1.1: Цілі числа

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57981

Samar ElHitti, Marianna Bonanome, Holly Carley, Thomas Tradler, & Lin Zhou
CUNY New York City College of Technology & NYC College of Technology via New York City College of Technology at CUNY Academic Works

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Почнемо з короткого огляду арифметики з цілими числами, тобто.$\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots$

$clipboard_e27396619f1f16ac802dfddc2eb5b9e14.png$

Будь-яке число має вагу і знак.

Величина (або вага) числа - це відстань від 0 на числовому рядку.

Приклад 1.1

Наприклад, вага -5 дорівнює 5, а вага 7 - 7.

Два числа протилежні, якщо на числовій лінії вони знаходяться з протилежних сторін нуля, але на однаковій відстані від нуля.

Отже, −5 є протилежністю 5, а 7 - протилежність −7 тощо.

Додавання

Ми можемо додати два числа за допомогою числового рядка.

Приклад 1.2

Додавання двох позитивних чисел: Наприклад, щоб додати$3 + 4$, ми починаємо з 3 на числовому рядку, а потім переміщаємо 4 одиниці вправо. Ми приземлимося на 7, що є нашою відповіддю.

$clipboard_eaa50e36932df7b766570bbd966c0b891.png$

Отже,$3+4=7$. Зверніть увагу, що відповідь має той самий знак, що і знаки 3 і 4 (обидва позитивні), і його вага походить від додавання ваг 3 і 4.

Ви завжди рухаєтеся вправо, коли додаєте позитивне число

Приклад 1.3

Додавання двох негативних чисел: Наприклад,$-10+(-4)$ означає, що ви додаєте борг$\$ 4$ до вже існуючого боргу$\$ 10 .$ Отже, ми починаємо з -10 на числовому рядку і переміщаємо 4 одиниці вліво, щоб приземлитися на$-14,$ якій є відповідь.

Ви завжди рухаєтеся вліво, коли додаєте негативне число (борг)

$clipboard_eee2362c20546ec074bbf0b8b3adda4da.png$

Отже,$-10+(-4)=-14$. Зверніть увагу, що відповідь має той самий знак, що і знаки -10 і -4 (обидва негативні), і його вага походить від додавання ваг -10 і -4

Щоб додати числа протилежних знаків, тобто позитивного і негативного числа, ми також можемо використовувати числовий рядок. Наприклад, для виконання$10+(-4),$ ми починаємо з 10 на числовій лінії, а потім переміщаємо 4 одиниці вліво. Ми приземлимося$6,$, на якій є відповідь. Подумайте про наявність$10+(-4)$$\$ 10$ та додавання$\$ 4$ боргу. Оскільки ми додаємо борг, ми рухаємося вліво по цифровому рядку!

$clipboard_e5f26f5be4b0d41bdec3fe18706e5872a.png$

Отже,$10+(-4)=6 .$ зверніть увагу, що відповідь має той же знак, що і знак 10 (позитивний), оскільки це число більшої ваги, а його вага походить від знаходження різниці ваг 10 і -4

Зверніть увагу, що оскільки ми додавали два числа протилежних знаків, відповідь закінчилася різницею у вазі (6) разом із знаком числа більшої ваги (позитивної).

Приклад 1.4

Додавання двох чисел протилежних знаків: Наприклад,$3+(-7)$. Ми починаємо з 3 і рухаємося до 7 одиниць вліво, і ми приземлимося, на$-4,$ якому наша відповідь.

$clipboard_e1ba5d44ff12d55c3451665b676fcc295.png$

Отже,$3+(-7)=-4 .$ Зверніть увагу, що відповідь має той же знак, що і ознаки -7 (негативний), оскільки це число більшої ваги, а його вага походить від знаходження різниці ваг 3 і -7.

Приклад 1.5

Додавання протилежностей: Ми починаємо з -5 на числовій лінії і перестрибуємо вправо 5 одиниць, щоб нарешті приземлитися$0$. Отже$-5+5=0$.

$clipboard_e85bc9d5c97ba98d476cda6c4a64a8492.png$

Примітка 1.6

Два протилежних числа називаються нульовою парою, тому що додавання їх завжди призводить до 0.

Отже, −5 і 5 є нульовою парою.

Додавання цілих чисел

Щоб скласти два числа одного знака, додайте їх ваги і поставте після знака.
Щоб скласти два числа протилежних знаків, знайдіть різницю їх ваги і поставте її після знака числа з більшою вагою.

Приклад 1.7

Додати:

$-8+19=11$
$-8+4=-4$
$6+(-9)=-3$
$7+(-2)=5$
$(-4)+(-7)=-11$
$8+7=15$

Примітка 1.8

Хоча ми можемо складати в будь-якому порядку:$4+2=2+4$ іноді зручно скласти всі негативні числа і скласти всі позитивні числа, а потім додати результати. Бувають також випадки, коли краще помітити певні спрощення, якщо цифри додаються в іншому порядку.

Наприклад

\[-5+4+5+(-8)=-5+(-8)+4+5(\text { by reordering })\nonumber\]

Отже,

\[−5 + 4 + 5 + (−8) = −5 + (−8) + 4 + 5 = −13 + 9 = −4 \nonumber\]

Ми могли б також спростити це, зазначивши, що (-5) і 5 нульова пара, тому ми залишилися з$4+(-8)$ яким -4.

Приклад 1.9

Ми можемо розрахувати

\[(-4)+(-5)+7+(-3)=(-4)+(-5)+(-3)+7=(-12)+7=-5\nonumber\]

Ми могли б спростити це, зазначивши, що (-4) і (-3) роблять -7, і -7 і 7 нульова пара, так що загальна -5.

Віднімання (як додавання протилежного)

Як тільки ми знаємо, як додати числа, ми налаштовані на віднімання чисел, оскільки віднімання - це не що інше, як додавання протилежного. Тобто віднімання 8 − 3 (що говорить: віднімання 3 з 8) є таким самим, як 8 + (−3) (що говорить: Додавання −3 до 8).

Приклад 1.10

Отже,$8-3=8+(-3),$ і, ми можемо використовувати правила додавання двох чисел протилежних знаків, щоб з'ясувати, що відповідь$5 .$ Ми також можемо використовувати числовий рядок. Починаємо з 8 і переміщаємо 3 одиниці вліво (додавання -3 - це додавання боргу, тому рухаємося вліво). Отже,$8-3=5 .-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8$ Кінець Початок Перемістити 3 одиниці вліво

Приклад 1.11

Для обчислення спочатку$3-7$ перепишемо його як завдання додавання. $3-7=3+(-7) .$Ми можемо або використовувати числовий рядок, або правила додавання двох чисел протилежних знаків. І,$50,3-7=3+(-7)=-4$

Приклад 1.12

Для обчислення спочатку$-4-1,$ перепишемо його як завдання додавання. $-4-1=-4+(-1) .$Ми можемо або використовувати числовий рядок, або правила додавання двох чисел однакових знаків. Якщо ми хочемо використовувати правила, обидва числа є негативними, тому наша відповідь буде негативною, і, додаючи ваги -4 і -1 є$5.50,-4-1=-4+(-1)=-5$

На числовому рядку ми починаємо з -4 і переміщаємо 1 одиницю вліво, щоб приземлитися на -5, що є нашою відповіддю.

$clipboard_ef49f8d4826c75421c7da84c33f0e51ed.png$

Зміна віднімань на додавання таким чином особливо корисна при додаванні або відніманні декількох чисел (тому що ми можемо додавати в будь-якому порядку).

Приклад 1.13

$\begin{align*} & − 3 − 7 + 5 + 7 + 13 − 6 − (−9) \\ = & −3 + (−7) + 5 + 7 + 13 + (−6) + 9 \\ = & −3 + (−7) + (−6) + 5 + 7 + 13 + 9 \\ = & 18 \end{align*}$

$\begin{align*} & − 3 − 7 + 5 + 7 + 13 − 6 − (−9) \\ = & −3 + (−7) + 5 + 7 + 13 + (−6) + 9 \\ = & 5 + 13 \\ = & 18 \end{align*}$

Зауваження 1.14

Попередження: Символ «-» використовується двома різними способами. Коли він знаходиться між двома виразами, це означає віднімання (наприклад,$3-4$). В іншому випадку це означає «протилежний» або «негативний» (наприклад,$-3+4$). Так у виразі$-4-(-3)$ перше і останнє «-» означає протилежне, а те, що в середині означає відняти. Важливість розуміння цього неможливо переоцінити.

Множення та ділення позитивних чисел

Множення цілих чисел - це додавання в тому сенсі, що$3 \times 4=4+4+4$

Для множення більших чисел краще скористатися звичайною схемою множення. Наприклад:

Приклад 1.15

Помножимо 152 на 34. Ми заради зручності поставимо меншу цифру на дно (правда, це не обов'язково). У нас є

\ (\ begin {масив} {lllll}
& 1 & 5 & 2\\\
&\ час & 3 & 4\\
\ hline & 6 & 0 & 8\\\
+ & 4 & 5 & 0 & 6\\\\ hline & 5 & 5
\\ hline & 5 & 1 & 6 & 8
\ кінець {масив}\)

І ділення протилежне множення в тому сенсі, що для обчислення$45 \div 9$ це знайти число так, що коли ми множимо на 9 ми отримуємо 45. Ми пробігаємо по нашим таблицям множення (які, сподіваємось, у нашій голові), щоб виявити, що 5 робить трюк:$5 \times 9=45$ так що$45 \div 9=5 .$ Ми будемо обговорювати поділ з іншої точки зору, коли обговорюємо дроби.

Щоб розділити більші числа, ми можемо використовувати довге ділення. Для прикладу розділимо 3571 на 11.

Приклад 1.16

$clipboard_ed2fdc4ec400b113cc20c5b966357c36d.png$

Множення за участю від'ємних чисел

Множення трохи складно зрозуміти без поняття розподілу (розглянуто далі). Почнемо з того, що знову зазначає, що означає помножити число на додатне число: Отже, якщо ми хочемо обчислити,$4 \cdot(-7)$ ми відзначаємо

\[4 \cdot(-7)=(-7)+(-7)+(-7)+(-7)=-28\nonumber\]

Зверніть увагу, що оскільки$4 \cdot 7=28,4 \cdot(-7)=-(4 \cdot 7) .$ Ми можемо помножити позитивні числа в будь-якому порядку:$4 \cdot 7=7 \cdot 4$. Те ж саме стосується позитивних і негативних чисел:

\[(-7) \cdot 4=4 \cdot(-7)=-(4 \cdot 7)=-28\nonumber\]

Приклад 1.17

$5 \cdot(-12)=-(5 \cdot 12)=-60$і$(-3) \cdot(-2)=-(3 \cdot(-2))=-(-(3 \cdot 2))=6$

Приклад 1.18

Так що розмір твору двох чисел - це добуток їх розмірів. Знак позитивний, якщо ознаки однакові і негативні, якщо вони різні.

Приклад 1.19

Дві величини поруч один з одним, без символу між ними (за винятком дужок навколо будь-якого або обох чисел), мають неявне множення. Наприклад,$3(2)=3 \times 2$.

Приклад 1.20

Помножити:

$(-5)(-8)=40$
$(-6) \cdot 7=-42$
$4 \cdot 12=48$
$(-3)(-6) \cdot 4(-3)=18 \cdot 4(-3)=72(-3)=-216(\text { multiplying from left to right })$
$(-3)(-5) \cdot 4(-2)=(-3) \cdot 4 \cdot(-5)(-2)=-12 \cdot 10=-120($так як ми можемо множити в довільному порядку (це зручно бачити$-5 \cdot-2=10 .$)

Показники цілих чисел

Нагадаємо, що додатна експонента представляє кількість разів, коли число множиться на себе.

Приклад 1.21

Оцініть:

$5^{2}=5 \cdot 5=25$
$(-4)^{3}=(-4) \cdot(-4) \cdot(-4)=16 \cdot(-4)=-64$
$(-7)^{1}=-7$
$-2^{4}=-2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=-16$Примітка: Показник тут дорівнює 2, а не −2!
$(-3)^{4}=(-3) \cdot(-3) \cdot(-3) \cdot(-3)=9 \cdot(-3) \cdot(-3)=-27 \cdot(-3)=81$
$(-2)^{5}=(-2) \cdot(-2) \cdot(-2) \cdot(-2) \cdot(-2)=-32$

Правила експоненти детально будуть розглянуті в розділі 5.

Ділення з від'ємними числами

Ділення - це лише питання знання множення і тому має одне і те ж правило: розмір частки двох чисел є часткою розмірів. Знак позитивний, якщо ознаки однакові і негативні, якщо вони різні.

Приклад 1.22

Розділити:

$(-42) \div 7=-6$
$81 \div(-9)=-9$
$(-35) \div(-7)=5$
$14 \div 2=7$
$0 \div 5=0$. Примітка. При діленні 0 на будь-яке число відповідь завжди дорівнює 0.
$-10 \div 0=$невизначений.

Примітка 1.23

Будь-яке число, розділене на 0, не визначено!

Множення та ділення цілих чисел

Розглянемо два числа одночасно.

Якщо ознаки двох чисел однакові, то знак відповіді позитивний.
Якщо ознаки двох чисел різні, то знак відповіді негативний.