Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.8: Наукові позначення

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57976

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Щоб написати 1 трильйон (1 потім 12 нулів) або 1 гугол (1 потім 100 нулів) потрібно багато місця і часу. Існує математичне наукове позначення, яке дуже корисно для написання дуже великих і дуже малих чисел.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Великі числа в наукових позначеннях:

    1. 1 трлн пишеться як\(1 \times 10^{12}\) в науковому позначенні.
    2. 4 трильйони написано як\(4 \times 10^{12}\) в науковому позначенні.
    3. 1 googol пишеться як\(1 \times 10^{100}\) в науковому позначенні.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    1. 0.00000547 написано як\(5.47 \times 10^{-6}\) у науковому позначенні.
    2. 0.00031 пишеться як\(3.1 \times 10^{-4}\) в науковому позначенні.

    Число 45 600 000 - це велика кількість, і, в основному, є\(4.56 \times 10,000,000\). Отже, його можна записати як\(4.56 \times 10^{7}\)

    Аналогічно, якщо розглядати число\(0.00006772 .\) Це невелике число, яке є\(6.772 \times \frac{1}{100000}\). Тобто його можна записати як\(6.772 \times 10^{-5}\).

    Числа\(4.56 \times 10^{7}\) і, як кажуть,\(6.772 \times 10^{-5}\) записуються в наукові
    позначення, оскільки число перед степеню 10 більше (або дорівнює) 1\(10,\) і менше, а десяткове число супроводжується множенням на ступінь\(10 .\)

    Стандартна форма та наукові позначення

    \ (\ begin {масив} {ll}
    \ підкреслювати {\ текст {Стандартна форма}} &\ підкреслювати {\ текст {Наукові позначення}}\ 34,500,000 & 3.45\ раз 10^ {10}\\
    0.0000000000889 & 8.89\ times 10^ {-9}
    \ end {масив}\)

    Нагадаємо з глави 3, як множення або ділення десяткового числа на\(10,100,100, \ldots\) впливає на позицію десяткової крапки.

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Наведених чисел немає в науковому позначенні. Змініть кожен так, щоб ваша відповідь була в науковому позначенні:

    1. \(1500=1.5 \times 10^{3}\)
    2. \(225000=2.25 \times 10^{5}\)
    3. \(0.0155=1.55 \times 10^{-2}\)
    4. \(0.00000094=9.4 \times 10^{-7}\)

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Заданих чисел немає в науковому позначенні (подивіться на десяткове число і подивіться, що воно або менше 1, або більше 10). Змініть кожен так, щоб ваша відповідь була в науковому позначенні:

    1. \(56.7 \times 10^{8}=5.67 \times 10^{9}\)
    2. \(88.9 \times 10^{-7}=8.89 \times 10^{-6}\)
    3. \(0.55 \times 10^{9}=5.5 \times 10^{8}\)
    4. \(0.88 \times 10^{-4}=8.8 \times 10^{-5}\)

    Корисна порада: Зауважте, що дані числа не були в наукових позначеннях, оскільки десяткове число було або більше 10, або менше 1. Щоб змінити десяткове число і переписати дане число в наукові позначення, ми або збільшуємо його розмір, і таким чином ми повинні зменшити розмір показника, або, ми зменшуємо його розмір, і, таким чином, ми повинні збільшити розмір показника.

    Множення та ділення з використанням наукових позначень

    Групуючи десяткові числа разом, а ступінь 10 членів разом стає легко множити і ділити числа в наукових позначеннях. Для початку нам потрібно згадати властивості експонент (нам потрібна лише база 10 для цього розділу):

    Властивості експонентів (для основи 10)

    1. Властивість продукту\(10^{m} \cdot 10^{n}=10^{m+n}\)

    Приклади:\(10^{2} \cdot 10^{5}=10^{2+5}=10^{7}\) і\(10^{-9} \cdot 10^{3}=10^{-9+3}=10^{-6}\)

    2. Частота власності\(\frac{10^{m}}{10^{n}}=10^{m-n}\)

    Приклади:\(\quad \frac{10^{5}}{10^{3}}=10^{5-3}=10^{2}\) і\(\frac{10^{5}}{10^{-4}}=10^{5-(-4)}=10^{5+4}=10^{9}\)

    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    Виконайте дану операцію:

    1. \(\left(2.3 \times 10^{8}\right)\left(3 \times 10^{-4}\right)=(2.3 \cdot 3) \times\left(10^{8} \cdot 10^{-4}\right)=(2.3 \cdot 3) \times 10^{8+(-4)}=6.9 \times 10^{4}\)
    2. \(\frac{6.4 \times 10^{-9}}{3.2 \times 10^{-5}}=\frac{6.4}{3.2} \times \frac{10^{-9}}{10^{-5}}=\frac{6.4}{3.2} \times 10^{-9-(-5)}=2 \times 10^{-4}\)

    Корисна порада: Зверніть увагу, як коли ми множимо, ми додали показники, а коли ми ділили, ми віднімаємо показник у знаменнику від показника в чисельнику. Ми просто дотримувалися правил експоненти.

    Приклад\(\PageIndex{6}\)

    Виконайте дану операцію і напишіть свою відповідь в науковому позначенні:

    1. \(\left(6.2 \times 10^{8}\right)\left(3.0 \times 10^{7}\right)=6.2 \cdot 3 \times 10^{8+7}=18.6 \times 10^{15}=1.86 \times 10^{16}\)
    2. \(\frac{\left(4 \times 10^{5}\right)}{8 \times 10^{-3}}=\frac{4}{8} \times 10^{5-(-3)}=0.5 \times 10^{8}=5.0 \times 10^{7}\)

    Примітка: Написання\(5.0 \times 10^{7}\) - це те саме, що і написання\(5 \times 10^{7}\). Вони взаємозамінні.

    Приклад\(\PageIndex{7}\)

    Виконайте дану операцію і напишіть свою відповідь в науковому позначенні:

    \(\frac{\left(2.1 \times 10^{3}\right)\left(3.2 \times 10^{-8}\right)}{\left(2 \times 10^{4}\right)\left(3 \times 10^{9}\right)}=\frac{6.72 \times 10^{-5}}{6 \times 10^{13}}=1.12 \times 10^{-18}\)

    Приклад\(\PageIndex{8}\)

    Борг нації становить 7 трильйонів доларів, а є 300 тисяч жителів. Якби борг розподілявся рівномірно між усіма жителями, скільки довелося б платити кожній людині, щоб погасити борг?

    Щоб відповісти на це питання, ми повинні розділити:\(\frac{7 \text { trillion dollars }}{300 \text { million people }}\).

    Оскільки ми маємо справу з великими числами, змінюємо кожен на наукові позначення і виконуємо поділ, щоб знайти суму, яку потрібно виплачувати на людину:

    \(\frac{7 \times 10^{15}}{3 \times 10^{11}}\)доларів на людину,\(=\frac{7}{3} \times 10^{4}\) долари на людину,\(\approx 2.3333 \times 10^{4}\) долари на людину.

    У стандартному вигляді сума припадає\(\$ 23,333\) на людину.

    Проблема виходу

    Обчислити і записати відповідь в науковому позначенні:

    \[\frac{\left(6.2 \times 10^{2}\right)\left(1.5 \times 10^{-4}\right)}{3.1 \times 10^{-9}} \nonumber\]