1.29: Розв'язування системи рівнянь алгебраїчно
- Page ID
- 58012
Припустимо, що у Адама 7 купюр, всі п'ятірки і десятки, і що їх загальна вартість -\(\$ 40 .\) Скільки з кожного купюри він має? Для того, щоб вирішити таку задачу, ми повинні спочатку визначити змінні.
\(x\)Дозволяти кількість п'яти доларових купюр.
\(y\)Дозволяти кількість десяти доларових купюр.
Далі пишемо рівняння, які описують ситуацію:
\(5 x+10 y=40 \quad:\)Сукупна вартість векселів становить\(\$ 40 .\)
Тобто ми повинні вирішити наступну систему двох лінійних рівнянь у двох змінних (невідомих):
\(x+y=7 \quad\): Адам має 7 законопроектів.
\(5 x+10 y=40\): Сукупна вартість векселів\(\$ 40 .\)
Тобто ми повинні вирішити наступну систему двох лінійних рівнянь у двох змінних (невідомих):
\ [\ ліворуч (\ begin {align*}
x+y &= 7\\
5 x+10 y & =40
\ end {align*}\ праворуч)\ nonumber\]
У цій главі розглядається розв'язування систем двох лінійних рівнянь з двома змінними, такими як наведена вище. Ми розглянемо два різних алгебраїчних методу: метод заміщення і метод елімінації.
Метод заміщення
У цьому розділі ми розв'язуємо системи двох лінійних рівнянь у двох змінних методом підстановки. Для ілюстрації ми вирішимо вищеописану систему за допомогою цього методу. Починаємо з вирішення першого рівняння для однієї змінної через іншу. У цьому випадку ми вирішимо для змінної з\(y\) точки зору\(x\):
\ [\ begin {align*}
& x+y = 7\
\\ Довгастрілка і y=7-x
\ end {align*}\ nonumber\]
Далі підставляємо\(y=7-x\) в друге рівняння\(5 x+10 y=40:\)
\[5 x+10(7-x)=40\nonumber\]
Рівняння вище тепер можна вирішити,\(x\) оскільки воно включає лише одну змінну:
\ [\ begin {align*}
5 x+10 (7-x) &= 40\\
5 x+70-10 x &= 40\ quad\ text {розподілити 10 в дужки}\\
-5 x+70 &=40\ quad\ текст {зібрати як терміни}\\
-5 x &=-30\ quad\ текст {відняти 70 з обох сторін}\\
x &= 6\ quad\ text {розділити обидві сторони на −5}
\ end {align*}\ nonumber\]
Отже, ми отримуємо\(x=6 .\) Щоб знайти,\(y,\) ми підставляємо\(x=6\) в перше рівняння системи та вирішуємо для\(y\) (Примітка: Ми можемо замінити\(x=6\) будь-яке з двох вихідних рівнянь або рівняння\(y=7-x\)):
\ [\ begin {масив} {l}
6+y=7\
y=1\ text {відняти 6 з обох сторін}
\ end {масив}\ nonumber\]
Тому розв'язком системи лінійних рівнянь є
\[x=6, \quad y=1\nonumber\]
Перш ніж ми дійсно закінчимо, ми повинні перевірити наше рішення. Розв'язок системи рівнянь - це значення її змінних, які при підстановці в два вихідних рівняння дають нам правдиві твердження. Отже, щоб перевірити, підставляємо\(x=6\) і\(y=1\) в кожне рівняння системи:
\ [\ begin {масив} {l}
x+y = 7\ Довгаста стрілка вправо 6+1=7\ Довгаста стрілка 7=7\ text {true! }\\
5 x+10 y = 40\ Довга стрілка вправо 5 (6) +10 (1) =40\ Довга стрілка вправо 30+10 = 40\ Довга стрілка вправо 40 = 40\ text {true! }
\ end {масив}\ nonumber\]
Отже, наше рішення є правильним. Щоб відповісти на початкову проблему слова - згадуючи, що\(x\) це кількість п'яти доларових купюр і\(y\) це кількість десяти доларових купюр у нас є, що:
\[Adam~has~6~five~ dollar~ bills~ and~ 1~ ten~ dollar~ bill.\nonumber\]
Приклад 27.1
\ [\ ліворуч (\ begin {масив} {l}
6 x+2 y=72\
3 x+8 y=78
\ end {масив}\ праворуч)\ nonumber\]
Знову ж таки, тут ми вирішуємо систему рівнянь за допомогою підстановки. Спочатку вирішіть перше рівняння\(6 x+2 y=72\) для\(y:\)
\ [\ begin {масив} {rrr}
& 6 x+2 y=72\
\ Longrightarrow & 2 y=-6 x+72 &\ text {відняти 6x з обох сторін}\
\ Longrightarrow & y = -3 x+36 &\ text {розділити обидві сторони на 2}
\ кінець {масив}\ nonumber\]
\(y=-3 x+36\)Підставляємо в друге рівняння\(3 x+8 y=78\):
\ [\ begin {align*}
& 3 x+8 y=78\
\\ Довгагастрілка & 3 x+8 (-3 x+36) = 78\\
\ Довгоправоруч стрілка & x = 10
\ end {align*}\ nonumber\]
Отже,\(x=10 .\) тепер\(x=10\) підставляючи\(y=-3 x+36\) рівняння, виходить\(y=6,\) таким чином, рішення системи\(x=10, y=6 .\) рівнянь є Останній крок залишається для читача. Потрібно перевірити, що\(x=10\) і\(y=6\) дати правдиві твердження при підстановці в вихідну систему рівнянь.
Щоб узагальнити кроки, які ми виконали для розв'язання системи лінійних рівнянь у двох змінних за допомогою алгебраїчного методу підстановки, ми маємо:
Розв'язування системи двох лінійних рівнянь у двох змінних за допомогою підстановки
- Розв'яжіть одне рівняння для однієї змінної.
- Підставте вираз, знайдений на кроці 1, в інше рівняння.
- Вирішити отримане рівняння.
- Підставте значення з кроку 3 назад у рівняння на кроці 1, щоб знайти значення змінної, що залишилася 5
- Перевірте своє рішення!
- Дайте відповідь на питання, чи це проблема слова.
Система з двох лінійних рівнянь у двох змінних може мати одне рішення, без розв'язків або нескінченно багато розв'язків. У прикладі 27.2 ми побачимо систему без рішення.
Приклад 27.2
Вирішити наступну систему рівнянь шляхом підстановки.
\ [\ ліворуч (\ begin {масив} {l}
x+y=1\
y=-x+2
\ end {масив}\ праворуч)\ nonumber\]
Друге рівняння вже вирішено з\(y\) точки зору,\(x\) тому ми можемо підставити його безпосередньо в\(x+y=1\):
\[x+(-x+2)=1 \Longrightarrow 2=1 \quad \text { False! }\nonumber\]
Оскільки ми отримуємо помилкове твердження\(2=1,\), система рівнянь не має розв'язку.
Метод ліквідації
Другим алгебраїчним методом розв'язання системи лінійних рівнянь є метод елімінації. Основна ідея методу полягає в тому, щоб отримати коефіцієнти однієї зі змінних у двох рівняннях, які будуть адитивними оберненнями, такими як -3, і\(3,\) так що після додавання двох рівнянь ця змінна усувається. Давайте використаємо одну з систем, які ми вирішили в попередньому розділі, щоб проілюструвати метод:
\ [\ ліворуч (\ begin {масив} {l}
x+y = 7\\
5 x+10 y=40
\ end {масив}\ праворуч)\ nonumber\]
Коефіцієнти\(x\) змінної в наших двох рівняннях є 1 і\(5 .\) Ми можемо зробити\(x\) коефіцієнти бути адитивними оберненнями, множивши перше рівняння на\(-5\) і зберігаючи друге рівняння недоторканим:
\ [\ left (\ begin {масив} {lllll}
x & + &y & = & 7\\
5 x &+ & 10 y & = & 40
\ кінець {масив}\ праворуч)\ Довгострілка\ ліворуч (\ begin {масив} {lllll}
(-5) (x &+ & y) & = & (
-5) 7\ 5 x & 10 y & ; = & 40
\ end {масив}\ праворуч)\ nonumber\]
Використовуючи розподільну властивість, перепишемо перше рівняння так:
\[-5 x-5 y=-35\nonumber\]
Тепер ми готові додати два рівняння, щоб усунути змінну\(x\) і вирішити отримане рівняння для\(y\):
\ [\ почати {масив} {llll}
& -5 х & - & 5 y & =& -35\\
+ & 5 х & + & 10 y & = 40\\
\ hline & & & & 5 y & = 5\\
& &\\ Довгострілка & y & = & 1
\ end {масив}\ номер\]
Щоб знайти,\(x,\) ми можемо\(y=1\) підставити в будь-яке рівняння вихідної системи для вирішення\(x:\)
\[x+1=7 \quad \Longrightarrow \quad x=6\nonumber\]
Значить, отримуємо таке ж рішення, яке ми отримали методом підстановки в попередньому розділі:
\[x=6, \quad y=1\nonumber\]
У цьому прикладі нам потрібно лише помножити перше рівняння на число, щоб зробити коефіцієнти змінної\(x\) добавки обертаються. Іноді нам потрібно помножити обидва рівняння на два різних числа, щоб зробити коефіцієнти однієї зі змінних адитивними оберненнями. Щоб проілюструвати це, давайте розглянемо приклад 27.3.
Приклад 27.3
\[\nonumber\]
Давайте прагнемо усунути\(y\) змінну тут. Оскільки найменш загальне кратне 2 і 3,\(6,\) ми можемо помножити перше рівняння на 3, а друге рівняння на\(2,\) так, щоб коефіцієнти були\(y\) адитивними оберненнями:
\ [\ left (\ begin {масив} {lllll}
-3 x & + & 2 y & = & 3\\
4 x & - & 3 y & = & -6
\ кінець {масив}\ праворуч)\ Довгострілка (\ begin {масив} {lllll}
(3) (-3 х & + & 2 y & = 3) 3\\
(2) (4 x & 2) - & підсилювач; 3 y & = (2) (-6)
\ end {масив}\ праворуч)\ nonumber\]
Використовуючи розподільну властивість, ми перепишемо два рівняння так:
\ [\ ліворуч (\ begin {масив} {lllll}
-9 х & + & 6 y & = & 9\\
8 x & - & 6 y & = & -12
\ end {масив}\ праворуч)\ nonumber\]
Складання їх разом дає:
\[-1 x=-3 \quad \Longrightarrow \quad x=3\nonumber\]
Щоб знайти,\(y,\) ми можемо\(x=3\) підставити в перше рівняння (або друге рівняння) вихідної системи для розв'язання\(y:\)
\[-3(3)+2 y=3 \Longrightarrow-9+2 y=3 \Longrightarrow 2 y=12 \Longrightarrow y=6\nonumber\]
Отже, відповідь на проблему така:
\[x=3 \quad y=6\nonumber\]
Ми можемо перевірити відповідь, підставивши обидва числа в вихідну систему і подивитися, чи правильні обидва рівняння.
Наступні кроки підсумовують, як вирішити систему рівнянь методом елімінації:
Розв'язування системи двох лінійних рівнянь у двох змінних за допомогою елімінації
- Помножте одне або обидва рівняння на ненульове число так, щоб коефіцієнти однієї зі змінних були адитивними оберненнями.
- Додайте рівняння, щоб усунути змінну.
- Вирішити отримане рівняння.
- Підставте значення з кроку 3 назад у будь-яке з вихідних рівнянь, щоб знайти значення змінної, що залишилася.
- Перевірте своє рішення!
- Дайте відповідь на питання, чи це проблема слова.
Проблема виходу
Вирішити алгебраїчно:
\ (\ begin {масив} {lllll}
8 x & - & 4 y & = 4\\
3 x & - & 2 y & = & 3
\ end {масив}\)