1.30: Розв'язування системи рівнянь графічно

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57984

Samar ElHitti, Marianna Bonanome, Holly Carley, Thomas Tradler, & Lin Zhou
CUNY New York City College of Technology & NYC College of Technology via New York City College of Technology at CUNY Academic Works

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Ми побачили в главі 27, як вирішити систему лінійних рівнянь алгебраїчно (шляхом підстановки та усунення). Оскільки ми знаємо, що графіки лінійних рівнянь - це лінії, природно графувати лінії, що представляють нашу систему, і спостерігати, де вони знаходяться відносно один одного в координатній площині. Можливі тільки три конфігурації: лінії перетинаються в одній точці, лінії збігаються, лінії паралельні. Знаходження цього перетину (якщо можливо) зводиться до розв'язання лінійної системи.

Приклад$\PageIndex{1}$

Розглянемо приклад 27.1 з глави 27.

\ [\ ліворуч (\ begin {масив} {lllll}
6 х & + & 2 y & = & 72\\
3 x & + & 8 y = & 78
\ end {масив}\ праворуч)\ nonumber\]

Рішення, яке ми знайшли (шляхом підміни), було$x=10$ і$y=6$.

Щоб вирішити цю систему за допомогою графіків, ми починаємо з побудови графіків кожного з заданих лінійних рівнянь.

Спочатку графуємо$6 x+2 y=72$. Пам'ятайте, знаходимо два пункти:

\[x=0 \quad \Longrightarrow \quad y=36\nonumber\]

\[y=0 \quad \Longrightarrow \quad x=12\nonumber\]

Аналогічно$3 x+8 y=78$ графуємо, знаходячи дві точки на цій лінії:

\[x=2 \quad \Longrightarrow \quad y=9\nonumber\]

\[y=3 \quad \Longrightarrow \quad x=18\nonumber\]

Лінії позначені в тій самій системі координат, як показано нижче.

$imageedit_17_7405436324.png$

Координати точки перетину двох графів є рішенням системи. Спостерігайте з графіка, що$y$ координати$x$ і точки перетину є$x=10$ і$y=6$.

Приклад$\PageIndex{1}$

Вирішити за допомогою графіків:

\ [\ ліворуч (\ begin {масив} {lllll}
х & + & + & y & = 7\\
5 x & + & 10 y & = & 40
\ end {масив}\ праворуч)\ nonumber\]

Крок 1 Графік обох рядків:

\ [\ почати {вирівнювати*}
x+y=7:\ квадрад & x = 0, y = 7\\
& y=0, x = 7
\ кінець {align*}\ nonumber\]

\ [\ почати {вирівнювати*}
5x+ 10y = 40:\ квадрад & x = 0, y = 4\\
& y = 0, x = 8
\ кінець {вирівнювати*}\ nonumber\]

$imageedit_20_6483886603.png$

Крок 2 Прочитайте координати точки перетину:

\[x=6, y=1\nonumber\]

Крок 3 Рішення системи є$x=6, y=1$.

Зауваження 28.3

Якщо графіки двох ліній не мають точки перетину, значить, система не має рішення.
Якщо графіки ліній збігаються, значить, система має нескінченно багато рішень.

Розв'язування системи двох лінійних рівнянь за допомогою графіків

Крок 1: Графік кожного лінійного рівняння на одній і тій же системі координат.
Крок 2: Позначте точку перетину на графіку (якщо така є).
Крок 3: Прочитайте координати точки перетину (якщо це можливо). Якщо лінії збігаються, кожна точка на них вважається точкою перетину.
Крок 4: Залежно від кроку 3, вкажіть, чи не має система рішення (лінії паралельні), нескінченно багато рішень (лінії збігаються), або одне рішення (одна точка перетину).

Проблема виходу

Вирішити графічно:

\ (\ begin {масив} {lllll}
8 x & - & 4 y & = 4\\
3 x & - & 2 y & = & 3
\ end {масив}\)