1.14: Факторинг монома з полінома та GCF

Ми навчилися множити многочлени. Наприклад, використання розподільної властивості on\(2 x(x-1)\) we get\(2 x^{2}-2 x\) або використання\(\mathrm{FOlL}\) на\((x+1)(2 x-5)\) результатах в\(2 x^{2}-3 x-5 .\) Факторингу є оберненою процедурою множення многочленів. Якщо ми пишемо\(2 x^{2}-2 x=2 x(x-1)\) або\(2 x^{2}-3 x-5=(x+1)(2 x-5),\) це називається факторингом. Взагалі факторинг - це процедура написання многочлена у вигляді добутку двох і більше многочленів. У першому\(2 x\) прикладі і\((x-1)\) називаються факторами.\(2 x^{2}-2 x .\) У другому\((x+1)\) прикладі і\((2 x-5)\) є факторами\(2 x^{2}-3 x-5\).

Факторинг надзвичайно корисний, коли ми намагаємося розв'язати поліноміальні рівняння та спростити алгебраїчні дроби. У наступних трьох розділах ми дізнаємося кілька методів факторингу.

Факторинг найбільшого спільного фактора (GCF)

У цьому розділі ми пояснимо, як коефіцієнт найбільшого спільного фактора (GCF) з полінома. GCF - найбільший многочлен, який ділить кожен член многочлена. Наприклад, многочлен\(9 x^{3}+6 x^{2}+12 x^{4}\) - це додавання трьох членів\(9 x^{3}, 6 x^{2}\) і\(12 x^{4}\). З факторизації ми маємо:

\[9 x^{3}=3 \cdot 3 \cdot x \cdot x \cdot x=\left(3 x^{2}\right)(3 x)\nonumber\]

\[6 x^{2}=2 \cdot 3 \cdot x \cdot x=\left(3 x^{2}\right)(2)\nonumber\]

\[12 x^{4}=2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x=\left(3 x^{2}\right)\left(4 x^{2}\right)\nonumber\]

Тому мономіал\(3 x^{2}\) - це\(9 x^{3}, 6 x^{2}\) і\(12 x^{4}\).\(G C F\) Після ідентифікації GCF ми можемо використовувати розподільну властивість, щоб вивести GCF наступним чином:

\ [\ почати {вирівнювати*}
9 x^ {3} +6 x^ {2} +12 x^ {4} &=3 x^ {2} (3 x) +3 x^ {2} (2) +3 x^ {2}\ ліворуч (4 x^ {2}\ праворуч)\\ =3 x^ {2}\ ліворуч (3 x+2+4 x^ {2}\ праворуч)\\
&=3 x^ {2}\ ліворуч (3 x+2+4 x^ {2}
\ праворуч)\\ вирівнювати*}\ nonumber\]

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Коефіцієнт GCF з заданого многочлена.

а)\(6 a^{4}-8 a\)

GCF є\(2 a\)

\[6 a^{4}-8 a=2 a\left(3 a^{3}\right)-2 a(4)=2 a\left(3 a^{3}-4\right)\nonumber\]

б)\(15 a b^{3} c-10 a^{2} b c+25 b^{2} c^{3}\)

GCF є\(5 b c\)

\ [\ почати {вирівнювати*}
15 a b^ {3} c-10 a^ {2} b c+25 b^ {2} c^ {3} &=5 b c\ ліворуч (3 a b^ {2}\ праворуч) -5 b c\ ліворуч (2 a^ {2}\ праворуч) +5 b c\ ліворуч (5 b c ^ {2}\ праворуч)\\ &= 5 b c\ ліворуч (5 b c ^ {2}\ праворуч)\\
&= 5 b c\ ліворуч (3 a b^ {2} -2 a^ {2} +5 b c^ {2}\ праворуч)
\ end {align*}\ nonumber\]

в)\(3 x^{2}-6 x+12\)

GCF дорівнює 3.

\[3 x^{2}-6 x+12=3\left(x^{2}\right)-3(2 x)-3(4)=3\left(x^{2}-2 x-4\right)\nonumber\]

У проблемах, які ми робили до цього часу, перший член многочлена був позитивним. Якщо перший член многочлена негативний, то краще фактор протилежний ГКФ. Процедура точно така ж, але потрібно звертати увагу на знак кожного члена.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Коефіцієнт GCF з заданого многочлена:

а)\(-8 x^{2} y+12 x y^{2}-16 x y\)

GCF,\(4 x y .\) оскільки перший член многочлена є негативним, ми враховуємо\(-4 x y\) замість цього.

\ [\ почати {вирівнювати*}
-8 x^ {2} y+12 х y^ {2} -16 х у & =( -4 х у) (2 х) + (-4 х у) (-3 у) + (-4 х у) + (-4 х у) (4)\
&=-4 x y (2 x-3 y+4)
\ кінець {вирівнювати*}\ nonumber\]

Примітка: У дужках знак був змінений для кожного члена в коефіцієнті, що залишився.

б)\(-9 b^{5}-15 b^{4}+21 b^{3}+27 b^{2}\)

оскільки перший термін є негативним, ми враховуємо протилежне\(\mathrm{GCF}:-3 b^{2}\)

\ [\ почати {вирівнювати*}
&-9 b^ {5} -15 b^ {4} +21 b^ {3} +27 b^ {2}\
=&\ ліворуч (-3 b^ {2}\ праворуч)\ ліворуч (3 b^ {3}\ праворуч) +\ ліворуч (-3 b^ {2}\ праворуч)\ ліворуч (5 b^ {2}\ праворуч) +\ ліворуч (-3 b^ {2}\ праворуч) -3 b^ {2}\ праворуч) (-7 b) +\ ліворуч (-3 b^ {2}\ праворуч) (-9)\\
=&-3 b^ {2}\ ліворуч (3 b^ {3} +5 b^ {2} -7 b-9\ праворуч)
\ end {вирівнювати*}\ nonumber\]

Знову зверніть увагу, як всередині дужок знак кожного з інших термінів був змінений.

Факторинг найбільшого спільного фактора (GCF)

• Крок 1: Визначте GCF кожного члена многочлена.
• Крок 2: Запишіть кожен член многочлена як добуток GCF та коефіцієнта, що залишився. Якщо перший член многочлена негативний, ми використовуємо протилежний GCF як загальний фактор.
• Крок 3: Використовуйте розподільну властивість, щоб врахувати GCF.

Факторинг за групуванням

У багатьох виразах найбільшим загальним фактором може бути біноміальний. Наприклад, у виразі\(x^{2}(2 x+1)+5(2 x+1)\) біноміал\((2 x+1)\) є загальним фактором обох термінів. Таким чином, ми можемо врахувати цей біноміальний фактор наступним чином:

\[x^{2}(2 x+1)+5(2 x+1)=(2 x+1)\left(x^{2}+5\right)\nonumber\]

Ця ідея дуже корисна при факторингу чотиричленного полінома за допомогою методу групування. Наприклад,\(6 a^{2}-10 a+3 a b-5 b\) це многочлен з чотирма долями. GCF всіх чотирьох термінів є\(1 .\) Однак, якщо ми згрупуємо перші два терміни і останні два терміни, ми отримаємо\(\left(6 a^{2}-10 a\right)+(3 a b-5 b)\). Зверніть увагу, що в першій групі\(2 a\) є загальним фактором, а в другій\(b\) - загальним фактором, тому ми можемо врахувати їх:\(2 a(3 a-5)+b(3 a-5)\). Два терміни тепер мають загальний біноміальний фактор\(3 a-5\). Після факторингу ми отримуємо:

\[2 a(3 a-5)+b(3 a-5)=(3 a-5)(2 a+b) .\]

Факторинг шляхом групування є дуже корисним методом, коли ми враховуємо певні тріноми в більш пізньому сеансі.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Фактор заданих многочленів методом групування.

а)\(x^{3}+3 x^{2}+2 x+6\)

\ [\ почати {вирівнювати*}
x^ {3} +3 x^ {2} +2 x+6 &=\ ліворуч (x^ {3} +3 x^ {2}\ праворуч) + (2 x+6)\
&=x^ {2} (x+3) +2 (x+3)\\
& =( x+3)\ ліворуч (x^ {2} +2\ праворуч)
\ кінець {align*}\ nonu бурштиновий\]

б)\(6 x^{2}-3 x-2 x y+y\)

\ [\ почати {вирівнювати*}
6 x^ {2} -3 x-2 х y+y &=\ ліворуч (6 x^ {2} -3 х\ праворуч) + (-2 x y+y)\\
&=3 x (2 x-1) + (-y) (2 x-1)\\
& =( 2 x-1) (3 x-1)
\ кінець {вирівнювати*}\ nonumber\]

в)\(10 a x+15 a y-8 b x-12 b y\)

\ [\ почати {вирівнювати*}
10 a x+15 a y-8 b x-12 b y & =( 10 a x+15 a y) + (-8 б х -12 б у)\\
&= 5 a (2 х+3 y) + (-4 б) + (-4 б) + (-4 y) + (2 x+3 y)
\ end {вирівнювати*}\ nonumber\]

Примітка: В останніх двох задачах прикладу третій член у многочлені є негативним. Під час групування нам потрібно додати додатковий знак додавання між двома групами, а при факторингу другої групи корисним є факторинг протилежного GCF.

Проблема виходу

Фактор повністю:\(12 a^{5} b^{4} c^{5}-36 a^{6} b^{3} c-24 a b^{2}\)

Фактор за групуванням:\(35 x y+21 t y-15 x z-9 t z\)