1.27: Прямокутна система координат

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58002

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У главі 1 ми дізналися, що дійсне число можна представити у вигляді точки на числовій лінії. У цьому розділі ми дізнаємося, що впорядковану пару дійсних чисел можна представити у вигляді точки на площині. Ця площина називається прямокутною системою координат або декартовою системою координат, названою на честь французького математика Рене Декарта.

На малюнку на наступній сторінці показана прямокутна система координат. Він складається з двох числових ліній, перпендикулярних один одному. Горизонтальна лінія називається віссю х, а вертикальна -$y$ віссю. Дві числові лінії перетинаються на початку кожної числової лінії, а перетин називається початком системи координат. Осі ділять площину на чотири області. Їх називають квадрантами. Справа вгорі вниз праворуч, квадранти впорядковані як I, II, III і IV в напрямку проти годинникової стрілки.

Кожна точка$P$ на площині представлена$(x, y),$ впорядкованою парою, яка називається координатами точки$P$. Перше значення називається$x$ координатою, а друге називається$y$ -координатою. The$x$ -coordinate вимірює відстань точки від$y$ -осі, а$y$ -координата вимірює відстань точки від$x$ -осі. Якщо$x>0,$ точка знаходиться праворуч від$y$ -осі; якщо$x<0,$ точка знаходиться зліва від$y$ -осі; якщо$x=0,$ точка знаходиться на$y$ -осі. Якщо$y>0,$ точка знаходиться вище$x$ -осі; якщо$y<0,$ точка знаходиться нижче$y$ -осі; якщо$y=0,$ точка знаходиться на$x$ -осі.

$clipboard_e2e2406031be20f6e61740ad0fc8eed78.png$

Приклад 25.1

Покладіть задані точки на прямокутній системі координат.

(А)$(4, 2)$, (Б)$(−2, 3)$, (С)$(−3, −1)$, (Г)$(2, −4)$ (Е)$(0, 1)$, (Ф)$(−1, 0)$

$clipboard_e9a6e5039e1b8dbb92934419f84d7ba81.png$

Для сюжетної точки$(4,2),$ ми починаємо з початку, потім переміщаємо 4 одиниці вправо і 2 одиниці вгору. Точка (4,2) позначається як$A$. Щоб побудувати точку (-2,3), ми починаємо з початку, потім переміщаємо 2 одиниці вліво і 3 одиниці вгору. Точка (-2,3) позначається як$B .$$(\mathrm{D})$ Точки$(\mathrm{C})$ і наноситься аналогічним чином. Для$(0,1),$ побудови графіка від початку, ми рухаємо лише 1 одиницю вгору, тому точка$E$ знаходиться на$y$ -осі. Точно так само точка (-1,0) знаходиться на$x$ -осі, 1 одиниця зліва від початку. Точка (0,0) - це лише початок системи координат.

Приклад 25.2

Визначте координати наступних точок:

$clipboard_ed3b8116bf64e8a1fa6998851645da509.png$

Точка А: 1 одиниця вправо, 2 одиниці вгору$(1, 2)$

Точка B: 1 одиниця ліворуч, 5 одиниць вгору$(−1, 5)$

Точка C: 3 одиниці ліворуч, 0 одиниць вгору або вниз (−3, 0)

Точка D: 0 одиниць вліво або вправо, 4 одиниці вниз (0, −4)

Точка E: 4 одиниці вправо, 3 одиниці вниз (4, −3)

Лінійні рівняння у двох змінних

У главі 16 ми розв'язали лінійні рівняння в одній змінній. У цьому розділі ми дізнаємося, як знаходити розв'язки лінійних рівнянь у двох змінних, і як представляти їх у прямокутній системі координат.

Рівняння$y=2 x+3$ є прикладом лінійного рівняння в двох змінних,$x$ і$y$. Розв'язок цього рівняння являє собою впорядковану пару двох дійсних чисел,$(a, b)$ так$x$ що при$a$ заміні і$y$ заміні$b,$ рівнянням є істинним твердженням. Наприклад, (1,5) є рішенням$y=2 x+3$ тому, що коли ми підставляємо 1 для$x$ і 5 для$y,$ ми отримуємо,$5=2(1)+3,$ що є істинним твердженням. Впорядкована пара (4,3) не є розв'язком рівняння, оскільки заміна 4 на$x$ і 3 для$y$ не задовольняє рівнянню тобто$3 \neq 2(4)+3$.

Приклад 25.3

Перевірте, чи є наступні впорядковані пари розв'язками рівняння$2 x-3 y=5$.

\[(A) (1,-1) (B) (2,1) (C) \left(\frac{5}{2}, 0\right)\nonumber\]

Щоб перевірити, давайте підставимо значення в наше рівняння.

(А)$2(1)-3(-1)=5 \Rightarrow 2+3=5 \Rightarrow 5=5$ Правда

(Б)$2(2)-3(1)=5 \Rightarrow 4-3=5 \Rightarrow 1=5$ Помилковий

(C)$2\left(\frac{5}{2}\right)-3(0)=5\Rightarrow 5-0=5 \Rightarrow 5=5$ Правда

Тому$(A)$ і$(C)$ є рішеннями і не$(B)$ є рішенням.

З останнього прикладу ми бачимо, що розв'язки рівняння в двох змінних є впорядкованими парами$(x, y)$. Тому вони можуть бути представлені точками на прямокутній системі координат. З'єднавши всі можливі точки, отримуємо графік рівняння.

Тепер знайдемо графік рівняння,$y=2 x+3$ знайшовши пари розв'язків і побудувавши їх. Оскільки у нас є тільки одне рівняння для двох змінних$x$ і$y$, ми можемо спочатку вибрати кілька$x$ значень, скажімо,$x=-2,-1,0,1,2,$ а потім знайти їх відповідні$y$ значення. Наприклад, якщо$x=-2$ тоді$y=2(-2)+3=-1 .$ So (-2, -1) є парою розв'язків. Корисно встановити таблицю для відстеження.

\ (\ begin {масив} {lll}\ текст {Значення} x &\ text {Обчислити} y = 2x + 3 &\ текст {Пара рішень}
-2 & y=2 (-2) +3 = -1 & (-2,
-1)\ -1 & y=2 (-1) +3=1 & (-1,1)\\
0 & y=2 (0) +3=3 & (0,3)\\
1 & y=2 (1) +3=5 & (1,5)\\
2 & y=2 (2) +3=7 & (2,7)
\ кінець {масив}\)

$clipboard_e691e252840d6c1ca849a4d8552805b2a.png$

Після побудови цих точок на прямокутній системі координат легко здогадатися, що графік$y=2 x+3$ може бути прямою лінією. Насправді графік рівняння$y=2 x+3$ являє собою пряму лінію - саме тому його називають лінійним рівнянням.

Приклад 25.4

Графік рівняння$3 x+2 y=4$ шляхом побудови точок.

Для побудови графіка рівняння нам потрібно спочатку знайти пару пар розв'язків. Почнемо з вирішення для$y:$

$3 x+2 y=4 \quad \Rightarrow \quad 2 y=-3 x+4 \quad \Rightarrow \quad y=\frac{-3 x+4}{2} \quad \Rightarrow \quad y=\frac{-3 x}{2}+2$

Нехай$x=-4,-2,0,2,4$. Тут вибираються тільки парні числа, щоб результати не були дробами.

\ (\ begin {масив} {lll}\ текст {Значення} x &\ text {Обчислити} y=\ frac {-3 x} {2} +2 &\ текст {Пара рішень}
-4 & y=\ frac {-3 (-4)} {2} +2=8 & (-4,8)\\
-2 & y=\ гідророзриву {-3 (-2)} {2} +2=5 & (-2,5))\\
0 & y=\ розриву {-3 (0)} {2} +2=2 & (0,2)\\
2 & підсилювач; y=\ гідророзриву {-3 (2)} {2} +2=-1 & (2, -1)\\
4 & y=\ гідророзриву {-3 (4)} {2} +2=-4 & (4, -4)
\ end {масив}\)

Графік лінії$3 x+2 y=4$ показаний на наступному малюнку.

$clipboard_e32bb44a80ac3538c31502cf424e4b372.png$

Проблема виходу

Графік рівняння:$3 x+2 y=8$