вилучити загальний множник p−2 з чисельника та знаменника. | \(\frac{p^2+2}{p−5}\) |
Спробуйте\(\PageIndex{29}\)
Спростити:\(\frac{y^3−3y^2+y−3}{y^2−y−6}\).
- Answer
-
\(\frac{y^2+1}{y+2}\)
Try It \(\PageIndex{30}\)
Спростити:\(\frac{p^3−p^2+2p−2}{p^2+4p−5}\).
- Відповідь
-
\(\frac{p^2+2}{p+5}\)
Спростити:\(\frac{2n^2−14n}{4n^2−16n−48}\).
Рішення
| \(\frac{2n^2−14n}{4n^2−16n−48}\) | |
| Фактор чисельника і знаменника, спочатку факторинг GCF. | \(\frac{2n(n−7)}{4(n^2−4n−12)}\) |
| \(\frac{2n(n−7)}{4(n−6)(n+2)}\) | |
| Прибрати загальний фактор, 2. | \(\frac{n(n−7)}{2(n−6)(n+2)}\) |
Спробуйте\(\PageIndex{32}\)
Спростити:\(\frac{2n^2−10n}{4n^2−16n−20}\).
- Answer
-
\(\frac{n}{2(n+1)}\)
Try It \(\PageIndex{33}\)
Спростити:\(\frac{4x^2−16x}{8x^2−16x−64}\).
- Відповідь
-
\(\frac{x}{2(x+2)}\)
Спростити:\(\frac{3b^2−12b+12}{6b^2−24}\).
Рішення
| \(\frac{3b^2−12b+12}{6b^2−24}\) | |
| Фактор чисельника і знаменника, спочатку факторинг GCF. | \(\frac{3(b^2−4b+4)}{6(b^2−4)}\) |
| \(\frac{3(b−2)(b−2)}{6(b−2)(b+2)}\) | |
| Вилучити загальні фактори b−2 та 3. | \(\frac{3(b−2)}{2(b+2)}\) |
Спробуйте\(\PageIndex{35}\)
Спростити:\(\frac{2x^2−12x+18}{3x^2−27}\).
- Answer
-
\(\frac{2(x−3)}{3(x+3)}\)
Try It \(PageIndex{36}\)
Спростити:\(\frac{5y^2−30y+25}{2y^2−50}\).
- Відповідь
-
\(\frac{5(x−1)}{2(x+5)}\)
Спростити:\(\frac{m^3+8}{m^2−4}\).
Рішення
| \(\frac{m^3+8}{m^2−4}\) | |
| Коефіцієнт чисельника і знаменника, використовуючи формули для суми кубів і різниці квадратів. | \(\frac{(m+2)(m^2−2m+4)}{(m+2)(m−2)}\) |
| Прибрати загальні фактори m+2. | \(\frac{m^2−2m+4}{m−2}\) |
Спробуйте\(\PageIndex{38}\)
Спростити:\(\frac{p^3−64}{p^2−16}\).
- Answer
-
\(\frac{p^2+4p+16}{p+4}\)
Try It \(\PageIndex{39}\)
Спростити:\(\frac{x^3+8}{x^2−4}\).
- Відповідь
-
\(\frac{x^2−2x+4}{x−2}\)
Спрощення раціональних виразів за допомогою протилежних
Зараз ми побачимо, як спростити раціональний вираз, чисельник і знаменник якого мають протилежні фактори. Почнемо з числового дробу, скажімо\(\frac{7}{−7}\).
Ми знаємо, що цей дріб спрощує до −1. Ми також визнаємо, що чисельник і знаменник - протилежності.
У Foundations ми ввели протилежні позначення: протилежне a є −a. Ми також пам'ятаємо, що −a=−1·a
Спрощуємо дріб\(\frac{a}{−a}\)
\[\begin{array}{ll} {}&{\frac{a}{−a}}\\ {\text{We could rewrite this.}}&{\frac{1·a}{−1·a}}\\ {\text{Remove the common factors.}}&{\frac{1}{−1}}\\ {\text{Simplify.}}&{−1}\\ \nonumber \end{array}\]
Отже, таким же чином ми можемо спростити дріб\(\frac{x−3}{−(x−3)}\)
\[\begin{array}{ll} {}&{\frac{x−3}{−(x−3)}}\\ {\text{We could rewrite this.}}&{\frac{1·(x−3)}{−1·(x−3)}}\\ {\text{Remove the common factors.}}&{\frac{1}{−1}}\\ {\text{Simplify.}}&{−1}\\ \nonumber \end{array}\]
Але протилежне x−3 можна записати інакше:
\[\begin{array}{ll} {}&{−(x−3)}\\ {\text{Distribute.}}&{−x+3}\\ {\text{Rewrite.}}&{3−x}\\ \nonumber \end{array}\]
Це означає, що дріб\(\frac{x−3}{3−x}\) спрощується до −1.
Загалом, ми могли б записати протилежне a−b як b−a. Отже, раціональний вираз\(\frac{a−b}{b−a}\) спрощує −1.
Протилежністю a−b є b−a
\(\frac{a−b}{b−a}=−1\),\(a \ne b\)
Вираз та його протилежне ділення на −1
Ми будемо використовувати цю властивість для спрощення раціональних виразів, які містять протилежності в своїх чисельниках і знаменниках.
Спростити:\(\frac{x−8}{8−x}\).
Рішення
| \(\frac{x−8}{8−x}\). | |
| Визнайте, що x−8 та 8−x є протилежностями | −1 |
Спробуйте\(\PageIndex{41}\)
Спростити:\(\frac{y−2}{2−y}\).
- Answer
-
−1
Try It \(\PageIndex{42}\)
Спростити:\(\frac{n−9}{9−n}\).
- Відповідь
-
−1
Пам'ятайте, першим кроком у спрощенні раціонального виразу є множення чисельника і знаменника повністю.
Спростити:\(\frac{14−2x}{x^2−49}\).
Рішення
 |
|
| Коефіцієнт чисельника і знаменника. |  |
| Визнати, що 7−x та x−7 є протилежностями. |  |
| Спростити. |  |
Спробуйте\(\PageIndex{44}\)
Спростити:\(\frac{10−2y}{y^2−25}\).
- Answer
-
\(−\frac{2}{y+5}\)
Try It \(\PageIndex{45}\)
Спростити:\(\frac{3y−27}{81−y^2}\).
- Відповідь
-
\(−\frac{3}{9+y}\)
Спростити:\(\frac{x^2−4x−32}{64−x^2}\).
Рішення
 |
|
| Коефіцієнт чисельника і знаменника. |  |
| Визнайте фактори, які є протилежними. |  |
| Спростити. |  |
Спробуйте\(\PageIndex{47}\)
Спростити:\(\frac{x^2−4x−5}{25−x^2}\).
- Answer
-
\(−\frac{x+1}{x+5}\)
Try It \(\PageIndex{48}\)
Спростити:\(\frac{x^2+x−2}{1−x^2}\).
- Відповідь
-
\(−\frac{x+2}{x+1}\)
Ключові поняття
- Визначте значення, для яких раціональний вираз не визначено
- Встановіть знаменник, рівний нулю.
- Вирішіть рівняння, якщо це можливо.
- Спрощений раціональний вираз
- Раціональний вираз вважається спрощеним, якщо в його чисельнику і знаменнику відсутні загальні фактори.
- Спрощення раціонального виразу
- Коефіцієнт чисельника і знаменника повністю.
- Спростити, розділивши загальні фактори.
- Протилежності в раціональному вираженні
- Протилежністю a−b є b−a
\(\frac{a−b}{b−a}=−1\)\(a \ne b\)\(b \ne 0\),\(a \ne b\)
- Протилежністю a−b є b−a
Практика робить досконалим
У наступних вправах визначте значення, для яких раціональне вираз невизначено.
- \(\frac{2x}{z}\)
- \(\frac{4p−1}{6p−5}\)
- \(\frac{n−3}{n^2+2n−8}\)
- Відповідь
-
- з=0
- \(p=\frac{5}{6}\)
- n=−4, n = 2
- \(\frac{10m}{11n}\)
- \(\frac{6y+13}{4y−9}\)
- \(\frac{b−8}{b^2−36}\)
- \(\frac{4x^{2}y}{3y}\)
- \(\frac{3x−2}{2x+1}\)
- \(\frac{u−1}{u^2−3u−28}\)
- Відповідь
-
- y=0
- \(x=−\frac{1}{2}\)
- u=−4, u=7
- \(\frac{5pq^{2}}{9q}\)
- \(\frac{7a−4}{3a+5}\)
- \(\frac{1}{x^2−4}\)
У наступних вправах оцініть раціональне вираження для заданих значень.
\(\frac{2x}{x−1}\)
- х=0
- х=2
- x=−1
- Відповідь
-
- 0
- 4
- 1
\(\frac{4y−1}{5y−3}\)
- y=0
- y=2
- y=−1
\(\frac{2p+3}{p^2+1}\)
- p=0
- p=1
- p=−2
- Відповідь
-
- 3
- \(\frac{5}{2}\)
- \(−\frac{1}{5}\)
\(\frac{x+3}{2−3x}\)
- х=0
- х=1
- x=−2
\(\frac{y^2+5y+6}{y^2−1}\)
- y=0
- y=2
- y=−2
- Відповідь
-
- −6
- \(\frac{20}{3}\)
- 0
\(\frac{z^2+3z−10}{z^2−1}\)
- з=0
- з=2
- z=−2
\(\frac{a^2−4}{a^2+5a+4}\)
- а=0
- а=1
- a=−2
- Відповідь
-
- −1
- \(−\frac{3}{10}\)
- 0
\(\frac{b^2+2}{b^2−3b−4}\)
- b=0
- b=2
- b=−2
\(\frac{x^2+3xy+2y^2}{2x^{3}y}\)
- x=1, y=−1
- х=2, у = 1
- x=−1, y=−2
- Відповідь
-
- 0
- \(\frac{3}{4}\)
- \(\frac{15}{4}\)
\(\frac{c^2+cd−2d^2}{cd^{3}}\)
- c=2, д=−1
- c=1, д=−1
- c = −1, д=2
\(\frac{m^2−4n^2}{5mn^3}\)
- м=2, н=1
- m=−1, n=−1
- м = 3, н=2
- Відповідь
-
- 0
- \(−\frac{3}{5}\)
- \(−\frac{7}{20}\)
\(\frac{2s^{2}t}{s^2−9t^2}\)
- с=4, т = 1
- s=−1, t=−1
- с=0, т = 2
У наступних вправах спростити.
\(−\frac{4}{52}\)
- Відповідь
-
\(−\frac{1}{13}\)
\(−\frac{44}{55}\)
\(\frac{56}{63}\)
- Відповідь
-
\(\frac{8}{9}\)
\(\frac{65}{104}\)
\(\frac{6ab^{2}}{12a^{2}b}\)
- Відповідь
-
\(\frac{b}{2ab}\)
\(\frac{15xy^{3}}{x^{3}y^{3}}\)
\(\frac{8m^{3}n}{12mn^2}\)
- Відповідь
-
\(\frac{2m^2}{3n}\)
\(\frac{36v^{3}w^2}{27vw^3}\)
\(\frac{3a+6}{4a+8}\)
- Відповідь
-
\(\frac{3}{4}\)
\(\frac{5b+5}{6b+6}\)
\(\frac{3c−9}{5c−15}\)
- Відповідь
-
\(\frac{3}{5}\)
\(\frac{4d+8}{9d+18}\)
\(\frac{7m+63}{5m+45}\)
- Відповідь
-
\(\frac{7}{5}\)
\(\frac{8n−96}{3n−36}\)
\(\frac{12p−240}{5p−100}\)
- Відповідь
-
\(\frac{12}{5}\)
\(\frac{6q+210}{5q+175}\)
\(\frac{a^2−a−12}{a^2−8a+16}\)
- Відповідь
-
\(\frac{a+3}{a−4}\)
\(\frac{x^2+4x−5}{x^2−2x+1}\)
\(\frac{y^2+3y−4}{y^2−6y+5}\)
- Відповідь
-
\(\frac{y+4}{y−5}\)
\(\frac{v^2+8v+15}{v^2−v−12}\)
\(\frac{x^2−25}{x^2+2x−15}\)
- Відповідь
-
\(\frac{x−5}{x−3}\)
\(\frac{a^2−4}{a^2+6a−16}\)
\(\frac{y^2−2y−3}{y^2−9}\)
- Відповідь
-
\(\frac{y+1}{y+3}\)
\(\frac{b^2+9b+18}{b^2−36}\)
\(\frac{y^3+y^2+y+1}{y^2+2y+1}\)
- Відповідь
-
\(\frac{y^2+1}{y+1}\)
\(\frac{p^3+3p^2+4p+12}{p^2+p−6}\)
\(\frac{x^3−2x^2−25x+50}{x^2−25}\)
- Відповідь
-
x−2
\(\frac{q^3+3q^2−4q−12}{q^2−4}\)
\(\frac{3a^2+15a}{6a^2+6a−36}\)
- Відповідь
-
\(\frac{a(a+5)}{2(a+3)(a−2)}\)
\(\frac{8b^2−32b}{2b^2−6b−80}\)
\(\frac{−5c^2−10c}{−10c^2+30c+100}\)
- Відповідь
-
\(\frac{c}{2(c−5)}\)
\(\frac{4d^2−24d}{2d^2−4d−48}\)
\(\frac{3m^2+30m+75}{4m^2−100}\)
- Відповідь
-
\(\frac{3(m+5)}{4(m−5)}\)
\(\frac{5n^2+30n+45}{2n^2−18}\)
\(\frac{5r^2+30r−35}{r^2−49}\)
- Відповідь
-
\(\frac{5(r−1)}{r+7}\)
\(\frac{3s^2+30s+24}{3s^2−48}\)
\(\frac{t^3−27}{t^2−9}\)
- Відповідь
-
\(\frac{t^2+3t+9}{t+3}\)
\(\frac{v^3−1}{v^2−1}\)
\(\frac{w^3+216}{w^2−36}\)
- Відповідь
-
\(\frac{w^2−6w+36}{w−6}\)
\(\frac{v^3+125}{v^2−25}\)
Спрощення раціональних виразів за допомогою протилежних
У наступних вправах спрощуйте кожне раціональне вираження.
\(\frac{a−5}{5−a}\)
- Відповідь
-
−1
\(\frac{b−12}{12−b}\)
\(\frac{11−c}{c−11}\)
- Відповідь
-
−1
\(\frac{5−d}{d−5}\)
\(\frac{12−2x}{x^2−36}\)
- Відповідь
-
\(−\frac{2}{x+6}\)
\(\frac{20−5y}{y^2−16}\)
\(\frac{4v−32}{64−v^2}\)
- Відповідь
-
\(−\frac{4}{8+v}\)
\(\frac{7w−21}{9−w^2}\)
\(\frac{y^2−11y+24}{9−y^2}\)
- Відповідь
-
\(−\frac{y−8}{3+y}\)
\(\frac{z^2−9z+20}{16−z^2}\)
\(\frac{a^2−5a−36}{81−a^2}\)
- Відповідь
-
\(−\frac{a+4}{9+a}\)
\(\frac{b^2+b−42}{36−b^2}\)
Щоденна математика
Податкові ставки За 2015 податковий рік суму податку, заборгованості однієї особи, яка заробляє від $37450 до $90,750, можна знайти, оцінивши формулу 0.25x−4206.25, де х - дохід. Середню ставку податку на цей дохід можна дізнатися, оцінивши формулу\(\frac{0.25x−4206.25}{x}\). Якою була б середня ставка податку для однієї людини, яка заробляє $50,000?
- Відповідь
-
16,5%
Робота Тривалість часу, необхідного двом людям для виконання одного і того ж завдання, якщо вони працюють разом, можна знайти, оцінивши формулу\(\frac{xy}{x+y}\). Якщо Том зможе намалювати лігво за х=45 хвилин, а його брат Боббі може намалювати його за y=60 хвилин, скільки хвилин це займе їм, якщо вони працюватимуть разом?
Письмові вправи
Поясніть, як ви знаходите значення x, для яких\(\frac{x^2−x−20}{x^2−4}\) раціональний вираз невизначений.
Поясніть всі кроки, які ви робите для спрощення раціонального виразу\(\frac{p^2+4p−21}{9−p^2}\).
Самостійна перевірка
ⓐ Після виконання вправ скористайтеся цим контрольним списком, щоб оцінити своє володіння цілями цього розділу.
ⓑ Якщо більшість ваших чеків були:
... впевнено. Вітаємо! Ви досягли своїх цілей у цьому розділі! Подумайте про навички навчання, які ви використовували, щоб ви могли продовжувати їх використовувати. Що ви зробили, щоб стати впевненим у своїй здатності робити ці речі? Будьте конкретні!
... з деякою допомогою. Це потрібно вирішувати швидко, оскільки теми, які ви не освоюєте, стають вибоїнами на вашому шляху до успіху. Математика послідовна - кожна тема будується на попередній роботі. Важливо переконатися, що у вас міцний фундамент, перш ніж рухатися далі. До кого можна звернутися за допомогою? Ваші колеги-однокласники та інструктор - хороші ресурси. Чи є в кампусі місце, де доступні репетитори з математики? Чи можна вдосконалити свої навички навчання?
... ні - я не розумію! Це критично, і ви не повинні це ігнорувати. Вам потрібно негайно отримати допомогу, інакше ви швидко будете перевантажені. Зверніться до інструктора якомога швидше, щоб обговорити вашу ситуацію. Разом ви можете придумати план, щоб отримати вам необхідну допомогу.
Глосарій
- раціональне вираження
- Раціональний вираз - це вираз виду\(\frac{p}{q}\), де p і q - многочлени і\(q \ne 0\).