2.8: Коріння та факторизація многочленів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58750

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У цьому розділі ми використаємо деякі навички, які ми бачили в попередніх розділах, щоб знайти всі корені поліноміальної функції (як дійсної, так і комплексної), а також перерахунку полінома як добутку простих множників з цілими коефіцієнтами.
Приклад
Знайти всі дійсні та складні корені для заданого рівняння. Висловіть заданий многочлен як добуток простих множників з цілими коефіцієнтами.
$2 x^{3}-3 x^{2}+2 x-8=0$
Спочатку ми проведемо графік полінома, щоб побачити, чи зможемо ми знайти реальні корені з графіка:
$clipboard_e8eb093603e45a425a1b025501b56e570.png$
Ми бачимо, що є корінь в$x=2 .$ Це означає, що многочлен матиме коефіцієнт$(x-2) .$ Ми можемо використовувати Синтетичний поділ знайти будь-які інші фактори. Тому що$x=2$ це корінь, ми повинні отримати нульовий залишок:
$clipboard_ebc1dd0fab74440b974eb51f8e6f64f73.png$
Отже, тепер ми це знаємо$2 x^{3}-3 x^{2}+2 x-8=(x-2)\left(2 x^{2}+x+4\right)$. Для завершення завдання ми можемо встановити кожен множник рівним нулю і знайти коріння:
\ [
\ begin {масив} {c}
2 x^ {3} -3^ {2} +2 x-8=0\
(x-2)\ left (2 x^ {2} +x+4\\ праворуч)
=0\\ x-2 = 0\ quad 2 x^ {2} +x+4=0\
x=2 чотири х\ приблизно 0,25\ пм 1.392 i
\ end {array}
\]
Давайте розглянемо приклад, який має більше одного реального кореня:

Приклад
Знайти всі дійсні та складні корені для даного рівняння. Висловіть заданий многочлен як добуток простих множників з цілими коефіцієнтами.
\ [
3 x^ {4} +5 x^ {3} -45 x^ {2} +19 x-30=0
\]
Спочатку ми проведемо графік полінома, щоб побачити, чи зможемо ми знайти реальні корені з графа:
$clipboard_eee512b6b735161ef5a50aefa9a5d9385.png$

Ми можемо бачити коріння, при$x=-5,3,$ яких означає, що$(x+5)$ і$(x-3)$ є обома факторами цього многочлена. Нам потрібно розділити на обидва ці фактори, щоб розбити многочлен. Спочатку ми ділимо на$(x-3):$
$clipboard_e306431e9058940377703f7a9e153612e.png$
А потім$(x+5):$
$clipboard_e82ce09925019a9cdc071947221c09896.png$
тепер ми знаємо, що$3 x^{4}+5 x^{3}-45 x^{2}+19 x-30=(x+5)(x-3)\left(3 x^{2}-x+2\right)$ і
так, щоб закінчити задачу:
\ begin {масив} {c}
3 x^ {4} +5 x^ {3} -45 x^ {2} +19 x-30=0\\
(x+5) (x-3)\ ліворуч (3 x^ {2} -x+2\ праворуч) =0\
x+5=0\ квадрад x-3 = 0\ квад 3 x ^ {2} -x+2=0\ x
= -5\ квад х = 3\ квадрад х\ приблизно\ розрив {1} {6}\ pm 0,799 i
\ кінець {масив}

Далі розглянемо приклад, де є корінь, який не є цілим числом:

Приклад

Знайти всі дійсні та комплексні корені для даного рівняння. Висловіть заданий многочлен як добуток простих множників з цілими коефіцієнтами.
$3 x^{3}+x^{2}+17 x+28=0$

Спочатку ми проведемо графік полінома, щоб побачити, чи зможемо ми знайти реальні корені з графіка:
$clipboard_e7190cc22ea9cf7bdc414452c4a7454d4.png$
Ми бачимо на графіку, що цей многочлен має корінь в$x=-\frac{4}{3}$. Це означає, що многочлен повинен мати коефіцієнт$3 x+4 .$ Ми можемо використовувати Синтетичний поділ, щоб знайти інший фактор для цього многочлена. Оскільки ми знаємо, що$x=-\frac{4}{3}$ це корінь, ми повинні отримати нульовий залишок:
$clipboard_e07a5c59f1052a4ed07cd6226e14d47a0.png$
Зверніть увагу, що, оскільки корінь, який ми використовували, був дріб, є загальний коефіцієнт 3 у відповіді на наш синтетичний відділ. Ми повинні врахувати це, щоб отримати
відповідь:
$\left(x+\frac{4}{3}\right)\left(3 x^{2}-3 x+21\right)=(3 x+4)\left(x^{2}-x+7\right)$
Отже, це означає, що:
\ begin {масив} {c}
3 x^ {3} +x^ {2} +17 x+28 = 0\\
(3 x+4)\ лівий (x^ {2} -x+7\ правий) =0\
3 x+4 = 0\ quad x^ {2} -x+7=0\\
x=-\ гідророзриву {4} {3}\ квад х\ приблизно 0,5\ пм 2.598 i
\ end {масив}

Вправи 2.8
Знайти всі реальні і складні корені для даного рівняння. Висловіть заданий многочлен як добуток простих множників з цілими коефіцієнтами.
Сет #1
1)$x^{4}-3 x^{3}+5 x^{2}-x-10=0$
2)$3 x^{3}-5 x^{2}+2 x-8=0$
3)$2 x^{4}-5 x^{3}+x^{2}+4 x-4=0$
4)$x^{4}+x^{3}-3 x^{2}-17 x-30=0$
5)$x^{4}-9 x^{3}+21 x^{2}+21 x-130=0$
6)$x^{4}-7 x^{3}+14 x^{2}-38 x-60=0$
7)$x^{5}-9 x^{4}+31 x^{3}-49 x^{2}+36 x-10=0$
8)$x^{4}+4 x^{3}+2 x^{2}+12 x+45=0$
9)$x^{4}-6 x^{3}+12 x^{2}-10 x+3=0$
10)$x^{4}-6 x^{3}+13 x^{2}-24 x+36=0$
11)$x^{5}-3 x^{4}+12 x^{3}-28 x^{2}+27 x-9=0$
12)$x^{5}+2 x^{4}-3 x^{3}-3 x^{2}+2 x+1=0$
Набір$\# 2$
13)$\quad 15 x^{3}-7 x^{2}+13 x+3=0$
14)$\quad x^{4}-5 x^{3}+3 x^{2}-11 x-20=0$
15)$\quad 6 x^{3}+13 x^{2}+12 x+4=0$
16)$\quad 6 x^{3}-5 x^{2}+5 x-2=0$
17)$\quad 4 x^{4}+20 x^{3}+29 x^{2}+10 x-15=0$
18)$\quad 3 x^{4}-4 x^{3}+10 x^{2}+12 x-5=0$
19)$\quad 2 x^{4}-3 x^{3}-6 x^{2}-8 x-3=0$
20)$\quad 12 x^{4}-53 x^{3}-31 x^{2}-19 x-5=0$
21)$\quad 12 x^{4}+4 x^{3}+x^{2}-3 x-2=0$
22)$\quad 3 x^{4}+13 x^{3}-26 x-40=0$