1.5: Десяткові числа

Розглянемо число\(23.7456\). Кожна цифра займає «місце». The 2 знаходиться в десятках місце, три в одному місці, 7 в десятому місці, 4 в сотих місці, 5 в тисячних місце, і 6 в десятьтисячному місці. Чому? Тому що:

\[23.7456=2 \cdot 10+3 \cdot 1+7 \cdot \frac{1}{10}+4 \cdot \frac{1}{100}+5 \cdot \frac{1}{1000}+6 \cdot \frac{1}{10,000}\nonumber\]

Округлення

Округлення пов'язане з вирізанням або обрізанням числа, і що округлення компенсує втрачений хвостик числа. Наприклад, щоб округлити задане число до найближчого десятого, дивимося на одну цифру праворуч від десятого місця (соті місця) і якщо вона більше або дорівнює 5, додаємо одну на десяте місце і прибираємо всі цифри вправо, інакше десяте місце залишаємо як є і прибираємо все цифри праворуч.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

1. 234,45 округлено до найближчого десятка дорівнює 230.
2. 45,6 округлених до найближчих (ціле число) дорівнює 46.
3. 34.555 округлено до найближчої десятої дорівнює 34.6.
4. 34.54 округлено до найближчої десятої дорівнює 34,5.
5. 34,95 округлено до найближчої десятої дорівнює 35,0.
6. 34,554 округлено до найближчої сотої дорівнює 34,55.
7. 56.7874778 округлено до найближчого десятитисячного дорівнює 56.7875

Додавання та віднімання десяткових чисел

Щоб додати десяткові числа, ми вибудовуємо десяткові крапки, і всюди, де є відсутня цифра, ми заповнюємо її нулем. Наприклад, додайте 45.23 і 2.3:

\ [\ begin {масив} {rrrrr}
4 & 5 &. & 2 & 3\\
+ & 2 &. & 3 & 0\\
\ hline 4 & 7 &. & 5 & 3
\ end {масив}\ nonumber\]

Віднімання відбувається аналогічно. Щоб відняти 45.23 з 2.3 спочатку відзначимо, що відповідь повинна бути негативною і переходимо до віднімання 2.3 з 45.23:

\ [\ begin {масив} {lllll}
4 & 5 &. & 2 & 3\\
- & 2 &. & 3 & 0\\
\ hline 4 & 2 &. & 9 & 3
\ end {масив}\ nonumber\]

Отже, відповідь\(2.3-45.23=-42.93\)

Приклад 3.2

1. \(2.4+32.032=34.432\)
2. \(3.44+12.035=15.475\)
3. \(34.3-0.05=34.25\)
4. \(6.3-9.72=-3.42\)

Множення та ділення десяткових чисел

Множення і ділення десяткових чисел на 10, 100, 1000,.

Спочатку розглянемо спеціальне множення десяткових знаків на 10, 100, 1000,.

\[\begin{align*} 12.415 &\times 10 &=124.15 \\ 12.415 &\times 100 &=1241.5 \\ 12.415 &\times 1000 &=12415 \end{align*} \nonumber\]

Коли ми множимо на 10, ми переміщаємо десяткову крапку вправо на одне місце (тому що 10 має один десятковий знак). Множення на 100 переміщує десяткову крапку на два розряди (тому що 100 має два знака після коми) і т.д.

\ (\ почати {масив} {л}
12.415\ div 10=1.2415\
12.415\ div 100=0.12415\
12.415\ div 1000=0.012415
\ кінець {масив}\)

Коли ми ділимо на 10, ми переміщаємо десяткову крапку вліво на одне місце (тому що 10 має один десятковий знак). Ділення на 100 переміщує десяткову крапку вліво на два розряди (тому що 100 має два знака після коми) і т.д.

\(10^{n}\) notation

\ [\ почати {масив} {l}
10=10^ {1}\\
100=10\ раз 10 = 10^ {2}\\
1000=10\ раз 10\ раз 10\ раз 10^ {3}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Зверніть увагу, що показник 10 в\(10^{n}\) позначенні відображає кількість нулів! Отже,\(10000=10^{4}(4 \text { zeros, exponent is } 4)\) і\(100,000=10^{5}, \ldots\)

Множення на\(10^{n}\)

Множення десяткового числа на\(10^{n}\) пересуває знаки після\(n\) коми вправо. Наприклад:

\ [\ почати {масив} {l}
5.435\ раз 10=54.35\
5.435\ раз 100=543.5\
5.435\ раз 10000=54350
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Множення десяткових чисел

Щоб помножити два десяткових числа, ми множимо так, ніби немає десяткової крапки, а потім розміщуємо десяткову крапку, як описано в наступному прикладі.

Приклад 3.3

Помножте 5,4 на 1,21.

Рішення

\ (\ begin {масив} {rrrr}
& 1 & 2 & 1\
\\ час & & 5 & 4\\
\ hline & 4 & 4 & 8 & 4\\\
& 4\\ & 6 & 0 & 0\\
\ hline & 6 & 5 & 5 & 3 & 4
\ кінець {масив}\)

Тепер, щоб виписати відповідь, ми помічаємо, що є дві цифри після десяткової крапки в першому числі\(1.21,\) і одна цифра після десяткової крапки в другому\(5.4 .\) числі. Тоді твір повинен мати 3 цифри після десяткової крапки. Отже,\(5.4 \times 1.21=6.534\)

Приклад 3.4

Помножте 3,72 на 13.

Рішення

\ (\ begin {масив} {rrrr}
& 3 & 7 & 2\
\\ час & & 1 & 3\\
\ hline & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
& 3\\ & 3 & 7 & 0\
\\ hline & 4 & 8 & 3 & 6
\ кінець {масив}\)

Тепер, щоб виписати відповідь, ми помічаємо, що є дві цифри після коми в 3.72, тоді як 13 не має десяткової частини. Потім продукт повинен мати 2 цифри після десяткової крапки:\(3.72 \times 13=48.36\)

Ділення десяткових чисел

Ділення десяткового числа багато в чому схоже на ділення цілого числа, за винятком того, що ви використовуєте позицію десяткової крапки в дивіденді для визначення десяткових знаків у результаті.

Приклад 3.5

1. \(6.5 \div 2\)
2. \(55.318 \div 3.4\)

Рішення

а) Ділимо як зазвичай:

Якщо дільник не входить в дивіденд рівномірно, додайте нулі праворуч від останньої цифри в дивіденді і продовжуйте до тих пір, поки залишок не буде дорівнює 0, або не з'явиться повторюваний візерунок. Помістіть позицію десяткової крапки у вашій відповіді безпосередньо над десятковою крапкою у дивіденді.

б)

Якщо дільник не є цілим числом, перемістіть десяткову крапку в дільнику вправо (щоб зробити його цілим числом). Потім перемістіть десяткову крапку в дивіденд на таку ж кількість знаків.

У цьому прикладі перемістіть десяткову крапку на одне місце вправо для дільника від 3.4 до\(34 .\) Таким чином, також перемістіть десяткову крапку на одне місце вправо для дивіденду, від 55,318 до 553.18.

Перетворення десяткових дробів на дроби

Перетворити десяткове число в дріб так само просто, як розпізнати місце правої самої цифри.

Приклад: Зверніть увагу, що в цифрі\(2.45,\) найправіша цифра 5 знаходиться в сотих місцях так\(2.45=\frac{245}{100}=\frac{49}{20}\) або\(2 \frac{9}{20}\)

Приклад 3.6

Ось ще кілька прикладів:

1. \(1.2=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}\)або\(1 \frac{1}{5}\)
2. \(0.0033=\frac{33}{10,000}\)
3. \(0.103=\frac{103}{1000}\)

Перетворення дробів на десяткові

Щоб перетворити дріб у десятковий, ви просто виконуєте довге ділення.

Приклад 3.7

Перетворення заданого дробу в десятковий:

1. \(\frac{4}{5}=4 \div 5=0.8\)
2. \(3 \frac{4}{5}=3+4 \div 5=3.8\)
3. \(\frac{13}{2}=6 \frac{1}{2}=6+1 \div 2=6.5\)
4. (округлити до найближчої десятої)\(\frac{3}{7}=3 \div 7=0.42857 \cdots \approx 0.4\)

Перетворення десяткових знаків у відсотки та відсотки до десяткових знаків

«Відсоток» походить від латинської мови і означає на сто. Ми використовуємо знак\% для Por, наприклад, якщо ви знаєте, що\(25 \%\) студенти вільно говорять іспанською мовою, це означає, що 25 з кожних 100 студентів вільно говорять іспанською мовою. Представлений як дріб, це було б\(\frac{25}{100}\) і як десяткова 0.25.

Приклад 3.8

Перетворіть заданий відсоток у дріб, а потім у десятковий:

1. \(17 \%\)є\(\frac{17}{100}=0.17\)
2. \(31 \%\)є\(\frac{31}{100}=0.31\)
3. \(23.44 \%\)є\(\frac{23.44}{100}=0.2344\)

Приклад 3.9

Перетворіть задане десяткове число в дріб, а потім у відсотки:

1. \(0.55=\frac{55}{100}\)який є\(55 \%\)
2. \(8.09=\frac{809}{100}\)який є\(809 \%\)
3. \(98.08=\frac{9808}{100}\)який є\(9808 \%\)
4. \(0.5=\frac{50}{100}\)який є\(50 \%\)

Проблема виходу

Розділити:\(782.56 \div 3.2\)