2.4: Теорема Піфагора

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57977

Samar ElHitti, Marianna Bonanome, Holly Carley, Thomas Tradler, & Lin Zhou
CUNY New York City College of Technology & NYC College of Technology via New York City College of Technology at CUNY Academic Works

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Теорема Піфагора пов'язує довжини катетів прямокутного трикутника і гіпотенузи.

Теорема$\PageIndex{1}$: The Pythagorean Theorem

Якщо$a$ і$b$ є довжинами катетів прямокутного трикутника і$c$ це довжина гіпотенузи (сторона, протилежна прямому куту), як видно на цьому малюнку.

$imageedit_2_6209339471.png$

потім

\[a^{2}+b^{2}=c^{2}\nonumber\]

Доказ

Ви можете перевірити істинність теореми Піфагора, вимірюючи різні трикутники і перевіряючи, що вони задовольняють,$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ де$c$ довжина гіпотенузи$a$ і і$b$ є довжинами катетів. Однак вам доведеться виміряти кожен такий трикутник, щоб знати його абсолютну правду, що, звичайно, неможливо. Тому ми хотіли б знайти спосіб побачити, що це вірно для всіх правильних трикутників. Теорема Піфагора може бути правдою, розглядаючи наступну конструкцію. Почніть з трикутника (будь-який прямокутний трикутник можна орієнтувати таким чином)

$imageedit_4_7476164357.png$

потім побудуйте три інших трикутника, які мають такий же розмір і форму, як і перший (тобто збігаються з першим):

$imageedit_15_3881606840.png$

Тепер обчислюємо площу великого квадрата двома способами:

1. Використовуючи формулу площі квадрата:

\[\begin{align*} \text {Area} &=(a+b)^{2} \\[4pt] &=a^{2}+2 a b+b^{2} \end{align*}\]

2. Складання суми чотирьох трикутників плюс маленький квадрат всередині:

\[\begin{align*} \text {Area} &=4 \cdot\left(\frac{1}{2} a b\right)+c^{2} \\[4pt] &=2 a b+c^{2} \end{align*}\]

Так як обидва рівні площі квадрата, ми повинні мати

\[ a^{2}+2 a b+b^{2}=2 a b+c^{2} \nonumber \]

Віднімання$2 a b$ з обох сторін дає

\[a^{2}+b^{2}=c^{2}\nonumber\]

$\square$