Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.18: Розв'язування лінійних рівнянь

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    58010

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Вид рівняння визначатиме метод, який ми використовуємо для його вирішення. Спочатку ми обговоримо лінійні рівняння. Це рівняння, які містять лише перший ступінь змінної і нічого вище.

    Приклад 16.1

    Приклади лінійних рівнянь:

    1. \(x-4=6\)є лінійним рівнянням.
    2. \(5 x-6=4 x+2\)є лінійним рівнянням.
    3. \(x^{2}-2 x+1=0\)не є лінійним рівнянням, так як змінна\(x\) знаходиться до другої степені. Це квадратне рівняння, яке ми вивчимо в розділі 20.

    Критичне спостереження: Ми можемо додати або відняти що-небудь з рівняння до тих пір, поки ми робимо це з обох сторін одночасно. Це дуже важливий інструмент для вирішення лінійних рівнянь. Це допоможе нам виділити змінну з одного боку рівняння та числа на іншій стороні рівняння.

    Якщо\(\quad a=b \quad\) тоді\(\quad a+c=b+c\).

    Якщо\(\quad a=b \quad\) тоді\(\quad a-c=b-c\).

    Приклад 16.2

    Виділяють змінну в заданому рівнянні:

    а)\(x-4=6\)

    Тут ми додаємо 4 до обох сторін рівняння, щоб отримати

    \[x-4+4=6+4\nonumber\]

    який має ефект виділення з одного\(x\) боку рівняння та чисел з іншого, оскільки при спрощенні ми бачимо, що

    \[x=10\nonumber\]

    Може бути корисно написати це у вертикальному вигляді:

    \[x-4=6\nonumber\]

    \[+4 \quad+4\nonumber]\]

    \[\Longrightarrow x=10\]

    б)\(x+7=-2 .\) Тут ми додаємо -7 з обох сторін, оскільки це матиме ефект ізоляції\(x:\) (вертикально написаного)

    \[x+7=-2\nonumber\]

    \[+-7 \quad-7\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=-9\nonumber\]

    в)\(5 x-6=4 x+2\)

    Тут\(x\) з'являється по обидва боки рівняння. Якщо відняти один з термінів з обох сторін, це матиме ефект ізоляції з одного\(x\) боку.

    У нас є вибір. Віднімемо\(4 x\) з обох сторін так, щоб на LHS знаходився.\(x\) Альтернативою було б відняти\(5 x\), що залишило б нас\(-x\) на\(\mathrm{RHS}\) (це було б дещо незручно). У нас є (вертикально написано)

    \[5 x-6=4 x+2\nonumber\]

    \[-4 x-4 x\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x-6=2\nonumber\]

    \[\quad+6 \quad+6\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=8\nonumber\]

    Зверніть увагу, що кожне рішення можна перевірити, підключивши знайдене число до вихідного рівняння.

    Приклад 16.3

    Вирішити:

    а)\(17-(4-2 x)=3(x+4)\)

    Щоб вирішити це рівняння, нам спочатку потрібно видалити всі дужки і об'єднати будь-які подібні терміни.

    \[17-(4-2 x)=3(x+4)\nonumber\]

    \[\Longrightarrow 17-4+2 x=3 x+12\nonumber\]

    \[\Longrightarrow 13+2 x=3 x+12\nonumber\]

    За прикладом вище, рішення знайдено (віднімаючи\(2 x\) з обох сторін і віднімаючи 12 з обох сторін), щоб бути\(x=1 .\) Тепер, ми можемо перевірити, чи правильна наша робота, підставивши\(x=1\) в вихідне рівняння і побачивши, чи дає\(\mathrm{RHS}\)\(\mathrm{LHS}\) і однакове значення :

    RHS:\(17-(4-2 x)=17+(-1)(4+(-2 x))=17+(-1)(4+(-2 \cdot 1))=17+(-1)(4+(-2))=17+(-1)(2)=17+(-2)=15\)

    ЛГС:\(3(x+4)=3(1+4)=3(5)=15\)

    Оскільки обидва значення рівні, наше рішення\(x=1\) є правильним.

    Критичне спостереження: Ми можемо помножити або розділити рівняння на будь-яке ненульове число до тих пір, поки ми робимо це з обох сторін одночасно. Це дуже важливий інструмент для вирішення лінійних рівнянь, де коефіцієнт змінної не дорівнює 1.

    Якщо\(a=b\) тоді\(a \times c=b \times c\).

    Якщо\(a=b\) тоді\(\frac{a}{c}=\frac{b}{c} \quad\) коли\(c \neq 0\).

    Приклад 16.4

    а)\(6 x=42\)

    \[6 x=42\nonumber\]

    \[\Longrightarrow \frac{6 x}{6}=\frac{42}{6}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=7\nonumber\]

    б)\(-4 x-30=0\)

    У цьому прикладі ми спочатку виділимо «\(x\)-term», який\(4 x\) перед ізоляцією\(x\).

    \[-4 x-30=0\nonumber\]

    \[\quad+30 \quad +30\nonumber\]

    \[\Longrightarrow-4 x=30\nonumber\]

    \[\Longrightarrow \frac{-4 x}{-4}=\frac{30}{-4}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=-\frac{15}{2}\nonumber\]

    в)\(2 x=\frac{1}{4}\)

    \[2 x=\frac{1}{4}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow \frac{2 x}{2}=\frac{1}{4} \div 2\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=\frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 2}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=\frac{1}{8}\nonumber\]

    Зверніть увагу, що ділення на 2 по обидва боки рівняння таке ж, як множення на\(\frac{1}{2}\). Отже, ми можемо переписати рішення так:

    \[2 x=\frac{1}{4}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow \frac{1}{2} \cdot 2 x=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow \frac{1 \cdot 2 x}{2}=\frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 2}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=\frac{1}{8}\nonumber\]

    Як правило, множення числа на його зворотне призводить до 1:

    \[\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}=\frac{a b}{b a}=1\nonumber\]

    Давайте використаємо цей факт в наступному прикладі.

    г)\(\frac{2 x}{3}=\frac{5}{6}\)

    \[\frac{2 x}{3}=\frac{5}{6}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow \frac{2}{3} \cdot x=\frac{5}{6}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow \frac{2}{3} \cdot x=\frac{5}{6}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot x=\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{6}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=\frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 6}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=\frac{5}{2 \cdot 2}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=\frac{5}{4}\nonumber\]

    д)\(\frac{x}{5}+3=6\)

    \[\frac{x}{5}+3=6\nonumber\]

    \[\quad -3 \quad-3\nonumber\]

    \[\Longrightarrow \frac{x}{5}=3\nonumber\]

    \[\Longrightarrow 5 \cdot \frac{x}{5}=5 \cdot 3\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=15\nonumber\]

    f)\(5 x-6=2 x+3\)

    \[5 x-6=2 x+3\nonumber\]

    \[\quad+6 \quad +6 \quad\nonumber\]

    \[\Longrightarrow 5 x=2 x+9\nonumber\]

    \[\Longrightarrow-2 x \quad -2 x\nonumber\]

    \[\Longrightarrow 3 x=9\nonumber\]

    \[\Longrightarrow \frac{3 x}{3}=\frac{9}{3}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=3\nonumber\]

    г)\(-3(x-1)=4(x+2)+2\)

    Спочатку прибираємо дужки і збираємо подібні терміни.

    \[-3(x-1)=4(x+2)+2\nonumber\]

    \[\Longrightarrow-3 x+3=4 x+8+2\nonumber\]

    \[\Longrightarrow-3 x+3=4 x+10\nonumber\]

    Тепер приступимо до вирішення лінійного рівняння, виділивши змінну:

    \[-3 x+3=4 x+10\nonumber\]

    \[\quad -3 \quad-3 \quad \nonumber\]

    \[\Longrightarrow-3 x=4 x+7\nonumber\]

    \[\quad -4 x \quad -4 x \quad \nonumber\]

    \[\Longrightarrow-7 x=7\nonumber\]

    \[\Longrightarrow \frac{-7 x}{-7}=\frac{7}{-7}\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=-1\nonumber\]

    ч)\(10-3 x=-2(x-1)\)

    \[10-3 x=-2(x-1)\nonumber\]

    \[\Longrightarrow 10-3 x=-2 x+2\nonumber\]

    \[\quad -10 \quad \quad-10\nonumber\]

    \[\Longrightarrow-3 x=-2 x-8\nonumber\]

    \[\quad +2x \quad + 2 x \quad \nonumber\]

    \[\Longrightarrow-x=-8\nonumber\]

    \[\Longrightarrow x=8\nonumber\]

    Проблема виходу

    Вирішити:\(5 y-(7-2 y)=2(y+4)\)