4.2: Розв'язування систем шляхом заміщення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58225

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У цьому розділі ми введемо алгебраїчну методику розв'язання систем двох рівнянь у двох невідомих, які називаються методом заміщення. Метод заміщення досить простий у використанні. Спочатку ви вирішуєте будь-яке рівняння для будь-якої змінної, а потім підставляєте результат в інше рівняння. В результаті виходить рівняння в одній змінній. Вирішіть це рівняння, а потім підставте результат у будь-яке інше рівняння, щоб знайти залишилася невідому змінну.

Приклад$\PageIndex{1}$

Вирішити таку систему рівнянь:

\[2x-5 y=-8 \label{Eq4.2.1} \]

\[y=3x-1 \label{Eq4.2.2} \]

Рішення

Рівняння\ ref {Eq4.2.2} вже вирішено для$y$. Замініть рівняння\ ref {Eq4.2.2} на рівняння\ ref {Eq4.2.1}. Це означає, що ми$3x−1$ замінимо$y$ в Рівняння\ ref {Eq4.2.1}.

\[\begin{aligned} 2x-5y &= -8 \quad {\color {Red} \text { Equation }} \ref{Eq4.2.1} \\ 2x-5({\color {Red}3x-1}) &= -8 \quad {\color {Red} \text { Substitute } 3x-1 \text { for } y \text { in }} \ref{Eq4.2.1} \end{aligned} \nonumber \]

Тепер вирішуйте для$x$.

\[\begin{aligned} 2x-15x+5 &= -8 \quad \color {Red} \text { Distribute }-5 \\ -13x+5 &= -8 \quad \color {Red} \text { Simplify. } \\ -13x &= -13 \quad \color {Red} \text { Subtract } 5 \text { from both sides, } \\ x &= 1 \quad \color {Red} \text { Divide both sides by }-13 \end{aligned} \nonumber \]

Як ми бачили в Рішення систем за допомогою графіків, рішення системи є точкою перетину двох ліній, представлених рівняннями в системі. Це означає, що ми можемо замінити відповідь$x = 1$ на будь-яке рівняння, щоб знайти відповідне значення$y$. Ми вирішили замінити$1$$x$ в Equation\ ref {Eq4.2.2}, потім вирішуємо для$y$, але ви отримаєте точно такий же результат, якщо ви$1$ заміните$x$ в Equation\ ref {Eq4.2.1}.

\[\begin{aligned} y &= 3x-1 \quad {\color {Red} \text { Equation }}\ref{Eq4.2.2} \\ y &= 3(1)-1 \quad \color {Red} \text { Substitute } 1 \text { for } x \\ y &= 2 \quad \color {Red} \text { Simplify. } \end{aligned} \nonumber \]

Звідси і$(x,y) = (1 ,2)$ є рішення системи.

Перевірити: Щоб показати, що розв'язок$(x,y) = (1 ,2)$ є розв'язком системи, нам потрібно показати, що$(x,y) = (1 ,2)$ задовольняє обидва рівняння\ ref {Eq4.2.1} і\ ref {Eq4.2.2}.

Заміна$(x,y) = (1 ,2)$ в рівняння\ ref {Eq4.2.1}:

\[\begin{aligned} 2 x-5 y &=-8 \\ 2(1)-5(2) &=-8 \\ 2-10 &=-8 \\-8 &=-8 \end{aligned} \nonumber \]

Таким чином, (1,2) задовольняє рівняння\ ref {Eq4.2.1}.

Заміна$(x,y) = (1 ,2)$ в рівняння\ ref {Eq4.2.2}:

\[\begin{array}{l}{y=3 x-1} \\ {2=3(1)-1} \\ {2=3-1} \\ {2=2}\end{array} \nonumber \]

Таким чином, (1,2) задовольняє рівняння\ ref {Eq4.2.2}.

Оскільки$(x,y) = (1 ,2)$ задовольняє обидва рівняння, це рішення системи.

рис. 4.2.1.png — Малюнок$\PageIndex{1}$:$2x − 5y = −8$ і$y = x − 3$ перетинаються в$(1,2)$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Вирішити таку систему рівнянь:

\[\begin{aligned} 9 x+2 y &=-19 \\ y &=13+3 x \end{aligned} \nonumber \]

Відповідь: $(-3,4)$

Метод заміщення

Метод заміщення передбачає наступні етапи:

Вирішіть будь-яке рівняння для будь-якої змінної.
Підставте результат з першого кроку в інше рівняння. Вирішити отримане рівняння.
Підставте результат другого кроку на будь-яке з вихідних системних рівнянь або отримане рівняння з першого кроку (залежно від того, що здається найпростішим), а потім вирішіть, щоб знайти залишилася невідому змінну.

Приклад$\PageIndex{2}$

Вирішити таку систему рівнянь:

\[5x-2y=12 \label{Eq4.2.3} \]

\[4x+y=6 \label{Eq4.2.4} \]

Рішення

Перший крок полягає у вирішенні будь-якого рівняння для будь-якої змінної. Це означає, що ми можемо вирішити перше рівняння для$x$ або$y$, але це також означає, що ми могли б спочатку вирішити друге рівняння для$x$ або$y$. З цих чотирьох можливих варіантів вирішення другого рівняння\ ref {Eq4.2.4} для$y$ здається найпростішим способом почати.

\[\begin{aligned} 4x+y &= 6 \quad {\color {Red} \text { Equation }}\ref{Eq4.2.4} \\ y &= 6-4x \quad \color {Red} \text { Subtract } 4x \text { from both sides. } \end{aligned} \nonumber \]

Далі замініть$6−4x$$y$ в Рівняння\ ref {Eq4.2.3}.

\[\begin{aligned} 5x-2y &= 12 \quad {\color {Red} \text { Equation }}\ref{Eq4.2.3} \\ 5x-2(6-4x) &= 12\quad {\color {Red} \text { Substitute } 6-4 x \text { for } y \text { in }}\ref{Eq4.2.3} \\ 5x-12+8x &= 12 \quad \color {Red} \text { Distribute }-2 \\ 13x-12 &= 12 \quad \color {Red} \text { Simplify. }\\ 13x &= 24 \quad \color {Red} \text { Add } 12 \text { to both sides. } \\ x &= \dfrac{24}{13} \quad \color {Red} \text { Divide both sides by } 13 \end{aligned} \nonumber \]

Нарешті, щоб знайти$y$ -значення,$24/13$ замініть$x$ у рівнянні$y =6−4x$ (ви також можете замінити$24/13$ в$x$ рівняннях\ ref {Eq4.2.3} або\ ref {Eq4.2.4}).

\[\begin{aligned} y &= 6-4x \\ y &= 6-4\left(\dfrac{24}{13}\right) \quad \color {Red} \text { Substitute } 24 / 13 \text { for } x \text { in } y=6-4x \\ y &= \dfrac{78}{13}-\dfrac{96}{13}\quad \color {Red} \text { Multiply, then make equivalent fractions. } \\ y &= -\dfrac{18}{13} \quad \color {Red} \text { Simplify. } \end{aligned} \nonumber \]

Звідси і$(x,y) = (24 /13,−18/13)$ є рішення системи.

рис. 4.2.2.png — Малюнок$\PageIndex{2}$:$5x − 2y = 12$ і$4x + y = 6$ перетинаються в$(24/13,−18/13)$.

Перевірка: Давайте скористаємося графічним калькулятором, щоб перевірити рішення. Спочатку ми$24/13$ зберігаємо з$X$ наступними натисканнями клавіш (див. Результат на малюнку$\PageIndex{3}$).

рис 4.2.2a.png — Малюнок$\PageIndex{3}$).

$рис. 4.2.2b.png$

рис. 4.2.3.png — Малюнок$\PageIndex{3}$: Зберігання$24/13$ і$−18/13$ в$X$ і$Y$.

Тепер очистіть екран калькулятора натисканням кнопки CLEAR, а потім введіть ліву частину Equation\ ref {Eq4.2.3} наступними натисканнями клавіш (див. Результат на малюнку$\PageIndex{4}$).

рис. 4.2.2c.png — Малюнок$\PageIndex{4}$). Зауважте, що кожна ліва сторона дає число на правій стороні рівнянь\ ref {Eq4.2.3} і\ ref {Eq4.2.4}. Таким чином, рішення$(x,y) = (24 /13,−18/13)$ перевіряє.

$рис. 4.2.2d.png$

рис. 4.2.4.png — Малюнок$\PageIndex{4}$: Перевірка рівнянь\ ref {Eq4.2.3} і\ ref {Eq4.2.4}.

Вправа$\PageIndex{2}$

Вирішити таку систему рівнянь:

\[\begin{aligned} x-2 y &=13 \\ 4 x-3 y &=26 \end{aligned} \nonumber \]

Відповідь: $(13 / 5,-26 / 5)$

Приклад$\PageIndex{3}$

Вирішити таку систему рівнянь:

\[3x-2y=6 \label{Eq4.2.5} \]

\[4x+5y=20 \label{Eq4.2.6} \]

Рішення

Ділення на$−2$ дає більш легкі дроби для роботи, ніж ділення на$3$$4$, або$5$, тому давайте почнемо з розв'язання рівняння (\ ref {Eq4.2.5}) для$y$.

\[\begin{aligned} 3x-2y &= 6\quad {\color {Red} \text { Equation }}\ref{Eq4.2.5} \\ -2y &= 6-3x \quad \color {Red} \text { Subtract } 3 x \text { from both sides. } \\ y &= \dfrac{6-3 x}{-2} \quad \color {Red} \text { Divide both sides by }-2 \\ y &= -3+\dfrac{3}{2} x \quad \color {Red} \text { Divide both } 6 \text { and }-3 x \text { by }-2 \text { using distributive property. } \end{aligned} \nonumber \]

Заміна$-3+\dfrac{3}{2} x$$y$ в рівняння\ ref {Eq4.2.6}

\ [\ почати {вирівняний}
4x+5y &= 20\ quad {\ колір {червоний}\ текст {Рівняння}}\ ref {Eq4.2.6}\\
4x+5\ ліворуч (-3+\ dfrac {3} {2} х\ праворуч) &= 20\ квадратний\ колір {червоний}\ текст {Заміна} -3+\ dfrac {3} {2} x\ текст {для y}\\
4x-15+\ dfrac {15} {2} х &= 20\ квадратний\ колір {червоний}\ текст { Розподіліть} 5\
8x-30+15x &= 40\ quad\ color {Червоний}\ текст {Очистити дроби шляхом множення}\\
23x &= 70\ quad\ color {Червоний}\ текст {Спрощення. Додати} 30\ текст {в обидві сторони.}\\
x &=\ dfrac {70} {23}\ quad\ color {Червоний}\ text {Розділити обидві сторони на} 23
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

Щоб знайти$y$, замініть$70/23$$x$ в рівняння$y=-3+\dfrac{3}{2} x$. Ви також можете замінити$70/23$$x$ в рівняннях\ ref {Eq4.2.5} або\ ref {Eq4.2.6} і отримати той самий результат.

\[\begin{aligned} y &= -3+\dfrac{3}{2} x \\ y &= -3+\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{70}{23}\right) \quad \color {Red} \text { Substitute } 70 / 23 \text { for } x \\ y &= -\dfrac{69}{23}+\dfrac{105}{23} \quad \color {Red} \text { Multiply. Make equivalent fractions. } \\ y &= \dfrac{36}{23} \quad \text { Simplify. } \end{aligned} \nonumber \]

Звідси і$(x,y) = (70 /23,36/23)$ є рішення системи.

рис. 4.2.5.png — Малюнок$\PageIndex{5}$:$3x − 2y =6$ і$4x +5y = 20$ перетинаються в$(70/23,36/23)$.

Перевірка: Щоб перевірити це рішення, давайте скористаємося графічним калькулятором, щоб знайти рішення системи. Ми вже знаємо,$3x − 2y = 6$ що еквівалентно$y=-3+\dfrac{3}{2} x$. Давайте також розв'яжемо Рівняння\ ref {Eq4.2.6} для$y$.

\[\begin{aligned} 4x+5y &= 20 \quad {\color {Red} \text { Equation }}\ref{Eq4.2.6} \\ 5y &= 20-4x \quad \color {Red} \text { Subtract } 4 x \text { from both sides. } \\ y &= \dfrac{20-4 x}{5} \quad \color {Red} \text { Divide both sides by } 5 \\ y &= 4-\dfrac{4}{5} x \quad \color {Red} \text { Divide both } 20 \text { and }-4 x \text { by } 5 \text { using the distributive property. } \end{aligned} \nonumber \]

Увійдіть$y=-3+\dfrac{3}{2} x$$y=4-\dfrac{4}{5} x$ в меню Y = графічного калькулятора (див. Рис.

рис. 4.2.6.png — Малюнок$\PageIndex{6}$: Введіть$y-3+\dfrac{3}{2} x$ і$y=4-\dfrac{4}{5} x$ в Y1 і Y2 відповідно.

Натисніть кнопку ZOOM і виберіть 6:ZStandard. Натисніть 2ND CALC, щоб відкрити меню РОЗРАХУВАТИ, виберіть 5: перетин, а потім натисніть клавішу ENTER три рази поспіль, щоб ввести «Так» до запитів «Перша крива», «Друга крива» і «Вгадати». Результат показаний на малюнку$\PageIndex{7}$.

рис. 4.2.7.png — Малюнок$\PageIndex{7}$: Використовуйте **5: перетин** у меню **CALC** для обчислення точки перетину.

У нижній частині вікна перегляду на малюнку зверніть увагу$\PageIndex{7}$, як координати точки перетину зберігаються в змінних X і Y. Не переміщаючи курсор, (змінні X і Y містять координати курсора), вийдіть з вікна перегляду натисканням 2ND QUIT, яке знаходиться над клавішею MODE. Потім натисніть кнопку CLEAR, щоб очистити екран калькулятора.

Тепер натисніть$\mathrm{X}, \mathrm{T}, \theta, \mathrm{n}$ клавішу, потім кнопку MATH на вашому калькуляторі:

рис 4.2.7a.png — Малюнок$\PageIndex{8}$).

рис. 4.2.8.png — Малюнок$\PageIndex{8}$: Меню **MATH**.

Виберіть 1: ►Frac, потім натисніть клавішу ENTER, щоб отримати дробовий еквівалент десяткового вмісту змінної$X$ (див. Рис.$\PageIndex{9}$).

рис. 4.2.9.png — Малюнок$\PageIndex{9}$: Зміна вмісту змінних$X$ і$Y$ дробів.

Повторіть процедуру для змінної$Y$. Введіть:

рис 4.2.9a.png — Малюнок$\PageIndex{9}$). Зверніть увагу, що дробові еквіваленти для$X$ і$Y$ є$70/23$ і$36/23$, точно такі ж відповіді, які ми отримали при методі підстановки вище.

Вправа$\PageIndex{3}$

Вирішити таку систему рівнянь:

\[\begin{aligned}3 x-5 y&=3 \\ 5 x-6 y&=2\end{aligned} \nonumber \]

Відповідь: $(-8 / 7,-9 / 7)$

Виняткові випадки переглянуті

Цілком можливо, що ви можете застосувати метод заміщення до системи рівнянь, які або мають нескінченну кількість розв'язків, або взагалі не розв'язків. Давайте подивимося, що станеться, якщо ви це зробите.

Приклад$\PageIndex{4}$

Вирішити таку систему рівнянь:

\[2 x+3 y=6 \label{Eq4.2.7} \]

\[y=-\dfrac{2}{3} x+4 \label{Eq4.2.8} \]

Рішення

Рівняння\ ref {Eq4.2.8} вже вирішено$y$, тому давайте$-\dfrac{2}{3} x+4$ замінимо його$y$ в Equation\ ref {Eq4.2.7}.

\[\begin{aligned} 2x+3y &= 6 \quad {\color {Red} \text { Equation }}\ref{Eq4.2.7} \\ 2x+3\left(-\dfrac{2}{3} x+4\right) &= 6 \quad \color {Red} \text { Substitute }-\dfrac{2}{3} x+4 \text { for } y \\ 2x-2x+12 &= 6 \quad \color {Red} \text { Distribute the } 3 \\ 12 &= 6\quad \color {Red} \text { Simplify. } \end{aligned} \nonumber \]

Добрості! Що сталося з$x$? Як ми повинні вирішувати для цієї$x$ ситуації? Однак зауважте, що отриманий оператор$12 = 6$, є помилковим, незалежно від того, що ми використовуємо для$x$ і$y$. Це повинно дати нам підказку, що рішень немає. Можливо, ми маємо справу з паралельними лініями?

Давайте розв'яжемо Equation\ ref {Eq4.2.7} для того$y$, щоб, поставивши рівняння у форму нахилу-перехоплення, допомогти визначити ситуацію.

\[\begin{aligned} 2x+3y &= 6 \quad {\color {Red} \text { Equation }}\ref{Eq4.2.7} \\ 3y &= -2x+6 \quad \color {Red} \text { Subtract } 2 x \text { from both sides. } \\ y &= -\dfrac{2}{3} x+2 \quad \color {Red} \text { Divide both sides by } 3 \end{aligned} \nonumber \]

Таким чином, наша система еквівалентна наступним двом рівнянням.

\[\begin{aligned} y &= -\dfrac{2}{3} x+2 \\ y &= -\dfrac{2}{3} x+4 \end{aligned} \nonumber \]

Ці лінії мають однаковий нахил$−2/3$, але різні$y$ -перехоплення (одна має$y$ -перехоплення$(0,2)$, інша має$y$ -перехоплення$(0,4)$). Отже, це дві різні паралельні лінії, і система не має рішення.

рис. 4.2.10.png — Малюнок$\PageIndex{10}$:$2x +3y = 6$ і$y=-\dfrac{2}{3} x+4$ паралельні. Немає рішення.

Вправа$\PageIndex{4}$

Вирішити таку систему рівнянь:

\[\begin{aligned} x &=\dfrac{4}{3} y-7 \\ 6 x-8 y &=-3 \end{aligned} \nonumber \]

Відповідь: немає рішення

Приклад$\PageIndex{5}$

Вирішити таку систему рівнянь:

\[2x-6y=-8 \label{Eq4.2.9} \]

\[x=3y-4 \label{Eq4.2.10} \]

Рішення

Рівняння\ ref {Eq4.2.10} вже вирішено$x$, тому давайте$3y−4$ замінимо його$x$ в Equation\ ref {Eq4.2.9}.

\[\begin{aligned} 2x-6y &= -8 \quad {\color {Red} \text { Equation }}\ref{Eq4.2.9} \\ 2(3y-4)-6y &= -8 \quad \color {Red} \text { Substitute } 3 y-4 \text { for } x \\ 6y-8-6y &= -8 \quad \color {Red} \text { Distribute the } 2 \\ -8 &= -8 \quad \color {Red}\text { Simplify. } \end{aligned} \nonumber \]

Добрості! Що сталося з$x$? Як ми повинні вирішувати для цієї$x$ ситуації? Однак зауважте, що отримане твердження$−8=−8$, є справжнім твердженням на цей раз. Можливо, це ознака того, що ми маємо справу з однією лінією? Давайте поставимо обидва рівняння\ ref {Eq4.2.9} і\ ref {Eq4.2.10} у форму перехоплення нахилу, щоб ми могли порівняти їх.

Вирішити рівняння\ ref {Eq4.2.9} для$y$:

\[\begin{aligned} 2 x-6 y &=-8 \\-6 y &=-2 x-8 \\ y &=\dfrac{-2 x-8}{-6} \\ y &=\dfrac{1}{3} x+\dfrac{4}{3} \end{aligned} \nonumber \]

Вирішити рівняння\ ref {Eq4.2.10} для$y$:

\[\begin{aligned} x &=3 y-4 \\ x+4 &=3 y \\ \dfrac{x+4}{3} &=y \\ y &=\dfrac{1}{3} x+\dfrac{4}{3} \end{aligned} \nonumber \]

Значить, лінії мають однаковий нахил і однаковий$y$ -перехоплюють і вони є точно такими ж лініями. Таким чином, існує нескінченна кількість рішень. Дійсно, будь-яка точка на будь-якій лінії є рішенням. Прикладами точок вирішення є$(−4,0)$,$(−1,1)$, і$(2,2)$.

рис. 4.2.11.png — Малюнок$\PageIndex{1}$:$2x − 6y = −8$ і$x =3 y−4$ є однією і тією ж лінією. Нескінченна кількість розв'язків.

Вправа$\PageIndex{5}$

Вирішити таку систему рівнянь:

\[\begin{aligned}-28 x+14 y &=-126 \\ y &=2 x-9 \end{aligned} \nonumber \]

Відповідь: Існує нескінченна кількість рішень. Прикладами точок вирішення є$(0,−9)$,$(5,1)$, і$(−3,−15)$.

Чайові

Коли ви підставляєте одне рівняння в інше і змінна зникає, враховуйте:

Якщо отриманий оператор помилковий, то у вас є дві окремі паралельні лінії і рішення немає.
Якщо результуючий оператор істинний, то у вас однакові рядки і існує нескінченна кількість розв'язків.