2.3: Розв'язок поліноміальних нерівностей шляхом графікування

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58743

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У цьому розділі ми об'єднаємо поняття попередніх двох розділів для вирішення поліноміальних нерівностей. У розділі$2.2,$ ми розв'язали рівняння шляхом побудови графіків та знаходження$x$ -значень, які зроблені$y=0 .$ У вирішенні нерівності, ми будемо займатися пошуком діапазону$x$ значень, які роблять$y$ або більше, або менше, ніж$0,$ залежно від даної задачі.
Приклад
Розв'яжіть задану нерівність.
$2 x^{3}+8 x^{2}+5 x-3 \geq 0$
Спочатку графуємо функцію:
$clipboard_e3f8e47f913fd0e34106737c8e2343cf8.png$
Потім визначаємо інтервали$x$ -значень, які роблять$y$ значення більшим або рівним нулю, як зазначено в задачі.
$clipboard_e6b2909ccb26526cd094be44a912eed0f.png$
Зазначені корені функції$(A, B \text { and } C)$ є$x$ -значеннями, які$y$ дорівнюють нулю. Ці точки ділять графік між регіонами,$y$ де більше нуля, і регіонами$y$, де менше нуля. Рішенням даної нерівності$2 x^{3}+8 x^{2}+5 x-3 \geq 0$ є$\mathrm{A} \leq x \leq \mathrm{B}$ АБО$x \geq \mathrm{C}$
Коли ми знаходимо значення$\mathrm{A}, \mathrm{B}$$\mathrm{C}: \mathrm{A}=-3, \mathrm{B} \approx-1.366$ і$\mathrm{C} \approx 0.366,$ ми можемо
завершити вирішення проблеми.
$2 x^{3}+8 x^{2}+5 x-3 \geq 0$
$-3 \leq x \leq-1.366$АБО$x \geq 0.366$

Приклад
Розв'яжіть задану нерівність.
$x^{4}-2 x^{3}-5 x^{2}+8 x+3 \leq 0$
Спочатку ми графуємо функцію:
$clipboard_e0d1f896a2f4849e3bffdbc8dfefdf341.png$
У цій задачі ми шукаємо інтервали$x$ значень, які роблять$y$ менше або дорівнюють нулю. Спочатку ми визначаємо коріння функції:
$clipboard_e1ec85eef24e411dee8323fc1cd74e19d.png$
Далі ми визначимо інтервали, де$y$ значення менше нуля:
$clipboard_e23c9b391486aa6db2497514cd64fa7d8.png$
Отже, рішення початкової нерівності:
$x^{4}-2 x^{3}-5 x^{2}+8 x+3 \leq 0$
$-2.034 \leq x \leq-0.320$АБО$1.806 \leq x \leq 2.549$
У наступному прикладі ми будемо шукати, щоб визначити як інтервали, де$y$ більше нуля, так і інтервали, де$y$ менше нуля.

Приклад
Визначте інтервал (и), для якого$x^{3}+5 x^{2}+5 x+1 \geq 0$
Визначте інтервал (и) для якого Ще$x^{3}+5 x^{2}+5 x+1<0$
раз почнемо з графіка функції, щоб знайти коріння:
$clipboard_e83e7f20222ec2c78613c50fea074f1cd.png$

Тепер, коли ми визначили коріння, ми можемо визначити, де$y$ значення більше нуля і де вони менше нуля.

Бо$y \geq 0,$ ми бачимо, що це відповідає:$-3.732 \leq x \leq-1$ АБО$x \geq-0.268$
Бо$y<0,$ ми бачимо, що це відповідає:$x<-3.732 \mathrm{OR}-1<x<-0.268$

Вправи 2.3
1) Визначте інтервал (и) для якого$x^{3}-4 x^{2}+2 x+3 \geq 0$
Визначте інтервал (и) для якого$x^{3}-4 x^{2}+2 x+3<0$
2) Визначте інтервал (и) для якого$4 x^{3}-4 x^{2}-19 x+10 \geq 0$
Визначте інтервал (и), для якого$4 x^{3}-4 x^{2}-19 x+10<0$
3) Визначте інтервал (и) для якого$x^{3}-2.5 x^{2}-7 x-1.5 \geq 0$
Визначте інтервал (и) для якого$x^{3}-2.5 x^{2}-7 x-1.5<0$
4) Визначте інтервал (и), для якого$x^{3}-3.5 x^{2}+0.5 x+5 \geq 0$
Визначте інтервал (и), для якого$x^{3}-3.5 x^{2}+0.5 x+5<0$
5) Визначте інтервал (и), для якого$6 x^{4}-13 x^{3}+2 x^{2}-4 x+15 \geq 0$
Визначте інтервал (и), для якого$6 x^{4}-13 x^{3}+2 x^{2}-4 x+15<0$
6) Визначте інтервал (и), для якого$x^{4}-x^{3}-x^{2}+3 x-5 \geq 0$
Визначте інтервал (и), для якого$x^{4}-x^{3}-x^{2}+3 x-5<0$
7) Визначте інтервал (и) для якого$3 x^{4}+3 x^{3}-14 x^{2}-x+3 \geq 0$
Визначте інтервал (и) для який$3 x^{4}+3 x^{3}-14 x^{2}-x+3<0$
8) Визначте інтервал (и), для якого$4 x^{4}-4 x^{3}-7 x^{2}+4 x+3 \geq 0$
визначають інтервал (и), для якого$4 x^{4}-4 x^{3}-7 x^{2}+4 x+3<0$

Визначте інтервал (и), який задовольняє кожній нерівності.
9)$\quad x^{3}+x^{2}-5 x+3 \leq 0$
10)$\quad x^{3}-7 x+6>0$
11)$\quad x^{3}-13 x+12>0$
12)$\quad x^{4}-10 x^{2}+9<0$
13)$\quad 6 x^{4}-9 x^{2}-4 x+12 \geq 0$
14)$\quad x^{4}-5 x^{3}+20 x-16>0$
15)$\quad x^{3}-2 x^{2}-7 x+6 \leq 0$
16)$\quad x^{4}-6 x^{3}+2 x^{2}-5 x+2 \leq 0$
17)$\quad 2 x^{4}+3 x^{3}-2 x^{2}-4 x+2>0$
18) $\quad x^{5}+5 x^{4}-4 x^{3}+3 x^{2}-2 \leq 0$