2.6: Поліноміальне довге поділ

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58757

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Поліноміальне довге ділення має багато подібностей з числовим довгим діленням, тому важливо, щоб ми розуміли, як і чому числове довге ділення працює так, як це відбувається, перш ніж обговорювати поліноміальне довге ділення. Спочатку ЯК?

З огляду на$87,462 \div 38$ числову задачу, першим кроком є визначення найвищого значення місця у відповіді.
$clipboard_ed2ba040a3071430f7b59823a75925680.png$
Часто першим кроком у числовому довгому діленні є сказати: «Чи 38 ділиться на$8 ? "$ «Ні». «Чи 38 ділиться на$87 ? "$ «Так». Це говорить нам про те, що перша цифра у відповіді буде більше 7 в$87,462,$ і, отже, буде в тисячах місце. Як тільки ми дізнаємося, що перша цифра у відповіді буде в тисячах місце, наступне питання - «Скільки тисяч?» Ми можемо визначити це,$2 *$$38=76$ але$3 * 38=114$ (занадто великий), тому ми знаємо, що перша цифра у відповіді буде$2 .$ Тоді ми віднімаємо, включаємо 4 і вивчаємо, що залишилося, щоб продовжити.
$clipboard_e6b232f274d05283aec148c5d3d9f1e89.png$
Тут ми бачимо, що$114 \div 38=3$, тому ми знаємо, що наступна цифра у відповіді буде 3
$clipboard_ecd4d4dabc0b1d7619e9f810ee7ce4ba7.png$
Після включення$6,$ ми можемо бачити, що 38 не ділиться рівномірно на$6,$ так що ми ставимо нуль як наступну цифру в нашому відповісти і продовжити:

$clipboard_e4b25d2a075dea6e8eea5aaea5560f3c2.png$
Тепер, коли ми включили всі цифри з нашого вихідного числа$87,462,$, останній крок полягає в тому, щоб розділити 38 на$62 .$ Це йде один раз з 24 залишилося.

Отже, тепер у нас є рішення оригінальної проблеми$87,462 \div 38=2,301 \mathrm{R} 24$ або
$2,301 \frac{24}{38}$
The WHY? алгоритму поділу довгої частини дещо прихований ЯК? На першому кроці ми визначаємо, яке місце буде містити першу цифру нашої відповіді. Коли ми визначаємо, що 38 ділиться на$87,$ це вказує на те, що перша цифра в нашій відповіді буде тисячами місця. Розділення 38 на 87 говорить нам, скільки тисяч буде. Потім віднімаємо:
\ [
\ begin {масив} {r}
87,462\\
-76,000\
\ hline
11,462
\ end {масив}
\]

Тепер нам потрібно визначити скільки разів 38 буде ділитися на$11,462 .$ Ми визначилися$300 * 38=11,400,$ потім віднімаємо, щоб подивитися, скільки залишилося:
\ [
\ begin {array} {r}
11,462\\
-11,400\\
\ hline
00,062
\ end { array}
\]
Ми бачимо, що нам не потрібні десятки в нашій відповіді, і що 38 ділиться на 62 один раз з 24 залишилося, таким чином відповідь 2 тисячі, 3 сотні, немає десятків, 1 і залишок,$24 .$ щоб перевірити відповідь, ми множимо$38 * 2301$ і додаємо 24:
\ [
\ begin {масив} {c}
2,301
\\
\ час 38\\ hline 18408\\
6903
\\ hline 87438\\
+24\
\ hline 87462
\ end {масив}
\
] Багаточлен довгий поділ працює приблизно так само, як числове довге ділення робить. З огляду на задачу$A \div B$, мета полягає в тому, щоб знайти частку$Q$ і залишок$R$ так, щоб$A=B * Q+R$
подивимося на це на прикладі$2 x^{4}+7 x^{3}+4 x^{2}-2 x-1 \div x^{2}+3 x+1$ або:
\ [
\ frac {2 x^ {4} +7 x^ {3} +4 x^ {2} -2 x-1} {x^ {2} +3 x+1}
\]
Отже, ми шукаємо, щоб відповісти на питання:
\ [
\ begin {масив} {cccccc}
A & = & B & * & Q & +R\\
2 x^ {4} +7 x^ {3} +4 x^ {2} -2 x-1 & = &\ лівий (x^ {2} +3 x+1\ праворуч) & * & (? +? +?) & +?
\ end {масив}
\]
Якщо ми хочемо, щоб множити$x^{2}+3 x+1$ раз щось і в кінцевому підсумку з$2 x^{4}+7 x^{3}+$$4 x^{2}-2 x-1,$ то, що ми множимо на буде мати почати з$2 x^{2},$ тому що
\ [
x^ {2} * 2 x^ {2} =2 x^ {4}
\]

Тепер ми працюємо з цим:
\ [
\ begin {масив} {cccc}
A & = & B & * & Q & +R\\
2 x^ {4} +7 x^ {3} +4 x^ {2} -2 x-1 & = &\ лівий (x^ {2} +3 x+1\ праворуч) & * &\ лівий (2 x ^ {2} +? +? \ праворуч) & +?
\ end {масив}
\]
Але$2 x^{2}$ не просто множиться на$x^{2}$, він також буде множитися на$3 x$ і$1 .$ так тепер у нас є:
\ [
\ begin {array} {ccccc}
A & = & B & * & * & підсилювач; Q & +R\\
2 x^ {4} +7 x^ {3} +4 x^ {2} -2 x-1 & = &\ лівий (x^ {2} +3 x+1\ праворуч) & * &\ ліворуч (2 x ^ {2} +? +? \ праворуч) & +? \\
& & =2 x^ {4} +6 x^ {3} +2 x^ {2} +? ? ? ? ?
\ end {масив}
\]

Питання, яке виникає, полягає в тому, що наступне множення$\left(? * x^{2}+? * 3 x+? * 1\right)$ потрібно додати тільки$1 x^{3}$ до нашої відповіді, тому що нам потрібно$7 x^{3}$ і ми вже маємо$6 x^{3}$ з попереднього множення. Це означає, що ми збираємося помножити далі на
$1 x:$
\ [
\ почати {вирівняний}
A &=\ квадрад B\ quad *\ quad Q\ quad+R\\
2 x^ {4} +7 x^ {3} +4 x^ {2} -2 x-1 &=\ лівий (x^ {2} +3 x+1\ праворуч) *\ лівий (2 x ^ {2} +1 x+? \ праворуч) +? \\
&=2 x^ {4} +6 x^ {3} +2 x^ {2}\\
&=\ quad 1 x^ {3} +3 x^ {2} +x\\
&=2 x^ {4} +7 x^ {3} +5 x^ {2} +1 x+? ? ?
\ end {aligned}
\]
У наступному раунді каліцтва, ми збираємося хочемо, щоб$5 x^{2}$ збити вниз,$4 x^{2},$ так що нам потрібно буде помножити на -1

\ [
\ почати {вирівняний}
A &=\ квадрад B\ quad *\ квадрад Q\ quad+R\\
2 x^ {4} +7 x^ {3} +4 x^ {2} -2 x-1 &=\ лівий (x^ {2} +3 x+1\ праворуч) *\ лівий (2 x ^ {2} +1 x-1\ праворуч) +0\
&\ = 2 x^ {4} +6 x ^ {2} 3} +2 x^ {2}\\
&=\ quad 1 x^ {3} +3 x^ {2} +x\\
& amp; =\ quad\ quad-1 x^ {2} -3 x-1\\
&=2 x^ {4} +7 x^ {3} +5 x^ {2} -2 x-1
\ end {вирівняний}
\]
Тепер ми також знаємо, що залишок дорівнює нулю, тому що$x^{2}+3 x+1$ ділиться рівномірно на$2 x^{4}+7 x^{3}+4 x^{2}-2 x-1$ і так:
\ [
2 x^ {4} +7 x^ {3} +4 x^ {2} - 2 x-1=\ left (x^ {2} +3 x+1\ right) *\ left (2 x^ {2} +1 x-1\ right)
\]
Цей метод робить міркування, що стоять за ділильними многочленами, дещо очевиднішими, ніж процес тривалого ділення, але він є більш громіздким. Спосіб, яким зазвичай наближається багаточленне довге ділення, полягає в наступному:
$clipboard_e6844c22fbb3ade41db7904a79287887f.png$
Тоді, як ми це робили в іншому методі, ми запитуємо: «На що ми повинні$x^{2}$ помножити, щоб отримати$2 x^{4} ?^{\prime \prime}$ відповідь:$^{\prime \prime} 2 x^{2 \prime \prime}$ Це перший член у нашій відповіді:
$clipboard_e7cbbe64f065d37ac2b0fcd9a75c2b610.png$
Потім ми множимо$2 x^{2}\left(x^{2}+3 x+1\right)$ і змінюємо всі знаки, щоб побачити, що нам залишиться з:
$clipboard_e925c204ba8a7317e34ef4d85629e7d7b.png$
Це означає, що$2 x^{4}$ ми будемо мати нам потрібно в нашій відповіді, а також шість з семи$x^{3}$ і два з чотирьох$x^{2}$. Тепер нам знадобиться$1 x^{3}$ наступне:
$clipboard_e7aa899f9db61c5cb4f625a6a817843c9.png$

Це означає, що нам потрібно буде помножити на$1 x$:
$clipboard_ed89447f91a5d341c3c631775e6768208.png$
Тут нам все ще потрібно підібрати a$-1 x^{2}$, що означає, що наше наступне множення буде з -1:
$clipboard_e88a85820281b3748939afbd248326c03.png$
Тому що$x^{2}+3 x+1$ ділиться рівномірно на у$2 x^{4}+7 x^{3}+4 x^{2}-2 x-1$ нас є нуль залишок. У наступному прикладі буде ненульовий залишок:

Приклад
поділу:
$\frac{3 x^{4}-8 x^{3}+19 x^{2}-15 x+10}{x^{2}-x+4}$

Спочатку налаштовуємо задачу:
$clipboard_efbaabb96fffae5db68554aca4c5c8243.png$
Потім, ми запитуємо: «На що нам потрібно$x^{2}$ помножити, щоб отримати$3 x^{4} ? "$ відповідь:
$clipboard_eb4da1474c2ccf5407726a4dd823488f4.png$
Потім множимо, міняємо знаки (віднімаємо) і об'єднуємо як терміни:
$clipboard_e67b5ec2c4ab9795adb03421c1ba2fa09.png$
Тепер нам потрібно буде помножити на знаки$-5 x,$ зміни і об'єднати як терміни:
$clipboard_e02a4c3a1d2a6ac1f1f8e011f9e12f546.png$
$2 x^{2}$ Нам потрібно буде помножити на 2, змінити знаки і об'єднати як терміни:
$clipboard_e89ea259b1b586107435786424a0225dc.png$

Оскільки немає позитивної сили$x$, що ми можемо$x^{2}$ помножити на, щоб отримати,$7 x,$ то це наш залишок:$7 x+2$
Так:
\ [
\ begin {масив} {ccccc}
A & = & B & * & Q & + & R\\
3 x^ {4} -8 x^ { 3} +19 x^ {2} -15 x+10 & =\ ліворуч (x^ {2} -x+4\ праворуч) & *\ ліворуч (3 x^ {2} -5 x+2\ праворуч) & + (7 x+2)
\ end {масив}
\]

Вправи 2.6
Знайдіть частку в кожній задачі.
1)$\frac{y^{3}-4 y^{2}+6 y-4}{y-2}$
2)$\frac{x^{3}-5 x^{2}+x+15}{x-3}$
3)$\frac{x^{3}-4 x^{2}-3 x-10}{x^{2}+x+2}$
4)$\frac{2 x^{3}-3 x^{2}+7 x-3}{x^{2}-x+3}$
5)$\frac{x^{4}+2 x^{3}-x^{2}+x+6}{x+2}$
6)$\frac{x^{4}+x^{3}+5 x^{2}+3 x+6}{x^{2}+x-1}$
7)$\frac{2 z^{3}+5 z+8}{z+1}$
8)$\frac{x^{5}+3 x+2}{x^{3}+2 x+1}$
9)$\frac{x^{4}+2 x^{3}+4 x^{2}+3 x+2}{x^{2}+x+2}$
10)$\frac{2 x^{4}+3 x^{3}+3 x^{2}-5 x-3}{2 x^{2}-x-1}$
11)$\frac{2 y^{5}-3 y^{4}-y^{2}+y+4}{y^{2}+1}$
12)$\frac{3 x^{5}-4 x^{3}+3 x^{2}+12 x-10}{x^{2}+2 x-1}$
13)$\frac{5 x^{4}-3 x^{2}+2}{x^{2}-3 x+5}$
14)$\frac{3 y^{3}-4 y^{2}-3}{y^{2}+5 y+2}$