1.23: Лінійні нерівності

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58013

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У цьому розділі ми вирішуємо лінійні нерівності.

Розглянемо нерівність$2 x-1>2$. Вирішити це означає знайти всі значення$x$, які задовольняють нерівності (так що, коли ви підключите ці значення для$x$ вас отримати справжнє твердження). Наприклад, оскільки$2 \cdot 5-1=9>2, x=5$ є рішенням, а оскільки не$2 \cdot 1-1=1 \not>2, x=1$ є рішенням.

Ми можемо вирішити нерівність приблизно так само, як ми вирішуємо рівність за одним важливим винятком:

Множення або ділення на від'ємне число змінює напрямок нерівності.

Наприклад$-3 x>9 \Longleftrightarrow \frac{-3 x}{-3}<\frac{9}{-3} \Longleftrightarrow x<-3$. Ми бачимо, що
$x=-10$ задовольняє всі ці нерівності і не$x=3$ задовольняє жодну з них. Ми можемо навести графік рішення на числовому рядку:

$clipboard_efcf6d3b0ad32a277fc29febc7bb7b300.png$

Але$3 x>9 \Longleftrightarrow \frac{3 x}{3}>\frac{9}{3} \Longleftrightarrow x>3$.

$clipboard_e9e89fc9579852b60b5f6e6178e374fb3.png$

Наприклад, перевірте, що$x=5$ (що більше 3) задовольняє нерівність.

Приклад 21.1

Розв'яжіть задану нерівність і представляємо розв'язку на числовому рядку:

а)$5 x>10 \Longleftrightarrow x>\frac{10}{5} \Longleftrightarrow x>2$

$clipboard_e69bd65626bef756f24bbc854e38b6c09.png$

б)$-10 x \leq-5 \Longleftrightarrow x \geq \frac{-5}{-10} \Longleftrightarrow x \geq \frac{1}{2}$

$clipboard_e7ff97fb7d1a502850f6e7b0287250818.png$

в)$-x>-2 \Longleftrightarrow x<\frac{-2}{-1} \Longleftrightarrow x<2$

$clipboard_e7f49abafa8b8e3e3af1aedd9c203fd09.png$

г)$2-x \geq 2 x-5 \Longleftrightarrow 7-x \geq 2 x \Longleftrightarrow 7 \geq 3 x \Longleftrightarrow \frac{7}{3} \geq x$ (або$\left.x \leq \frac{7}{3}\right)$

$clipboard_e21cf36535d9db45e14f0bb3ff0501b95.png$

д)$2-3 x \geq-2 x+7 \Longleftrightarrow-5-3 x \geq-2 x \Longleftrightarrow-5 \geq x$ (або$x \leq-5)$

$clipboard_ed53e5a20ed016342e96b6f880306a6dd.png$

f)$3(x-2)+5 \leq 5-2(x+1) \Longleftrightarrow 3 x-6+5 \leq 5-2 x-2 \Longleftrightarrow 3 x-1 \leq 3-2 x \Longleftrightarrow 3 x+2 x \leq 3+1 \Longleftrightarrow 5 x \leq 4 \Longleftrightarrow x \leq \frac{4}{5}$

$clipboard_e29e83f963ad9cd4628ed09fdf1862a6b.png$

Примітка: Існує кілька способів вирішити проблему. Наприклад:

$-3 x-2<1 \Longleftrightarrow-3 x<2+1 \Longleftrightarrow-3 x<3 \Longleftrightarrow \frac{-3 x}{-3}>\frac{3}{-3} \Longleftrightarrow x>-1 $

або,

$-3 x-2<1 \Longleftrightarrow-2<1+3 x \Longleftrightarrow-2-1<3 x \Longleftrightarrow-3<3 x \Longleftrightarrow-1<x($який такий же, як$x>-1)$

$clipboard_e4daab39e5a4895d73f78c497943d4913.png$

Проблема виходу

Розв'яжіть нерівність і покажіть графік розв'язку:

\[7 x+4 \leq 2 x-6\nonumber\]