1.28: Графічні лінійні рівняння

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58009

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Загалом, лінійне рівняння в двох змінних має вигляд

\[A x+B y=C\nonumber\]

в якому$A, B, C$ дійсні числа$A$ і$B$ не можуть бути обидва$0 .$ Це називається стандартною формою лінійного рівняння. Ось кілька прикладів лінійних рівнянь в стандартному вигляді:

\[3 x+2 y=4, \quad-0.25 x+\frac{2}{3} y=1, \quad-3 x=2, \quad 4 y=3\nonumber\]

Деякі лінійні рівняння не записуються в стандартному вигляді, але їх можна легко перетворити в стандартну форму. Наприклад, лінійне рівняння$y=$$-2 x-3$ можна записати в стандартній формі$2 x+y=-3$ шляхом додавання$2 x$ до обох сторін рівняння.

Графік лінійного рівняння являє собою пряму лінію в прямокутній системі координат. В останньому розділі ми дізналися, як побудувати пряму лінію шляхом побудови деяких точок заданого лінійного рівняння. У цьому розділі ми вивчимо деякі важливі поняття лінійних рівнянь і використовуємо їх для побудови прямих ліній.

Графік лінійних рівнянь з використанням перехоплювачів

На графіку прямої в прямокутній системі координат є дві спеціальні точки,$x$ -перехоплення і$y$ -перехоплення.

З геометрії ми знаємо, що пряма повністю визначається двома точками. Тому після виявлення перехоплень заданого лінійного рівняння ми можемо побудувати його графік, використовуючи ці дві точки. Хорошою практикою є пошук третього пункту. Якщо третя точка не лежить на прямій, визначеній перехопленнями, це говорить про те, що ми, можливо, допустили помилку в наших розрахунках.

The$x$ -intercept

$x$-intercept - це точка, де графік перетинає$x$ вісь -.

Щоб знайти$x$ -перехоплення, оцініть рівняння при$y=0$.

$x$-Перехоплення буде виглядати як$(x$ -перехоплення$, 0)$.

The$y$ -intercept

$y$-intercept - це точка, де графік перетинає$y$ -вісь.

Щоб знайти$y$ -перехоплення, оцініть рівняння при$x=0$.

$y$-Перехоплення буде виглядати як$(0, y$ -перехоплення$)$.

Приклад 26.1

Знайдіть перехоплення$−2x + 4y = 8$ і використовуйте їх для побудови графіка лінійного рівняння.

\[\text { Let } y=0 \quad \Rightarrow \quad-2 x+4(0)=8 \quad \Rightarrow \quad-2 x=8 \quad \Longrightarrow \quad x=-4\nonumber\]

Тому$x-$ перехоплення є (-4,0).

\[\text { Let } x=0 \quad \Longrightarrow \quad-2(0)+4 y=8 \quad \Longrightarrow \quad 4 y=8 \quad \Rightarrow \quad y=2\nonumber\]

Тому$y-$ перехоплення становить (0,2)

$clipboard_ee802c408bf243d677d3e256d68d5a142.png$

Приклад 26.2

Знайдіть перехоплення$5x + 2y = 6$ і використовуйте їх для побудови графіка рівняння. Спочатку знаходимо два перехоплення (а потім знаходимо третю точку).

\[\text { Let } y=0 \quad \Longrightarrow \quad 5 x+2(0)=6 \quad \Longrightarrow \quad 5 x=6 \quad \Longrightarrow \quad x=\frac{6}{5}=1.2\nonumber\]

\[\text { Let } x=0 \quad \Longrightarrow \quad 5(0)+2 y=6 \quad \Rightarrow \quad 2 y=6 \quad \Rightarrow \quad y=3\nonumber\]

\[\text { Let } x=2 \quad \Longrightarrow \quad 5(2)+2 y=6 \quad \Rightarrow \quad 10+2 y=6 \quad \Rightarrow \quad y=-2\nonumber\]

Тепер у нас є три пари рішень: (1,2,0), (0,3) і$(2,-2) .$ Наступна цифра - графік рівняння$5 x+2 y=6$.

$clipboard_e7999302857bed1719dfa66dc23b9b784.png$

Нахил лінії

Різні прямі мають різну крутизну. Математично існує число, яке може виміряти крутизну заданої лінії. Це число називається нахилом лінії, і позначається буквою$m$. Наступний малюнок допомагає нам визначити формулу розрахунку ухилу$m$.

На малюнку нижче,$P$ і$Q$ дві довільні точки на заданій лінії. Точка$P$ має координати,$\left(x_{1}, y_{1}\right),$ а точка$Q$ має координати$\left(x_{2}, y_{2}\right) .$ Тут ми використовуємо індекси для розрізнення координат для різних точок. Нахил$m$ визначається як відношення зміни двох точок у$y$ напрямку до зміни двох точок у$x$ напрямку.

$clipboard_e8d381f2a5299e10bbaf054ed30145b25.png$

оскільки$y$ напрямок вертикальне, зміна$y$ координат називається «підйом». Аналогічно,$x$ напрямок є горизонтальним, тому зміна$x$ координат називається «пробігом». Так що ще один спосіб запам'ятати формулу знаходження схилу - пам'ятати, що це «підйом над бігом».

Нахил лінії

Ухил лінії, що проходить через$\left(x_{1}, y_{1}\right)$ і$\left(x_{2}, y_{2}\right)$ становить

\[m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{\text { rise }}{\text { run }}\nonumber\]

Приклад 26.3

Знайдіть нахил лінії, що проходить через наступні точки, і використовуйте задані точки для графіка лінії.

а) (1,2) і (3,3)

Ми вибираємо$\left(x_{1}, y_{1}\right)=(1,2)$ і$\left(x_{2}, y_{2}\right)=(3,3) .$ насправді не має значення, яку точку ми призначаємо як першу, так і другу точку. У нас завжди вийде однаковий ухил.

\[m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{3-2}{3-1}=\frac{1}{2}\nonumber\]

$clipboard_e52fb3f659117497636d66a04f4ba9401.png$

Ухил позитивний. Графік показує, що це зростаюча лінія зліва направо.

б) (-2,4) і (2, -4)

Нехай$\left(x_{1}, y_{1}\right)=(-2,4)$ і$\left(x_{2}, y_{2}\right)=(2,-4) .$ тоді

\[m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{-4-4}{2-(-2)}=\frac{-8}{4}=-2\nonumber\]

$clipboard_e778cb8e8fe1281f1c21b48dad8083635.png$

Ухил негативний. Графік показує, що це лінія падіння зліва направо, і ця лінія крутіша, ніж лінія в частині а).

в) (-3,2) і (4,2)

Нехай$\left(x_{1}, y_{1}\right)=(-3,2)$ і$\left(x_{2}, y_{2}\right)=(4,2) .$ тоді

\[m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{2-2}{4-(-3)}=\frac{0}{7}=0\nonumber\]

Ухил дорівнює 0. Графік показує, що це горизонтальна лінія.

Примітка: Всі горизонтальні лінії характеризуються точками, які мають однакове значення y, тому всі вони мають нахил 0.

$clipboard_ef74d94235f0bebc1c382ee2b61e5e19d.png$

г) (1,2) і (1, -3)

Нехай$\left(x_{1}, y_{1}\right)=(1,2)$ і$\left(x_{2}, y_{2}\right)=(1,-3) .$ тоді

\[m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{-3-2}{1-1}=\frac{-5}{0}=\text { undefined }\nonumber\]

Ухил невизначений. Графік показує, що це вертикальна лінія.

Примітка: Всі вертикальні лінії характеризуються точками, які мають$x$ однакове значення, тому всі вони мають невизначений нахил.

$clipboard_e9de337d8653892e998f7f8f9c61e8ae2.png$

Властивості схилу

Якщо нахил позитивний, лінія йде вгору зліва направо.
Якщо нахил негативний, лінії йдуть вниз зліва направо.
Якщо$0,$ нахил - лінія горизонтальна, тобто підйому в$y$ напрямку немає.
Якщо нахил невизначений, лінія вертикальна, тобто немає розбігу в$x$ напрямку.
Чим більше абсолютна величина ухилу, тим крутіше пряма.

Форма перехоплення нахилу рівняння прямої$\bf{y=m x+b}$

У попередньому розділі дізналися, що для знаходження нахилу прямої нам знадобляться дві точки на лінії. З огляду на рівняння прямої, ми можемо легко знайти дві точки на прямій, знайшовши дві пари розв'язків рівняння. Однак є й інший спосіб ідентифікації ухилу.

Знайдемо нахил прямої, заданої рівнянням:$2 x-3 y=4$. Ми можемо вибрати будь-які дві точки на лінії, тому давайте виберемо роботу з$x$ і$y$ -перехопленнями.

\[\text { Let } x=0 \quad \Longrightarrow \quad 2(0)-3 y=4 \quad \Longrightarrow \quad-3 y=4 \quad \Longrightarrow \quad y=-\frac{4}{3}\nonumber\]

\[\text { Let } y=0 \quad \Longrightarrow \quad 2 x-3(0)=4 \quad \Longrightarrow \quad 2 x=4 \quad \Longrightarrow \quad x=2\nonumber\]

Тому перехоплення:$\left(0,-\frac{4}{3}\right)$ і (2,0) і так нахил:

\[m=\frac{0-\left(-\frac{4}{3}\right)}{2-0}=\frac{\frac{4}{3}}{2}=\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{3}\nonumber\]

Припустимо, ми повернемося до нашого вихідного рівняння і вирішуємо його для$y:$

\ [\ begin {align*}
2 x-3 y=4 &\ Довгострілка правогого-3 y=-2 x+4\\
&\ Довгострілка y=\ frac {-2 x+4} {-3}\\
&\ Довгострілка y=\ frac {2} {3} x-\ frac {4} {3} {3}
\ end {align*}\ nonumber\]

Переписування рівняння таким чином допомагає нам ідентифікувати два числових значення$\frac{2}{3}$ і$-\frac{4}{3}$. Перше значення точно таке ж, як і нахил, а друге точно таке ж, як і$y$ -перехоплення! Це вірно в цілому. Якщо рівняння прямої записано у вигляді,$y=m x+b,$ то коефіцієнт$x$ члена - це нахил прямої, а постійний член$y$ - координата$y-$ перехоплення (так пишемо$(0, b))$.

Форма ухил-перехоплення рівняння прямої

$y=m x+b$

називається ухилом-перехоплення формою рівняння прямої з нахилом$m$ і$y$ -перехрещення$(0, b)$.

Приклад 26.4

Знайдіть нахил і$y-$ перехоплення прямої, переписуючи рівняння$x+4 y=8$ прямої в формі ухил-перехоплення.

\ [\ почати {вирівнювати*}
x+4 y=8 &\ Довгастрілка правого 4 y = -x+8\\
&\ Довгострілка y=\ frac {-x+8} {4}\\
&\ Довгострілка y=-\ frac {1} {4} x+2
\ end {align*}\ nonumber\]

Ухил є$-\frac{1}{4}$ і$y$ -перехоплення дорівнює (0,2). Нагадування: нахил є числовим значенням. Не дозволяйте$x$ змінній тег разом, коли ви записуєте його!

Графік лінійних рівнянь з використанням нахилу та$\bf{y}$ перехоплення

Використовуючи$y$ -intercept і нахил прямої, ми можемо легко намалювати графік прямої лінії. Пам'ятайте, що нам потрібні лише дві точки для графіка лінії. Ми використовуємо$y$ -intercept як першу точку, потім використовуємо нахил і$y$ -перехоплення, щоб отримати іншу точку.

Приклад 26.5

Графік заданого лінійного рівняння за допомогою нахилу і$y$ -перехоплення:

а)$y=\frac{4}{3} x-2$

Крок 1 Запишіть лінійне рівняння у вигляді ухил-перехоплення. У цій задачі наведене рівняння вже має$y=m x+b$ форму, тому ми можемо визначити, що нахил є,$m=\frac{4}{3}$ а$y-$ перехоплення є (0, -2).

Крок 2$y-$ Покладіть перехоплення (0, -2) на$y-$ осі системи координат.

Крок 3 Використовуйте нахил,$m=\frac{4}{3}=\frac{\text { rise }}{\text { run }}$ щоб знайти другу точку, тобто від$y$ -перехоплення рухаємося вправо (біжимо) три одиниці і вгору (підйом) 4 одиниці, щоб побудувати другу точку в (3,2).

Крок 4 Намалюйте лінію, що проходить через дві точки.

$clipboard_e1aebca44de5df4ba3c4c7eee64057df9.png$

б)$x+4 y=8$

Крок 1 Запишіть лінійне рівняння у вигляді ухил-перехоплення. (Див. приклад 26.4, щоб побачити, як це робиться):

\[x+4 y=8 \quad \Longrightarrow \quad y=-\frac{1}{4} x+2\nonumber\]

Крок 2$y$ Покладіть -перехоплення (0,2) на$y$ -осі системи координат.

Крок 3 Використовуючи нахил,$m=-\frac{1}{4}=\frac{-1}{4}=\frac{\text { rise }}{\text { run }}$ щоб знайти другу точку, тобто від$y$ -перехоплення рухаємося вправо (біжимо) чотири одиниці і вниз (підйом) одну одиницю (оскільки зміна$y$ негативна, ми рухаємося вниз) і будуємо другу точку в$(4,1)$.

Тут ми вирішили поставити негативний знак в чисельнику, але ми могли б легко призначити негативний знак знаменнику. Це можна зробити тому, що

\[-\frac{1}{4}=\frac{-1}{4}=\frac{1}{-4}\nonumber\]

Якби ми вирішили працювати з нахилом, написаним як$m=\frac{1}{-4},$ від$y$ -перехоплення (0,2), ми б перемістили чотири одиниці вліво (біг) і одну одиницю$u p$ (підйом). Це приземлило б нас у точці$(-4,3)$.

Крок 4 Намалюйте лінію, що проходить через дві точки. Які б дві точки ми в кінцевому підсумку працюємо з або$(4,1)$ або$(0,2)$$(0,2)$ і$(-4,3)-$ ми отримуємо ту ж лінію, спробуйте це! На малюнку нижче показана лінія, проведена з точок$(0,2)$ і$(4,1)$.

$clipboard_e728824e8e9963c928fa0f3419df7fadf.png$

в)$2 x-y=0$

Крок 1 Запишіть лінійне рівняння у вигляді ухил-перехоплення.

\[2 x-y=0 \quad \Longrightarrow \quad-y=-2 x \quad \Longrightarrow \quad y=2 x\nonumber\]

Тут нахил дорівнює 2 і$y-$ перехоплення є$(0,0)$.

Крок 2$y$ Покладіть -перехоплення (0,0) на$y$ -осі, яка є початком системи координат.

Крок 3. Використовуючи нахил,$m=2=\frac{2}{1}=\frac{\text { rise }}{\text { run }}$ щоб знайти другу точку, тобто від$y$ -перехоплення рухаємося вправо (біжимо) на одну одиницю і вгору (підйом) дві одиниці, будуємо другу точку в$(1,2)$.

Крок 4 Намалюйте лінію, що проходить через дві точки.

$clipboard_e18b0d2da14592c3574af605efd7fbd2a.png$

Точково-нахильна форма рівняння прямої$y-y_{0}=m\left(x-x_{0}\right)$

Припустимо, нам задано лише нахил прямої та однієї точки на прямій і просять знайти її рівняння. Незважаючи на те, що ми не знаємо$y$ -intercept ofhand, ми все одно можемо знайти рівняння прямої, використовуючи те, що називається формулою точки-нахилу (або форми).

Точково-нахилова форма рівняння прямої

\[y-y_{0}=m\left(x-x_{0}\right)\nonumber\]

називається точково-ухил формою рівняння лінії нахилу,$m$ що проходить через точку$\left(x_{0}, y_{0}\right)$.

Приклад 26.6

Знайти рівняння прямої, що проходить через точку (1, -2) з нахилом$\frac{1}{5}$.

Тут ми використовуємо формулу точка-нахил, при$m=\frac{1}{5}, x_{0}=1$ і$y_{0}=-2$ Так, рівняння прямої буде дано$y-(-2)=\frac{1}{5}(x-1)$$y+2=\frac{1}{5} x-\frac{1}{5},$ так$y=\frac{1}{5} x-\frac{1}{5}-2,$ і

\[y=\frac{1}{5} x-\frac{11}{5}\nonumber\]

Примітка: Рівняння$y=\frac{1}{5} x-\frac{11}{5}$ записується у формі перехоплення нахилу, тому ми можемо прочитати$y$ -intercept, якщо хочемо:$\left(0,-\frac{11}{5}\right)$.

Приклад 26.7

Знайдіть рівняння лінії, що проходить через точки$(3,2)$ і$(-4,3)$.

Зверніть увагу, що тут нам не дано нахилу. Нам потрібно знайти його, перш ніж ми зможемо приступити до пошуку рівняння прямої.

Ухил є$m=\frac{3-2}{-4-3}=-\frac{1}{7}$.

Тепер ми можемо вибрати будь-яку з заданих точок як нашу одну точку і використовувати точку-нахил форми, щоб знайти рівняння прямої. Давайте скористаємося$(3,2)$.

Отже, з$m=-\frac{1}{7}, x_{0}=3$ і$y_{0}=2,$ рівняння прямої буде дано

\[y-2=-\frac{1}{7}(x-3)\nonumber\]

\[y-2=-\frac{1}{7} x+\frac{3}{7}=-\frac{1}{7} x+\frac{3}{7}+2\nonumber\]

і, нарешті,

\[y=-\frac{1}{7} x+\frac{17}{7}\nonumber\]

Примітка: Знову ж таки, якщо ми хочемо прочитати$y-$ перехоплення, це так$\left(0, \frac{17}{7}\right)$.

Рівняння горизонтальних і вертикальних ліній

Нагадаємо, що всі горизонтальні лінії мають нахил.$0 .$

Рівняння горизонтальної лінії

Рівняння горизонтальної лінії, що проходить через точку$(a, b) \text { is } y=b$

Нагадаємо, що всі вертикальні лінії мають невизначений нахил.

Рівняння вертикальної лінії

Рівняння вертикальної лінії, що проходить через точку$(a, b) \text { is } x=a$

Приклад 26.8

а) Рівняння горизонтальної лінії, що проходить через точку (3, -7) дорівнює$y=-7$.

б) Рівняння вертикальної лінії, що проходить через точку,$\left(\frac{2}{5},-1\right)$ дорівнює$x=\frac{2}{5}$.

в) Рівняння горизонтальної лінії, що проходить через точку (4,0) дорівнює$y=0$.

г) Рівняння вертикальної лінії, що проходить через точку,$\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$ дорівнює$x=$$-\frac{1}{2}$.

Проблема виходу

Вкажіть нахил і$y$ -перехоплення, і графік рівняння:$6 x+4 y=6$

Графік лінійних рівнянь з використанням перехоплювачів

Нахил лінії

Форма перехоплення нахилу рівняння прямої\(\bf{y=m x+b}\)

Графік лінійних рівнянь з використанням нахилу та\(\bf{y}\) перехоплення

Точково-нахильна форма рівняння прямої\(y-y_{0}=m\left(x-x_{0}\right)\)

Рівняння горизонтальних і вертикальних ліній