10.6: Розв'язування квадратних рівнянь за квадратичною формулою
- Page ID
- 58493
Стандартна форма квадратного рівняння
Ми спостерігали, що квадратне рівняння - це рівняння виду
\(ax^2 + bx + c = 0, a \not = 0\).
де
- \(a\)- коефіцієнт квадратичного члена,
- \(b\)- коефіцієнт лінійного члена,
- \(c\)є постійним терміном.
Рівняння\(ax^2 + bc + c = 0\) є стандартною формою квадратного рівняння.
Набір зразків A
Визначте значення\(a, b\), і\(c\).
У\(3x^2 + 5x + 2 = 0\) рівнянні
\(a = 3\)
\(b = 5\)
\(c = 2\)
У\(12x^2-2x-1 = 0\) рівнянні
\(a = 12\)
\(b = -2\)
\(c = -1\)
У\(2y^2 + 3 = 0\) рівнянні
\(a = 2\)
\(b = 0\)-> Тому що рівняння може бути написано\(2y^2 + 0y + 3 = 0\)
\(c = 3\)
У\(-8y^2 + 11y = 0\) рівнянні
\(a = -8\)
\(b = 11\)
\(c = 0\)-> Так як\(-8y^2 + 11y + 0 = 0\)
У\(z^2 = z + 8\) рівнянні,
\(a = 1\)
\(b = -1\)
\(c = -8\)
Коли ми запишемо рівняння в стандартному вигляді, отримуємо\(z^2 - z - 8 = 0\)
Практика Set A
Визначте значення\(a, b\), і\(c\) в наступних квадратних рівняннях.
\(4x^2 - 3x + 5 = 0\)
- Відповідь
-
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
a &= 4\\
b &= -3\\
c &= 5
\ end {масив}\)
\(3y^2 - 2y + 9 = 0\)
- Відповідь
-
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
a &= 3\\
b &= -2\\
c &= 9
\ end {масив}\)
\(x^2 - 5x - 1 = 0\)
- Відповідь
-
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
a &= 1\\
b &= -5\\
c &= -1
\ end {масив}\)
\(x^2 - 4 = 0\)
- Відповідь
-
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
a &= 1\\
b &= 0\\
c &= -4
\ end {масив}\)
\(x^2 - 2x = 0\)
- Відповідь
-
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
a &= 1\\
b &= -2\\
c &= 0
\ end {масив}\)
\(y^2 = 5y - 6\)
- Відповідь
-
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
a &= 1\\
b &= -5\\
c &= 6
\ end {масив}\)
\(2x^2 - 4x = -1\)
- Відповідь
-
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
a &= 2\\
b &= -4\\
c &= 1
\ end {масив}\)
\(5x - 3 = -3x^2\)
- Відповідь
-
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
a &= 3\\
b &= 5\\
c &= -3
\ end {масив}\)
\(2x - 11 - 3x^2 = 0\)
- Відповідь
-
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
a &= -3\\
b &= 2\\
c &= -11
\ end {масив}\)
\(y^2 = 0\)
- Відповідь
-
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
a &= 1\\
b &= 0\\
c &= 0
\ end {масив}\)
Розв'язки всіх квадратних рівнянь залежать тільки і повністю від значень\(a, b\) і\(c\)
Квадратична формула
Коли квадратне рівняння записується в стандартному вигляді так, що значення\(a, b\), і легко\(c\) визначаються, рівняння можна вирішити за допомогою квадратної формули. Значення, які задовольняють рівнянню, знаходять шляхом підстановки значень\(a, b\), і\(c\) в формулу
\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
Майте на увазі, що символ плюс або мінус,\ pm, є лише скороченим способом або позначає дві можливості:
\(x = \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)і\(x = \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
Квадратичну формулу можна вивести за допомогою методу завершення квадрата.
Виведення квадратичної формули
Вирішіть\(ax^2 + bx = -c = 0\) для\(x\), заповнивши квадрат.
Відніміть\(c\) з обох сторін.
\(ax^2 + bx = -c\).
Розділіть обидві сторони на\(a\), коефіцієнт\(x^2\).
\(x^2 + \dfrac{b}{a}x = \dfrac{-c}{a}\)
Тепер у нас є відповідна форма для завершення квадрата. Візьміть половину коефіцієнта\(x\), квадрат його і додайте результат до обох сторін рівняння, знайденого на кроці 2.
а)\(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{b}{a} = \dfrac{b}{2a}\) дорівнює половині коефіцієнта\(x\).
б)\((\dfrac{b}{2a})^2\) квадрат однієї половини коефіцієнта\(x\)
\(x^2 + \dfrac{b}{a} + (\dfrac{b}{2a})^2 = \dfrac{-c}{a} + (\dfrac{b}{2a})^2\)
Ліва частина рівняння тепер є ідеальним квадратним тріноміалом і може бути врахована. Це дає нам:
\((x + \dfrac{b}{2a})^2 = \dfrac{-c}{a} + \dfrac{b^2}{4a^2}\)
Додайте два дроби в правій частині рівняння. РК-дисплей\(= 4a^2\).
\ (\ почати {масив} {змивання}
(x +\ dfrac {b} {2a}) ^2 &=\ dfrac {-4ac} {4a^2} +\ dfrac {b^2} {4a^2}\
(x +\ dfrac {b} {2a}) ^2 &=\ dfrac {-4a^2} {4a^2}\\
(х +\ dfrac {b} {2a}) ^2 &=\ dfrac {b^2 - 4ac} {4a^2}
\ кінець {масив}\)
Вирішити для\(x\) використання методу вилучення коренів.
\ (\ почати {масив} {Flushleft}
х +\ dfrac {b} {2a} &=\ пм\ sqrt {\ dfrac {b^2 - 4ac} {4a^2}}\
x +\ dfrac {b} {2a} &=\ пм\ dfrac {\ sqrt {\ sqrt {b^2 - 4ac}} {\ sqrt {\ sqrt {4ac} 2}} &\ sqrt {4a^2} = |2a| = 2|a| =\ пм 2a\\
x +\ dfrac {b} {2a} &=\ пм\ dfrac {\ sqrt {b^2 - 4ac}} {2a}\\
x &= -\ dfrac {b} {2a}\ pm\ dfrac {\ sqrt {b^2 - 4ac}} {2a} &\ текст {Додати ці два дроби}\\
x &=\ dfrac {-b\ pm\ sqrt {b^2 - 4ac}} {2a}
\ кінець {масив}\)
Набір зразків B
Розв'яжіть кожне з наступних квадратичних рівнянь, використовуючи квадратичну формулу.
\(3x^2 + 5x + 2 = 0\)
1. Визначте\(a, b\), і\(c\).
\(a = 3, b = 5, c = 2\)
2. Запишіть квадратичну формулу.
\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
3. Замінник.
\ (\ почати {масив} {змивний лівий}
х &=\ dfrac {-5\ пм\ sqrt {(5) ^2 - 4 (3)}} {2 (3)}\\
&=\ dfrac {-5\ пм\ sqrt {25 - 24}} {6}\\
&=\ dfrac {-5\ pm\ sqrt {1}} {6}\\
&=\ dfrac {-5 + 1} {6} & -5 + 1 = -4\ текст {і} -5 - 1 = -6
&=\ dfrac {-4} {6},\ dfrac {-6} {6}\
x &\ dfrac {-2} {3}, -1
\ кінець {масив}\)
Примітка: Оскільки ці корені є раціональними числами, це рівняння могло бути вирішено факторингом.
\(12x^2 - 2x - 1 = 0\)
1. Визначте\(a, b\), і\(c\).
\(a = 12, b = -2, c = -1\)
2. Запишіть квадратичну формулу.
\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
3. Замінник.
\ (\ почати {масив} {Flushleft}
х &=\ dfrac {(-2)\ пм\ sqrt {(-2) ^2 - 4 (12)}} {2 (12)}\\
&=\ dfrac {2\ pm\ sqrt {4 + 48}} {24} &\ текст {Спрощення}\\
&=\ dfrac {2\ pm\ sqr rt {52}} {24} &\ текст {Спрощення}\\
&=\ dfrac {2\ pm\ sqrt {4\ cdot 13}} { 24} &\ текст {Спрощення}\\
&=\ dfrac {2\ pm 2\ sqrt {13}} {24} &\ text {Зменшити. Фактор} 2\ text {з термінів чисельника.} \\
&=\ dfrac {2 (1\ пм\ sqrt {13})} {24}\
x &=\ dfrac {1\ пм\ sqrt {13}} {12}
\ end {масив}\)
\(2y^2 + 3 = 0\)
1. Визначте\(a, b\), і\(c\).
\(a = 2, b = 0, c = 3\)
2. Запишіть квадратичну формулу.
\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
3. Замінник.
\ (\ почати {масив} {змивний лівий}
х &=\ dfrac {-0\ пм\ sqrt {0^2 - 4 (2) (3)}} {2 (2)}\\
x &=\ dfrac {0\ pm\ sqrt {-24}} {4}
\ кінець {масив}\)
Це рівняння не має дійсного числового рішення, оскільки ми отримали від'ємне число під знаком радикала.
\(-8x^2 + 11x = 0\)
1. Визначте\(a, b\), і\(c\).
\(a = -8, b = 11, c = 0\)
2. Запишіть квадратичну формулу.
\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
3. Замінник.
\ (\ почати {масив} {Flushleft}
х &=\ dfrac {-11\ pm\ sqrt {11^2 - 4 (-8) (0)}} {2 (-8)}\\
&=\ dfrac {-11\ pm\ sqrt {121 - 0}} {-16} &\ текст {Спрощення}\\
&=\ dfrac {-11\ pm\ sqrt {121}} {-16} &\ текст {Спрощення}\\
&=\ dfrac {-11\ pm 11} {-16}
x &= 0,\ dfrac {11} {8}
\ кінець {масив}\)
\((3x + 1)(x - 4) = x^2 + x - 2\)
1. Запишіть рівняння в стандартному вигляді.
\ (\ почати {масив} {змивний лівий}
3х^2 - 11х - 4 &= х ^ 2 + х - 2\
2x^2 - 12x - 2 &= 0\
x^2 - 6x - 1 &= 0
\ end {масив}\)
2. Визначте\(a, b\), і\(c\).
\(a = 1, b = -6, c = -1\)
3. Запишіть квадратичну формулу.
\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
4. Замінник.
\ (\ почати {масив} {змивний лівий}
х &=\ dfrac {- (-6)\ пм\ sqrt {(-6) ^2 - 4 (1)}} {2 (1)}\\
&=\ dfrac {6\ pm\ sqrt {36 + 4}} {2}\\
&=\ dfrac {6\ pm\ sqrt {40}} {2}\\
&=\ dfrac {6\ пм\ sqrt {4\ cdot 10}} {2}\\
&=\ dfrac {6\ pm 2\ sqrt {10}} { 2}\\
&=\ dfrac {2 (3\ пм\ sqrt {10}} {2}
\ кінець {масив}\)
\(x = 3 \pm \sqrt{10}\)
Практика Set B
Розв'яжіть кожне з наступних квадратичних рівнянь, використовуючи квадратичну формулу.
\(2x^2 + 3x - 7 = 0\)
- Відповідь
-
\(x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{65}}{4}\)
\(5a^2 - 2a - 1 = 0\)
- Відповідь
-
\(a = \dfrac{1 \pm \sqrt{6}}{5}\)
\(6y^2 + 5 = 0\)
- Відповідь
-
немає рішення дійсних чисел
\(-3m^2 + 2m = 0\)
- Відповідь
-
Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.
Вправи
Для наступних задач вирішуйте рівняння за квадратичною формулою.
\(x^2 - 2x - 3 = 0\)
- Відповідь
-
\(x=3, −1\)
\(x^2 + 5x + 6 = 0\)
\(y^2 - 5y + 4 = 0\)
- Відповідь
-
\(y=1, 4\)
\(a^2 + 4a - 21 = 0\)
\(a^2 + 12a + 20 = 0\)
- Відповідь
-
\(a=−2, −10\)
\(b^2 - 4b + 4 = 0\)
\(b^2 + 4b + 4 = 0\)
- Відповідь
-
\(b=−2\)
\(x^2 + 10x + 25 = 0\)
\(2x^2 - 5x - 3 = 0\)
- Відповідь
-
\(x = 3, -\dfrac{1}{2}\)
\(6y^2 + y - 2 = 0\)
\(4x^2 - 2x - 1 = 0\)
- Відповідь
-
\(x = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{4}\)
\(3y^2 + 2y - 1 = 0\)
\(5a^2 - 2a - 3 = 0\)
- Відповідь
-
\(a = 1, -\dfrac{3}{5}\)
\(x^2 - 3x + 1 = 0\)
\(x^2 - 5x - 4 = 0\)
- Відповідь
-
\(x = \dfrac{5 \pm \sqrt{41}}{2}\)
\((x+2)(x−1)=1\)
\((a+4)(a−5)=2\)
- Відповідь
-
\(a = \dfrac{1 \pm \sqrt{89}}{2}\)
\((x−3)(x+3)=7\)
\((b−4)(b+4)=9\)
- Відповідь
-
\(b = \pm 5\)
\(x^2 + 8x = 2\)
\(y^2 = -5y + 4\)
- Відповідь
-
\(y = \dfrac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}\)
\(x^2 = -3x + 7\)
\(x^2 = -2x - 1\)
- Відповідь
-
\(x=−1\)
\(x^2 + x + 1 = 0\)
\(a^2 + 3a - 4 = 0\)
- Відповідь
-
\(a=−4, 1\)
\(y^2 + y = -4\)
\(b^2 + 3b = -2\)
- Відповідь
-
\(b=−1, −2\)
\(x^2 + 6x + 8 = -x - 2\)
\(x^2 + 4x = 2x - 5\)
- Відповідь
-
Немає рішення дійсних чисел.
\(6b^2 + 5b - 4 = b^2 + b + 1\)
\(4a^2 + 7a - 2 = -2a + a\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{-2 \pm \sqrt{6}}{2}\)
\((2x + 5)(x - 4) = x^2 -x + 2\)
\((x-4)^2 = 3\)
- Відповідь
-
\(x = 4 \pm \sqrt{3}\)
\((b - 6)^2 = 8\)
- Відповідь
-
\(b = 6 \pm 2\sqrt{2}\)
\((3-x)^2 = 6\)
\(3(x^2 + 1) = 2(x+7)\)
- Відповідь
-
\(x = \dfrac{1 \pm \sqrt{34}}{3}\)
\(2(y^2 - 3) = -3(y - 1)\)
\((x + 2)^2 = 4\)
\(-4(a^2 + 2) + 3 = 5\)
- Відповідь
-
Немає рішення дійсних чисел
\(-(x^2 + 3x - 1) = 2\)
Вправи для огляду
Спростити\((\dfrac{x^8y^7z^5}{x^4y^6z^2})^2\)
- Відповідь
-
\(x^8y^2z^6\)
Напишіть\(4a^{-6}b^2c^3a^5b^{-3}\) так, щоб з'являлися тільки позитивні показники
Знайдіть товар:\((2y + 7)(3y - 1)\)
- Відповідь
-
\(6y^2 + 19y - 7\)
Спростити:\(\sqrt{80} - \sqrt{45}\)
Вирішіть\(x^2 - 4x - 12 = 0\), заповнивши квадрат.
- Відповідь
-
\(x=−2, 6\)